Tension, loi des mailles et loi d'Ohm

Les trois niveaux s'enchaînent. Clique sur « Corrigé » pour révéler la solution d'une seule question.

Facile15 exercices

Exercice 1loi d'Ohm : trouver la tension

Une résistance $R=20\,\mathrm{\Omega }$ est traversée par un courant $I=0.3\,\mathrm{A}$ . Calcule la tension $U$ à ses bornes.

Loi d'Ohm $U=R\,I$ :

U=R\,I=20\times0{,}3=6\,\mathrm{V}.

Exercice 2loi d'Ohm : trouver l'intensité

On applique une tension $U=12\,\mathrm{V}$ aux bornes d'une résistance $R=40\,\mathrm{\Omega }$ . Quelle intensité $I$ la traverse ?

$I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{12}{40}=0.3\,\mathrm{A}$ .

Exercice 3loi d'Ohm : déduire la résistance

Un dipôle ohmique soumis à une tension $U=9\,\mathrm{V}$ est parcouru par un courant $I=0.5\,\mathrm{A}$ . Quelle est sa résistance $R$ ?

$R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{9}{0{,}5}=18\,\mathrm{\Omega }$ .

Exercice 4brancher un voltmètre

On veut mesurer la tension aux bornes de la lampe $L$ du circuit ci-dessous. Faut-il brancher le voltmètre en série ou en parallèle avec $L$ ? Et un ampèremètre, comment se branche-t-il ?

Le voltmètre se branche en parallèle (en dérivation) aux bornes de $L$ : il mesure la différence de potentiel entre les deux bornes. Un ampèremètre, lui, se branche en série (le courant doit le traverser) pour mesurer l'intensité.

Exercice 5additivité des tensions en série

Deux résistances $R_1$ et $R_2$ sont en série. On mesure $U_1=4\,\mathrm{V}$ aux bornes de $R_1$ et $U_2=6\,\mathrm{V}$ aux bornes de $R_2$ . Quelle est la tension $U_{AB}$ aux bornes de l'ensemble ?

En série, les tensions s'ajoutent (loi des mailles) :

U_{AB}=U_1+U_2=4+6=10\,\mathrm{V}.

Exercice 6loi d'Ohm avec des sous-multiples

Une résistance $R=2\,\mathrm{k\Omega }$ est parcourue par un courant $I=5\,\mathrm{mA}$ . Calcule la tension $U$ à ses bornes (pense à convertir en unités de base).

Conversions : $R=2\,\mathrm{k\Omega }=2000\,\mathrm{\Omega }$ et $I=5\,\mathrm{mA}=0.005\,\mathrm{A}$ .

U=R\,I=2000\times0{,}005=10\,\mathrm{V}.

Exercice 7différence de potentiel

Dans un circuit, le potentiel du point $A$ vaut $V_A=12\,\mathrm{V}$ et celui du point $B$ vaut $V_B=4\,\mathrm{V}$ .

a)
Calcule la tension $U_{AB}=V_A-V_B$ .
$U_{AB}=V_A-V_B=12-4=8\,\mathrm{V}$ .
b)
Que vaut la tension $U_{BA}$ mesurée en sens inverse ?
$U_{BA}=V_B-V_A=-U_{AB}=-8\,\mathrm{V}$ : inverser les bornes change le signe de la tension.

Exercice 8loi d'Ohm : intensité en milliampères

On applique une tension $U=6\,\mathrm{V}$ aux bornes d'une résistance $R=300\,\mathrm{\Omega }$ . Quelle est l'intensité $I$ du courant, exprimée en milliampères ?

I=\frac{U}{R}=\frac{6}{300}=0.02\,\mathrm{A}=20\,\mathrm{mA}.

Exercice 9retrouver une tension dans un montage série

Trois résistances sont branchées en série aux bornes d'un générateur qui délivre $U=12\,\mathrm{V}$ . On mesure $U_1=3\,\mathrm{V}$ et $U_2=4\,\mathrm{V}$ . Détermine la tension $U_3$ aux bornes de la troisième.

En série, les tensions s'ajoutent (loi des mailles) : $U=U_1+U_2+U_3$ . Donc

U_3=U-U_1-U_2=12-3-4=5\,\mathrm{V}.

Exercice 10tensions égales en dérivation

Deux lampes $L_1$ et $L_2$ sont branchées en parallèle (en dérivation) aux bornes d'un générateur. Un voltmètre placé aux bornes de $L_1$ indique $6\,\mathrm{V}$ .

a)
Quelle est la tension aux bornes de $L_2$ ?
En parallèle, toutes les branches ont la même tension : $U_{L_2}=U_{L_1}=6\,\mathrm{V}$ .
b)
Quelle est la tension délivrée par le générateur ?
Les deux lampes sont directement aux bornes du générateur : il délivre lui aussi $6\,\mathrm{V}$ .

