Mathématiques · Fiche 1

Rappel d'outils

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Ce que tu sauras faire

lire et utiliser les ensembles de nombres et leurs notations ( $\mathbb{N}_0$ , $\mathbb{Z}_0$ , $\mathbb{R}_0$ , $\mathbb{R}_0^+$ ) ;
manipuler sans erreur les puissances, les racines et les exposants (entiers, négatifs, fractionnaires) ;
définir et appliquer les logarithmes (décimal, népérien, base quelconque) et résoudre des équations exponentielles et logarithmiques ;
factoriser une expression (mise en évidence, produits remarquables, méthode de Horner) et résoudre équations et inéquations ;
résoudre des systèmes à deux et trois inconnues (substitution, combinaison, pivot de Gauss).

1Le langage de l'algèbre : ensembles et notations

Avant tout calcul, il faut savoir dans quel ensemble vivent les nombres que l'on manipule. Une grande partie des erreurs en algèbre vient d'un oubli de domaine : on prend la racine d'un nombre négatif, on divise par zéro, ou on applique un logarithme à un nombre négatif. Cette première section fixe le vocabulaire utilisé dans toute la fiche.

Les grands ensembles de nombres

Définition1.1les ensembles usuels

On emboîte les ensembles de nombres les uns dans les autres :

\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

$\mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\}$ : les entiers naturels ;
$\mathbb{Z}=\{\dots,-2,-1,0,1,2,\dots\}$ : les entiers relatifs (avec les négatifs) ;
$\mathbb{Q}=\bigl\{\tfrac{p}{q}\;:\;p\in\mathbb{Z},\ q\in\mathbb{Z},\ q\neq 0\bigr\}$ : les rationnels (fractions) ;
$\mathbb{R}$ : les réels (tous les points d'une droite, y compris $\sqrt2$ , $\pi$ , $e$ …).

Comment lire les notations $\mathbb{N}_0$ , $\mathbb{Z}_0$ , $\mathbb{R}_0$ , $\mathbb{R}_0^+$

Le livre écrit par exemple : « Soit $a,b\in\mathbb{R}_0$ , $m\in\mathbb{Z}_0$ , $n\in\mathbb{N}_0$ et $c$ un réel strictement positif. » Ces indices et exposants restreignent l'ensemble. Voici la clé de lecture.

Propriété1.1convention de notation des ensembles privés ou orientés

un indice $0$ signifie « privé de $0$ » : $\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\setminus\{0\}=\{1,2,3,\dots\}$ , $\mathbb{Z}_0=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$ , $\mathbb{R}_0=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ;
un exposant $+$ signifie « positifs » (au sens large, $\geq 0$ ) : $\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty[$ ;
les deux ensemble, $\mathbb{R}_0^{+}$ , désigne les réels strictement positifs : $\mathbb{R}_0^{+}=\,]0,+\infty[$ .

Remarque

Cette notation est typiquement utilisée dans l'enseignement belge. Retenez la logique : l'indice $0$ enlève le zéro, l'exposant de signe choisit le côté de la droite réelle. Ainsi $\mathbb{R}_0^{+}$ se lit « les réels, sans le zéro, du côté positif » $=\,]0,+\infty[$ .

Attentionpourquoi ces restrictions sont vitales

Les restrictions ne sont pas de la décoration : elles garantissent que les opérations ont un sens.

On ne divise jamais par $0$ : un dénominateur doit appartenir à $\mathbb{R}_0$ .
Un logarithme $\log_a x$ n'existe que pour $x\in\mathbb{R}_0^{+}$ et une base $a\in\mathbb{R}_0^{+}\setminus\{1\}$ .
Une racine carrée réelle $\sqrt{x}$ n'existe que pour $x\in\mathbb{R}^{+}$ .

Remarquela nature « sans unité » des objets algébriques

En algèbre pure, les lettres ( $a$ , $x$ , $n$ …) représentent des nombres : ce sont des grandeurs sans dimension, donc sans unité physique. Quand l'algèbre sert à modéliser une situation concrète (un prix, une longueur), l'unité provient du contexte (l'euro , le mètre $\mathrm{m}$ ), pas de l'algèbre elle-même. Dans chaque encadré « où : » ci-dessous, nous précisons donc surtout l'ensemble d'appartenance de chaque symbole et ses contraintes.

