MathématiquesFiche 2 · Calcul vectoriel
Mathématiques · Fiche de révision

Calcul vectoriel

Par cœur, méthodes, pièges et réflexes concours — la fiche condensée à relire la veille.

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1Vecteur : composantes & norme

Par cœurdéfinitions

Un vecteur u⃗\vec u a trois caractéristiques : direction, sens, norme. Segments équipollents = même vecteur.

AB→=−BA→,AA→=0⃗\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA},\qquad \overrightarrow{AA}=\vec 0
AB→ (xB−xA; yB−yA)\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A;\,y_B-y_A)
∥AB→∥=(xB−xA)2+(yB−yA)2\lVert\overrightarrow{AB}\rVert=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

Colinéaires : u⃗=kv⃗\vec u=k\vec v (k≠0k\neq0) ⟺ xy′−x′y=0\iff xy'-x'y=0.

Alignés : AB→=k AC→ ⟺ A,B,C\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}\iff A,B,C alignés.

Scalaire : ku⃗ (kx;ky)k\vec u\,(kx;ky), k∈Rk\in\mathbb{R}, ∥ku⃗∥=∣k∣ ∥u⃗∥\lVert k\vec u\rVert=|k|\,\lVert\vec u\rVert.

Méthodecomposantes & norme de AB→\overrightarrow{AB}
  1. Repérer l'origine AA et l'extrémité BB.
  2. Extrémité −- origine : xB−xAx_B-x_A puis yB−yAy_B-y_A (jamais l'inverse).
  3. Écrire AB→ (xB−xA;yB−yA)\overrightarrow{AB}\,(x_B-x_A;y_B-y_A).
  4. Norme : carrés, somme, racine (Pythagore).
Figure 1 — Composantes de AB→\overrightarrow{AB}.
Piègesens de la soustraction

Toujours extrémité moins origine. Inverser donne l'opposé BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB} : erreur de signe classique qui fausse tout le calcul (angle, orthogonalité...).

Réflexe concourscoordonnées

Égalité vectorielle du type 2AB→=BC→2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC} ⇒\Rightarrow identifier composante par composante, puis résoudre le système linéaire obtenu (2021, Q22).

2Chasles, parallélogramme, colinéarité

Par cœurrelations vectorielles
AB→+BC→=AC→(Chasles)\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\quad\text{(Chasles)}
AB→+AD→=AC→  ⟺  ABCD paralleˊlogramme\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}\iff ABCD \text{ parallélogramme}
v⃗1−v⃗2=v⃗1+(−v⃗2)\vec v_1-\vec v_2=\vec v_1+(-\vec v_2)
u⃗±v⃗ (x±x′;y±y′)\vec u\pm\vec v\,(x\pm x';y\pm y')
Méthodesimplifier une somme (Chasles)
  1. Bout à bout : extrémité de l'un = origine du suivant.
  2. Lettres intermédiaires disparaissent : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
  3. Remplacer AB→\overrightarrow{AB} par −BA→-\overrightarrow{BA} pour créer un enchaînement.
  4. Vecteur nul : AA→=0⃗\overrightarrow{AA}=\vec 0 disparaît de la somme.
Figure 2 — Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.
Réflexe concoursparallélogramme
  • M,NM,N milieux de [PS][PS] et [PQ][PQ] dans le parallélogramme PQRSPQRS ⇒2MN→=QS→=−PS→−RS→\Rightarrow 2\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{QS}=-\overrightarrow{PS}-\overrightarrow{RS} (le facteur 2 fait disparaître le milieu) (2023, Q4).
  • MM = intersection des diagonales [PR],[QS][PR],[QS] ⇒M\Rightarrow M milieu commun, donc P+R=Q+SP+R=Q+S : toute combinaison croisée s'équivaut, ex. SP→=MQ→−MR→\overrightarrow{SP}=\overrightarrow{MQ}-\overrightarrow{MR} (2020, Q11).
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J-0Le concours est le 27 août 2026 — chaque jour compte.

  • 3. Droites : directeur, parallèles, perpendiculaires
  • 4. Produit scalaire, angle, orthogonalité
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