Exercice 11résistance à partir d'une caractéristique

La caractéristique $U=f(I)$ d'un conducteur ohmique est la droite ci-dessous ; elle passe par l'origine et par le point $(0.5\,\mathrm{A},\ 10\,\mathrm{V})$ . Détermine sa résistance $R$ .

La pente de la caractéristique d'un dipôle ohmique est sa résistance :

R=\frac{U}{I}=\frac{10}{0{,}5}=20\,\mathrm{\Omega }.

Exercice 12ce dipôle est-il ohmique ?

On relève deux points de la caractéristique d'un dipôle : $(1\,\mathrm{A},\ 2\,\mathrm{V})$ et $(3\,\mathrm{A},\ 6\,\mathrm{V})$ .

a)
Calcule le rapport $U/I$ en chacun des deux points.
$\dfrac{2}{1}=2\,\mathrm{\Omega }$ et $\dfrac{6}{3}=2\,\mathrm{\Omega }$ .
b)
Ce dipôle est-il ohmique ? Si oui, donne sa résistance.
Le rapport $U/I$ est constant, donc le dipôle est ohmique, de résistance $R=2\,\mathrm{\Omega }$ .

Exercice 13déduire une résistance d'une mesure

Dans le montage ci-dessous, un ampèremètre indique $I=0.15\,\mathrm{A}$ et un voltmètre placé aux bornes de la résistance indique $U=4.5\,\mathrm{V}$ . Quelle est la valeur de $R$ ?

R=\frac{U}{I}=\frac{4{,}5}{0{,}15}=30\,\mathrm{\Omega }.

Exercice 14toute la tension pour une seule résistance

Un générateur qui délivre $U=9\,\mathrm{V}$ alimente une unique résistance $R$ dans un circuit fermé. En appliquant la loi des mailles, quelle est la tension $U_R$ aux bornes de $R$ ?

La maille ne contient que le générateur et $R$ . La loi des mailles $\sum U=0$ donne $U-U_R=0$ , soit

U_R=U=9\,\mathrm{V}.

Toute la tension du générateur se retrouve aux bornes de l'unique résistance.

Exercice 15la tension aux bornes d'un fil idéal

Un fil de connexion est supposé parfait : sa résistance est négligeable ( $R\approx0\,\mathrm{\Omega }$ ). Il est parcouru par un courant $I=2\,\mathrm{A}$ . Quelle est la tension $U$ à ses bornes ?

Loi d'Ohm : $U=R\,I=0\times2=0\,\mathrm{V}$ . Un fil idéal (résistance nulle) ne « consomme » aucune tension : deux points reliés par un tel fil sont au même potentiel.

Moyen15 exercices

Exercice 1loi des mailles : tension manquante

Dans le circuit fermé ci-dessous, le générateur impose $U=12\,\mathrm{V}$ . On mesure $U_1=5\,\mathrm{V}$ aux bornes de $R_1$ . Détermine la tension $U_2$ aux bornes de $R_2$ .

Le générateur et les deux résistances forment une maille. En série, les tensions des récepteurs s'ajoutent et égalent celle du générateur : $U=U_1+U_2$ . Donc

U_2=U-U_1=12-5=7\,\mathrm{V}.

Exercice 2lire une caractéristique

La caractéristique $U=f(I)$ d'un dipôle est tracée ci-dessous ; c'est une droite qui passe par l'origine et par le point $(0.2\,\mathrm{A},\ 4\,\mathrm{V})$ .

a)
Ce dipôle est-il ohmique ? Justifie.
Oui, il est ohmique : la caractéristique $U=f(I)$ est une droite passant par l'origine, donc $U/I$ est constant.
b)
Détermine sa résistance $R$ .
La pente vaut la résistance :
$R=\frac{\Delta U}{\Delta I}=\frac{4}{0{,}2}=20\,\mathrm{\Omega }.$

Exercice 3tensions dans un circuit série

Un courant $I=0.4\,\mathrm{A}$ traverse l'association série de $R_1=10\,\mathrm{\Omega }$ et $R_2=15\,\mathrm{\Omega }$ .

a)
Calcule les tensions $U_1$ et $U_2$ aux bornes de chaque résistance.
$U_1=R_1 I=10\times0{,}4=4\,\mathrm{V}$ ; $U_2=R_2 I=15\times0{,}4=6\,\mathrm{V}$ .
b)
En déduire la tension totale $U_{AB}$ , et vérifie qu'elle vaut $R_{\text{eq}}I$ avec $R_{\text{eq}}=R_1+R_2$ .
$U_{AB}=U_1+U_2=4+6=10\,\mathrm{V}$ . Or $R_{\text{eq}}=R_1+R_2=25\,\mathrm{\Omega }$ et $R_{\text{eq}}I=25\times0{,}4=10\,\mathrm{V}$ : cohérent .

