Intensité, charge et loi des nœuds

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Facile15 exercices

Exercice 1intensité à partir de la charge

Une charge $Q=12\,\mathrm{C}$ traverse la section d'un fil conducteur en une durée $t=4\,\mathrm{s}$ . Calcule l'intensité $I$ du courant, en précisant l'unité.

On applique directement la définition de l'intensité $I=\dfrac{Q}{t}$ :

I=\frac{Q}{t}=\frac{12}{4}=3\,\mathrm{A}.

L'unité est bien l'ampère, car $\mathrm{A}=\mathrm{C}/\mathrm{s}$ .

Exercice 2de la charge au nombre d'électrons

Un conducteur est parcouru par un courant continu d'intensité $I=2\,\mathrm{A}$ pendant $t=5\,\mathrm{s}$ . On donne la charge élémentaire $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Quelle charge $Q$ traverse une section du conducteur ?
$Q=I\,t=2\times5=10\,\mathrm{C}$ .
b)
À combien d'électrons cette charge correspond-elle ?
$n=\dfrac{Q}{e}=\dfrac{10}{1{,}6\times10^{-19}}=6{,}25\times10^{19}$ électrons.

Exercice 3loi des nœuds : une intensité manquante

Au nœud $N$ ci-dessous arrive un courant d'intensité $I=5\,\mathrm{A}$ . Deux branches en partent : l'une porte $I_1=2\,\mathrm{A}$ . Détermine $I_2$ .

Le courant $I$ arrive au nœud, les courants $I_1$ et $I_2$ en partent. La loi des nœuds donne $I=I_1+I_2$ , d'où :

I_2=I-I_1=5-2=3\,\mathrm{A}.

Exercice 4en série, l'intensité est partout la même

Dans le circuit série ci-dessous, un ampèremètre placé avant $R_1$ indique $0.5\,\mathrm{A}$ . Que lira un second ampèremètre placé entre $R_1$ et $R_2$ ? Justifie en une phrase.

Le second ampèremètre lira aussi $\boxed{0.5\,\mathrm{A}}$ . En effet, $R_1$ et $R_2$ sont en série : il n'y a aucun nœud entre eux, donc la même intensité les traverse d'un bout à l'autre de la branche. La position de l'ampèremètre dans une branche série est sans importance.

Exercice 5isoler la durée

Un courant continu d'intensité $I=0.5\,\mathrm{A}$ circule dans un fil. Quelle durée $t$ faut-il pour qu'une charge $Q=30\,\mathrm{C}$ traverse une section de ce fil ?

On part de $I=\dfrac{Q}{t}$ , que l'on inverse en $t=\dfrac{Q}{I}$ :

t=\frac{Q}{I}=\frac{30}{0{,}5}=60\,\mathrm{s}\ (=1\,\mathrm{min}).

Exercice 6charge, avec une durée en minutes

Une charge $Q=24\,\mathrm{C}$ traverse la section d'un fil en une durée $t=2\,\mathrm{min}$ . Calcule l'intensité $I$ du courant (attention à l'unité de temps).

On convertit d'abord la durée en secondes : $t=2\,\mathrm{min}=120\,\mathrm{s}$ . Puis $I=\dfrac{Q}{t}$ :

I=\frac{Q}{t}=\frac{24}{120}=0.2\,\mathrm{A}.

Exercice 7du nombre d'électrons à la charge

Un conducteur laisse passer $n=5\times10^{19}$ électrons à travers une section. On donne la charge élémentaire $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . Quelle charge $Q$ cela représente-t-il ?

On applique directement $Q=n\,e$ :

Q=n\,e=5\times10^{19}\times1{,}6\times10^{-19}=8\,\mathrm{C}.

Exercice 8loi des nœuds : deux courants se rejoignent

Au nœud $N$ ci-dessous arrivent deux courants, $I_1=3\,\mathrm{A}$ et $I_2=2\,\mathrm{A}$ ; un seul fil en repart, portant l'intensité $I$ . Détermine $I$ .

Les deux courants $I_1$ et $I_2$ arrivent au nœud, un seul en part. La loi des nœuds donne $I=I_1+I_2$ , d'où :

I=I_1+I_2=3+2=5\,\mathrm{A}.

Exercice 9sens du courant et sens des électrons

Dans un fil conducteur reliant un point $A$ à un point $B$ , le courant conventionnel circule de $A$ vers $B$ .

a)
Dans quel sens se déplacent réellement les électrons ?
Les électrons se déplacent en sens inverse du sens conventionnel : ici, de $B$ vers $A$ .
b)
Avec quel appareil, et branché comment, mesure-t-on l'intensité de ce courant ?
On utilise un ampèremètre, branché en série dans le circuit (le courant doit le traverser).

Exercice 10une intensité en milliampères

Un courant d'intensité $I=250\,\mathrm{mA}$ traverse une lampe pendant $t=4\,\mathrm{s}$ .

a)
Exprime $I$ en ampères.
$I=250\,\mathrm{mA}=0.250\,\mathrm{A}$ .
b)
Quelle charge $Q$ a traversé la lampe pendant cette durée ?
$Q=I\,t=0{,}25\times4=1\,\mathrm{C}$ .

