Les fonctions

• Dénominateur $D(x)$ : $D(x)\neq 0$.
• Racine d'indice pair $\sqrt{E(x)}$ : $E(x)\geq 0$.
• Logarithme $\ln\big(E(x)\big)$ : $E(x)>0$.

1. Repérer, dans $f(x)$, dénominateurs, racines paires et logarithmes.
2. Écrire une condition d'existence pour chaque « zone à risque ».
3. Résoudre chaque condition (tableau de signes si besoin).
4. Intersecter toutes les conditions $\to D_f$ en notation d'intervalles.

Racine cubique (indice impair) : définie sur $\mathbb{R}$ tout entier, on n'impose jamais $\geq 0$. Ex. $f(x)=\sqrt[3]{3x+5}\Rightarrow D_f=\mathbb{R}$.
Composée $f\circ g$ : il faut $x\in D_g$ et $g(x)\in D_f$.

« $\ln\big(\dots|x-a|\dots\big)$ » $\to$ isoler la valeur absolue, résoudre l'inéquation associée, intervalle ouvert (2020, Q26). « $\ln(\text{trinôme})$ » $\to$ étudier d'abord le signe du trinôme (2019, Q26). « Domaine d'une composée $f\circ f$ » $\to$ appliquer la règle ci-dessus (2022, Q1) ; « évaluer $g(g(a))$ » $\to$ calculer de l'intérieur vers l'extérieur (2019, Q24).

$f$ paire $\iff f(-x)=f(x)$ $f$ impaire $\iff f(-x)=-f(x)$
Axe de symétrie $x=a$ : $f(a-x)=f(a+x)$ Centre $(a\,;b)$ : $f(a-x)+f(a+x)=2b$

La plupart des fonctions ne sont ni paires ni impaires (ex. $f(x)=2x+1$) : ce sont deux propriétés particulières à vérifier par le calcul, jamais à supposer.

$f(x)=ax+b$ — pente $a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$, ordonnée à l'origine $b=y_A-a\,x_A$.
$d\parallel d' \iff a=a'$ $d\perp d' \iff a\cdot a'=-1$
Racine : $x=-\dfrac ba$ Milieu de $[AB]$ : $\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$

1. Pente cherchée : $a'=-\dfrac1a$ (opposé de l'inverse).
2. Injecter les coordonnées de $A(x_A\,;y_A)$ dans $y=a'x+b'$ pour isoler $b'$.
3. Conclure : $d':\ y=a'x+b'$.

« Droite par 2 points, pente donnée, ou perpendiculaire à une droite connue » $\to$ calcule $a$ (ou $a'=-1/a$), puis $b$ en injectant un point (2021, Q13 ; 2023, Q3 ; 2024, Q6). « Où se coupent deux droites ? » $\to$ résous le système $ax+b=a'x+b'$ (2022, Q19 ; 2025, Q5).