Mathématiques · Fiche 6

Les limites

Notations, propriétés, formes indéterminées et calcul

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Ce que tu sauras faire

comprendre l'idée intuitive d'une limite et lire les notations $\displaystyle\lim_{x\to x_0}$ , $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}$ , $\lim_{x\to x_0^{\pm}}$ ;
distinguer limite finie et limite infinie, en un point et à l'infini, et les relier aux asymptotes ;
appliquer les propriétés des limites (somme, produit, quotient) et repérer les formes indéterminées ;
relier la limite à la continuité d'une fonction en un point ;
lever une indétermination : polynômes, fonctions rationnelles, radicaux (binôme conjugué) et règle de l'Hospital.

1Idée intuitive : que signifie « tendre vers » ?

Avant toute formule, comprenons l'idée qui se cache derrière le mot limite. Étudier la limite d'une fonction $f$ , c'est répondre à la question :

« Vers quelle valeur se rapproche $f(x)$ lorsque $x$ se rapproche d'une valeur visée (un nombre $x_0$ , ou bien $+\infty$ , ou $-\infty$ ) ? »

Le point clé est qu'on ne demande pas forcément la valeur de $f$ au point visé : on demande le comportement de $f$ au voisinage de ce point, c'est-à-dire pour des $x$ de plus en plus proches sans nécessairement l'atteindre.

Définition1.1voisinage et « tendre vers »

Dire que « $x$ tend vers $x_0$ », noté $x\to x_0$ , signifie que $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $x_0$ (sans être obligatoirement égal à $x_0$ ). On note alors $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)$ la valeur dont $f(x)$ se rapproche.

Approche numérique (par un tableau de valeurs). Prenons $f(x)=\dfrac{x+2}{3}$ et regardons ce qui se passe quand $x$ se rapproche de $0$ , tantôt par la gauche ( $x<0$ ), tantôt par la droite ( $x>0$ ).

$x$	$-0{,}1$	$-0{,}01$	$-0{,}001$	$\mathbf{0}$	$0{,}001$	$0{,}01$	$0{,}1$
$f(x)=\dfrac{x+2}{3}$	$0{,}6\overline{3}$	$0{,}663$	$0{,}666$	$\mathbf{0{,}6\overline{6}}$	$0{,}667$	$0{,}670$	$0{,}7$

Que $x$ approche $0$ par la gauche ou par la droite, $f(x)$ se rapproche du même nombre $\dfrac{2}{3}\approx 0{,}6\overline{6}$ . On écrit donc $\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{x+2}{3}=\dfrac{2}{3}$ .

Remarque

La limite décrit une tendance, pas une valeur isolée. On verra (section 3) que la valeur de $f$ au point, lorsqu'elle existe, peut coïncider avec la limite (continuité) ou en différer. Tout l'art du calcul de limites consiste à déterminer cette tendance, même là où la fonction n'est pas définie.

2Vocabulaire, propriétés et notations

Dans toute cette section, $f$ désigne une fonction, $x_0$ et $\ell$ deux nombres réels, et $D_f$ le domaine de définition de $f$ (l'ensemble des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe).

Limite finie en un point

Définition2.1limite finie en un point

Lorsque $f$ admet une limite $\ell$ en $x_0$ , on note

\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell,

et on dit que « $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $x_0$ ». Autrement dit : on peut rendre $f(x)$ aussi proche que l'on veut de $\ell$ pourvu que $x$ soit suffisamment proche de $x_0$ .

Formule2.1notation de la limite finie en un point

\boxed{\ \lim_{x\to x_0} f(x)=\ell\ }

où :

$x$ : la variable, qui se déplace vers $x_0$ ;
$x_0$ : le point visé (un nombre réel), valeur dont $x$ se rapproche ;
$f(x)$ : la valeur de la fonction au point $x$ ;
$\ell$ : la limite, un nombre réel ( $\ell\in\mathbb{R}$ ) — la valeur cible de $f(x)$ .