Exercice 11charge débitée par une pile

Une pile débite un courant constant $I=0.5\,\mathrm{A}$ pendant $t=2\,\mathrm{h}$ . Quelle quantité de charge $Q$ a-t-elle fait circuler dans le circuit ?

On convertit la durée : $t=2\,\mathrm{h}=2\times3600=7200\,\mathrm{s}$ . Puis $Q=I\,t$ :

Q=I\,t=0{,}5\times7200=3600\,\mathrm{C}.

Exercice 12électrons par seconde

Un fil est parcouru par un courant continu d'intensité $I=0.16\,\mathrm{A}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . Combien d'électrons traversent une section du fil chaque seconde ?

En $t=1\,\mathrm{s}$ , la charge traversant la section est $Q=I\,t=0{,}16\times1=0.16\,\mathrm{C}$ . Le nombre d'électrons correspondant vaut :

n=\frac{Q}{e}=\frac{0{,}16}{1{,}6\times10^{-19}}=1{,}0\times10^{18}\ \text{électrons}.

Exercice 13circuit ouvert

Dans le circuit série ci-dessous, l'interrupteur $K$ est ouvert. Que vaut l'intensité du courant dans la lampe $L$ ? Justifie ta réponse en une phrase.

L'intensité est nulle : $I=0\,\mathrm{A}$ . L'interrupteur ouvert coupe le circuit ; les charges ne peuvent plus revenir au générateur, donc aucun courant ne circule.

Exercice 14loi des nœuds : trois branches en parallèle

Au nœud $N$ ci-dessous arrive un courant $I=9\,\mathrm{A}$ . Trois fils en partent, portant respectivement $I_1=4\,\mathrm{A}$ , $I_2=3\,\mathrm{A}$ et $I_3$ . Détermine $I_3$ .

Le courant $I$ arrive au nœud, les trois courants $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ en partent : $I=I_1+I_2+I_3$ . On isole $I_3$ :

I_3=I-I_1-I_2=9-4-3=2\,\mathrm{A}.

Exercice 15une charge en millicoulombs

Une charge $Q=900\,\mathrm{mC}$ traverse une section d'un conducteur en $t=3\,\mathrm{s}$ . Calcule l'intensité $I$ du courant (pense à convertir la charge en coulombs).

On convertit la charge : $Q=900\,\mathrm{mC}=0.9\,\mathrm{C}$ . Puis $I=\dfrac{Q}{t}$ :

I=\frac{Q}{t}=\frac{0{,}9}{3}=0.3\,\mathrm{A}.

Moyen15 exercices

Exercice 1combien d'électrons par seconde ?

Un fil conducteur est parcouru par un courant continu d'intensité $I=3.2\,\mathrm{A}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ et le nombre d'Avogadro $N_A=6{,}02\times10^{23}$ .

a)
Combien d'électrons traversent une section du fil chaque seconde ?
En $t=1\,\mathrm{s}$ , la charge est $Q=I\,t=3{,}2\times1=3.2\,\mathrm{C}$ , soit
$n=\frac{Q}{e}=\frac{3{,}2}{1{,}6\times10^{-19}}=2{,}0\times10^{19}\ \text{électrons}.$
b)
Ce nombre représente-t-il plus ou moins d'une mole d'électrons ? Justifie par un rapport.
Rapport à une mole : $\dfrac{2{,}0\times10^{19}}{6{,}02\times10^{23}}\approx3{,}3\times10^{-5}$ . C'est donc bien moins qu'une mole d'électrons (environ un trente-millième de mole), alors même que le nombre d'électrons est gigantesque à notre échelle.

Exercice 2répartition dans trois branches en parallèle

Trois récepteurs sont montés en parallèle. L'intensité totale débitée par le générateur est $I=6\,\mathrm{A}$ . On mesure $I_1=1.5\,\mathrm{A}$ dans la première branche et $I_3=2\,\mathrm{A}$ dans la troisième.

a)
Calcule l'intensité $I_2$ dans la deuxième branche.
Loi des nœuds : $I=I_1+I_2+I_3$ , donc
$I_2=I-I_1-I_3=6-1{,}5-2=2.5\,\mathrm{A}.$
b)
Quelle intensité l'ampèremètre principal (au nœud $A$ ) indiquerait-il ?
L'ampèremètre principal mesure l'intensité totale entrant au nœud $A$ , soit $I=6\,\mathrm{A}$ .

Exercice 3un nœud, puis un fil coupé

Dans le circuit ci-dessous, la lampe $L_1$ est en parallèle avec l'association série $L_2$ – $L_3$ . Un ampèremètre principal mesure $I=2\,\mathrm{A}$ ; celui de la branche du bas mesure $I_2=0.8\,\mathrm{A}$ .

a)
Calcule l'intensité $I_1$ traversant la lampe $L_1$ .
Au nœud $A$ , le courant $I$ se partage entre la branche du haut ( $I_1$ ) et celle du bas ( $I_2$ ) : $I=I_1+I_2$ .
$I_1=I-I_2=2-0{,}8=1.2\,\mathrm{A}$ .
b)
On coupe le fil entre $L_2$ et $L_3$ . Que vaut alors $I_2$ , et que devient $I_1$ ?
Un fil coupé interrompt la branche du bas : plus aucun courant n'y circule, donc $I_2=0\,\mathrm{A}$ . Tout le courant passe alors par $L_1$ : $I_1=I-I_2=2-0=2\,\mathrm{A}$ .

