Mathématiques · Fiche 7

Intégrale d'une fonction continue

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Ce que tu sauras faire

définir une primitive et comprendre pourquoi il en existe une infinité (constante $C$ ) ;
utiliser le tableau des primitives usuelles en repérant la forme $U$ et son $\mathrm{d} U$ ;
appliquer la méthode d'intégration par parties et faire le bon choix $U/V'$ ;
décomposer une fraction rationnelle en éléments simples pour l'intégrer ;
relier l'intégrale définie à la primitive via la formule de Newton–Leibniz ;
exploiter les propriétés des intégrales (Chasles, linéarité, positivité, croissance) ;
calculer des aires planes : sous une courbe, entre deux courbes, avec changement de signe.

1Introduction : de la dérivée à l'intégrale

La dérivation répond à la question : « étant donné une fonction $F$ , quelle est sa dérivée $f=F'$ ? » L'intégration pose la question inverse : « étant donné une fonction $f$ , peut-on retrouver une fonction $F$ dont $f$ est la dérivée ? » Une telle fonction $F$ s'appelle une primitive de $f$ . À ce pur problème algébrique s'ajoute, dès qu'on encadre $f$ entre deux bornes $a$ et $b$ , une interprétation géométrique puissante : l'intégrale définie $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d} x$ mesure l' aire comprise entre la courbe de $f$ , l'axe des abscisses et les droites $x=a$ , $x=b$ .

Le problème inverse de la dérivation

On connaît, depuis la fiche « Dérivation », que la dérivée de $x^2$ est $2x$ . Réciproquement, une primitive de $f(x)=2x$ est $F(x)=x^2$ , car $(x^2)'=2x$ . Mais $x^2+1$ , $x^2-5$ , $x^2+\pi$ conviennent tout aussi bien : elles ne diffèrent que par une constante, qui disparaît quand on dérive. C'est cette famille de fonctions, toutes égales à une constante près, que l'on note $\int 2x\,\mathrm{d} x = x^2+C$ .

Intégrale indéfinie vs intégrale définie

Il faut bien distinguer deux notations très proches mais de nature différente :

Notation	Nature du résultat	Constante $C$ ?
$\displaystyle\int f(x)\,\mathrm{d} x$ (intégrale indéfinie)	Une fonction (la famille des primitives de $f$ ).	Oui, obligatoire.
$\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d} x$ (intégrale définie)	Un nombre (une aire algébrique).	Non, $C$ se simplifie.

Remarquela virgule et la virgule…

En notation francophone, la virgule est le séparateur décimal ( $1{,}5$ ), tandis que $\mathrm{d} x$ dans l'intégrale n'est pas une multiplication mais l'indicateur de la variable d'intégration. Ne jamais écrire $\int f(x)dx$ sans espace : on écrit $\int f(x)\,\mathrm{d} x$ .

Vocabulaire et notations

Définition1.1primitive, intégrale indéfinie

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ et $f$ une fonction définie sur $I$ . On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute fonction $F$ définie et dérivable sur $I$ dont la dérivée est $f$ , c'est-à-dire telle que

F'(x)=f(x)\qquad\text{pour tout }x\in I.

On note alors

\boxed{\;\int f(x)\,\mathrm{d} x = F(x)+C\;}

l'intégrale indéfinie de $f$ , où $C$ est une constante réelle arbitraire.

où :

$f$ : la fonction à intégrer, appelée intégrande (même « dimension » que $F$ divisée par $x$ ) ;
$F$ : une primitive particulière de $f$ (même « dimension » que $f\times x$ ) ;
$C\in\mathbb{R}$ : la constante d'intégration (même « dimension » que $F$ ) ;
$\mathrm{d} x$ : indique que l'on intègre par rapport à la variable $x$ .

En mathématiques pures, $x$ et $f(x)$ sont des nombres sans dimension : la primitive $F$ aussi. Lorsque $f$ représente une grandeur physique (vitesse, concentration, force…), la dimension de $F=\int f\,\mathrm{d} x$ est $[F]=[f]\times[x]$ : par exemple, intégrer une vitesse ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) par rapport au temps ( $\mathrm{s}$ ) donne une distance ( $\mathrm{m}$ ). C'est tout l'intérêt de l'intégrale en sciences.

2Primitive d'une fonction

Pourquoi une infinité de primitives ?

