MathématiquesFiche 2 · Calcul vectoriel
Mathématiques · Fiche 2

Calcul vectoriel

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Ce que tu sauras faire

  • définir un vecteur par ses trois caractéristiques (direction, sens, norme) ;
  • calculer les composantes et la norme d'un vecteur à partir des coordonnées de deux points ;
  • travailler dans une base orthonormale et un repère du plan ;
  • additionner et soustraire des vecteurs avec la relation de Chasles et la règle du parallélogramme ;
  • multiplier un vecteur par un réel et reconnaître des vecteurs colinéaires (points alignés, droites parallèles) ;
  • calculer un produit scalaire de deux manières, en déduire l'angle entre deux vecteurs et tester leur orthogonalité.

1Introduction : pourquoi des vecteurs ?

Beaucoup de grandeurs se décrivent par un seul nombre accompagné de son unité : la masse (70 kg70\,\mathrm{kg}), la température (37 ∘C37\,{}^{\circ}\mathrm{C}), une durée (12 s12\,\mathrm{s}). On les appelle des grandeurs scalaires.

D'autres grandeurs ont besoin, en plus d'un nombre, d'une direction et d'un sens pour être complètement décrites : un déplacement (« 3 km3\,\mathrm{km} vers le nord-est »), une vitesse, une force. Ce sont des grandeurs vectorielles, et l'outil mathématique qui les représente est le vecteur.

Le calcul vectoriel est donc le langage commun des mathématiques et de la physique : il permet d'additionner des déplacements, de composer des vitesses (le célèbre exemple de l'avion dans le vent), de décider si deux directions sont parallèles ou perpendiculaires, et de calculer le travail d'une force grâce au produit scalaire. Cette fiche construit cet outil pas à pas, des définitions de base jusqu'au produit scalaire, avec de nombreux exemples détaillés.

Remarquescalaire ou vecteur ?

Un scalaire est un nombre réel (avec éventuellement une unité). Un vecteur possède trois caractéristiques simultanées : une direction, un sens et une norme. On le note avec une flèche : u⃗\vec{u}, ou AB→\overrightarrow{AB} lorsqu'on précise son origine AA et son extrémité BB.

2Définitions et notations

Qu'est-ce qu'un vecteur ?

Définition2.1vecteur

Un vecteur u⃗\vec{u} est un ensemble de segments orientés portant chacun une origine et une extrémité, et se caractérisant tous par :

  • la même direction (celle de la droite qui porte le segment) ;
  • le même sens (de l'origine vers l'extrémité, indiqué par la pointe de la flèche) ;
  • la même norme (la longueur du segment).

Deux segments orientés qui partagent ces trois caractéristiques représentent le même vecteur : on dit qu'ils sont équipollents.

Concrètement, un vecteur peut être « glissé » n'importe où dans le plan tant qu'on ne change ni sa direction, ni son sens, ni sa longueur. La figure 1 illustre cette idée : les segments orientés AB→\overrightarrow{AB}, CD→\overrightarrow{CD} et EF→\overrightarrow{EF} sont parallèles, de même longueur et de même sens : ils représentent donc tous le vecteur u⃗\vec{u}.

Figure 1 — Figure 1 : un même vecteur u⃗=AB→=CD→=EF→\vec{u}=\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EF} représenté trois fois (segments équipollents). Le vecteur v⃗=GH→\vec{v}=\overrightarrow{GH} a la même direction et la même norme que u⃗\vec{u} mais un sens contraire : c'est le vecteur opposé, v⃗=−u⃗\vec{v}=-\vec{u}.

Sur cette figure, on lit les trois caractéristiques de u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} :

  • direction : celle de la droite (AB)(AB) — la même que (CD)(CD) et (EF)(EF), qui sont parallèles ;
  • sens : de AA vers BB (ou de CC vers DD, ou de EE vers FF) ;
  • norme : la longueur AB=(4−2)2+(5−2)2=4+9=13AB=\sqrt{(4-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}.

Norme d'un vecteur

Définition2.2norme

La norme d'un vecteur u⃗=AB→\vec{u}=\overrightarrow{AB} est la longueur du segment [AB][AB]. C'est un nombre réel positif ou nul. On la note avec des doubles barres :

∥u⃗∥  =  ∥AB→∥  =  AB.\left\lVert \vec{u}\right\rVert \;=\; \left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert \;=\; AB .
Remarqueunités d'un vecteur

En mathématiques « pures », les composantes et la norme d'un vecteur sont de simples nombres (sans dimension). Mais dès qu'un vecteur modélise une grandeur physique, chacune de ses composantes et sa norme portent l'unité de cette grandeur :

  • vecteur déplacement : composantes et norme en mètres () ;
  • vecteur vitesse : en mètres par seconde () ;
  • vecteur force : en newtons ().