Lecture de la formule. Le symbole « $x\to x_0$ » placé sous le mot $\lim$ indique le mouvement de la variable ; le membre de droite, $\ell$ , est le résultat (un nombre). Ici, ni $x_0$ ni $\ell$ ne portent d'unité physique : ce sont des nombres réels, car on travaille sur des fonctions numériques.

Exemplelimite finie $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+2}{3}=\frac{2}{3}$

La fonction $f(x)=\dfrac{x+2}{3}$ est une fonction affine (une droite). Elle est définie partout ( $D_f=\mathbb{R}$ ), donc pour calculer sa limite en $0$ il suffit de remplacer $x$ par $0$ :

\lim_{x\to 0}\frac{x+2}{3}=\frac{0+2}{3}=\frac{2}{3}.

Graphiquement, lorsque le point d'abscisse $x$ glisse sur la droite vers l'abscisse $0$ , son ordonnée $f(x)$ glisse vers la valeur $\tfrac{2}{3}$ .

Propriété2.1propriétés des limites finies — opérations

Si $\displaystyle\lim_{x\to x_0} f(x)=\ell$ et $\displaystyle\lim_{x\to x_0} g(x)=\ell'\neq 0$ , et si $k$ est un nombre réel, alors :

\lim_{x\to x_0}\bigl[f(x)+g(x)\bigr]=\ell+\ell',\qquad \lim_{x\to x_0}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]=\ell-\ell',

\lim_{x\to x_0}\bigl[k\,f(x)\bigr]=k\,\ell,\qquad \lim_{x\to x_0}\bigl[f(x)\times g(x)\bigr]=\ell\times\ell',\qquad \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\ell}{\ell'}.

où :

$\ell,\ell'$ : les limites respectives de $f$ et $g$ en $x_0$ (nombres réels) ;
$k$ : une constante réelle (un coefficient multiplicatif) ;
la condition $\ell'\neq 0$ est indispensable pour le quotient : diviser par une limite nulle conduit à un cas particulier (souvent une limite infinie ou une forme indéterminée, voir § 4).

En clair. Tant qu'aucune limite n'est infinie et qu'on ne divise pas par $0$ , la limite se « distribue » sur les opérations : la limite d'une somme est la somme des limites, la limite d'un produit le produit des limites, etc. C'est ce qui autorise, pour les fonctions usuelles définies en $x_0$ , le calcul direct par remplacement de $x$ par $x_0$ .

Exemplecalcul direct par les propriétés

Soit $h(x)=2x^2-5x+1$ . Comme somme et produit de fonctions de limites connues, on a en $x_0=3$ :

\lim_{x\to 3}(2x^2-5x+1)=2\times 3^2-5\times 3+1=18-15+1=4.

Limite finie à l'infini

On peut aussi faire tendre la variable vers $+\infty$ ou $-\infty$ : on observe alors le comportement de $f$ « tout au bout » de l'axe des abscisses.

Définition2.2limite finie à l'infini

\lim_{x\to +\infty} f(x)=\ell\ :\ f(x)\text{ tend vers }\ell\text{ lorsque }x\text{ tend vers }+\infty,

\lim_{x\to -\infty} f(x)=\ell\ :\ f(x)\text{ tend vers }\ell\text{ lorsque }x\text{ tend vers }-\infty.

Le nombre $\ell$ est encore un réel ; seul le « point visé » est devenu infini.

Remarqueinterprétation géométrique : asymptote horizontale

Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=\ell$ (ou de même en $-\infty$ ), la courbe de $f$ se rapproche indéfiniment de la droite horizontale d'équation $y=\ell$ : cette droite est une asymptote horizontale à la courbe.

Exemple $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac2x=0$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac2x=0$

Prenons $f(x)=\dfrac{2}{x}$ . Plus $x$ devient grand, plus on divise $2$ par un grand nombre, donc plus le résultat est petit :

f(10)=0{,}2,\quad f(100)=0{,}02,\quad f(1000)=0{,}002,\ \dots\ \longrightarrow 0.