Comme la dérivée d'une constante est nulle, ajouter n'importe quel nombre $C$ à une primitive $F$ ne change pas sa dérivée :

Propriété2.1structure de la famille des primitives

Si $F$ est une primitive de $f$ sur un intervalle $I$ , alors toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions de la forme

\boxed{\;x\longmapsto F(x)+C,\qquad C\in\mathbb{R}.\;}

Réciproquement, deux primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une constante.

Remarquequand peut-on parler de « la » primitive ?

Sur un intervalle, deux primitives ne différent que d'une constante : dire « la » primitive est donc abusif tant que $C$ n'est pas fixée. On la détermine dès qu'on impose une condition initiale (la valeur de $F$ en un point), exactement comme en physique où la vitesse initiale fixe la constante d'intégration du mouvement.

Propriétés fondamentales (linéarité)

L'intégration est une opération linéaire, image miroir de la linéarité de la dérivée :

Propriété2.2linéarité de l'intégrale indéfinie

Pour toutes fonctions $f$ , $g$ admettant des primitives et toute constante $k\in\mathbb{R}$ :

\begin{align} \int \bigl[f(x)+g(x)\bigr]\,\mathrm{d} x &= \int f(x)\,\mathrm{d} x+\int g(x)\,\mathrm{d} x, \\ \int k\,f(x)\,\mathrm{d} x &= k\int f(x)\,\mathrm{d} x. \end{align}

Exemplescinder puis intégrer terme à terme

Calculer $\displaystyle I=\int\bigl(3x^2+2x-5\bigr)\,\mathrm{d} x$ .

Méthode. Par linéarité 2–2, on intègre chaque terme séparément :

I=3\int x^2\,\mathrm{d} x+2\int x\,\mathrm{d} x-5\int 1\,\mathrm{d} x =3\cdot\frac{x^{3}}{3}+2\cdot\frac{x^{2}}{2}-5\,x+C =\boxed{\,x^{3}+x^{2}-5x+C.\,}

On peut vérifier le résultat en dérivant : $(x^3+x^2-5x+C)'=3x^2+2x-5$ . On retrouve bien l'intégrande : c'est le réflexe indispensable pour traquer les erreurs de signe et de coefficient.

3Le formulaire des primitives usuelles

Toute la mécanique du calcul intégral repose sur un tableau de formes de référence, à connaître par cœur. Chaque ligne associe à une forme d'intégrande une primitive. La subtilité est que la formule est écrite avec une fonction auxiliaire $U(x)$ et son différentiel $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ : c'est ce qui permet d'intégrer des fonctions composées.

Mécanisme clé : la règle du $\mathrm{d} U$

Méthodeidentifier $U$ et faire apparaître $\mathrm{d} U$

La quasi-totalité des primitives du tableau s'écrivent en fonction d'une expression $U(x)$ et de $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ . La mécanique est toujours la même :

Repérer dans l'intégrande une « brique » $U(x)$ (ce qui est à l'intérieur d'une puissance, d'un logarithme, d'un cosinus, d'une exponentielle…).
Calculer $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ .
Comparer $\mathrm{d} U$ avec ce qui est réellement écrit dans l'intégrande : s'il manque une constante $k$ , on la compense en multipliant et divisant par $k$ (linéarité). S'il manque un facteur non constant, la forme directe ne marche pas : penser à l'intégration par parties (section 4).
Appliquer la formule du tableau avec $U$ à la place de $x$ .

Forme 1 – constante et puissance

Formule3.1primitive d'une constante

Pour toute constante $a\in\mathbb{R}$ :

\boxed{\;\int a\,\mathrm{d} U = a\,U+C,\qquad \text{en particulier}\quad \int a\,\mathrm{d} x = a\,x+C.\;}

où :

$a$ : constante réelle (sans dimension si $x$ est sans dimension) ;
$U$ : fonction de la variable $x$ ; $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ ;
$C\in\mathbb{R}$ : constante d'intégration.

Formule3.2primitive d'une puissance ( $U^n$ )

Pour $n\in\mathbb{R}$ avec $n\neq -1$ :

\boxed{\;\int U^{\,n}\,\mathrm{d} U = \frac{U^{\,n+1}}{n+1}+C.\;}

où :

$U(x)$ : la fonction « interne » (souvent $U=x$ , d'où $\int x^n\mathrm{d} x=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ) ;
$n$ : exposant réel quelconque, sauf $-1$ (cas traité par le logarithme, forme 3) ;
$\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$ : le différentiel, qui doit apparaître tel quel dans l'intégrande.

