Mathématiques · Fiche 3

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, nombres trigonométriques et résolution des triangles

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Ce que tu sauras faire

construire et lire le cercle trigonométrique, et convertir un angle entre degrés et radians ;
définir les quatre nombres trigonométriques ( $\cos$ , $\sin$ , $\tg$ , $\cotg$ ), connaître leur signe selon le quadrant et leurs valeurs remarquables ;
démontrer et utiliser la relation fondamentale $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ ;
exploiter les angles associés (opposés, complémentaires, supplémentaires…) pour ramener tout angle à un angle connu ;
appliquer les formules d'addition et de duplication ;
résoudre des équations trigonométriques en $\sin$ , $\cos$ et $\tg$ ;
résoudre un triangle quelconque grâce à la loi des sinus et à la loi des cosinus.

1Introduction : à quoi sert la trigonométrie ?

Le mot trigonométrie vient du grec trígonon (« triangle ») et métron (« mesure ») : c'est littéralement la mesure des triangles. Historiquement, elle est née du besoin très concret de calculer des longueurs ou des angles inaccessibles à la mesure directe : la hauteur d'une montagne, la distance d'un navire à la côte, la position d'une étoile. L'idée géniale est la suivante : dans un triangle, si l'on connaît assez d'informations (des côtés, des angles), on peut calculer toutes les autres au lieu de les mesurer.

Définition1.1la trigonométrie

La trigonométrie est la branche des mathématiques qui étudie les relations entre les angles et les longueurs des côtés d'un triangle. Elle repose sur quatre nombres associés à un angle — le cosinus, le sinus, la tangente et la cotangente — que l'on appelle les nombres trigonométriques.

Ces nombres ne servent pas qu'à la géométrie : ils décrivent tous les phénomènes périodiques (qui se répètent à l'identique) — oscillations d'un ressort, courant alternatif, sons, marées, ondes lumineuses. Maîtriser cette fiche, c'est donc se donner un outil utilisé dans presque toute la physique et l'ingénierie.

Mesurer un angle : degrés et radians

Avant toute chose, il faut savoir mesurer un angle. Il existe deux unités, et la trigonométrie les utilise toutes les deux : il est indispensable de passer aisément de l'une à l'autre.

Définition1.2degré et radian

Le degré (symbole ${}^{\circ}$ ) découpe un tour complet en 360 parts égales. Un angle droit vaut donc $90\,{}^{\circ}$ .
Le radian (symbole $\mathrm{radian}$ ) mesure l'angle par la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon $1$ . Comme la circonférence d'un tel cercle vaut $2\pi$ , un tour complet vaut $2\pi$ radians.

On a donc l'égalité fondamentale entre les deux unités : un demi-tour s'écrit $180\,{}^{\circ}$ ou $\pi$ radians.

Formule1.1conversion degrés $\leftrightarrow$ radians

\boxed{\;\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}}\times \dfrac{\pi}{180}\;} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\;\alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{rad}}\times \dfrac{180}{\pi}\;}

où :

$\alpha_{\text{deg}}$ : la mesure de l'angle en degrés (unité : ${}^{\circ}$ ) ;
$\alpha_{\text{rad}}$ : la même mesure en radians (unité : $\mathrm{radian}$ , sans dimension) ;
$\pi \approx 3{,}14159$ : constante d'Archimède (rapport circonférence/diamètre).

La règle de trois qui résume tout : $\dfrac{\alpha_{\text{deg}}}{180} = \dfrac{\alpha_{\text{rad}}}{\pi}$ . Le tableau ci-dessous donne les conversions des angles les plus courants ; ce sont précisément les angles que l'on retrouvera partout dans la fiche.

Degrés	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$120^{\circ}$	$180^{\circ}$	$270^{\circ}$	$360^{\circ}$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Exempledeux conversions dans les deux sens

(a) Convertir $30\,{}^{\circ}$ en radians. On applique la première formule :

\alpha_{\text{rad}} = 30\times\frac{\pi}{180} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}\ \text{rad}.

(b) Convertir $\dfrac{3\pi}{4}$ rad en degrés. On applique la seconde formule :

\alpha_{\text{deg}} = \frac{3\pi}{4}\times\frac{180}{\pi} = \frac{3\times 180}{4} = \frac{540}{4} = 135\,{}^{\circ}.

On remarque que le $\pi$ se simplifie toujours : c'est le signe que le calcul est bien mené.

Remarquenotation de la tangente

Dans ce cours, suivant la convention du livre, on note la tangente $\tg$ et la cotangente $\cotg$ . On rencontre aussi très souvent les notations $\tan$ et $\cot$ (notamment sur les calculatrices) : ce sont exactement les mêmes objets.

