Mathématiques · Synthèse · Fiche 8

Statistiques descriptives

fiche de révision condensée.

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À maîtriser

le vocabulaire (population, caractère, classe, centre de classe, effectif, fréquence, cumuls) ;
les indicateurs de position : mode, moyenne $m$ , médiane $M\!e$ , quartiles $Q_1,Q_3$ (dont l'interpolation linéaire sur des classes) ;
les indicateurs de dispersion : étendue, écart moyen $\sigma_m$ , variance $V$ (König–Huygens), écart type $\sigma=\sqrt{V}$ ;
lire un histogramme et une ogive ; comparer $m$ et $M\!e$ pour juger la symétrie.

1Vocabulaire et tableau statistique

Définition1.1vocabulaire de base

La population (effectif total $N$ ) est constituée d'individus. Le caractère étudié prend des modalités $x_i$ : qualitatif (non numérique) ou quantitatif, discret (valeurs isolées) ou continu (regroupé en classes $[a,b[$ ).

Attentioncaractère continu $\Rightarrow$ classes

Dès qu'un caractère est continu, on le regroupe en classes $[a,b[$ de même amplitude, représentées chacune par leur centre. Pour un caractère discret : pas de classe, on garde les valeurs $x_i$ telles quelles — toutes les formules restent identiques.

Formule1.1centre de classe

x_i=\dfrac{a+b}{2}

Formule1.2effectifs, fréquences et cumuls

\boxed{\,N=\sum_{i=1}^{k} n_i\,}\qquad \boxed{\,f_i=\dfrac{n_i}{N}\,}\qquad f_c=f_1+f_2+\cdots+f_i

où :

$n_i$ : effectif de la classe $i$ ; $N$ : effectif total ( $\sum n_i=N$ ) ;
$f_i$ : fréquence (sans unité, $\sum f_i=1$ ) ; $\times 100$ = pourcentage ;
$f_c$ : fréquence cumulée jusqu'à la classe $i$ (la dernière vaut $1{,}00$ ).

Exemplefil rouge — taille de 65 poissons (mm)

Ce tableau sert de support à tous les calculs de la fiche :

2primary!4white

$i$	Classes (mm)	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$f_c$
1	$[55,65[$	60	4	0,06	0,06
2	$[65,75[$	70	2	0,03	0,09
3	$[75,85[$	80	6	0,09	0,18
4	$[85,95[$	90	18	0,28	0,46
5	$[95,105[$	100	14	0,22	0,68
6	$[105,115[$	110	10	0,15	0,83
7	$[115,125[$	120	6	0,09	0,92
8	$[125,135[$	130	5	0,08	1,00
Totaux	—	$\boldsymbol{N=65}$	$\boldsymbol{1{,}00}$

2Indicateurs de position

Définition2.1mode $M$

Modalité (ou classe) d'effectif maximal. Non forcément unique.

Exemplemode

$n_4=18$ est l'effectif maximal $\Rightarrow M=[85,95[$ (ou $x_4=90$ mm).

Formule2.1moyenne arithmétique (pondérée)

\boxed{\;m=\dfrac{1}{N}\sum_{i=1}^{k} n_i\,x_i\;}

Toujours avec les centres de classe, jamais les bornes.

Exemplemoyenne

$m=\dfrac{4(60)+2(70)+6(80)+18(90)+14(100)+10(110)+6(120)+5(130)}{65}=\dfrac{6350}{65}=\mathbf{97{,}69\;mm}$ .

Définition2.2médiane $M\!e$

Valeur qui partage l'effectif en deux : fréquence cumulée $50\,\%$ .

Formule2.2médiane, série discrète rangée par ordre croissant, $n$ valeurs

$n$ impair : valeur de rang $\dfrac{n+1}{2}$ ;
$n$ pair : moyenne des valeurs de rangs $\dfrac{n}{2}$ et $\dfrac{n}{2}+1$ .

Attentiontoujours trier d'abord

Sans tri par ordre croissant, la notion de médiane n'a aucun sens. Erreur n^o 1 au concours.

Formule2.3médiane par interpolation linéaire (classes)

\boxed{\;M\!e=a+\dfrac{r}{n_{\text{classe}}}\,(b-a)\;}\qquad r=\dfrac{N}{2}-n_{c}^{\text{préc}}

où :

$[a,b[$ : classe médiane, celle où $f_c$ dépasse $50\,\%$ (ou $n_c$ dépasse $N/2$ ) ;
$n_{\text{classe}}$ : effectif de cette classe ; $n_c^{\text{préc}}$ : cumul de la classe précédente ; $r$ : rang à l'intérieur de la classe médiane.

Même principe pour les quartiles : rang visé $\dfrac{N}{4}$ pour $Q_1$ , $\dfrac{3N}{4}$ pour $Q_3$ ( $Q_2=M\!e$ ).

Exemplemédiane et quartiles par interpolation

$N=65$ . Cumuls (via $n_i$ ) : $4,6,12,\mathbf{30},\mathbf{44},54,60,65$ .

$\dfrac{N}{2}=32{,}5$ tombe dans $[95,105[$ (cumul $30\to44$ ) : $r=2{,}5$ , $n_{\text{classe}}=14$ $\Rightarrow\ M\!e=95+\dfrac{2{,}5}{14}(10)=\mathbf{96{,}79\;mm}$ .
$\dfrac{N}{4}=16{,}25$ tombe dans $[85,95[$ (cumul $12\to30$ ) : $r_1=4{,}25$ , $n_{\text{classe}}=18$ $\Rightarrow\ Q_1=85+\dfrac{4{,}25}{18}(10)=\mathbf{87{,}36\;mm}$ .
$\dfrac{3N}{4}=48{,}75$ tombe dans $[105,115[$ (cumul $44\to54$ ) : $r_3=4{,}75$ , $n_{\text{classe}}=10$ $\Rightarrow\ Q_3=105+\dfrac{4{,}75}{10}(10)=\mathbf{109{,}75\;mm}$ .

Remarquelecture graphique

$M\!e$ , $Q_1$ , $Q_3$ se lisent aussi directement sur l'ogive (polygone des fréquences cumulées) : on part de $f_c=0{,}50$ (ou $0{,}25$ / $0{,}75$ ) sur l'axe vertical, on rejoint la courbe, on redescend sur l'axe horizontal.

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J-0Le concours est le 27 août 2026 — chaque jour compte.

3. Indicateurs de dispersion
4. Graphiques et mémo final

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