2Puissances, racines et exposants

La puissance est l'outil de calcul le plus fondamental : toute la suite (logarithmes, factorisation, équations) en dépend. Posons d'abord la définition, puis les règles, puis de nombreux exemples détaillés.

Définition2.1puissance à exposant entier

Pour un réel $a$ et un entier $n\in\mathbb{N}_0$ , la puissance $a^{n}$ est le produit de $n$ facteurs égaux à $a$ :

a^{n}=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\ \text{facteurs}}.

Le nombre $a$ s'appelle la base, et $n$ l'exposant.

Les règles de calcul des exposants

Formule2.1règles fondamentales des puissances

Pour $a,b\in\mathbb{R}_0$ et $m,n\in\mathbb{Z}$ :

\boxed{\,a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}\,}\quad \boxed{\,\dfrac{a^{n}}{a^{m}}=a^{n-m}\,}\quad \boxed{\,a^{n}\times b^{n}=(a\times b)^{n}\,}\quad \boxed{\,\bigl(a^{n}\bigr)^{m}=a^{nm}\,}

où :

$a,b$ : les bases, nombres réels non nuls ( $a,b\in\mathbb{R}_0$ ) ;
$n,m$ : les exposants, nombres entiers relatifs ( $n,m\in\mathbb{Z}$ ) ;
le symbole « $\times$ » est le produit ; toutes ces quantités sont des nombres sans unité.

Lecture des règles. Trois idées seulement à mémoriser :

même base, on multiplie $\Rightarrow$ on additionne les exposants ( $a^n\times a^m=a^{n+m}$ ) ;
même base, on divise $\Rightarrow$ on soustrait les exposants ( $a^n/a^m=a^{n-m}$ ) ;
même exposant, bases différentes $\Rightarrow$ on peut regrouper les bases ( $a^n b^n=(ab)^n$ ) ;
une puissance de puissance $\Rightarrow$ on multiplie les exposants ( $(a^n)^m=a^{nm}$ ).

Formule2.2exposant nul, négatif et inverse

\boxed{\,a^{0}=1\,}\ (a\neq 0);\qquad \boxed{\,a^{-n}=\dfrac{1}{a^{n}}\,};\qquad \boxed{\,a^{-m}\times b^{m}=\bigl(b\,a^{-1}\bigr)^{m}=\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)^{m}}.

En particulier $a^{-3}=\dfrac{1}{a^{3}}$ .

où :

$a^{0}=1$ : toute base non nulle élevée à la puissance $0$ vaut $1$ ;
$a^{-n}$ : un exposant négatif signifie « passer à l'inverse » ( $a\in\mathbb{R}_0$ ) ;
$\Bigl(\dfrac{b}{a}\Bigr)^{m}$ : un quotient élevé à une puissance ( $a\in\mathbb{R}_0$ ).

Définition2.2racine $n$ -ième et exposant fractionnaire

La racine $n$ -ième d'un réel $c>0$ se note $\sqrt[n]{c}$ ; c'est l'unique réel positif dont la puissance $n$ vaut $c$ . On la relie aux puissances par un exposant fractionnaire :

\boxed{\,\sqrt[n]{c}=c^{\frac{1}{n}}\,},\qquad\text{et plus généralement}\qquad \sqrt[n]{c^{\,p}}=c^{\frac{p}{n}}.

où :

$c$ : le radicande, réel strictement positif ( $c\in\mathbb{R}_0^{+}$ ) ;
$n$ : l'indice de la racine, entier $\geq 1$ ( $n\in\mathbb{N}_0$ ) ;
$\dfrac{1}{n}$ ou $\dfrac{p}{n}$ : l'exposant fractionnaire équivalent.