Exercice 4du voltmètre à l'intensité

Un voltmètre branché aux bornes d'une résistance $R=30\,\mathrm{\Omega }$ indique $6\,\mathrm{V}$ .

a)
Quelle intensité traverse la résistance ?
$I=\dfrac{U}{R}=\dfrac{6}{30}=0.2\,\mathrm{A}$ .
b)
Que devrait indiquer un ampèremètre placé en série avec cette résistance ?
L'ampèremètre en série lirait la même intensité, soit $0.2\,\mathrm{A}$ (l'intensité est la même tout le long d'une branche série).

Exercice 5qui prend la plus grande tension ?

Dans une maille unique, un générateur alimente deux résistances $R_1$ et $R_2$ montées en série, avec $R_1<R_2$ . Le même courant $I$ les traverse. Compare les tensions $U_1$ et $U_2$ à leurs bornes, et justifie par la loi d'Ohm.

En série, l'intensité $I$ est la même dans les deux résistances. La loi d'Ohm donne $U_1=R_1 I$ et $U_2=R_2 I$ : à même $I$ , la tension est proportionnelle à la résistance. Comme $R_1<R_2$ :

U_1<U_2.

C'est donc la plus grande résistance qui prend la plus grande tension.

Exercice 6pont diviseur de tension

Un générateur idéal de tension $E=12\,\mathrm{V}$ alimente deux résistances en série, $R_1=2\,\mathrm{k\Omega }$ et $R_2=4\,\mathrm{k\Omega }$ .

a)
Calcule l'intensité $I$ du courant dans la maille.
$R_1+R_2=6\,\mathrm{k\Omega }=6000\,\mathrm{\Omega }$ , donc $I=\dfrac{E}{R_1+R_2}=\dfrac{12}{6000}=2\times 10^{-3}\,\mathrm{A}=2\,\mathrm{mA}$ .
b)
En déduire les tensions $U_1$ et $U_2$ aux bornes de $R_1$ et $R_2$ .
$U_1=R_1 I=2000\times0{,}002=4\,\mathrm{V}$ ; $U_2=R_2 I=4000\times0{,}002=8\,\mathrm{V}$ .
c)
Vérifie que $U_1+U_2=E$ .
$U_1+U_2=4+8=12\,\mathrm{V}=E$ . La plus grande résistance prend la plus grande tension.

Exercice 7loi des mailles : écrire puis résoudre

Dans la maille ci-dessous, on a choisi le sens de parcours indiqué. Le générateur impose $E=15\,\mathrm{V}$ et on mesure $U_1=9\,\mathrm{V}$ aux bornes de $R_1$ .

a)
Écris la loi des mailles $\sum U=0$ en respectant les signes.
En suivant le parcours, la tension $E$ du générateur est comptée $+$ et les tensions $U_1$ , $U_2$ (fléchées en sens contraire du parcours) sont comptées $-$ :
$+E-U_1-U_2=0.$
b)
En déduire la tension $U_2$ aux bornes de $R_2$ .
$U_2=E-U_1=15-9=6\,\mathrm{V}.$

Exercice 8comparer deux résistances sur un graphique

On trace les caractéristiques $U=f(I)$ de deux conducteurs ohmiques (A) et (B), toutes deux des droites passant par l'origine.

a)
Classe les résistances $R_A$ et $R_B$ par ordre croissant. Justifie.
La résistance est la pente de la caractéristique. (A) est plus pentue que (B), donc $R_B<R_A$ .
b)
Calcule $R_A$ et $R_B$ (lis les pentes).
$R_A=\dfrac{10}{1}=10\,\mathrm{\Omega }$ ; $R_B=\dfrac{4}{1}=4\,\mathrm{\Omega }$ .
c)
Sous une même tension $U=4\,\mathrm{V}$ , lequel des deux conducteurs est traversé par le courant le plus intense ?
À tension imposée, $I=U/R$ : la plus petite résistance laisse passer le plus grand courant. $I_A=\dfrac{4}{10}=0.4\,\mathrm{A}$ , $I_B=\dfrac{4}{4}=1\,\mathrm{A}$ : c'est (B).

Exercice 9potentiels le long d'un circuit

Dans le circuit ci-dessous, on choisit le point $B$ comme masse : $V_B=0\,\mathrm{V}$ . Le générateur impose une tension $E=12\,\mathrm{V}$ , et une résistance $R$ reliant $A$ à $B$ est traversée par $I=0.4\,\mathrm{A}$ .

a)
Quel est le potentiel $V_A$ du point $A$ ?
Le générateur maintient entre ses bornes $E=V_A-V_B$ . Avec $V_B=0$ : $V_A=E=12\,\mathrm{V}$ .
b)
Quelle est la tension $U_R=V_A-V_B$ aux bornes de $R$ , et quelle est la valeur de $R$ ?
$U_R=V_A-V_B=12-0=12\,\mathrm{V}$ (toute la tension est aux bornes de $R$ ), et $R=\dfrac{U_R}{I}=\dfrac{12}{0{,}4}=30\,\mathrm{\Omega }$ .