Exercice 4intensité moyenne d'un courant variable

Pendant une durée $\Delta t=0.2\,\mathrm{s}$ , une charge $\Delta q=0.05\,\mathrm{C}$ traverse une section d'un conducteur.

a)
Calcule l'intensité moyenne du courant sur cet intervalle.
$\displaystyle i_{\text{moy}}=\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{0{,}05}{0{,}2}=0.25\,\mathrm{A}$ .
b)
Comment définit-on l'intensité instantanée $i(t)$ lorsque le débit de charge n'est pas constant ?
On fait tendre l'intervalle vers zéro : l'intensité instantanée est la dérivée de la charge par rapport au temps, $i(t)=\displaystyle\lim_{\Delta t\to0}\frac{\Delta q}{\Delta t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ .

Exercice 5nœud avec courants entrants et sortants

Au nœud $N$ ci-dessous, deux courants arrivent ( $I_1=4\,\mathrm{A}$ et $I_2=3\,\mathrm{A}$ ) et deux courants partent ( $I_3=5\,\mathrm{A}$ et $I_4$ ). Détermine $I_4$ .

La loi des nœuds égale les intensités arrivantes et partantes :

I_1+I_2=I_3+I_4 \;\Longrightarrow\; I_4=I_1+I_2-I_3=4+3-5=2\,\mathrm{A}.

Exercice 6électrons pendant une minute

Un courant constant d'intensité $I=0.5\,\mathrm{A}$ circule dans un fil pendant $t=1\,\mathrm{min}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Quelle charge $Q$ traverse une section du fil pendant cette minute ?
$t=1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$ , donc $Q=I\,t=0{,}5\times60=30\,\mathrm{C}$ .
b)
À combien d'électrons cette charge correspond-elle ?
$\displaystyle n=\frac{Q}{e}=\frac{30}{1{,}6\times10^{-19}}=1{,}875\times10^{20}\approx1{,}9\times10^{20}$ électrons.

Exercice 7répartition proportionnelle à un nœud

Au nœud $N$ , un courant $I=6\,\mathrm{A}$ se partage entre deux branches. Une mesure indique que le courant de la première branche est le double de celui de la seconde : $I_1=2\,I_2$ .

Détermine $I_1$ et $I_2$ .

Loi des nœuds : $I=I_1+I_2$ , avec la contrainte $I_1=2\,I_2$ . En reportant :

2\,I_2+I_2=6 \;\Longrightarrow\; 3\,I_2=6 \;\Longrightarrow\; I_2=2\,\mathrm{A}, \quad I_1=2\,I_2=4\,\mathrm{A}.

Exercice 8de la charge à l'intensité instantanée

La charge ayant traversé une section d'un conducteur depuis l'instant initial est donnée par $q(t)=3\,t^{2}$ (avec $q$ en $\mathrm{C}$ et $t$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Établis l'expression de l'intensité instantanée $i(t)$ .
$\displaystyle i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(3t^{2}\bigr)=6\,t$ (en $\mathrm{A}$ ).
b)
Calcule $i$ à l'instant $t=2\,\mathrm{s}$ .
$i(2)=6\times2=12\,\mathrm{A}$ .
c)
Calcule l'intensité moyenne entre $t=0$ et $t=2\,\mathrm{s}$ , puis compare-la à $i(2)$ .
$\displaystyle i_{\text{moy}}=\frac{q(2)-q(0)}{2-0}=\frac{3\times2^{2}-0}{2}=\frac{12}{2}=6\,\mathrm{A}$ . L'intensité moyenne ( $6\,\mathrm{A}$ ) est deux fois plus petite que l'intensité instantanée finale $i(2)=12\,\mathrm{A}$ : le courant augmente au cours du temps.

Exercice 9autonomie d'une batterie

La capacité d'une batterie de smartphone est indiquée « $2000\,\mathrm{mA}\mathrm{h}$ ». Cette grandeur est en réalité une quantité de charge.

a)
Exprime cette capacité en coulombs.
$2000\,\mathrm{mA}\mathrm{h}=2\,\mathrm{A}\mathrm{h}=2\times3600=7200\,\mathrm{C}$ .
b)
Si le téléphone consomme un courant constant $I=0.4\,\mathrm{A}$ , pendant combien de temps la batterie peut-elle l'alimenter ?
$\displaystyle t=\frac{Q}{I}=\frac{7200}{0{,}4}=18000\,\mathrm{s}=5\,\mathrm{h}$ .