2Le cercle trigonométrique et les nombres trigonométriques

Toute la trigonométrie « tient » dans une figure unique, le cercle trigonométrique. C'est l'outil central de la fiche : il sert à la fois à définir les quatre nombres trigonométriques, à lire leur signe, et à retrouver leurs valeurs sans rien apprendre par cœur.

Construction et sens de parcours

Définition2.1cercle trigonométrique

Dans un repère orthonormé de centre $O$ , le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon égal à $1$ . Tout point du cercle correspond à un angle orienté $\alpha$ mesuré à partir du demi-axe horizontal positif.

Le rayon vaut $1$ : ce choix n'est pas un détail, c'est lui qui rendra les définitions si simples (on divisera tout le temps par $1$ ). Le cercle est partagé par les deux axes en quatre quadrants, numérotés de I à IV dans le sens trigonométrique.

Définition2.2sens trigonométrique

Le sens trigonométrique (ou sens positif) est le sens de rotation inverse des aiguilles d'une montre. Les angles y sont comptés positivement. En tournant dans ce sens depuis l'axe horizontal, on balaie successivement les quadrants I ( $0$ à $\tfrac{\pi}{2}$ ), II ( $\tfrac{\pi}{2}$ à $\pi$ ), III ( $\pi$ à $\tfrac{3\pi}{2}$ ) et IV ( $\tfrac{3\pi}{2}$ à $2\pi$ ).

*Figure 1 : Le cercle trigonométrique. À l'extérieur, la mesure de l'angle en degrés ; à l'intérieur, la même mesure en radians. Les quadrants I à IV sont parcourus dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre).

Remarqueun angle, une infinité d'écritures

Comme on peut tourner autant de fois qu'on veut, un même point du cercle correspond à une infinité de mesures qui diffèrent d'un nombre entier de tours : $\alpha$ , $\alpha+2\pi$ , $\alpha-2\pi$ , …, c'est-à-dire $\alpha + 2k\pi$ avec $k\in\mathbb{Z}$ . C'est la raison pour laquelle, plus loin, les solutions des équations trigonométriques contiendront toujours un terme « $+2k\pi$ ».

Le cosinus et le sinus

À chaque angle $\alpha$ correspond un unique point $P$ sur le cercle. Comme le rayon vaut $1$ , les coordonnées de ce point fournissent directement les deux premiers nombres trigonométriques.

Définition2.3cosinus et sinus

Soit $P$ le point du cercle trigonométrique associé à l'angle $\alpha$ . Alors :

le cosinus de $\alpha$ , noté $\cos\alpha$ , est l'abscisse de $P$ (sa projection sur l'axe horizontal $x$ ) ;
le sinus de $\alpha$ , noté $\sin\alpha$ , est l'ordonnée de $P$ (sa projection sur l'axe vertical $y$ ).

Autrement dit, le point du cercle a pour coordonnées $P=(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)$ .

Formule2.1coordonnées d'un point du cercle

\boxed{\,P = (\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)\,}

où :

$\alpha$ : l'angle orienté, mesuré en radians ou en degrés ;
$\cos\alpha$ : l'abscisse de $P$ , un nombre pur (sans unité), car c'est une longueur divisée par le rayon $1$ ;
$\sin\alpha$ : l'ordonnée de $P$ , également un nombre pur sans unité.

Remarquepourquoi « sans unité » ?

Les nombres trigonométriques ne sont pas des longueurs : ce sont des rapports. Sur le cercle de rayon $1$ , $\cos\alpha$ et $\sin\alpha$ sont des coordonnées comprises entre $-1$ et $+1$ . On verra à la section 3 qu'ils s'interprètent comme « côté divisé par hypoténuse » : un quotient de deux longueurs, dont les unités se simplifient. Voilà pourquoi un cosinus est juste un nombre, sans $\mathrm{m}$ ni ${}^{\circ}$ .

La figure 2 montre comment lire les quatre nombres trigonométriques sur le cercle. On y a ajouté deux droites tangentes au cercle : l'axe des tangentes (vertical, tangent au point $0^{\circ}$ ) et l'axe des cotangentes (horizontal, tangent au point $90^{\circ}$ ).

*Figure 2 : Lecture des quatre nombres trigonométriques pour un angle $\alpha$ du premier quadrant. Le cosinus se lit sur l'axe horizontal, le sinus sur l'axe vertical, la tangente sur la droite verticale tangente, et la cotangente sur la droite horizontale tangente.

La tangente et la cotangente

Les deux derniers nombres se déduisent des deux premiers par un simple quotient.

Définition2.4tangente et cotangente

Pour un angle $\alpha$ :

la tangente de $\alpha$ est le quotient du sinus par le cosinus : $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ , définie pour $\cos\alpha\neq0$ , c'est-à-dire $\alpha\neq\dfrac{\pi}{2}+k\pi$ ;
la cotangente de $\alpha$ est l'inverse de la tangente : $\cotg\alpha=\dfrac{1}{\tg\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}$ , définie pour $\sin\alpha\neq0$ , c'est-à-dire $\alpha\neq k\pi$ .

