Intégrale d'une fonction continue

$F'=f$ sur un intervalle $I$ $\Longleftrightarrow$ $\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C,\ C\in\mathbb{R}$. Deux primitives d'une même $f$ diffèrent toujours d'une constante.

$\dfrac{U^{n+1}}{n+1}$ n'existe pas pour $n=-1$ : $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln|x|+C$ (jamais $\ln x$ seul — valable aussi sur $]-\infty,0[$).

On donne $f'(x)=x^3-\dfrac{3}{x^4}$ et $f(1)=1$. Primitive : $F(x)=\dfrac{x^4}{4}+\dfrac1{x^3}+C$. $f(1)=1\Rightarrow C=-\tfrac14$. D'où $f(2)=4+\tfrac18-\tfrac14=\boxed{\tfrac{31}{8}}$.

1. Repérer $U(x)$ : ce qui est « à l'intérieur » (puissance, $\ln$, $\cos$, $\exp$…).
2. Calculer $\mathrm{d}U=U'(x)\,\mathrm{d}x$.
3. Comparer à l'intégrande : s'il manque une constante $k$, multiplier-diviser par $k$. S'il manque un facteur non constant $\Rightarrow$ IPP (section 3) ou fraction $\Rightarrow$ décomposition.
4. Appliquer la formule du formulaire avec $U$ à la place de $x$.

Cas d'une fraction rationnelle $\dfrac{N(x)}{(x-\alpha)(x-\beta)}=\dfrac{A}{x-\alpha}+\dfrac{B}{x-\beta}$ : identifier $A,B$ par « multiplier-évaluer » ($A=\left.\tfrac{N(x)}{x-\beta}\right|_{x=\alpha}$), puis intégrer chaque terme en $\ln|\cdot|$.

En intégrale définie, si on pose $U=U(x)$, il faut soit recalculer les bornes en $U$ (2019, Q19 : $x=1\!\to\!U=2$, $x=2\!\to\!U=5$), soit revenir en $x$ avant d'évaluer.

$\displaystyle\int_1^{e}\frac{\ln x}{x}\,\mathrm{d}x$ : $U=\ln x$, $\mathrm{d}U=\dfrac{\mathrm{d}x}{x}$ (déjà là !) $\Rightarrow\Bigl[\dfrac{U^2}{2}\Bigr]_1^{e}=\boxed{\tfrac12}$.

$\displaystyle\boxed{\int U\,\mathrm{d}V=UV-\int V\,\mathrm{d}U}$ — dérivée du produit « lue à l'envers ».

Priorité pour $U$ : $\ \ln>\arcsin/\arctan>x^n\text{ (polynôme)}>\sin/\cos>e^{x}$.

1. Choisir $U$, $V'$ ; écrire $U'$ et $V=\int V'\,\mathrm{d}x$.
2. Appliquer $\int U\,\mathrm{d}V=UV-\int V\,\mathrm{d}U$ (bornes : $\bigl[UV\bigr]_a^b-\int_a^b V\,\mathrm{d}U$).
3. Simplifier ; si l'intégrale « boucle », poser $I=\dots$ et résoudre en $I$.
4. Vérifier en dérivant le résultat.

$\displaystyle\int e^{-2\ln x}\ln x\,\mathrm{d}x$ : $e^{-2\ln x}=x^{-2}$ d'abord ! Puis IPP sur $\int\dfrac{\ln x}{x^2}\,\mathrm{d}x$ ($U=\ln x$, $V'=x^{-2}$, $V=-\tfrac1x$) $=-\dfrac{\ln x}{x}-\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2}=\boxed{-\dfrac{\ln x}{x}-\dfrac1x+C}$.

$\displaystyle\int_0^3 x\,e^{2x}\,\mathrm{d}x=\Bigl[\tfrac{x}{2}e^{2x}\Bigr]_0^3-\int_0^3\tfrac12 e^{2x}\,\mathrm{d}x=\boxed{\tfrac{1+5e^6}{4}}$. $\displaystyle\int_{\pi/2}^{\pi} x\cos(2x)\,\mathrm{d}x=\Bigl[\tfrac{x}{2}\sin2x\Bigr]_{\pi/2}^{\pi}-\int_{\pi/2}^{\pi}\tfrac12\sin2x\,\mathrm{d}x=0+\Bigl[\tfrac14\cos2x\Bigr]_{\pi/2}^{\pi}=\boxed{\tfrac12}$.