Calcul vectoriel

Un scalaire est un nombre réel (éventuellement avec unité). Un vecteur possède trois caractéristiques simultanées : direction, sens et norme. Notation : $\vec{u}$ ou $\overrightarrow{AB}$ (origine $A$, extrémité $B$).

Un vecteur est un ensemble de segments orientés de même direction, même sens et même longueur : de tels segments sont dits équipollents et représentent le même vecteur — on peut donc le « glisser » librement dans le plan.

• norme $\left\lVert \vec u\right\rVert=\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=AB\ge 0$ : longueur du segment $[AB]$ ;
• vecteur nul $\vec 0$ : $\overrightarrow{AA}=\vec 0$, de norme nulle, sans direction ni sens ;
• vecteurs opposés : même direction, même norme, sens contraires ($\vec u=-\vec v$).

Si $A\,(x_A;y_A)$ et $B\,(x_B;y_B)$ :

$A\,(2;2)$, $B\,(4;5)$ : $\overrightarrow{AB}\,(4-2\,;\,5-2)=(2;3)$, et $\left\lVert \overrightarrow{AB}\right\rVert=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}\approx 3{,}61$.

Un repère $(O\,;\vec{\imath},\vec{\jmath})$ est orthonormé si $\vec{\imath}\perp\vec{\jmath}$ et $\left\lVert \vec{\imath}\right\rVert=\left\lVert \vec{\jmath}\right\rVert=1$. Tout vecteur $\vec u$ s'écrit de façon unique $\vec u=a\,\vec{\imath}+b\,\vec{\jmath}$ ; $(a;b)$ sont ses coordonnées, notées $\vec u\,(a;b)$.

Avec $\vec u\,(a;b)$ et $\vec v\,(a';b')$ :

principe : composante par composante ; $k\vec u$ garde l'unité de $\vec u$.

$\vec u\,(1;1)$, $\vec v\,(-2;4)$ : $\vec u+\vec v=(-1;5)$, $\vec u-\vec v=(3;-3)$, $3\vec u=(3;3)$.

1. trouver un vecteur directeur de chaque droite ($\overrightarrow{AB}$, ou $(-b;a)$ depuis l'équation) ;
2. parallèles : vecteurs colinéaires (ou $m=m'$) ;
3. perpendiculaires : produit scalaire des vecteurs directeurs nul (ou $mm'=-1$).

Pour tous points $A,B,C$ :

Chasles ne s'applique directement que si l'extrémité du premier vecteur = origine du second. Sinon, on translate un des vecteurs (équipollence) pour recréer l'enchaînement.

Si $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$ (même origine $A$), alors $ABCD$ est un parallélogramme : la diagonale issue de $A$ porte la somme des deux côtés.

$k\vec v$ : même direction que $\vec v$, même sens si $k>0$ (sens contraire si $k<0$), norme multipliée par $|k|$.

$\vec u$ et $\vec v\;(\neq\vec 0)$ sont colinéaires ssi $\exists\,k\neq0$, $\vec u=k\vec v$ (même direction). Si $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{AC}$, alors $A,B,C$ sont alignés ; si $\overrightarrow{AB}=k\,\overrightarrow{CD}$, alors $(AB)\parallel(CD)$.

Avec $\vec u\,(x;y)$ et $\vec v\,(x';y')$ : colinéaires $\iff xy'-x'y=0$. Test le plus rapide, sans chercher $k$.

Calculer $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$, puis le déterminant $x_{AB}y_{AC}-x_{AC}y_{AB}$ : nul $\Rightarrow$ alignés.

$A(0;3)$, $B(1;5)$, $C(-2;-1)$, $D(2;2)$ : $\overrightarrow{AB}(1;2)$, $\overrightarrow{AC}(-2;-4)=-2\,\overrightarrow{AB}$ $\Rightarrow A,B,C$ alignés. $\overrightarrow{AD}(2;-1)$ et $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}=1\times2+2\times(-1)=0$ $\Rightarrow (AB)\perp(AD)$.