Exercice 10une résistance court-circuitée

Dans le circuit ci-dessous, un fil de résistance négligeable (un « court-circuit ») a été branché directement aux bornes de la résistance $R_2$ .

a)
Quelle est la tension $U_2$ aux bornes de $R_2$ ? Justifie avec la loi d'Ohm.
Le fil idéal impose la même tension à ses bornes, soit $0\,\mathrm{V}$ (loi d'Ohm avec $R=0$ ). Comme il est en parallèle sur $R_2$ , on a $U_2=0\,\mathrm{V}$ : la résistance $R_2$ est « court-circuitée ».
b)
Le générateur imposant $E=10\,\mathrm{V}$ , quelle tension se retrouve aux bornes de $R_1$ ?
Loi des mailles : $E=U_1+U_2$ , donc $U_1=E-U_2=10-0=10\,\mathrm{V}$ . Toute la tension se reporte sur $R_1$ .

Exercice 11même tension, courants différents

Deux résistances $R_1=20\,\mathrm{\Omega }$ et $R_2=60\,\mathrm{\Omega }$ sont montées en parallèle aux bornes d'un générateur. La branche de $R_1$ est parcourue par $I_1=0.30\,\mathrm{A}$ .

a)
Quelle est la tension $U$ commune aux deux branches ?
En parallèle, la tension est la même sur chaque branche : $U=R_1 I_1=20\times0{,}30=6\,\mathrm{V}$ .
b)
En déduire l'intensité $I_2$ dans la branche de $R_2$ .
$I_2=\dfrac{U}{R_2}=\dfrac{6}{60}=0.1\,\mathrm{A}$ . À même tension, la plus grande résistance est traversée par le plus petit courant.

Exercice 12deux piles en série (montage additif)

Deux piles idéales $E_1=4.5\,\mathrm{V}$ et $E_2=1.5\,\mathrm{V}$ sont branchées dans le même sens (elles s'ajoutent), en série avec une résistance $R=30\,\mathrm{\Omega }$ .

a)
Écris la loi des mailles et calcule l'intensité $I$ du courant.
Les deux piles sont dans le même sens : leurs tensions s'ajoutent. La loi des mailles donne
$E_1+E_2-R\,I=0 \ \Rightarrow\ I=\frac{E_1+E_2}{R}=\frac{4{,}5+1{,}5}{30}=0.2\,\mathrm{A}.$
b)
En déduire la tension $U_R$ aux bornes de $R$ .
$U_R=R\,I=30\times0{,}2=6\,\mathrm{V}=E_1+E_2$ : toute la tension des piles est aux bornes de $R$ .

Exercice 13exploiter un tableau de mesures

On mesure la tension $U$ aux bornes d'un dipôle pour plusieurs valeurs de l'intensité $I$ :

$I$ ( $\mathrm{A}$ )	0,10	0,20	0,30	0,40
$U$ ( $\mathrm{V}$ )	1,5	3,0	4,5	6,0

a)
Le dipôle est-il ohmique ? Justifie en calculant $U/I$ .
Pour chaque colonne, $\dfrac{U}{I}=\dfrac{1{,}5}{0{,}10}=\dfrac{3{,}0}{0{,}20} =\dfrac{4{,}5}{0{,}30}=\dfrac{6{,}0}{0{,}40}=15\,\mathrm{\Omega }$ . Le rapport est constant : le dipôle est ohmique.
b)
Détermine sa résistance $R$ .
Sa résistance est cette valeur commune : $R=15\,\mathrm{\Omega }$ .

Exercice 14retrouver une résistance par la tension

Un générateur $E=12\,\mathrm{V}$ alimente $R_1=100\,\mathrm{\Omega }$ en série avec une résistance inconnue $R_2$ . Un voltmètre aux bornes de $R_2$ indique $U_2=8\,\mathrm{V}$ .

a)
Détermine la tension $U_1$ aux bornes de $R_1$ , puis l'intensité $I$ du courant.
Loi des mailles : $U_1=E-U_2=12-8=4\,\mathrm{V}$ . Le même courant traverse $R_1$ et $R_2$ (série) : $I=\dfrac{U_1}{R_1}=\dfrac{4}{100}=0.04\,\mathrm{A}$ .
b)
En déduire la valeur de $R_2$ .
$R_2=\dfrac{U_2}{I}=\dfrac{8}{0{,}04}=200\,\mathrm{\Omega }$ .

Exercice 15caractéristique relevée point par point

Pour différents réglages d'un générateur, on mesure l'intensité $I$ traversant un dipôle et la tension $U$ à ses bornes. Les points obtenus sont alignés sur une droite passant par l'origine :

a)
Le dipôle est-il ohmique ? Justifie.
Les points sont alignés sur une droite passant par l'origine : $U/I$ est constant, donc le dipôle est ohmique.
b)
Détermine sa résistance à partir du point $(0.5\,\mathrm{A},\ 8\,\mathrm{V})$ .
$R=\dfrac{U}{I}=\dfrac{8}{0{,}5}=16\,\mathrm{\Omega }$ (c'est la pente de la droite).

