Physique · Synthèse · Fiche 3

Statique

Équilibre des solides, centre de gravité et moment de force — fiche de révision condensée.

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À maîtriser

la condition d'équilibre de translation ( $\sum \vec{F} = \vec{0}$ ) ;
la composition de forces parallèles (même sens / sens opposé) ;
le centre de gravité : définition et méthode des suspensions ;
le moment d'une force, le bras de levier et le couple de forces ;
la condition d'équilibre de rotation ( $\sum \mathcal{M}_{\Delta} = 0$ ) ;
résoudre un problème de levier, de balance ou de table à plusieurs pieds.

1Statique : les deux conditions d'équilibre

Définition1.1la statique

La statique étudie les forces s'exerçant sur un solide en équilibre (au repos) : leviers, balances, ponts, structures.

Remarquedeux conditions indépendantes

Un solide n'est en équilibre complet que si, simultanément :

translation : $\sum \vec{F} = \vec{0}$ (il ne se déplace pas) ;
rotation : $\sum \mathcal{M}_{\Delta} = 0$ (il ne tourne pas).

2Équilibre de translation

Formule2.1résultante nulle

\boxed{\;\sum_{i} \vec{F}_i = \vec{0}\;}

où :

$\vec{F}_i$ : chaque force appliquée au solide, en $\mathrm{N}$ ; somme vectorielle.

Attentionsomme vectorielle, pas somme des intensités !

$\sum \vec{F} = \vec{0}$ ne veut pas dire $\sum F_i = 0$ (une intensité est toujours positive). Dans un plan : $\sum F_x = 0$ et $\sum F_y = 0$ .

Propriété2.13^e loi de Newton — action/réaction

Si $A$ exerce $\vec{F}$ sur $B$ , alors $B$ exerce sur $A$ une force $\vec{F}' = -\vec{F}$ (même intensité, même direction, sens opposé).

Attentionne pas confondre avec l'équilibre

Action et réaction s'appliquent sur deux corps différents : elles ne se compensent jamais entre elles. Pour l'équilibre d'un corps, on ne compte que les forces sur lui.

Exemplelivre posé sur une table

Poids $\vec{G}$ (vers le bas) et réaction $\vec{R}$ (vers le haut) : équilibre $\Rightarrow \vec{R} = -\vec{G}$ , donc $R = G$ .

3Le poids

Formule3.1poids d'un corps

\boxed{\;\vec{G} = m\,\vec{g} \qquad\text{en intensité :}\qquad G = m\,g\;}

où :

$G$ : poids en $\mathrm{N}$ ; $m$ : masse en $\mathrm{kilogram}$ ; $g \approx 10\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ sur Terre (= $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

Attentionpiège des unités : masse en kilogrammes

$m=200\,\mathrm{g}=0.200\,\mathrm{kilogram} \Rightarrow G = 0{,}200\times10=2\,\mathrm{N}$ (et non $200\,\mathrm{N}$ !).

ExempleTerre / Lune

$m=0.200\,\mathrm{kilogram}$ : sur Terre $G_T=2\,\mathrm{N}$ ; sur la Lune $g_L\approx g_T/6 \Rightarrow G_L\approx0.33\,\mathrm{N}$ . La masse ne change pas, le poids diminue.

4Forces parallèles

Propriété4.1composition de deux forces parallèles

Pour $\vec{F}_1$ (en $A$ ) et $\vec{F}_2$ (en $B$ ) parallèles, le point d'application $O$ de la résultante vérifie toujours la règle des moments $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ ( $O$ est plus proche de la force la plus intense).

Cas	Intensité	Sens	Point $O$
Même sens	$F=F_1+F_2$	sens commun	entre $A$ et $B$
Sens opposés ( $F_2{>}F_1$ )	$F_r=F_2-F_1$	sens de $F_2$	hors $[AB]$ , côté $F_2$

*Figure 1 : Forces parallèles de même sens. $\vec{F} = \vec{F}_1+\vec{F}_2$ , de sens opposé, s'applique en $O$ (plus proche de $\vec{F}_2$ ).

Exemplecalcul rapide

$\overline{AB}=70\,\mathrm{cm}$ , $F_1=1\,\mathrm{N}$ , $F_2=2.5\,\mathrm{N}$ . Même sens : $F=3.5\,\mathrm{N}$ , $O$ à $20\,\mathrm{cm}$ de $B$ ( $50\,\mathrm{cm}$ de $A$ ). Sens opposés : $F_r=1.5\,\mathrm{N}$ , $O$ à $46.7\,\mathrm{cm}$ au-delà de $B$ .

5Centre de gravité

Définition5.1centre de gravité $G$

$G$ est le point d'application de la résultante de toutes les forces de pesanteur : le poids $\vec{G}=m\vec{g}$ . C'est un point fixe du solide, quelle que soit son orientation.

Méthodedétermination expérimentale — méthode des suspensions

suspendre l'objet en $P_1$ ; tracer la verticale passant par $P_1$ ;
recommencer en $P_2$ ; tracer la nouvelle verticale ;
$G$ = point d'intersection des deux verticales.

Remarqueformes usuelles homogènes

Triangle : intersection des médianes. Cube / parallélépipède : son centre. Cylindre : milieu de l'axe joignant les deux bases. Solide symétrique homogène : sur son (ses) axe(s) de symétrie.

Attention $G$ peut se trouver hors de la matière

Anneau, fer à cheval, boomerang : $G$ est dans le « vide » entouré par la matière — c'est pourtant là que s'applique, fictivement, tout le poids.

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6. Moment d'une force et équilibre de rotation
7. Équilibre mécanique complet
8. Formulaire de synthèse
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