La norme a toujours la même unité que les composantes ; c'est une longueur dans l'espace de la grandeur considérée.

Vecteur nul, vecteurs opposés

Définition2.3vecteur nul

Si l'extrémité BB est confondue avec l'origine AA, le segment se réduit à un point : le vecteur est le vecteur nul, noté 0⃗\vec{0}. Il n'a pas de direction ni de sens définis, et sa norme est nulle :

AA→=0⃗,∥0⃗∥=0.\overrightarrow{AA}=\vec{0}, \qquad \left\lVert \vec{0}\right\rVert=0 .
Définition2.4vecteurs opposés

Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils ont la même direction, la même norme mais des sens contraires. Sur la figure 1, u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} sont opposés :

u⃗=−v⃗,c’est-aˋ-direAB→=−GH→.\vec{u}=-\vec{v}, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{GH}.

En particulier, échanger l'origine et l'extrémité d'un vecteur l'inverse :

Formule2.1vecteur inverse
  AB→=−BA→  \boxed{\;\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}\;}
où :
  • AB→\overrightarrow{AB} : vecteur d'origine AA et d'extrémité BB ;
  • BA→\overrightarrow{BA} : le même segment parcouru en sens inverse (origine BB, extrémité AA) ;
  • conséquence : AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} ont la même norme, ∥AB→∥=∥BA→∥\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\left\lVert \overrightarrow{BA}\right\rVert, et la même unité physique le cas échéant.

Composantes et norme à partir des coordonnées des points

C'est l'outil de calcul le plus utilisé de toute la fiche. Dans un repère, un vecteur se ramène à un couple de nombres : ses composantes.

Formule2.2composantes et norme du vecteur AB→\overrightarrow{AB}AB

Si A (xA;yA)A\,(x_A;y_A) et B (xB;yB)B\,(x_B;y_B), alors :

  AB→ (xB−xA ; yB−yA)  et  ∥AB→∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2  \boxed{\;\overrightarrow{AB}\,\bigl(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\bigr)\;} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\;\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\;}
où :
  • xA, yAx_A,\;y_A : coordonnées (abscisse, ordonnée) du point d'origine AA ;
  • xB, yBx_B,\;y_B : coordonnées du point d'extrémité BB ;
  • xB−xAx_B-x_A : première composante du vecteur (déplacement horizontal) ;
  • yB−yAy_B-y_A : seconde composante du vecteur (déplacement vertical) ;
  • ∥AB→∥\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert : norme (longueur) du vecteur, toujours ≥0\geq 0 ;
  • unité : si les coordonnées sont en mètres, composantes et norme sont en mètres ; sinon ce sont des nombres purs.
Remarqued'où vient la racine ?

La formule de la norme n'est que le théorème de Pythagore. Les deux composantes xB−xAx_B-x_A et yB−yAy_B-y_A sont les deux côtés d'un triangle rectangle dont le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est l'hypoténuse. La longueur de l'hypoténuse vaut donc la racine carrée de la somme des carrés des deux côtés.

Méthodecalculer les composantes et la norme d'un vecteur AB→\overrightarrow{AB}
  1. Repérer clairement l'origine AA et l'extrémité BB (la flèche part de AA).
  2. Soustraire « extrémité moins origine », coordonnée par coordonnée : xB−xAx_B-x_A puis yB−yAy_B-y_A. C'est l'erreur classique : on fait toujours B−-A, jamais l'inverse.
  3. Écrire les composantes entre parenthèses : AB→ (xB−xA ; yB−yA)\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A).
  4. Pour la norme : élever chaque composante au carré, additionner, prendre la racine.
Exempleun calcul complet, pas à pas

Soit A (2;2)A\,(2;2) et B (4;5)B\,(4;5) (les points de la figure 1).

Étape 1 — composantes (extrémité moins origine) :

AB→ ( xB−xA ; yB−yA )=AB→ ( 4−2 ; 5−2 )=AB→ (2;3).\overrightarrow{AB}\,\bigl(\,x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,\bigr)=\overrightarrow{AB}\,(\,4-2\,;\,5-2\,)=\overrightarrow{AB}\,(2;3).

La première composante 22 signifie « 22 vers la droite » ; la seconde 33 signifie « 33 vers le haut ».

Étape 2 — norme (Pythagore) :

∥AB→∥=(4−2)2+(5−2)2=22+32=4+9=13≈3,61.\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{(4-2)^2+(5-2)^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}\approx 3{,}61 .

On retrouve bien la valeur annoncée plus haut. Si ces points repéraient des positions en kilomètres, on écrirait ∥AB→∥=13 km≈3.61 km\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{13}\ \mathrm{km}\approx 3.61\,\mathrm{km}.

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  • 3. Base et repère du plan
  • 4. Opérations géométriques sur les vecteurs
  • 5. Produit scalaire de deux vecteurs
  • … et 2 de plus

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