Propriété2.1racine d'un carré : valeur absolue

Attention à un piège fréquent : pour tout réel $A$ ,

\boxed{\,\sqrt{A^{2}}=|A|\,}\qquad\text{(et non simplement } A\text{ !).}

La racine carrée renvoie toujours un résultat $\geq 0$ : si $A\geq 0$ , $\sqrt{A^2}=A$ ; si $A<0$ , $\sqrt{A^2}=-A>0$ . On retiendra cette identité pour la section sur les racines emboîtées.

Le signe d'une puissance : exposant pair ou impair

Propriété2.2règle des signes pour une base négative

Le signe de $(-a)^{n}$ (avec $a>0$ ) ne dépend que de la parité de l'exposant $n$ :

(-a)^{2n}=+a^{2n}\quad(\text{exposant pair}),\qquad (-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}\quad(\text{exposant impair}).

Il faut donc distinguer avec soin où s'applique le signe « $-$ ». Détaillons sur l'exemple $2$ , c'est-à-dire $a=2$ :

Exemplele « $-$ » dans la base ou devant la puissance ?

\begin{align*} (-2)^{2} &= (-2)\times(-2) = +4 &&\text{(le signe est dans la base : il se neutralise, exposant pair)} \\ -2^{2} &= -(2\times 2) = -4 &&\text{(le signe est \emph{devant} : il ne participe pas à la puissance)} \\ -(-2)^{2n} &= -\bigl(2^{2n}\bigr) = -2^{2n} &&\text{(exposant pair $\Rightarrow (-2)^{2n}=2^{2n}$, puis le « $-$ » reste)} \\ -(-2)^{2n+1} &= -\bigl(-2^{2n+1}\bigr) = +2^{2n+1} &&\text{(exposant impair $\Rightarrow (-2)^{2n+1}=-2^{2n+1}$, le « $-$ » l'annule)} \end{align*}

Conclusion : $(-2)^{2}\neq -2^{2}$ . Le parenthésage change tout.

Comment faire : simplifier une expression à exposants

Comment faireramener une expression sous la forme $c^{k}$

Convertir toutes les racines en exposants fractionnaires : $\sqrt[n]{\,\cdot\,}=(\cdot)^{1/n}$ .
Empiler les exposants de l'intérieur vers l'extérieur avec $(a^{n})^{m}=a^{nm}$ .
Regrouper les exposants : multiplier ceux qui sont emboîtés, additionner ceux d'un même produit.
Simplifier la fraction d'exposants obtenue.

Exempleracines emboîtées — calcul détaillé

Simplifions l'expression $\displaystyle \sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{\,2n^{2}}}}$ pour $c>0$ et $n\in\mathbb{N}_0$ .

Étape 1 — racine intérieure en exposant. La racine intérieure $\sqrt[n]{c^{2n^2}}$ devient $\bigl(c^{2n^2}\bigr)^{\frac{1}{n}}$ .

Étape 2 — racine extérieure en exposant. Toute l'expression s'écrit alors

\sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{\,2n^{2}}}} =\left(\Bigl(c^{2n^{2}}\Bigr)^{\frac{1}{n}}\right)^{\!\frac{1}{n}}.

Étape 3 — on multiplie les exposants emboîtés (règle $(a^p)^q=a^{pq}$ ) :

=\Bigl(c^{2n^{2}}\Bigr)^{\frac{1}{n^{2}}} = c^{\,2n^{2}\times\frac{1}{n^{2}}}.

Étape 4 — on simplifie l'exposant : $\;2n^{2}\times\dfrac{1}{n^{2}}=2$ . D'où

\boxed{\;\sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{\,2n^{2}}}}=c^{2}.\;}

Le résultat ne dépend plus de $n$ : tout le « bruit » se simplifie.

Exemplemanipulations courantes, expliquées une à une

\begin{align*} a^{-m}\times b^{m} &= \frac{b^{m}}{a^{m}} = \Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^{m} &&\text{exposant négatif} \to \text{inverse, puis même exposant} \to \text{quotient} \\[2pt] \frac{a^{n}}{a^{m}} &= a^{n-m} &&\text{même base, division} \to \text{soustraction des exposants} \\[2pt] \frac{1}{a^{3}} &= a^{-3} &&\text{l'inverse d'une puissance} \to \text{exposant opposé} \\[2pt] \bigl(2^{x}\bigr)^{3} &= 2^{3x} &&\text{puissance de puissance} \to \text{produit des exposants} \end{align*}

La fonction exponentielle $x\mapsto a^{x}$ : croissance et décroissance

Quand on laisse la base $a$ fixe et qu'on fait varier l'exposant $x$ , on obtient la fonction exponentielle de base $a$ . Son comportement dépend entièrement de la position de $a$ par rapport à $1$ .