Attentionle piège $n=-1$

La formule $\dfrac{U^{n+1}}{n+1}$ n'a pas de sens pour $n=-1$ (division par zéro). Une primitive de $1/x$ n'est pas une puissance : c'est $\ln|x|$ (voir forme 3).

Exemplepuissance simple

$\displaystyle\int x^{2018}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2019}}{2019}+C$ (ici $U=x$ , $n=2018$ , $\mathrm{d} U=\mathrm{d} x$ ).
On gagne un temps précieux au concours en reconnaissant ces formes directes sans développer.

Exemplecomposition affine — faire apparaître le $\mathrm{d} U$

Calculer $\displaystyle\int (x+3)^3\,\mathrm{d} x$ .

Identification. On pose $U=x+3$ , donc $U'=1$ et $\mathrm{d} U=1\cdot\mathrm{d} x=\mathrm{d} x$ . Le $\mathrm{d} U$ demandé par la formule ( $\mathrm{d} x$ ) est exactement présent. Avec $n=3$ :

\int (x+3)^3\,\mathrm{d} x=\int U^3\,\mathrm{d} U=\frac{U^{4}}{4}+C=\boxed{\,\frac{(x+3)^4}{4}+C.\,}

Vérification. En dérivant $\dfrac{(x+3)^4}{4}$ : $\dfrac{4(x+3)^3\cdot 1}{4}=(x+3)^3$ . ✓

Exemplecomposition non triviale — compenser par une constante

Calculer $\displaystyle\int (5x^2+3)^3\,10x\,\mathrm{d} x$ .

Identification. Posons $U=5x^2+3$ . Alors $U'=10x$ et $\mathrm{d} U=10x\,\mathrm{d} x$ . C'est exactement le facteur $10x\,\mathrm{d} x$ qui accompagne $(5x^2+3)^3$ dans l'intégrande : tout est réuni pour appliquer la formule avec $n=3$ :

\int U^3\,\mathrm{d} U=\frac{U^4}{4}+C=\boxed{\,\frac{(5x^2+3)^4}{4}+C.\,}

Si $10x$ avait été remplacé par $5x$ . Il manquerait un facteur $2$ : on écrirait $5x\,\mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ , d'où $\int U^3\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\cdot\tfrac{U^4}{4}+C$ . C'est le mécanisme compenser par une constante de la méthode ci-dessus.

Forme 2 – logarithme ( $\mathrm{d} U/U$ )

Formule3.3primitive de $\mathrm{d} U/U$

\boxed{\;\int \frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C.\;}

où :

$U(x)$ : fonction qui ne s'annule pas sur l'intervalle considéré ;
$|U|$ : valeur absolue, obligatoire car $\ln$ n'est défini que sur $]0,+\infty[$ ;
dimension : $\ln|U|$ est un nombre sans dimension (un logarithme est toujours sans dimension).

Attentionne jamais oublier la valeur absolue

Écrire $\int \dfrac{\mathrm{d} x}{x}=\ln x+C$ est faux en général : cela n'est valable que sur $]0,+\infty[$ . Sur $]-\infty,0[$ , la primitive est $\ln(-x)+C$ . La formule correcte, valable sur tout intervalle où $x\neq0$ , est $\ln|x|+C$ .

Exemplele $\mathrm{d} U$ « tout prêt »

Calculer $\displaystyle\int \frac{2x\,\mathrm{d} x}{x^2+3}$ .

Identification. Posons $U=x^2+3$ ; alors $U'=2x$ et $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ . Le numérateur $2x\,\mathrm{d} x$ est exactement $\mathrm{d} U$ . On a donc directement

\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln(x^2+3)+C.\,}

Ici $|U|$ est inutile car $x^2+3\geqslant 3>0$ . Vérification : $\bigl[\ln(x^2+3)\bigr]'=\dfrac{2x}{x^2+3}$ . ✓

Exempleavec une fonction trigonométrique

Calculer $\displaystyle\int \frac{\sin x\,\mathrm{d} x}{3-\cos x}$ .