Exercice 10nœud : retrouver le sens d'un courant

Au nœud $N$ ci-dessous, on relève un courant $I_1=3\,\mathrm{A}$ qui arrive, et deux courants qui partent, $I_2=5\,\mathrm{A}$ et $I_3=4\,\mathrm{A}$ . Une quatrième branche porte un courant $I_4$ dont on ignore le sens.

a)
Le courant $I_4$ arrive-t-il au nœud, ou en part-il ? Justifie sans calcul.
Les courants qui partent totalisent déjà $I_2+I_3=5+4=9\,\mathrm{A}$ , alors que le seul courant entrant connu vaut $3\,\mathrm{A}$ . Pour équilibrer le nœud, il manque du courant entrant : $I_4$ arrive donc au nœud.
b)
Calcule $I_4$ .
Loi des nœuds : $I_1+I_4=I_2+I_3 \Rightarrow I_4=I_2+I_3-I_1=5+4-3=6\,\mathrm{A}$ .

Exercice 11un nœud, puis une branche en série

Le courant total $I=1.2\,\mathrm{A}$ débité par le générateur se partage en deux branches parallèles. La branche du bas ne contient qu'une lampe et porte $I_{\text{bas}}=0.5\,\mathrm{A}$ ; la branche du haut contient deux lampes $L_1$ et $L_2$ en série.

a)
Quelle intensité $I_{\text{haut}}$ traverse la branche du haut ?
Au nœud $A$ , le courant total se partage : $I=I_{\text{haut}}+I_{\text{bas}}$ .
$I_{\text{haut}}=I-I_{\text{bas}}=1{,}2-0{,}5=0.7\,\mathrm{A}$ .
b)
Quelle intensité traverse $L_1$ ? et $L_2$ ? Justifie.
$L_1$ et $L_2$ sont en série (aucun nœud entre elles) : la même intensité les traverse, soit $0.7\,\mathrm{A}$ dans chacune.

Exercice 12charge et intensité moyenne à partir d'un graphe

Le graphe ci-dessous donne l'intensité $i(t)$ dans un conducteur : elle vaut $4\,\mathrm{A}$ pendant les $3\,\mathrm{s}$ premières, puis retombe à $0\,\mathrm{A}$ pendant $2\,\mathrm{s}$ .

a)
Quelle charge totale a traversé une section pendant les $5\,\mathrm{s}$ ?
La charge est l'aire sous la courbe $i(t)$ : $Q=4\times3+0\times2=12\,\mathrm{C}$ .
b)
Quelle est l'intensité moyenne du courant sur ces $5\,\mathrm{s}$ ?
$\displaystyle i_{\text{moy}}=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{12}{5}=2.4\,\mathrm{A}$ .

Exercice 13compter et orienter les électrons

Pendant une durée $t=2\,\mathrm{s}$ , $n=3\times10^{19}$ électrons traversent une section d'un fil, en se déplaçant de la droite vers la gauche. On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Quelle charge (en valeur absolue) a traversé la section ?
$Q=n\,e=3\times10^{19}\times1{,}6\times10^{-19}=4.8\,\mathrm{C}$ .
b)
Quelle est l'intensité $I$ du courant ?
$\displaystyle I=\frac{Q}{t}=\frac{4{,}8}{2}=2.4\,\mathrm{A}$ .
c)
Dans quel sens est orienté le courant conventionnel ?
Le courant conventionnel est de sens opposé au déplacement des électrons : ceux-ci vont vers la gauche, donc le courant est orienté vers la droite.

Exercice 14deux courants qui fusionnent

Deux fils portant $I_1=0.3\,\mathrm{A}$ et $I_2=0.5\,\mathrm{A}$ se rejoignent en un nœud, d'où repart un unique fil parcouru par l'intensité $I$ .

a)
Quelle intensité $I$ circule dans le fil commun ?
Loi des nœuds : $I=I_1+I_2=0{,}3+0{,}5=0.8\,\mathrm{A}$ .
b)
Quelle charge $Q$ y transite pendant $t=1\,\mathrm{min}$ ?
$t=1\,\mathrm{min}=60\,\mathrm{s}$ , donc $Q=I\,t=0{,}8\times60=48\,\mathrm{C}$ .

Exercice 15un courant alternatif

Le courant du secteur est alternatif : son intensité instantanée s'écrit $i(t)=I_{\max}\sin(\omega t)$ , avec $I_{\max}=5\,\mathrm{A}$ et $\omega=100\pi\ \mathrm{radian}/\mathrm{s}$ .

a)
Quelle est la valeur maximale de l'intensité ?
L'amplitude du sinus est $I_{\max}=5\,\mathrm{A}$ : c'est la valeur maximale de l'intensité.
b)
Que vaut $i$ à l'instant $t=0$ ? Le courant garde-t-il toujours le même sens ?
$i(0)=I_{\max}\sin(0)=0\,\mathrm{A}$ . Le courant ne garde pas le même sens : le sinus change de signe, donc le sens du courant s'inverse périodiquement (courant alternatif).
c)
Sans calcul, explique pourquoi l'intensité moyenne sur une période est nulle.
Sur une période, le sinus prend des valeurs positives et négatives symétriques : les charges avancent, puis reculent d'autant. La charge nette transportée est nulle, donc l'intensité moyenne est nulle.