Difficile14 exercices

Exercice 1trois caractéristiques : lequel suit la loi d'Ohm ?

On relève la caractéristique $U=f(I)$ de trois conducteurs (1), (2) et (3) :

a)
Lequel des trois conducteurs suit la loi d'Ohm ? Justifie.
Le conducteur (1) : sa caractéristique est une droite passant par l'origine, donc $U/I$ est constant (loi d'Ohm). (2) est une courbe (non ohmique) ; (3) est une droite mais qui ne passe pas par l'origine.
b)
Détermine la résistance de ce conducteur ohmique.
Pente de (1) : elle passe par $(2\,\mathrm{A},\,4\,\mathrm{V})$ , donc $R=\dfrac{4}{2}=2\,\mathrm{\Omega }$ .
c)
Vrai ou faux : « le conducteur (3) est ohmique car sa caractéristique est une droite. »
Faux. Une droite ne suffit pas : pour être ohmique, elle doit passer par l'origine. Celle de (3) a une ordonnée à l'origine non nulle, donc $U/I$ n'est pas constant.

Exercice 2loi des mailles avec deux sources

La maille ci-dessous contient deux sources idéales branchées en opposition, $E_1=9\,\mathrm{V}$ et $E_2=3\,\mathrm{V}$ , et une résistance $R=2\,\mathrm{\Omega }$ .

a)
Écris la loi des mailles pour ce circuit.
En parcourant la maille, $E_1$ est motrice ( $+$ ), $E_2$ est en opposition ( $-$ ) et $R$ subit une chute $U_R=RI$ :
$E_1-E_2-R\,I=0.$
b)
Calcule le courant $I$ qui circule.
$I=\dfrac{E_1-E_2}{R}=\dfrac{9-3}{2}=3\,\mathrm{A}$ .
c)
En déduire la tension aux bornes de $R$ .
$U_R=R\,I=2\times3=6\,\mathrm{V}$ .

Exercice 3même courant, quelle tension ?

Dans la maille unique ci-dessous, deux sources ( $1\,\mathrm{V}$ et $2\,\mathrm{V}$ ) alimentent deux résistances $R_1$ et $R_2$ en série, avec $R_1<R_2$ . On note $U_1$ et $U_2$ les valeurs absolues des tensions aux bornes de $R_1$ et $R_2$ .

Laquelle des relations est correcte : $U_1<U_2$ , $U_1=U_2$ , ou $U_1>U_2$ ? Justifie.

Les deux résistances sont en série : elles sont traversées par le même courant $I$ . La loi d'Ohm donne $U_1=R_1 I$ et $U_2=R_2 I$ , donc à même $I$ la tension est proportionnelle à la résistance. Comme $R_1<R_2$ :

\boxed{U_1<U_2.}

(Les valeurs $1\,\mathrm{V}$ et $2\,\mathrm{V}$ des sources ne servent qu'à fixer le courant ; elles n'inversent pas cette comparaison.)

Exercice 4la lampe : une résistance qui change

On relève deux points de la caractéristique d'une lampe à filament : $(I_1=0.5\,\mathrm{A},\ U_1=2\,\mathrm{V})$ et $(I_2=1\,\mathrm{A},\ U_2=6\,\mathrm{V})$ .

a)
Calcule le rapport $U/I$ en chacun des deux points.
Point 1 : $\dfrac{U_1}{I_1}=\dfrac{2}{0{,}5}=4\,\mathrm{\Omega }$ . Point 2 : $\dfrac{U_2}{I_2}=\dfrac{6}{1}=6\,\mathrm{\Omega }$ .
b)
La lampe est-elle un dipôle ohmique ? Justifie.
Non : le rapport $U/I$ n'est pas constant ( $4\,\Omega$ puis $6\,\Omega$ ), donc la lampe n'est pas ohmique.
c)
Interprète physiquement l'évolution de ce rapport.
Quand $I$ augmente, le filament chauffe ; or la résistance d'un métal croît avec la température. La « résistance » de la lampe augmente donc avec l'intensité : sa caractéristique s'incurve vers le haut.

Exercice 5pont de résistances : tension entre deux points milieux

Deux branches sont placées en parallèle entre les bornes d'un générateur $E=12\,\mathrm{V}$ . La première contient $R_1=1\,\mathrm{k\Omega }$ (haut) et $R_3=2\,\mathrm{k\Omega }$ (bas), reliées au point milieu $M$ ; la seconde contient $R_2=2\,\mathrm{k\Omega }$ (haut) et $R_4=4\,\mathrm{k\Omega }$ (bas), reliées au point milieu $N$ . On admet qu'aucun courant ne circule entre $M$ et $N$ .

