Chimie · Fiche 1

Les chiffres significatifs

Mesure, précision et incertitude en chimie

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Ce que tu sauras faire

comprendre pourquoi toute mesure en chimie est entachée d'une incertitude ;
définir un chiffre significatif et distinguer chiffres certains et chiffre incertain ;
appliquer les règles de comptage des chiffres significatifs (cas délicat des zéros) ;
maîtriser la notation scientifique et l'opération d'arrondi ;
donner le bon nombre de chiffres significatifs au résultat d'une addition, d'une multiplication et d'un logarithme (pH) ;
distinguer justesse et fidélité, et exprimer une incertitude absolue et relative.

1Mesurer en chimie : grandeurs, nombres et incertitude

La chimie est une science quantitative : peser un échantillon, lire un volume sur une burette, relever une température, mesurer un pH… tout repose sur des mesures. Or aucune mesure n'est parfaite : tout instrument possède une limite de précision. Les chiffres significatifs sont l'outil qui permet d'écrire un nombre de façon à ce qu'il dise la vérité sur sa propre précision — ni plus, ni moins.

Définition1.1grandeur, valeur et unité

Une grandeur est une propriété mesurable (une masse, un volume, une concentration). Le résultat d'une mesure s'écrit toujours sous la forme d'un nombre suivi d'une unité :

\underbrace{m}_{\text{grandeur}} \;=\; \underbrace{13{,}02}_{\text{nombre}}\ \underbrace{\mathrm{g}}_{\text{unité}}.

Le nombre seul n'a aucun sens physique : « $13{,}02$ » ne veut rien dire, mais « $13{,}02\,\mathrm{g}$ » désigne une masse précise.

Définition1.2nombre mesuré et nombre exact

On distingue deux natures de nombres :

un nombre mesuré provient d'un instrument : il est toujours approché, car l'instrument a une précision finie (ex. : $20{,}96\,\mathrm{mL}$ lu sur une burette) ;
un nombre exact provient d'un comptage ou d'une définition : il est parfaitement connu (ex. : il y a exactement $2$ atomes d'hydrogène dans $\ce{H2O}$ , ou exactement $1000\,\mathrm{g}$ dans $1\,\mathrm{kg}$ par définition).

Remarque

La règle des chiffres significatifs ne s'applique qu'aux nombres mesurés. Un nombre exact est considéré comme ayant une infinité de chiffres significatifs : il ne limite donc jamais la précision d'un calcul (on y revient au §4).

L'exemple de la burette

Le contexte le plus parlant est la lecture d'un volume sur une burette graduée, instrument de base du laboratoire de chimie (titrages).

Si la plus petite graduation vaut $0{,}1\,\mathrm{mL}$ , on voit que le ménisque se situe entre $20{,}9$ et $21{,}0\,\mathrm{mL}$ . À l'œ il nu, on estime la position à $20{,}96\,\mathrm{mL}$ .

Les chiffres 2, 0 et 9 sont certains : la graduation nous les garantit.
Le dernier chiffre 6 est incertain (estimé) : un autre observateur aurait pu lire $5$ ou $7$ . Il n'y a pas de graduation au centième de $\mathrm{mL}$ .

Propriété1.1plus de chiffres significatifs $\Rightarrow$ plus de précision

En général, plus une mesure comporte de chiffres significatifs, plus elle est précise. Le nombre de chiffres significatifs est une « carte d'identité » de la qualité de la mesure : il indique jusqu'où l'instrument est fiable. Le volume $V=20{,}96\,\mathrm{mL}$ comporte quatre chiffres significatifs.

2La notion de chiffre significatif

Définition2.1chiffre significatif

Les chiffres significatifs d'un nombre mesuré sont tous les chiffres connus avec certitude, plus le premier chiffre incertain (le dernier écrit, celui qui est estimé). Ce sont les chiffres qui portent une information sur la mesure.

Propriété2.1les chiffres non nuls sont toujours significatifs

Tout chiffre non nul ( $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ ) est toujours significatif, quelle que soit sa position dans le nombre. La seule difficulté de comptage concerne le chiffre 0 (§3).

Exemplecomptage immédiat

$837$ : trois chiffres non nuls $\Rightarrow$ 3 chiffres significatifs.
$42{,}5$ : trois chiffres non nuls $\Rightarrow$ 3 chiffres significatifs.
$6{,}1234$ : cinq chiffres non nuls $\Rightarrow$ 5 chiffres significatifs.

Attentionchiffre significatif $\neq$ nombre de décimales

Ne confondez pas chiffres significatifs et décimales (chiffres après la virgule). $42{,}5$ a une seule décimale mais trois chiffres significatifs ; $0{,}007$ a trois décimales mais un seul chiffre significatif. Le nombre de chiffres significatifs se compte à partir du premier chiffre non nul, en lisant de gauche à droite.