Difficile14 exercices

Exercice 1trois lampes : vrai ou faux ?

Trois lampes identiques (assimilées à des résistances égales) sont montées ainsi : $L_1$ est en série avec le groupe formé de $L_2$ et $L_3$ en parallèle. Le générateur débite un courant total $I$ .

Réponds par vrai ou faux, en justifiant :

a)
l'intensité dans $L_2$ est égale à celle dans $L_3$ ;
Les trois lampes sont identiques. $L_1$ porte tout le courant du circuit ; il se partage ensuite entre $L_2$ et $L_3$ (loi des nœuds au point $A$ ) : $I=I_2+I_3$ .
Vrai. $L_2$ et $L_3$ sont en parallèle (même tension) et identiques (même résistance), donc parcourues par la même intensité : $I_2=I_3$ .
b)
l'intensité qui traverse $L_1$ est le double de celle qui traverse $L_2$ ;
Vrai. Comme $I_2=I_3$ , la loi des nœuds donne $I=I_2+I_3=2I_2$ : $L_1$ , traversée par $I$ , porte bien le double de $I_2$ .
c)
un ampèremètre placé dans la branche de $L_1$ et un ampèremètre placé juste à la sortie du générateur indiquent des valeurs différentes ;
Faux. $L_1$ est en série avec le générateur (aucun nœud entre eux) : les deux ampèremètres mesurent la même intensité $I$ .
d)
si $I=0.6\,\mathrm{A}$ , alors $L_2$ et $L_3$ sont traversées chacune par $0.3\,\mathrm{A}$ .
Vrai. $I=I_2+I_3=2I_2$ , donc $I_2=I_3=\dfrac{I}{2}=\dfrac{0{,}6}{2}=0.3\,\mathrm{A}$ .

Exercice 2deux nœuds en cascade

Dans la portion de circuit ci-dessous, un courant $I=8\,\mathrm{A}$ arrive au nœud $N_1$ . De $N_1$ partent $I_a$ (vers $N_2$ ) et $I_b=3\,\mathrm{A}$ . Au nœud $N_2$ arrivent $I_a$ et un courant $I_c=2\,\mathrm{A}$ ; il en part $I_d$ .

Calcule $I_a$ puis $I_d$ .

On applique la loi des nœuds successivement.

Au nœud $N_1$ : $I=I_a+I_b \Rightarrow I_a=I-I_b=8-3=5\,\mathrm{A}$ .
Au nœud $N_2$ : $I_a+I_c=I_d \Rightarrow I_d=5+2=7\,\mathrm{A}$ .

Exercice 3comptage d'électrons — style concours

Un fil conducteur de section $4\,\mathrm{mm}^{2}$ est parcouru par un courant $I=3.2\,\mathrm{A}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ et $N_A=6{,}02\times10^{23}$ . Après avoir calculé le nombre $n$ d'électrons traversant une section chaque seconde, indique si chacune de ces affirmations est vraie ou fausse :

a)
$n$ est supérieur à une mole d'électrons ;
En $t=1\,\mathrm{s}$ : $Q=I\,t=3.2\,\mathrm{C}$ , d'où
$n=\frac{Q}{e}=\frac{3{,}2}{1{,}6\times10^{-19}}=2{,}0\times10^{19}\ \text{électrons/s}.$
(La section de $4\,\mathrm{mm}^{2}$ est une donnée inutile : le comptage ne dépend que de $I$ et de $t$ .)
Faux : une mole vaut $6{,}02\times10^{23}\gg2{,}0\times10^{19}$ (on est $\sim3\times10^4$ fois en dessous d'une mole).
b)
$n$ est inférieur à $10^{13}$ électrons ;
Faux : $2{,}0\times10^{19}>10^{13}$ .
c)
$n$ est supérieur à $1{,}8\times10^{13}$ électrons.
Vrai : $2{,}0\times10^{19}>1{,}8\times10^{13}$ .

Exercice 4l'éclair : un courant intense et bref

Un éclair transporte une charge $Q=15\,\mathrm{C}$ en une durée $t=2\,\mathrm{ms}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Calcule l'intensité moyenne du courant de l'éclair.
$t=2\,\mathrm{ms}=2\times10^{-3}\,\mathrm{s}$ , donc
$I=\frac{Q}{t}=\frac{15}{2\times10^{-3}}=7500\,\mathrm{A}.$
b)
Combien d'électrons cette charge représente-t-elle ?
$n=\dfrac{Q}{e}=\dfrac{15}{1{,}6\times10^{-19}}=9{,}4\times10^{19}$ électrons.
c)
Compare cette intensité à celle d'un circuit domestique ( $\approx10\,\mathrm{A}$ ).
$\dfrac{7500}{10}=750$ : l'éclair débite une intensité environ 750 fois plus grande que celle d'un circuit domestique — mais pendant un temps très bref.