Identification. On reconnaît la forme $\mathrm{d} U/U$ en posant $U=3-\cos x$ . Comme $U'=\sin x$ , on a $\mathrm{d} U=\sin x\,\mathrm{d} x$ : le numérateur est $\mathrm{d} U$ . D'où

\int\frac{\sin x\,\mathrm{d} x}{3-\cos x}=\int\frac{\mathrm{d} U}{U}=\ln|U|+C=\boxed{\,\ln(3-\cos x)+C.\,}

(Pas de valeur absolue car $3-\cos x\geqslant 2>0$ .)

Forme 3 – sinus, cosinus

Formule3.4primitives trigonométriques de base

\boxed{\;\int \sin U\,\mathrm{d} U = -\cos U+C,\qquad \int \cos U\,\mathrm{d} U = \sin U+C.\;}

où :

$U$ et $\mathrm{d} U$ : comme précédemment ; les angles sont en radians (sans dimension) ;
$-\cos U$ : le signe « $-$ » devant $\cos$ est la source d'erreur n^o 1 ; le retenir par le réflexe « la dérivée de $\cos$ est $-\sin$ ».

Exemplecomposition linéaire

Calculer $\displaystyle\int \cos(2x+1)\cdot 2\,\mathrm{d} x$ .

Posons $U=2x+1$ , donc $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x$ , qui est présent. Alors $\int\cos U\,\mathrm{d} U=\sin U+C=\boxed{\,\sin(2x+1)+C.\,}$

Et si l'on n'avait que $\int\cos(2x+1)\,\mathrm{d} x$ ? Il manque le facteur $2$ . On le crée artificiellement : $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x\Rightarrow \mathrm{d} x=\tfrac12\,\mathrm{d} U$ , donc $\int\cos U\cdot\tfrac12\,\mathrm{d} U=\tfrac12\sin U+C=\tfrac12\sin(2x+1)+C$ .

Forme 4 – $1/\cos^2 U$ et $1/\sin^2 U$

Formule3.5primitives de $1/\cos^2$ et $1/\sin^2$

\boxed{\;\int\frac{\mathrm{d} U}{\cos^2 U}=\tan U+C,\qquad \int\frac{\mathrm{d} U}{\sin^2 U}=-\cot U+C.\;}

où :

$\tan=\dfrac{\sin}{\cos}$ et $\cot=\dfrac{\cos}{\sin}$ (notations du livre ; $\tan=\tan$ , $\cot=\cot$ ) ;
ici encore un signe « $-$ » devant $\cot$ , à retenir via $(\cot)'=-1/\sin^2$ .

Exemplecomposition pour $1/\cos^2$

Calculer $\displaystyle\int\frac{2x\,\mathrm{d} x}{\cos^2(x^2+1)}$ .

Posons $U=x^2+1$ ; alors $\mathrm{d} U=2x\,\mathrm{d} x$ , présent au numérateur. Ainsi

\int\frac{\mathrm{d} U}{\cos^2 U}=\tan U+C=\boxed{\,\tan(x^2+1)+C.\,}

Forme 5 – fonctions circulaires réciproques ( $\arcsin$ , $\arctan$ )

Formule3.6primitives donnant $\arcsin$ et $\arctan$

\boxed{\;\int\frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}}=\arcsin U+C,\qquad \int\frac{\mathrm{d} U}{1+U^2}=\arctan U+C.\;}

Variante utile (pour $a-U^2>0$ ) : $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{a-U^2}}=\arcsin\!\frac{U}{\sqrt{a}}+C.$

où :

$U\in[-1,1]$ pour $\arcsin$ (sinon la racine n'est pas réelle) ;
$\arcsin$ et $\arctan$ renvoient un angle en radians.

Exemplecomposer sur $\arcsin$

Calculer $\displaystyle\int\frac{3\,\mathrm{d} x}{\sqrt{1-(3x)^2}}$ .

Posons $U=3x$ ; $\mathrm{d} U=3\,\mathrm{d} x$ , qui est exactement le numérateur. D'où $\int\frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}}=\arcsin U+C=\boxed{\,\arcsin(3x)+C.\,}$

Exempletechnique « multiplier-diviser » pour ajuster $\mathrm{d} U$

Calculer $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr)^2}}$ .