3Compter les chiffres significatifs : le cas des zéros

Le chiffre $0$ joue deux rôles très différents : tantôt il cale la virgule (il ne fait que positionner l'ordre de grandeur), tantôt il résulte d'une mesure (il porte alors une information). Trois règles règlent tous les cas.

Règle3.1zéros de tête — jamais significatifs

Les zéros situés à gauche du premier chiffre non nul ne sont jamais significatifs : ils ne servent qu'à placer la virgule (l'ordre de grandeur). On les appelle zéros de cadrage.

Règle3.2zéros intercalés — toujours significatifs

Les zéros situés entre deux chiffres non nuls (zéros captifs) sont toujours significatifs.

Règle3.3zéros de queue après la virgule — toujours significatifs

Les zéros situés à droite, après la virgule (et après le dernier chiffre non nul), sont toujours significatifs : on ne les écrirait pas s'ils n'étaient pas le fruit d'une mesure.

La figure-clé : $m = \mathbf{0{,}0035070}$ kg

L'exemple suivant, tiré du livre, contient tous les cas de figure à la fois.

Lecture chiffre par chiffre (de gauche à droite) :

$\textcolor{#d21e28}{0,00}$ : trois zéros de tête $\rightarrow$ cadrage, non significatifs ;
$\mathbf{3}$ , $\mathbf{5}$ : non nuls $\rightarrow$ significatifs ;
$\textcolor{#005ac8}{\mathbf{0}}$ : zéro captif (entre le $5$ et le $7$ ) $\rightarrow$ significatif ;
$\mathbf{7}$ : non nul $\rightarrow$ significatif ;
$\textcolor{#005ac8}{\mathbf{0}}$ : zéro de queue après la virgule $\rightarrow$ significatif.

Bilan : $3,\,5,\,0,\,7,\,0$ sont significatifs, soit $\boxed{\mathbf 5}$ chiffres significatifs.

Propriété3.1le déplacement de la virgule ne change rien

Le déplacement de la virgule (donc le changement d'unité ou la notation scientifique) n'a aucun impact sur la précision : il ne modifie jamais le nombre de chiffres significatifs. Seuls changent les zéros de cadrage, qui ne comptent pas.

Exempleun même volume, quatre chiffres significatifs dans toutes les unités

Le volume $V=20{,}96\,\mathrm{mL}$ possède $4$ chiffres significatifs. Écrivons-le autrement :

V=\underbrace{20{,}96}_{4\ \text{CS}}\ \mathrm{mL} =\underbrace{0{,}02096}_{4\ \text{CS}}\ \mathrm{L} =\underbrace{2{,}096\times 10^{-2}}_{4\ \text{CS}}\ \mathrm{L}.

Dans $0{,}02096\,\mathrm{L}$ , les deux zéros de tête ( $0{,}0$ ) ne sont pas significatifs ; ils disparaissent en notation scientifique $2{,}096\times 10^{-2}$ . Le nombre de chiffres significatifs reste $4$ partout : la précision de la mesure n'a pas changé, seule l'écriture a changé.

Le piège des zéros de queue sans virgule

Un cas reste ambigu : les zéros de queue d'un nombre entier (sans virgule).

Attentioncombien de chiffres significatifs dans « $100$ » ?

Écrit tel quel, $100$ est ambigu : on ne sait pas si les zéros résultent d'une mesure ou d'un simple cadrage. Le nombre peut avoir $1$ , $2$ ou $3$ chiffres significatifs. La notation scientifique lève toute ambiguïté :

Écriture	Nombre de chiffres significatifs	Signification
$1\times 10^{2}$	$1$	mesure au $\pm\,100$ près
$1{,}0\times 10^{2}$	$2$	mesure à $\pm\,10$ près
$1{,}00\times 10^{2}$	$3$	mesure à $\pm\,1$ près

C'est pourquoi, en chimie, on privilégie systématiquement la notation scientifique dès qu'un doute est possible.

Exemplereconnaître les zéros significatifs

Nombre	chiffres significatifs	Justification
$15{,}200$	$5$	les deux zéros de queue (après virgule) sont significatifs
$0{,}0100$	$3$	zéros de tête non sig. ; les deux zéros de queue le sont
$0{,}0035070$	$5$	zéros de tête non sig. ; le captif et celui de queue le sont
$2030$	$3$ (ambigu)	le zéro captif est sig. ; le zéro de queue est ambigu
$4{,}00\times 10^{3}$	$3$	notation scientifique : tout ce qui est écrit est significatif

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4. Nombres exacts : une infinité de chiffres significatifs
5. La notation scientifique
6. Arrondir un résultat
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