Exercice 5réseau en échelle : trois branches le long d'un rail

Un courant $I=10\,\mathrm{A}$ entre au nœud $N_1$ . Le long du rail supérieur, il alimente successivement trois branches descendantes (portant $I_1$ , $I_2$ , $I_3$ ) qui se rejoignent sur le rail inférieur pour revenir au générateur. On mesure $I_1=3\,\mathrm{A}$ (au nœud $N_1$ ) et $I_2=2\,\mathrm{A}$ (au nœud $N_2$ ). On note $I_a$ le courant circulant de $N_1$ vers $N_2$ et $I_b$ celui de $N_2$ vers $N_3$ .

a)
Calcule $I_a$ (loi des nœuds en $N_1$ ).
On applique la loi des nœuds de proche en proche le long du rail.
En $N_1$ : le courant $I$ entre, $I_1$ descend et $I_a$ continue : $I=I_1+I_a \Rightarrow I_a=I-I_1=10-3=7\,\mathrm{A}$ .
b)
Calcule $I_b$ (loi des nœuds en $N_2$ ).
En $N_2$ : $I_a$ entre, $I_2$ descend et $I_b$ continue : $I_a=I_2+I_b \Rightarrow I_b=I_a-I_2=7-2=5\,\mathrm{A}$ .
c)
Déduis-en $I_3$ (loi des nœuds en $N_3$ ).
En $N_3$ : $I_b$ entre et n'a plus qu'une seule sortie, $I_3$ : $I_3=I_b=5\,\mathrm{A}$ .
d)
Vérifie ta réponse en contrôlant que $I_1+I_2+I_3=I$ .
Vérification : $I_1+I_2+I_3=3+2+5=10\,\mathrm{A}=I$ .

Exercice 6autonomie d'une batterie alimentant plusieurs appareils

Une batterie de capacité $Q_{\text{bat}}=60\,\mathrm{A}\mathrm{h}$ alimente, en parallèle, trois appareils consommant respectivement $I_1=2\,\mathrm{A}$ , $I_2=1.5\,\mathrm{A}$ et $I_3=0.5\,\mathrm{A}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Quel courant total $I$ la batterie débite-t-elle ?
Les trois appareils sont en parallèle : la batterie débite la somme des courants (loi des nœuds) $I=I_1+I_2+I_3=2+1{,}5+0{,}5=4\,\mathrm{A}$ .
b)
Pendant combien d'heures peut-elle alimenter l'ensemble ?
La capacité est une charge : $\displaystyle t=\frac{Q_{\text{bat}}}{I}=\frac{60}{4}=15\,\mathrm{h}$ .
c)
Quelle charge totale (en coulombs) aura-t-elle fait circuler ?
$Q_{\text{bat}}=60\,\mathrm{A}\mathrm{h}=60\times3600=216000\,\mathrm{C}=2{,}16\times10^{5}\,\mathrm{C}$ .
d)
À combien d'électrons cette charge correspond-elle ?
$\displaystyle n=\frac{Q_{\text{bat}}}{e}=\frac{2{,}16\times10^{5}}{1{,}6\times10^{-19}}=1{,}35\times10^{24}$ électrons.

Exercice 7charge sous une impulsion triangulaire

Lors d'une soudure par point, le courant croît linéairement de $0\,\mathrm{A}$ à $I_{\max}=40\,\mathrm{A}$ en $2\,\mathrm{ms}$ , puis décroît linéairement jusqu'à $0\,\mathrm{A}$ en $2\,\mathrm{ms}$ de plus (impulsion triangulaire de durée totale $4\,\mathrm{ms}$ ). On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Quelle charge totale $Q$ a traversé la soudure ? (l'aire du triangle)
La charge est l'aire du triangle : $\displaystyle Q=\tfrac{1}{2}\times\text{base}\times\text{hauteur} =\tfrac{1}{2}\times(4\times10^{-3})\times40=0.08\,\mathrm{C}$ .
b)
Quelle est l'intensité moyenne de l'impulsion ?
$\displaystyle i_{\text{moy}}=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{0{,}08}{4\times10^{-3}}=20\,\mathrm{A}$ (soit bien $I_{\max}/2$ ).
c)
Combien d'électrons ont circulé pendant l'impulsion ?
$\displaystyle n=\frac{Q}{e}=\frac{0{,}08}{1{,}6\times10^{-19}}=5\times10^{17}$ électrons.

Exercice 8intensité instantanée à partir d'un polynôme

La charge traversant une section d'un conducteur vaut $q(t)=2\,t^{2}+3\,t$ (avec $q$ en $\mathrm{C}$ et $t$ en $\mathrm{s}$ ).

a)
Établis l'expression de l'intensité instantanée $i(t)$ .
$\displaystyle i(t)=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\bigl(2t^{2}+3t\bigr)=4\,t+3$ (en $\mathrm{A}$ ).
b)
À quel instant l'intensité vaut-elle $23\,\mathrm{A}$ ?
$4t+3=23 \Rightarrow 4t=20 \Rightarrow t=5\,\mathrm{s}$ .
c)
Quelle charge a traversé la section entre $t=1\,\mathrm{s}$ et $t=3\,\mathrm{s}$ ?
$\Delta Q=q(3)-q(1)=(2\cdot9+3\cdot3)-(2\cdot1+3\cdot1)=27-5=22\,\mathrm{C}$ .
d)
Quelle est l'intensité moyenne sur cet intervalle ? Compare-la à $i(2)$ et explique.
$\displaystyle i_{\text{moy}}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\frac{22}{2}=11\,\mathrm{A}$ , et $i(2)=4\times2+3=11\,\mathrm{A}$ . Les deux coïncident : $i(t)$ est une fonction affine, et la moyenne d'une fonction affine sur un intervalle est égale à sa valeur au milieu ( $t=2$ ).