Formule2.2tangente et cotangente

\boxed{\;\tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\;} \qquad\qquad \boxed{\;\cotg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\;}

où :

$\sin\alpha,\ \cos\alpha$ : sinus et cosinus de l'angle (nombres purs, entre $-1$ et $1$ ) ;
$\tg\alpha,\ \cotg\alpha$ : tangente et cotangente, nombres purs sans unité ;
conditions d'existence : $\cos\alpha\neq0$ pour la tangente, $\sin\alpha\neq0$ pour la cotangente — diviser par zéro est interdit, d'où les valeurs « $\nexists$ » (n'existe pas) dans les tableaux.

Attentionne pas confondre les conditions d'existence

La tangente « explose » (tend vers $\pm\infty$ ) là où le cosinus s'annule : aux angles $\tfrac{\pi}{2}$ , $\tfrac{3\pi}{2}$ , etc. La cotangente explose là où le sinus s'annule : en $0$ , $\pi$ , $2\pi$ , etc. Contrairement au sinus et au cosinus qui restent bornés entre $-1$ et $1$ , la tangente et la cotangente ne sont pas bornées : elles prennent toutes les valeurs de $-\infty$ à $+\infty$ .

Signe des nombres trigonométriques selon le quadrant

Le signe se lit directement sur le cercle : il suffit de regarder si la projection correspondante est du côté positif ou négatif de l'axe.

Figure 3 : Signe de chaque nombre trigonométrique dans les quatre quadrants (I en haut à droite, puis sens trigonométrique).

On retient facilement : le cosinus (horizontal) est positif à droite (quadrants I et IV) ; le sinus (vertical) est positif en haut (quadrants I et II) ; la tangente et la cotangente, étant des quotients, sont positives quand $\sin$ et $\cos$ ont le même signe (quadrants I et III).

Valeurs remarquables à connaître

Les angles $0,\ \tfrac{\pi}{6},\ \tfrac{\pi}{4},\ \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{\pi}{2}$ (soit $0^{\circ},30^{\circ},45^{\circ},60^{\circ},90^{\circ}$ ) reviennent sans cesse. Leurs nombres trigonométriques forment le tableau suivant, qu'il faut savoir reconstruire grâce au cercle.

$\alpha$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
(degrés)	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tg\alpha$	$0$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	$\nexists$
$\cotg\alpha$	$\nexists$	$\sqrt3$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$0$

Remarqueune astuce de mémorisation très efficace

Écrivez sur la ligne du sinus les nombres $\sqrt0,\sqrt1,\sqrt2,\sqrt3,\sqrt4$ tous divisés par $2$ :

\sin: \ \frac{\sqrt0}{2},\ \frac{\sqrt1}{2},\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ \frac{\sqrt4}{2} \ =\ 0,\ \frac12,\ \frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt3}{2},\ 1.

Le cosinus est la même liste à l'envers (car $\cos\alpha=\sin(\tfrac{\pi}{2}-\alpha)$ , voir section 4). La tangente s'obtient alors en divisant : $\tg=\dfrac{\sin}{\cos}$ . Plus besoin de tout mémoriser !

Méthoderetrouver un nombre trigonométrique sans calculatrice

Placer l'angle sur le cercle pour identifier son quadrant : on en déduit le signe ( $+$ ou $-$ ) du nombre cherché (figure 3).
Ramener l'angle à un angle remarquable du premier quadrant à l'aide des angles associés (section 4).
Lire la valeur (sans le signe) dans le tableau ci-dessus.
Recoller le signe trouvé à l'étape 1.

Exemplelire un cosinus négatif : $\cos\tfrac{2\pi}{3}$

On veut $\cos\dfrac{2\pi}{3}$ (soit $\cos120^{\circ}$ ).

Quadrant : $120^{\circ}$ est entre $90^{\circ}$ et $180^{\circ}$ , donc dans le quadrant II. Or, dans le quadrant II, le cosinus est négatif (figure 3). On sait déjà que le résultat sera précédé d'un « $-$ ».
Angle de référence : $120^{\circ}$ est le supplémentaire de $60^{\circ}$ ( $180^{\circ}-120^{\circ}=60^{\circ}$ ). On lit $\cos60^{\circ}=\dfrac12$ dans le tableau.
Conclusion : $\cos\dfrac{2\pi}{3}=-\dfrac12$ .

Ce raisonnement, mené ici sur un cas simple, est exactement celui qu'on systématise à la section 4 avec les angles associés.

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3. La relation fondamentale de la trigonométrie
4. Les angles associés
5. Formules d'addition et de duplication
… et 3 de plus

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