Statique

La statique est la partie de la mécanique qui étudie les forces s'exerçant sur un objet en équilibre ou au repos (par exemple : l'étude des leviers, des ponts, des balances, des structures de bâtiment).

Nous verrons qu'il faut distinguer et vérifier deux conditions indépendantes :

1. l'équilibre de translation : la somme (vectorielle) des forces est nulle $\Rightarrow$ le corps ne se déplace pas ;
2. l'équilibre de rotation : la somme des moments des forces est nulle $\Rightarrow$ le corps ne tourne pas.

Un solide n'est en équilibre complet que si les deux conditions sont satisfaites en même temps.

Le vecteur force se note avec une flèche, $\vec{F}$ ; son intensité (un nombre positif, avec une unité) se note sans flèche, $F$. Ainsi $\vec{F}$ contient la direction et le sens, tandis que $F = \lVert \vec{F}\rVert$ n'en est que la « longueur ». Cette distinction est capitale en statique : deux forces peuvent avoir la même intensité $F$ tout en étant des vecteurs opposés.

Soit $A$ un solide indéformable posé sur une table horizontale et soumis à l'action de deux forces $\vec{F}$ et $\vec{F}'$. On dit qu'il est maintenu en équilibre de translation lorsque ces deux forces ont :

• la même direction (même ligne d'action) ;
• la même intensité ($F = F'$) ;
• des sens opposés.

Le solide est posé sur une table horizontale afin de ne pas devoir tenir compte de la force d'attraction terrestre (le poids). Sur une table horizontale, le poids du solide (vertical, vers le bas) est exactement compensé par la réaction de la table (verticale, vers le haut). On peut alors raisonner uniquement sur les forces $\vec{F}$ et $\vec{F}'$ appliquées horizontalement.

On peut déplacer le point d'application d'une force le long de sa ligne d'action sans modifier l'équilibre du système (pour un solide indéformable). Une force « glisse » donc sur sa propre droite : c'est ce qu'on appelle un vecteur glissant.

Un système soumis à plusieurs forces $\vec{F}_1, \vec{F}_2, \dots, \vec{F}_n$ n'est en équilibre de translation que si la résultante (somme vectorielle) de ces forces est nulle.

$\sum \vec{F}_i = \vec{0}$ ne veut pas dire que la somme des intensités $\sum F_i$ est nulle (une intensité est toujours positive). Cela veut dire que les forces se compensent : projetées sur un axe, les contributions « vers la droite » égalent celles « vers la gauche », et de même verticalement. En pratique, dans un plan, $\sum \vec{F} = \vec{0}$ équivaut à deux équations scalaires : $\sum F_x = 0$ et $\sum F_y = 0$.

Un livre est posé, immobile, sur une table horizontale. Il subit deux forces : son poids $\vec{G}$ (vertical, vers le bas, $G=8\,\mathrm{N}$ par exemple) et la réaction normale $\vec{R}$ de la table (verticale, vers le haut). Le livre est en équilibre, donc

En intensité : $R = G = 8\,\mathrm{N}$. La réaction de la table a donc exactement la même intensité que le poids, la même direction (verticale), mais le sens opposé. C'est très exactement la situation de la Figure 1, appliquée à la verticale. Si l'on retirait la table, la condition ne serait plus satisfaite ($\vec{G} \neq \vec{0}$ tout seul) et le livre tomberait : il ne serait plus en équilibre.

Si un corps $A$ exerce une force $\vec{F}$ (action) sur un autre corps $B$, alors, simultanément, $B$ exerce sur $A$ une force $\vec{F}'$ (réaction) :

• d'égale intensité : $F' = F$ ;
• de même direction ;
• de sens opposé : $\vec{F}' = -\,\vec{F}$.

Les forces d'action et de réaction sont opposées mais elles ne se compensent jamais entre elles, car elles s'appliquent sur deux corps différents ($\vec{F}$ sur $B$, $\vec{F}'$ sur $A$). Pour étudier l'équilibre d'un corps, on ne retient que les forces qui s'exercent sur lui. C'est le piège classique : action/réaction $\neq$ équilibre.

Pourquoi $g$ peut-il se mesurer en $\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ ou en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? Parce qu'un newton est défini par $1\,\mathrm{N}=1\,\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (c'est la 2^e loi de Newton, $F=ma$). Donc

Les deux écritures $g=10\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ et $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ désignent exactement la même grandeur ; on choisit l'une ou l'autre selon que l'on raisonne en termes de force ou d'accélération.

La formule $G=m\,g$ n'est correcte que si $m$ est en kilogrammes. Une masse donnée en grammes doit impérativement être convertie. Exemple : pour $m=200\,\mathrm{g}=0.200\,\mathrm{kilogram}$ et $g=10\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$,

Écrire « $G = 200 \times 10 = 2000\,\mathrm{N}$ » serait une faute d'un facteur 1000.

Considérons un corps de masse $m = 200\,\mathrm{g} = 0.200\,\mathrm{kilogram}$.

• Sur la Terre, avec $g_{\text{T}}=10\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ : G_T = m g_T = 0,200 × 10 = $2\,\mathrm{N}$.
• Sur la Lune, le champ de pesanteur est environ six fois plus faible : $g_{\text{L}} = \dfrac{g_{\text{T}}}{6} \approx 1.67\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$. Donc G_L = m g_L = 0,200 × 1,67 ≈ $0.33\,\mathrm{N}$.

Conclusion : la masse $m$ ne change pas (c'est une quantité de matière, la même partout), mais le poids est six fois plus petit sur la Lune que sur la Terre. Dire que la force de gravité serait « six fois plus grande » sur la Lune est donc faux : c'est l'inverse.