Trigonométrie

Cercle de centre $O$, rayon $1$ : à l'angle $\alpha$ correspond le point $P=(\cos\alpha\,;\sin\alpha)$. $\tan\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ ($\cos\alpha\neq0$). Conversion : $\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\text{deg}}\times\dfrac{\pi}{180}$, donc $180^{\circ}=\pi$ rad.

• triangle rectangle donné : repère l'angle fourni, identifie les 3 côtés par rapport à lui, applique SOH-CAH-TOA (2018, Q1, Q4, Q18 ; 2019, Q18 ; 2020, Q27, Q28 ; 2022, Q8, Q15 ; 2024, Q9).
• hypoténuse $=2\times$ un côté $\Rightarrow$ ce côté est opposé à un angle de $30^{\circ}$ (car $\sin30^{\circ}=\frac12$) — piège de lecture très fréquent (2020, Q27, Q28).

$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ (vraie pour tout $\alpha$) $\ \Rightarrow\ \sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$, $\ \cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$, $\ 1+\tan^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}$.

1. écrire $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$, isoler l'inconnue ;
2. calculer la valeur sous la racine ;
3. choisir le signe $\pm$ d'après le quadrant — l'étape où l'on se trompe le plus ;
4. si besoin, $\tan\alpha=\sin\alpha/\cos\alpha$.

$\cos$ positif à droite (I, IV) ; $\sin$ positif en haut (I, II) ; $\tan$ positive quand $\sin$ et $\cos$ ont le même signe (I, III).

• $\sin\alpha=\frac13$, $\alpha$ au 1^er quadrant $\Rightarrow\cos\alpha=\sqrt{1-\frac19}=\frac{2\sqrt2}{3}$ (positif), $\tan\alpha=\frac{\sqrt2}{4}$ (2020, Q22).
• $\sin\alpha=-\frac23$, $-\frac{\pi}{2}<\alpha<0$ (quadrant IV) $\Rightarrow\cos\alpha=+\sqrt{1-\frac49}=\frac{\sqrt5}{3}$ : on garde le signe positif imposé par le quadrant (2020, Q9).

1. se ramener dans $[0\,;2\pi[$ en ajoutant/retranchant des $2k\pi$ ;
2. repérer le quadrant $\Rightarrow$ le signe final ;
3. angle de référence $\alpha_{\text{réf}}$ : I $\to\alpha$, II $\to\pi-\alpha$, III $\to\alpha-\pi$, IV $\to2\pi-\alpha$ ;
4. lire la valeur remarquable de $\alpha_{\text{réf}}$, appliquer le signe.

$\cos\dfrac{17\pi}{3}$ : $\dfrac{17\pi}{3}-4\pi=\dfrac{5\pi}{3}$ (quadrant IV) ; référence $2\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$ ; $\cos$ positif en IV $\Rightarrow\cos\dfrac{17\pi}{3}=\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac12$ (2025, Q3). Même automatisme : (2018, Q2 ; 2019, Q2, Q25 ; 2021, Q3, Q19).

$\cos(a\pm b)=\cos a\cos b\mp\sin a\sin b$ (signe inversé !) $\sin(a\pm b)=\sin a\cos b\pm\cos a\sin b$

Linéarisation : $\sin^2x=\dfrac{1-\cos2x}{2}$, $\cos^2x=\dfrac{1+\cos2x}{2}$.

• $\cos^4\alpha-\sin^4\alpha=(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha)(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=\cos(2\alpha)$ : différence de carrés puis relation fondamentale — jamais de calcul direct (2022, Q6 ; 2024, Q3).
• $\cos(x^2)=2\cos^2\!\left(\frac{x^2}{2}\right)-1$ : c'est la duplication avec $\theta=\frac{x^2}{2}$ (donc $2\theta=x^2$) — ne pas lire « $x$ » à la place de « $x^2$ » (2023, Q1).

$\cos\alpha=-\frac{\sqrt3}{2}$, $\alpha$ au quadrant II $\Rightarrow\sin\alpha=+\sqrt{1-\frac34}=\frac12$ (positif) $\Rightarrow\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha=2\cdot\frac12\cdot\!\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\sqrt3}{2}$ (2021, Q5).

$\cos a=\cos b\iff a=\pm b+2k\pi$ $\sin a=\sin b\iff a=b+2k\pi$ ou $a=\pi-b+2k\pi$ $\tan a=\tan b\iff a=b+k\pi$ ($k\in\mathbb Z$)

• équation : isoler $\sin x=v$ (ou $\cos$, $\tan$) $\to$ reconnaître $v$ comme valeur remarquable d'un angle $b$ $\to$ appliquer l'équivalence $\to$ si intervalle imposé, tester des $k$ entiers.
• triangle : 3 côtés connus ou 2 côtés + angle compris $\to$ loi des cosinus ; 1 côté + 2 angles, ou angle + son côté opposé $\to$ loi des sinus ; aire depuis 2 côtés + angle compris $\to\ \mathcal A=\frac12ab\sin\hat C$.

Pour $\sin(2x)=\frac12$, écrire d'abord les deux familles en $2x$ : $2x=\frac{\pi}{6}+2k\pi$ ou $2x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi$, puis diviser par $2$ : $x=\frac{\pi}{12}+k\pi$ ou $x=\frac{5\pi}{12}+k\pi$. Diviser trop tôt fait perdre la moitié des solutions ; diviser transforme aussi le pas $2k\pi$ en $k\pi$.

• Al-Kashi avec un angle de $60^{\circ}$ : $\cos60^{\circ}=\frac12\Rightarrow a^2=b^2+c^2-bc$ (le facteur $2\cos60^{\circ}=1$ simplifie le « $2$ ») (2020, Q7).
• aire connue (2 côtés + angle compris) $\Rightarrow$ isoler l'inconnue dans $\mathcal A=\frac12ab\sin\hat C$ (2019, Q23 ; 2023, Q8) ; l'enchaînement classique est ensuite Al-Kashi pour un second côté.
• équation par substitution $u=x^2$ : $\cos u+\sin u=1\iff\cos u=1-\sin u$ ; élever au carré et relation fondamentale $\Rightarrow\sin u(\sin u-1)=0\Rightarrow\sin u\in\{0,1\}$ ; vérifier (le carré ajoute des solutions parasites) $\Rightarrow u=2k\pi$ ou $u=\frac{\pi}{2}+2k\pi\Rightarrow x=\pm\sqrt{2k\pi}$ ou $x=\pm\sqrt{\frac{\pi}{2}+2k\pi}$, $k\in\mathbb N$ (2025, Q9).