Les limites

• $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ : $f(x)$ se rapproche du réel $\ell$ quand $x\to x_0$.
• $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)$, $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)$ : limite à droite ($x>x_0$), à gauche ($x<x_0$).
• $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell\in\mathbb{R}\ \Rightarrow\ y=\ell$ asymptote horizontale.
• $\displaystyle\lim_{x\to x_0^{\pm}} f(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ x=x_0$ asymptote verticale.
• $f$ continue en $x_0\in D_f$ $\iff$ $\displaystyle\lim_{x\to x_0^-}f=\lim_{x\to x_0^+}f=f(x_0)$.

FI à lever : $\infty-\infty$ ; $0\times\infty$ ; $\dfrac{\infty}{\infty}$ ; $\dfrac00$ — jamais concluantes telles quelles (ne pas confondre avec $\dfrac{a}{0^{\pm}}$, $a\neq0$, qui n'est pas une FI).
Règle $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ ($a\neq0$) : $\dfrac{a}{0^{+}}\to\mathrm{signe}(a)\times\infty$, $\dfrac{a}{0^{-}}\to-\mathrm{signe}(a)\times\infty$.

1. Garder le terme de plus haut degré en haut et en bas : $\dfrac{a_nx^n}{b_mx^m}$.
2. Simplifier en $\dfrac{a_n}{b_m}x^{\,n-m}$.
3. $n>m$ : limite infinie ; $n=m$ : limite finie $\dfrac{a_n}{b_m}$ (asy. horiz.) ; $n<m$ : limite nulle.

1. Limite du numérateur en $x_0$ (si $\neq0$ : forme $a/0$).
2. Tableau de signes du dénominateur autour de $x_0$.
3. Appliquer $a/0^{+}$ ou $a/0^{-}$ ; côtés opposés $\Rightarrow$ pas de limite (asy. verticale).

1. Multiplier haut et bas par le conjugué : $(\sqrt A-\sqrt B)(\sqrt A+\sqrt B)=A-B$.
2. Les racines disparaissent ; simplifier.
3. À l'infini : $\sqrt{x^2}=|x|$ ($=x$ en $+\infty$, $=-x$ en $-\infty$).

$\lim_{x\to0}\tfrac{\sin x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\tfrac{\tan x}{x}=1$, $\lim_{x\to0}\tfrac{e^x-1}{x}=1$, $\lim_{x\to1}\tfrac{\ln x}{x-1}=1$ (angles en rad).
Hospital (FI $\frac00$/$\frac\infty\infty$) : $\lim_{x\to a}\tfrac{f}{g}=\lim_{x\to a}\tfrac{f'}{g'}$ — dérivées séparées, jamais $(f/g)'$.