Rappel d'outils

$\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots\}$ (naturels), $\mathbb{Z}$ (relatifs), $\mathbb{Q}=\{p/q,\ p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq0\}$ (rationnels), $\mathbb{R}$ (réels, dont $\sqrt2,\pi,e$).

• indice $0$ = « privé de $0$ » : $\mathbb{N}_0=\mathbb{N}\setminus\{0\}$, $\mathbb{Z}_0=\mathbb{Z}\setminus\{0\}$, $\mathbb{R}_0=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ ;
• exposant $+$ = « positifs (au sens large) » : $\mathbb{R}^{+}=[0,+\infty[$ ;
• $\mathbb{R}_0^{+}=\,]0,+\infty[$ (strictement positifs).

• dénominateur $\in\mathbb{R}_0$ (jamais $0$) ;
• $\log_a x$ exige $x\in\mathbb{R}_0^{+}$, $a\in\mathbb{R}_0^{+}\setminus\{1\}$ ;
• $\sqrt{x}$ exige $x\in\mathbb{R}^{+}$.

Pour $a,b\in\mathbb{R}_0$, $m,n\in\mathbb{Z}$ :

même base $\times$ $\Rightarrow$ exposants additionnés ; même base $\div$ $\Rightarrow$ soustraits ; même exposant $\Rightarrow$ bases regroupées ; puissance de puissance $\Rightarrow$ exposants multipliés.

$(-a)^{2n}=+a^{2n}$ (pair) ; $(-a)^{2n+1}=-a^{2n+1}$ (impair), pour $a>0$.

$(-2)^{2}=+4$ (signe dans la base, exposant pair) mais $-2^{2}=-4$ (signe devant, exclu de la puissance). Donc $(-2)^2\neq-2^2$ : le parenthésage change tout.

1. Convertir les racines en exposants fractionnaires.
2. Empiler les exposants emboîtés : $(a^n)^m=a^{nm}$.
3. Regrouper (multiplier emboîtés, additionner produits).
4. Simplifier la fraction d'exposants.

$\sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{2n^{2}}}}=\bigl(c^{2n^2}\bigr)^{1/n^{2}}=c^{2}$ (indépendant de $n$).

Pour $a\in\mathbb{R}_0^+\setminus\{1\}$ : si $a>1$, $x\mapsto a^x$ strictement croissante ; si $0<a<1$, strictement décroissante. Dans les deux cas, injective : $a^{x_1}=a^{x_2}\Rightarrow x_1=x_2$.

Même base $\Rightarrow$ $u=v$ (car $a^x$ injective). Ramener à une base commune, égaler les exposants, résoudre.

$2^{2x+1}=2^{x}\Leftrightarrow 2x+1=x\Leftrightarrow x=-1$. $\bigl(2^{2x+1}/2^{x}\bigr)^{3}=1\Leftrightarrow 2^{3x+3}=2^0\Leftrightarrow x=-1$.

Pour $x,y\in\mathbb{R}_0^{+}$, $a\in\mathbb{R}_0^{+}\setminus\{1\}$, $n\in\mathbb{Z}_0$ :

Produit $\to$ somme, quotient $\to$ différence, puissance $\to$ produit.

$\log x=\log_{10}x$ (décimal) ; $\ln x=\log_e x$ (népérien, $e\approx2{,}718$) ; $\log_{10}x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$.

$a>1$ : $\log_a$ strictement croissant ($\log_a x\geq\log_a y\Leftrightarrow x\geq y$). $0<a<1$ : strictement décroissant (l'inégalité change de sens).

$\log_a\sqrt[n]{x}=\tfrac1n\log_a x$ ; $\log_a\tfrac1x=-\log_a x$ ; $\ln e=1$ ; $\ln 0{,}1=-\ln 10\approx-2{,}30$.

1. C.E. d'abord : argument de log $>0$.
2. Inconnue en exposant $\Rightarrow$ appliquer $\ln$ aux deux membres, $\ln(a^u)=u\ln a$.
3. Inconnue dans un log $\Rightarrow$ repasser en exponentiel : $\log_a u=v\Leftrightarrow u=a^v$.
4. Résoudre, puis vérifier la C.E.

$e^{2x}=10\Rightarrow x=\tfrac{\ln10}{2}$ (aucune C.E., $e^{2x}>0$ toujours). $2\times10^{5x}=5\Rightarrow x=\tfrac15(\log5-\log2)$. $\ln(x-1)\geq\ln2$ : C.E. $x>1$, puis $x-1\geq2\Rightarrow S=[3,+\infty[$.