Propriété2.3monotonie de l'exponentielle

Soit $a\in\mathbb{R}_0^{+}\setminus\{1\}$ et la fonction $f:x\mapsto a^{x}$ définie sur $\mathbb{R}$ .

Si $a>1$ , $f$ est strictement croissante : un plus grand exposant donne un plus grand résultat. a^x_1>a^x_2 et a>1 x_1>x_2.
Si $0<a<1$ , $f$ est strictement décroissante : un plus grand exposant donne un plus petit résultat. a^x_1>a^x_2 et 0<a<1 x_1<x_2.
Dans les deux cas, $f$ est injective : $a^{x_1}=a^{x_2}\;\Longrightarrow\;x_1=x_2$ .

Remarque

Les deux courbes passent toutes par le point $(0,1)$ , puisque $a^{0}=1$ quelle que soit la base. Remarquez aussi qu'elles sont l'image l'une de l'autre par la symétrie $x\mapsto -x$ , car $\bigl(\tfrac12\bigr)^{x}=2^{-x}$ .

Comment faire : résoudre une équation exponentielle

Comment faireéquation du type $a^{u(x)}=a^{v(x)}$

L'exponentielle étant injective, l'égalité des puissances équivaut à l'égalité des exposants (à condition d'avoir la même base des deux côtés).

Ramener les deux membres à une même base $a$ (avec $a>0$ , $a\neq 1$ ).
Supprimer les bases : $a^{u}=a^{v}\Longleftrightarrow u=v$ .
Résoudre l'équation ordinaire obtenue sur les exposants.
Écrire l'ensemble solution $S$ .

Exempletrois équations exponentielles détaillées

(a) $2^{2x+1}=2^{x}$ . Même base $2$ , on égale les exposants :

2x+1=x \;\Longleftrightarrow\; x=-1, \qquad S=\{-1\}.

(b) $2^{2x+1}=2^{-x}$ . Toujours la base $2$ :

2x+1=-x \;\Longleftrightarrow\; 3x=-1 \;\Longleftrightarrow\; x=-\tfrac{1}{3}, \qquad S=\Bigl\{-\tfrac{1}{3}\Bigr\}.

(c) $\displaystyle\Bigl(\frac{2^{2x+1}}{2^{x}}\Bigr)^{3}=1$ . On simplifie d'abord l'intérieur ( $\tfrac{2^{2x+1}}{2^{x}}=2^{2x+1-x}=2^{x+1}$ ), puis on monte au cube :

\bigl(2^{x+1}\bigr)^{3}=2^{3x+3}=1=2^{0} \;\Longleftrightarrow\; 3x+3=0 \;\Longleftrightarrow\; x=-1,\qquad S=\{-1\}.

On a utilisé $1=2^{0}$ pour se ramener à une comparaison d'exposants.

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3. Les logarithmes
4. Factorisation et résolution d'équations
5. Résolution des systèmes d'équations
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Rappel d'outils

1Le langage de l'algèbre : ensembles et notations

Les grands ensembles de nombres

Comment lire les notations N0\mathbb{N}_0N0​, Z0\mathbb{Z}_0Z0​, R0\mathbb{R}_0R0​, R0+\mathbb{R}_0^+R0+​

2Puissances, racines et exposants

Les règles de calcul des exposants

Le signe d'une puissance : exposant pair ou impair

Comment faire : simplifier une expression à exposants

La fonction exponentielle x↦axx\mapsto a^{x}x↦ax : croissance et décroissance

Comment faire : résoudre une équation exponentielle

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Comment lire les notations $\mathbb{N}_0$ , $\mathbb{Z}_0$ , $\mathbb{R}_0$ , $\mathbb{R}_0^+$

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