Rappel d'outils et concepts de base en algèbre

Racine = exposant fractionnaire : $\sqrt[n]{c}=c^{1/n}$, $\ \sqrt[n]{c^{\,p}}=c^{p/n}$. Changement de base : $\log_a x=\dfrac{\ln x}{\ln a}$.

$(-a)^{2}=+a^{2}$ (signe dans la base, exposant pair) $\ \neq\ -a^{2}=-(a^{2})$ (signe devant). $\sqrt{A^{2}}=|A|$ (jamais simplement $A$). $\ln^{2}x=(\ln x)^{2}\ \neq\ \ln x^{2}=2\ln x$.

1. chercher une forme $(u\pm v)^{2}=u^{2}+v^{2}\pm2uv$ sous la racine ;
2. identifier le double produit $2uv$ dans l'expression ;
3. conclure $\sqrt{(u\pm v)^{2}}=|u\pm v|$ et lever la valeur absolue selon le signe connu de $u\pm v$.

Ex. : $\sqrt{4-2\sqrt3}=\sqrt{(\sqrt3-1)^{2}}=\sqrt3-1$ (car $\sqrt3>1$).

• pour classer $-5^{1},\,5^{-1},\,-\tfrac15,\,\bigl(\tfrac15\bigr)^{-1}$ : calculer chaque valeur décimale avant de comparer ;
• $x^{p/n}$ se relit $\sqrt[n]{x^{p}}$ — utile pour reconnaître une expression égale à $\sqrt{x^{5}}$ ;
• un exposant $-\tfrac13$ s'inverse d'abord ($a^{-1/3}=1/a^{1/3}$), puis se traite comme une racine cubique.

$A^{2}-B^{2}=(A-B)(A+B)$ $(A\pm B)^{2}=A^{2}\pm2AB+B^{2}$

$\Delta=B^{2}-4AC$ : $\Delta>0\Rightarrow x_{1,2}=\dfrac{-B\pm\sqrt\Delta}{2A}$ (2 racines) ; $\Delta=0\Rightarrow x_1=\dfrac{-B}{2A}$ (racine double) ; $\Delta<0\Rightarrow$ aucune racine réelle.

Viète : $x_1+x_2=-\dfrac{B}{A}$, $x_1x_2=\dfrac{C}{A}$ ; forme factorisée $Ax^{2}+Bx+C=A(x-x_1)(x-x_2)$.

1. chercher une racine évidente $a$ ($P(a)=0$, tester $\pm1,\pm2,\dots$) ;
2. construire le tableau de Horner (abaisser, multiplier par $a$, additionner) $\to$ quotient $Q(x)$ ;
3. écrire $P(x)=(x-a)\,Q(x)$ ; si $\deg Q\geq2$, refactoriser $Q$ (identité remarquable ou $\Delta$).

Inéquation produit/quotient : factoriser en facteurs du 1^er/2^e degré, placer les zéros dans l'ordre croissant, puis multiplier les signes colonne par colonne (un dénominateur nul $\Rightarrow\nexists$).

$A=B\Rightarrow A^{2}=B^{2}$, mais faux si $B<0$ : élever au carré introduit des solutions étrangères — réinjecter dans l'équation de départ, rejeter les invalides (ex. $x=\sqrt{1+\sqrt{1+x}}$ impose $x\geq0$).

Pour « 2 racines distinctes », imposer $\Delta(m)>0$ et résoudre l'inéquation sur $m$. Si les racines $x_1,x_2$ sont données, reconstruire $P(x)=A(x-x_1)(x-x_2)$ puis utiliser une valeur connue de $P$ pour trouver $A$.