On prend le pôle $-$ du générateur (en bas) comme masse : $V=0\,\mathrm{V}$ en bas, $V=12\,\mathrm{V}$ en haut.

a)
Chaque branche est un diviseur de tension. Calcule le potentiel $V_M$ (tension aux bornes de $R_3$ ).
Dans la branche 1 (diviseur), $V_M$ est la tension aux bornes de $R_3$ :
$V_M=E\,\frac{R_3}{R_1+R_3}=12\times\frac{2}{1+2}=8\,\mathrm{V}.$
b)
Calcule de même $V_N$ (tension aux bornes de $R_4$ ).
De même dans la branche 2 :
$V_N=E\,\frac{R_4}{R_2+R_4}=12\times\frac{4}{2+4}=8\,\mathrm{V}.$
c)
En déduire la tension $U_{MN}=V_M-V_N$ .
$U_{MN}=V_M-V_N=8-8=0\,\mathrm{V}$ .
d)
À quelle condition sur $R_1,R_2,R_3,R_4$ la tension $U_{MN}$ serait-elle nulle (pont équilibré) ? Ce pont l'est-il ?
$U_{MN}=0$ équivaut à $\dfrac{R_3}{R_1+R_3}=\dfrac{R_4}{R_2+R_4}$ , c'est-à-dire $\boxed{R_1R_4=R_2R_3}$ . Ici $1\times4=2\times2$ : le pont est équilibré, ce que confirme $U_{MN}=0$ .

Exercice 6loi des mailles avec trois sources

La maille ci-dessous contient trois sources idéales et une résistance $R=5\,\mathrm{\Omega }$ . En suivant le sens de parcours indiqué, les sources $E_1=12\,\mathrm{V}$ et $E_3=4\,\mathrm{V}$ sont orientées dans le sens du parcours, tandis que $E_2=6\,\mathrm{V}$ est en opposition.

a)
Écris la loi des mailles pour ce circuit (en respectant les signes).
Sources dans le sens du parcours comptées $+$ , en opposition $-$ , et chute ohmique $-RI$ :
$E_1-E_2+E_3-R\,I=0.$
b)
Calcule l'intensité $I$ du courant.
$I=\dfrac{E_1-E_2+E_3}{R}=\dfrac{12-6+4}{5}=\dfrac{10}{5}=2\,\mathrm{A}.$
c)
En déduire la tension $U_R$ aux bornes de $R$ .
$U_R=R\,I=5\times2=10\,\mathrm{V}.$
d)
Interprète le signe de $I$ et le rôle de $E_2$ .
$I>0$ : le courant circule bien dans le sens choisi pour le parcours. La source $E_2$ , en opposition, réduit le courant ( $E_1$ et $E_3$ sont motrices, $E_2$ est résistante).

Exercice 7point de fonctionnement d'une lampe

Une lampe (dipôle non ohmique) a la caractéristique $U=f(I)$ tracée ci-dessous. On la branche en série avec une résistance $R=4\,\mathrm{\Omega }$ et un générateur idéal $E=12\,\mathrm{V}$ .

a)
Justifie que, dans ce circuit série, la tension de la lampe vérifie $U=E-R\,I$ (droite de charge).
En série, la loi des mailles donne $E=U+R\,I$ ( $U$ : lampe, $R\,I$ : résistance). D'où $U=E-R\,I=12-4I$ : c'est une droite décroissante, la droite de charge.
b)
Le point de fonctionnement $P$ est l'intersection des deux courbes. Lis ses coordonnées.
L'intersection se lit en $P=(1.5\,\mathrm{A},\ 6\,\mathrm{V})$ .
c)
En déduire la tension aux bornes de la lampe et le courant qui la traverse.
La lampe fonctionne sous $U=6\,\mathrm{V}$ , traversée par $I=1.5\,\mathrm{A}$ .
d)
Quelle est la « résistance apparente » $U/I$ de la lampe en ce point ?
Résistance apparente : $\dfrac{U}{I}=\dfrac{6}{1{,}5}=4\,\mathrm{\Omega }$ . (Elle varie avec le point de fonctionnement, car la lampe n'est pas ohmique.)