Exercice 9grille d'ampèremètres : vrai ou faux ?

Un générateur alimente, entre les nœuds $A$ et $B$ , trois branches en parallèle munies chacune d'un ampèremètre ( $A_1$ , $A_2$ , $A_3$ ). Un ampèremètre principal $A_0$ , en série avec le générateur, mesure le courant total. On relève $A_1=1.2\,\mathrm{A}$ , $A_2=0.8\,\mathrm{A}$ et $A_0=2.5\,\mathrm{A}$ .

Réponds par vrai ou faux, en justifiant :

a)
l'ampèremètre $A_3$ indique $0.5\,\mathrm{A}$ ;
Les trois branches sont en parallèle entre $A$ et $B$ ; l'ampèremètre principal mesure le courant total $A_0=A_1+A_2+A_3$ .
Vrai. $A_3=A_0-A_1-A_2=2{,}5-1{,}2-0{,}8=0.5\,\mathrm{A}$ .
b)
un ampèremètre placé juste après le nœud $B$ (sur le fil de retour) indiquerait la même valeur que $A_0$ ;
Vrai. Tout le courant se recombine en $B$ ; le fil de retour est en série avec le générateur (aucun nœud), il y circule donc le courant total $2.5\,\mathrm{A}$ , comme en $A_0$ .
c)
si l'on coupe la branche du milieu, $A_0$ indiquera $1.7\,\mathrm{A}$ (en supposant les deux autres courants inchangés) ;
Vrai (avec l'hypothèse donnée). En retirant la branche du milieu, on supprime ses $0.8\,\mathrm{A}$ ; si les deux autres courants sont inchangés, $A_0=A_1+A_3=1{,}2+0{,}5=1.7\,\mathrm{A}$ .
d)
les trois branches étant en parallèle, l'intensité est nécessairement la même dans chacune.
Faux. En parallèle, ce sont les tensions qui sont égales, pas les intensités : ici $A_1=1.2\,\mathrm{A}\neq A_2=0.8\,\mathrm{A}$ . L'intensité ne serait identique dans chaque branche que si celles-ci étaient identiques.

Exercice 10une décharge de défibrillateur

Un défibrillateur délivre au patient une brève impulsion de courant transportant une charge $Q=0.15\,\mathrm{C}$ en une durée $\Delta t=3\,\mathrm{ms}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Calcule l'intensité moyenne du courant délivré.
$\displaystyle i_{\text{moy}}=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{0{,}15}{3\times10^{-3}}=50\,\mathrm{A}$ .
b)
L'impulsion réelle est décroissante, avec une valeur de crête $i_0=100\,\mathrm{A}$ . L'intensité moyenne est-elle inférieure ou supérieure à la crête ? Est-ce cohérent ?
L'intensité moyenne ( $50\,\mathrm{A}$ ) est inférieure à la crête ( $100\,\mathrm{A}$ ), ce qui est cohérent : la moyenne d'un courant qui décroît depuis sa valeur de crête est forcément plus petite que cette crête.
c)
Combien d'électrons traversent le patient pendant l'impulsion ?
$\displaystyle n=\frac{Q}{e}=\frac{0{,}15}{1{,}6\times10^{-19}}=9{,}4\times10^{17}$ électrons.
d)
Par quel facteur cette intensité moyenne dépasse-t-elle le seuil dangereux d'un courant domestique ( $\approx0.1\,\mathrm{A}$ ) ?
$\displaystyle \frac{i_{\text{moy}}}{0{,}1}=\frac{50}{0{,}1}=500$ : l'intensité moyenne est environ 500 fois plus grande, mais pendant un temps très bref.

Exercice 11loi des nœuds : un système à trois branches

Un courant $I=12\,\mathrm{A}$ arrive à un nœud et se partage en trois branches d'intensités $I_1$ , $I_2$ et $I_3$ . Deux mesures indiquent en outre $I_2=I_1+1\,\mathrm{A}$ et $I_3=2\,I_1$ .

a)
Écris la loi des nœuds au point de partage.
Loi des nœuds : $I=I_1+I_2+I_3$ , soit $I_1+I_2+I_3=12\,\mathrm{A}$ .
b)
Exprime tout en fonction de $I_1$ et résous l'équation.
En reportant $I_2=I_1+1$ et $I_3=2I_1$ :
$I_1+(I_1+1)+2I_1=12 \;\Longrightarrow\; 4I_1+1=12 \;\Longrightarrow\; 4I_1=11 \;\Longrightarrow\; I_1=2.75\,\mathrm{A}.$
c)
Donne les valeurs de $I_1$ , $I_2$ et $I_3$ , puis vérifie leur somme.
$I_2=I_1+1=3.75\,\mathrm{A}$ et $I_3=2I_1=5.5\,\mathrm{A}$ . Vérification : $2{,}75+3{,}75+5{,}5=12\,\mathrm{A}=I$ .