Posons $U=\tfrac{x}{3}$ ; alors $\mathrm{d} U=\tfrac{1}{3}\,\mathrm{d} x$ , soit $\mathrm{d} x=3\,\mathrm{d} U$ . On substitue :

\int\frac{\mathrm{d} x}{\sqrt{1-U^2}}=\int\frac{3\,\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}} =3\int\frac{\mathrm{d} U}{\sqrt{1-U^2}}=3\arcsin U+C =\boxed{\,3\,\arcsin\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr)+C.\,}

Leçon générale. Cette technique « multiplier et diviser par la constante qui manque » est la recette universelle chaque fois que $\mathrm{d} U$ diffère de l'intégrande par une simple constante. Elle fonctionne pour toutes les formes du tableau.

Exemplecomposer sur $\arctan$ , deux astuces

(a) $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d} x}{1+(3x)^2}$ . Posons $U=3x$ , $\mathrm{d} U=3\,\mathrm{d} x$ , d'où $\mathrm{d} x=\tfrac13\,\mathrm{d} U$ :

\int\frac{\mathrm{d} x}{1+U^2}=\frac13\int\frac{\mathrm{d} U}{1+U^2}=\frac13\arctan(3x)+C.

(b) $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d} x}{3+x^2}$ . On factorise pour retrouver la forme $1+U^2$ : $\dfrac{1}{3+x^2}=\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{1}{1+\bigl(\tfrac{x}{\sqrt3}\bigr)^2}$ . En posant $U=\tfrac{x}{\sqrt3}$ , $\mathrm{d} x=\sqrt3\,\mathrm{d} U$ :

\int\frac{\mathrm{d} x}{3+x^2}=\frac{\sqrt3}{3}\arctan\!\Bigl(\frac{x}{\sqrt3}\Bigr)+C.

Forme 6 – exponentielle de base $a$

Formule3.7primitive de $a^U$

\boxed{\;\int a^{U}\,\mathrm{d} U=\frac{a^{U}}{\ln a}+C,\qquad\text{en particulier}\quad \int e^{U}\,\mathrm{d} U=e^{U}+C.\;}

où :

$a>0$ , $a\neq1$ : base de l'exponentielle (sans dimension) ;
$\ln a$ : logarithme népérien de $a$ ; pour $a=e$ , $\ln e=1$ et la formule se simplifie en $e^U$ ;
$U$ : exposant (sans dimension ; un exposant est toujours sans dimension).

Exemplele cas $a=e$ et le cas général

$\displaystyle\int e^{2x}\,\mathrm{d} x=\frac12\int e^{2x}\cdot 2\,\mathrm{d} x=\frac12\,e^{2x}+C$ (on a créé le $\mathrm{d} U=2\,\mathrm{d} x$ en multipliant-divisant par $2$ ).
$\displaystyle\int 10^{3x}\,\mathrm{d} x=\frac13\int 10^{3x}\cdot 3\,\mathrm{d} x=\frac13\cdot\frac{10^{3x}}{\ln 10}+C$ .
$\displaystyle\int 2^{3x}\,\mathrm{d} x=\frac13\cdot\frac{2^{3x}}{\ln 2}+C$ .

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4. L'intégration par parties (IPP)
5. L'intégration par décomposition en fractions simples
6. L'intégrale définie
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Intégrale d'une fonction continue

1Introduction : de la dérivée à l'intégrale

Le problème inverse de la dérivation

Intégrale indéfinie vs intégrale définie

Vocabulaire et notations

2Primitive d'une fonction

Pourquoi une infinité de primitives ?

Propriétés fondamentales (linéarité)

3Le formulaire des primitives usuelles

Mécanisme clé : la règle du dU\mathrm{d} UdU

Forme 1 – constante et puissance

Forme 2 – logarithme (dU/U\mathrm{d} U/UdU/U)

Forme 3 – sinus, cosinus

Forme 4 – 1/cos⁡2U1/\cos^2 U1/cos2U et 1/sin⁡2U1/\sin^2 U1/sin2U

Forme 5 – fonctions circulaires réciproques (arcsin⁡\arcsinarcsin, arctan⁡\arctanarctan)

Forme 6 – exponentielle de base aaa

La suite de « Intégrale d'une fonction continue » est prête.

Mécanisme clé : la règle du $\mathrm{d} U$

Forme 2 – logarithme ( $\mathrm{d} U/U$ )

Forme 4 – $1/\cos^2 U$ et $1/\sin^2 U$

Forme 5 – fonctions circulaires réciproques ( $\arcsin$ , $\arctan$ )

Forme 6 – exponentielle de base $a$