Exercice 8diviseur réglable (potentiomètre)

Un potentiomètre est une résistance totale $R_t=10\,\mathrm{k\Omega }$ munie d'un curseur qui la partage en deux parties : une partie basse $x\,R_t$ (entre la sortie et la masse) et une partie haute $(1-x)R_t$ , où $x\in[0,1]$ repère la position du curseur. L'ensemble est alimenté sous $E=12\,\mathrm{V}$ ; la tension de sortie $U_s$ est prise aux bornes de la partie basse (aucun courant n'est prélevé à la sortie).

a)
Exprime $U_s$ en fonction de $E$ et de $x$ (formule du diviseur de tension).
Diviseur de tension : $U_s=E\,\dfrac{xR_t}{xR_t+(1-x)R_t}=E\,\dfrac{xR_t}{R_t}=x\,E=12\,x$ . (La sortie est directement proportionnelle à la position du curseur ; $R_t$ se simplifie.)
b)
Quelle valeur de $x$ donne $U_s=3\,\mathrm{V}$ ?
$x\,E=3 \Rightarrow x=\dfrac{3}{12}=0{,}25.$
c)
Entre quelles valeurs $U_s$ peut-il varier lorsque le curseur balaie toute la piste ?
Quand $x$ va de $0$ à $1$ , $U_s$ varie de $0\,\mathrm{V}$ à $E=12\,\mathrm{V}$ .

Exercice 9chaîne de résistances identiques (prises de tension)

Cinq résistances identiques $R=100\,\mathrm{\Omega }$ sont branchées en série entre un point $A$ (potentiel $V_A=10\,\mathrm{V}$ ) et la masse $B$ ( $V_B=0\,\mathrm{V}$ ). On note $P_1,P_2,P_3,P_4$ les nœuds intermédiaires, de $A$ vers $B$ .

a)
Quelle est l'intensité $I$ du courant dans la chaîne ?
Résistance totale $5R=500\,\mathrm{\Omega }$ , sous $U_{AB}=10\,\mathrm{V}$ : $I=\dfrac{10}{500}=0.02\,\mathrm{A}$ .
b)
Quelle est la tension aux bornes de chaque résistance ?
Chaque résistance : $U=R\,I=100\times0{,}02=2\,\mathrm{V}$ (la tension se répartit également).
c)
En déduire les potentiels $V_{P_1},V_{P_2},V_{P_3},V_{P_4}$ .
En partant de $V_A=10\,\mathrm{V}$ et en retranchant $2\,\mathrm{V}$ par résistance : $V_{P_1}=8\,\mathrm{V}$ , $V_{P_2}=6\,\mathrm{V}$ , $V_{P_3}=4\,\mathrm{V}$ , $V_{P_4}=2\,\mathrm{V}$ (et $V_B=0\,\mathrm{V}$ ).
d)
Que vaut la tension $U_{P_1 P_3}=V_{P_1}-V_{P_3}$ ?
$U_{P_1 P_3}=V_{P_1}-V_{P_3}=8-4=4\,\mathrm{V}$ (deux résistances, soit $2\times2\,\mathrm{V}$ ).

Exercice 10un dipôle non ohmique : deux façons de parler de « résistance »

La caractéristique d'un dipôle passe par l'origine et par les points suivants :

$I$ ( $\mathrm{A}$ )	0,5	1,0	2,0
$U$ ( $\mathrm{V}$ )	1,0	3,0	10,0

a)
Calcule la « résistance statique » $R=U/I$ en chacun des trois points.
$R(0{,}5)=\dfrac{1{,}0}{0{,}5}=2\,\mathrm{\Omega }$ ; $R(1{,}0)=\dfrac{3{,}0}{1{,}0}=3\,\mathrm{\Omega }$ ; $R(2{,}0)=\dfrac{10{,}0}{2{,}0}=5\,\mathrm{\Omega }$ .
b)
Ce dipôle est-il ohmique ? Justifie.
Non : $U/I$ n'est pas constant, donc la caractéristique n'est pas une droite passant par l'origine : le dipôle n'est pas ohmique.
c)
Calcule la « pente » $\Delta U/\Delta I$ entre les points $I=1\,\mathrm{A}$ et $I=2\,\mathrm{A}$ , et compare-la à la résistance statique en $I=2\,\mathrm{A}$ .
$\dfrac{\Delta U}{\Delta I}=\dfrac{10-3}{2-1}=7\,\mathrm{\Omega }$ , supérieure à la résistance statique $5\,\mathrm{\Omega }$ en $I=2\,\mathrm{A}$ .
d)
Interprète : dans quel sens évolue l'opposition au courant quand $I$ augmente ?
Résistance statique comme pente augmentent avec $I$ : l'opposition au courant croît quand $I$ augmente (caractéristique incurvée vers le haut, comme une lampe qui chauffe).

Exercice 11tension aux bornes d'un interrupteur ouvert

Dans le circuit ci-dessous : générateur $E=6\,\mathrm{V}$ , deux résistances $R_1=20\,\mathrm{\Omega }$ et $R_2=40\,\mathrm{\Omega }$ en série, et un interrupteur $K$ . On ouvre $K$ .

a)
Quelle est l'intensité $I$ du courant lorsque $K$ est ouvert ?
Le circuit est ouvert : aucun courant ne peut circuler, $I=0\,\mathrm{A}$ .
b)
En déduire les tensions $U_1$ et $U_2$ aux bornes de $R_1$ et $R_2$ .
$U_1=R_1 I=0\,\mathrm{V}$ et $U_2=R_2 I=0\,\mathrm{V}$ (loi d'Ohm avec $I=0$ ).
c)
À l'aide de la loi des mailles, détermine la tension $U_K$ aux bornes de l'interrupteur ouvert.
Loi des mailles : $E=U_1+U_2+U_K$ , donc $U_K=E-0-0=6\,\mathrm{V}$ .
d)
Commente : où se retrouve la tension du générateur ?
Toute la tension du générateur se retrouve aux bornes de l'interrupteur ouvert : les résistances, non parcourues, ne « prennent » aucune tension.