Exercice 12porteurs de charge dans un électrolyte

Dans une solution ionique (comme les liquides biologiques), le courant est dû au déplacement simultané d'ions positifs et d'ions négatifs, qui se dirigent en sens opposés. À travers une section, pendant $\Delta t=4\,\mathrm{s}$ : $n_+=2\times10^{19}$ ions positifs (charge $+e$ ) se déplacent vers la droite, et $n_-=3\times10^{19}$ ions négatifs (charge $-e$ ) se déplacent vers la gauche. On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Un ion négatif allant vers la gauche produit-il un courant conventionnel vers la droite ou vers la gauche ? Raisonne sur le transport de la charge.
Un ion négatif qui va vers la gauche transporte de la charge négative vers la gauche, ce qui équivaut à transporter de la charge positive vers la droite : il produit donc un courant conventionnel vers la droite.
b)
Les deux mouvements contribuent-ils au courant dans le même sens ?
Oui. Les ions positifs vont vers la droite (courant vers la droite) et les ions négatifs vers la gauche (courant aussi vers la droite) : les deux contributions s'ajoutent.
c)
Calcule l'intensité totale du courant à travers la section.
La charge totale transportée (en valeur absolue) est $Q=(n_++n_-)\,e=(2\times10^{19}+3\times10^{19})\times1{,}6\times10^{-19} =5\times10^{19}\times1{,}6\times10^{-19}=8\,\mathrm{C}$ , d'où $\displaystyle I=\frac{Q}{\Delta t}=\frac{8}{4}=2\,\mathrm{A}$ .

Exercice 13série et parallèle : charges comparées

Le générateur débite un courant total $I=2\,\mathrm{A}$ , qui se partage en deux branches parallèles entre $A$ et $B$ . La branche du haut ne contient qu'une lampe $L$ ; la branche du bas contient deux lampes $L_1$ et $L_2$ en série et porte $I_{\text{bas}}=0.8\,\mathrm{A}$ . On observe le circuit pendant $t=5\,\mathrm{min}$ . On donne $e=1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Quelle intensité $I_{\text{haut}}$ traverse la lampe $L$ ?
Au nœud $A$ le courant total se partage ( $I=I_{\text{haut}}+I_{\text{bas}}$ ) ; on note $t=5\,\mathrm{min}=300\,\mathrm{s}$ .
$I_{\text{haut}}=I-I_{\text{bas}}=2-0{,}8=1.2\,\mathrm{A}$ .
b)
Quelle charge traverse $L$ pendant les $5\,\mathrm{min}$ ?
$Q_{\text{haut}}=I_{\text{haut}}\,t=1{,}2\times300=360\,\mathrm{C}$ .
c)
Quelle charge traverse chacune des deux lampes en série $L_1$ et $L_2$ ? Cette charge est-elle la même pour les deux ? Justifie.
$L_1$ et $L_2$ sont en série : la même intensité $I_{\text{bas}}=0.8\,\mathrm{A}$ les traverse. Chacune reçoit donc la même charge $Q_{\text{bas}}=I_{\text{bas}}\,t=0{,}8\times300=240\,\mathrm{C}$ (identique pour les deux).
d)
Combien d'électrons traversent la lampe $L$ pendant cette durée ?
$\displaystyle n=\frac{Q_{\text{haut}}}{e}=\frac{360}{1{,}6\times10^{-19}}=2{,}25\times10^{21}$ électrons.

Exercice 14nœud avec des courants variables

Deux courants variables arrivent à un nœud : $i_1(t)=2\,t$ et $i_2(t)=t^{2}$ (en $\mathrm{A}$ , avec $t$ en $\mathrm{s}$ ). Il en repart un unique courant $i(t)$ .

a)
Exprime $i(t)$ (la loi des nœuds est valable à chaque instant).
La loi des nœuds s'applique à chaque instant : $i(t)=i_1(t)+i_2(t)=2\,t+t^{2}$ .
b)
À quel instant $i(t)$ atteint-il $8\,\mathrm{A}$ ?
$i(t)=8 \Rightarrow t^{2}+2t-8=0 \Rightarrow (t-2)(t+4)=0$ . La seule solution positive est $t=2\,\mathrm{s}$ .
c)
Quelle charge totale a quitté le nœud entre $t=0$ et $t=3\,\mathrm{s}$ ? On rappelle que la charge est l'aire sous $i(t)$ , soit $\displaystyle\int_{0}^{3} i(t)\,\mathrm{d}t$ .
$\displaystyle Q=\int_{0}^{3}\bigl(2t+t^{2}\bigr)\,\mathrm{d}t=\left[t^{2}+\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{3} =9+9=18\,\mathrm{C}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique