Mathématiques · Fiche 8

Statistiques descriptives

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Ce que tu sauras faire

manier le vocabulaire statistique (population, caractère, effectif, modalité, classe, centre de classe) et distinguer caractère qualitatif / quantitatif (discret ou continu) ;
construire un tableau statistique complet : effectifs $n_i$ , effectif total $N$ , fréquences $f_i$ , effectifs et fréquences cumulés ;
calculer et interpréter les indicateurs de position : mode $M$ , moyenne $m$ , médiane $M\!e$ et quartiles $Q_1$ , $Q_3$ ;
déterminer une médiane par interpolation linéaire (méthode des triangles semblables) ou par lecture graphique de la courbe des fréquences cumulées ;
calculer et interpréter les indicateurs de dispersion : étendue, écart moyen $\sigma_m$ , variance $V$ (formule directe et théorème de König–Huygens), écart type $\sigma=\sqrt{V}$ ;
lire et tracer les représentations graphiques : diagramme en bâtons, histogramme, polygone des fréquences, polygone cumulé (ogive) ;
commenter, en français, la signification concrète de chaque résultat chiffré.

1Introduction : à quoi sert la statistique descriptive ?

Chaque jour, on est noyé sous des nombres : la taille des élèves d'une classe, les notes à un examen, la tension artérielle de 200 patients, le nombre de globules blancs par mm $^3$ de sang, le prix d'un médicament dans dix pharmacies… Pris individuellement, ces nombres ne disent pas grand-chose. La statistique descriptive est l'ensemble des outils qui permettent de résumer une grande masse de données par quelques chiffres parlants et par quelques graphiques.

Concrètement, décrire une série statistique, c'est répondre à trois familles de questions :

Quel est le « centre » de la série ? autour de quelle valeur les données se regroupent-elles ? $\rightarrow$ indicateurs de position (mode, moyenne, médiane) ;
Les données sont-elles resserrées ou étalées ? $\rightarrow$ indicateurs de dispersion (étendue, écart moyen, variance, écart type) ;
Comment visualiser tout cela d'un coup d'œil ? $\rightarrow$ représentations graphiques (diagramme en bâtons, histogramme, courbe cumulée).

Remarquel'objet de la fiche

Cette fiche ne traite que de la statistique descriptive (résumer des données que l'on possède). Elle ne fait pas de statistique inférentielle (tirer des conclusions sur une population entière à partir d'un échantillon, tests, probabilités). On reste du côté descriptif : tout ce que l'on calcule, on le calcule sur les données elles-mêmes.

2Le vocabulaire de base de la statistique

Avant tout calcul, il faut fixer le vocabulaire : un mot = une idée précise. Toute la fiche réutilisera ces termes.

Population, individu, caractère, modalité

Définition2.1population et individu

La population est l'ensemble de tous les éléments sur lesquels porte l'étude statistique. Chaque élément de cet ensemble est un individu (ou unité statistique). Le nombre d'individus de la population est l'effectif total, noté $N$ .

Définition2.2caractère et modalité

Le caractère (ou variable) est la propriété que l'on étudie sur chaque individu. Les valeurs que peut prendre ce caractère sont les modalités, en général notées $x_i$ (l'indice $i$ numérote les modalités : $i=1,2,\ldots,k$ ).

Exemplefil rouge de la fiche

On étudie la taille (en millimètres) de $N=65$ poissons élevés dans un aquarium.

Population : les 65 poissons de l'aquarium.
Individu : un poisson.
Caractère : la taille (en mm).
Effectif total : $N=65$ .

Cet exemple nous accompagnera du début à la fin : on y calculera tous les indicateurs.

Les trois types de caractères

Définition2.3types de caractère

Un caractère est qualitatif si ses modalités ne sont pas des nombres (groupe sanguin, couleur des yeux, sexe).
Un caractère est quantitatif si ses modalités sont des nombres. On distingue :
- discret : il prend des valeurs isolées (le nombre d'enfants par famille : $0,1,2,\ldots$ ) ;
- continu : il peut prendre toute valeur d'un intervalle (taille, masse, température). On le découpe alors en classes $[a,b[$ .

Attentioncaractère continu $\Rightarrow$ classes

Dès qu'un caractère est continu (ou qu'il prend beaucoup de valeurs différentes), on regroupe les données en classes de la forme $[a,b[$ , par tranches de même amplitude. Chaque classe est ensuite représentée par un seul nombre, son centre.

Classe, amplitude et centre de classe

Définition2.4classe et centre de classe

Une classe est un intervalle $[a,b[$ qui regroupe les valeurs d'un caractère continu.

Son amplitude (ou largeur) vaut $b-a$ .
Son centre (ou valeur centrale) est le milieu de l'intervalle :

Formule2.1centre de classe

x_i=\dfrac{a+b}{2}

où :

$a$ : borne inférieure de la classe (comprise) ;
$b$ : borne supérieure de la classe (exclue) ;
$x_i$ : centre de la classe — c'est lui que l'on utilisera dans tous les calculs.

Unité : celle du caractère (ici des mm). Le centre n'a pas de dimension propre : il hérite de celle du caractère.

Exemplecentres des classes du fichier « poissons »

Les tailles sont découpées en classes d'amplitude $10$ mm : $[55,65[$ , $[65,75[$ , etc. Le centre de la première classe est $x_1=\dfrac{55+65}{2}=60$ mm, celui de la quatrième est $x_4=\dfrac{85+95}{2}=90$ mm, et ainsi de suite (voir le tableau de la section 3).

Remarquecaractère discret $\Rightarrow$ pas de classe

Pour un caractère discret, il n'y a pas de colonne « classes » : la colonne des centres est remplacée directement par les valeurs entières $x_i$ . Toutes les formules restent strictement les mêmes, on remplace simplement « centre de classe » par « valeur de la modalité ».

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3. La série statistique et le tableau d'effectifs
4. Les indicateurs de position (tendance centrale)
5. Les indicateurs de dispersion
… et 3 de plus

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