Exercice 12deux dipôles en parallèle : lire les courants

Deux dipôles (A) et (B) sont branchés en parallèle sous une tension commune $U=6\,\mathrm{V}$ . Leurs caractéristiques $I=f(U)$ (courant en fonction de la tension) sont tracées ci-dessous : (A) est une droite passant par l'origine, (B) est une courbe.

a)
Calcule (ou lis) le courant $I_A$ dans (A) et $I_B$ dans (B) sous $U=6\,\mathrm{V}$ .
Sous $U=6\,\mathrm{V}$ : (A) $I_A=0{,}2\times6=1.2\,\mathrm{A}$ ; (B) $I_B=0{,}03\times6^2=1.08\,\mathrm{A}$ .
b)
Quel est le courant total débité par le générateur ?
Le générateur fournit la somme des courants des deux branches : $I=I_A+I_B=1{,}2+1{,}08=2.28\,\mathrm{A}$ .
c)
Lequel des deux dipôles est ohmique ? Donne sa résistance.
(A) est ohmique (droite par l'origine). Sa pente vaut $1/R$ : $0{,}2=\dfrac{1}{R}$ , donc $R=5\,\mathrm{\Omega }$ (soit $R=U/I_A=6/1{,}2$ ).

Exercice 13dimensionner un diviseur de tension

On veut fabriquer, à partir d'une source $E=15\,\mathrm{V}$ , un diviseur (deux résistances $R_1$ en haut et $R_2$ en bas, en série) qui fournit une tension de sortie $U_s=5\,\mathrm{V}$ aux bornes de $R_2$ . On impose de plus que le courant dans la maille soit $I=1\,\mathrm{mA}$ .

a)
Quelle est la résistance totale $R_1+R_2$ ?
$R_1+R_2=\dfrac{E}{I}=\dfrac{15}{10^{-3}}=15000\,\mathrm{\Omega }=15\,\mathrm{k\Omega }.$
b)
Détermine $R_2$ (à partir de $U_s$ et $I$ ).
Le même courant traverse $R_2$ : $R_2=\dfrac{U_s}{I}=\dfrac{5}{10^{-3}}=5000\,\mathrm{\Omega } =5\,\mathrm{k\Omega }.$
c)
En déduire $R_1$ .
$R_1=(R_1+R_2)-R_2=15-5=10\,\mathrm{k\Omega }.$
d)
Vérifie ton résultat avec la formule du diviseur $U_s=E\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2}$ .
$E\,\dfrac{R_2}{R_1+R_2}=15\times\dfrac{5}{15}=5\,\mathrm{V}=U_s$ .

Exercice 14la tension ne dépend pas du chemin suivi

Dans le circuit ci-dessous, le générateur idéal impose $E=9\,\mathrm{V}$ entre $A$ et $D$ , et deux résistances $R_1=10\,\mathrm{\Omega }$ et $R_2=20\,\mathrm{\Omega }$ sont en série sur la branche supérieure. Le fil reliant $C$ à $D$ est idéal.

a)
Calcule l'intensité $I$ du courant, puis les tensions $U_1$ et $U_2$ .
$I=\dfrac{E}{R_1+R_2}=\dfrac{9}{30}=0.3\,\mathrm{A}$ ; $U_1=R_1 I=3\,\mathrm{V}$ , $U_2=R_2 I=6\,\mathrm{V}$ .
b)
Calcule la tension $U_{AC}=V_A-V_C$ en suivant la branche supérieure ( $A\to B\to C$ ).
Par le haut : $U_{AC}=U_1+U_2=3+6=9\,\mathrm{V}$ .
c)
Calcule $U_{AC}$ en suivant l'autre chemin ( $A\to D\to C$ ), sachant que le fil $C\!-\!D$ est idéal.
Par le bas : le fil idéal donne $V_C=V_D$ , et le générateur $V_A-V_D=E$ . Donc $U_{AC}=V_A-V_C=V_A-V_D=E=9\,\mathrm{V}$ .
d)
Que constates-tu ? Quelle propriété du potentiel électrique cela illustre-t-il ?
Les deux chemins donnent la même tension : $U_{AC}=V_A-V_C$ ne dépend que des points $A$ et $C$ , pas du trajet. C'est exactement la loi des mailles ( $\sum U=0$ sur la boucle $A\,B\,C\,D$ ).

Revoir le tutoriel de cette mécanique