De même quand $x\to-\infty$ , $f(x)$ se rapproche de $0$ par valeurs négatives. La droite $y=0$ (l'axe des abscisses) est donc une asymptote horizontale, à droite et à gauche.

Limite à droite et limite à gauche

Parfois, le comportement de $f$ n'est pas le même selon que $x$ s'approche de $x_0$ par la droite ( $x>x_0$ ) ou par la gauche ( $x<x_0$ ). On distingue alors deux limites.

Définition2.3limite à droite, limite à gauche

Limite à droite de $x_0$ :

\lim_{x\to x_0^{+}} f(x)=\ell\qquad\Bigl(\text{aussi notée }\lim_{\substack{x\to x_0\\ x>x_0}} f(x)=\ell\Bigr),

on dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ par valeurs supérieures et proches de $x_0$ .

Limite à gauche de $x_0$ :

\lim_{x\to x_0^{-}} f(x)=\ell\qquad\Bigl(\text{aussi notée }\lim_{\substack{x\to x_0\\ x<x_0}} f(x)=\ell\Bigr),

on dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ lorsque $x$ tend vers $x_0$ par valeurs inférieures et proches de $x_0$ . Ces limites « latérales » peuvent valoir un réel, ou $+\infty$ , ou $-\infty$ .

où :

l'exposant $^{+}$ (lu « $x_0$ plus ») signifie « par la droite », donc $x>x_0$ ;
l'exposant $^{-}$ (lu « $x_0$ moins ») signifie « par la gauche », donc $x<x_0$ ;
$\ell$ peut être un réel ou un infini : c'est le côté qui change, pas forcément le résultat.

Exemplelimites latérales de $\displaystyle\frac2x$ en $0$

La fonction $f(x)=\dfrac2x$ n'est pas définie en $0$ , mais on étudie son comportement de part et d'autre :

\lim_{x\to 0^{+}}\frac2x=+\infty\qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to 0^{-}}\frac2x=-\infty.

Pourquoi ? À droite de $0$ , $x$ est un petit nombre positif : $2$ divisé par un tout petit positif donne un très grand positif ( $\frac{2}{0{,}001}=2000$ ). À gauche, $x$ est un petit nombre négatif : $\frac{2}{-0{,}001}=-2000$ , très grand négatif. Les deux limites latérales étant différentes ( $+\infty\neq-\infty$ ), $f$ n'a pas de limite (globale) en $0$ .

Remarquela règle « $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ » — à retenir absolument

Lorsqu'on divise un nombre $a\neq 0$ par une quantité qui tend vers $0$ , le résultat tend vers l'infini. Le signe de cet infini dépend du signe de $a$ et du côté ( $0^+$ ou $0^-$ ) :

\frac{a}{0^{+}}\to +\infty\ \ \text{si }a>0,\qquad \frac{a}{0^{+}}\to -\infty\ \ \text{si }a<0;

\frac{a}{0^{-}}\to -\infty\ \ \text{si }a>0,\qquad \frac{a}{0^{-}}\to +\infty\ \ \text{si }a<0.

Moyen mnémotechnique : le signe du résultat est celui de la règle des signes appliquée à $a$ et au signe du « $0$ » (un $0^+$ compte comme « $+$ », un $0^-$ comme « $-$ »).

Limite infinie à l'infini

Définition2.4limite infinie à l'infini

La notation

\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty

veut dire que $f(x)$ tend vers $+\infty$ (devient aussi grand qu'on veut) quand $x$ tend vers $+\infty$ . De plus, si $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$ , alors $\displaystyle\lim_{x\to -\infty} \bigl[-f(x)\bigr]=-\infty$ : l'opposé de $f(x)$ tend vers $-\infty$ quand $x$ tend vers $-\infty$ .

Exempleexponentielle et polynômes

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{x}=+\infty$ : l'exponentielle « explose » vers le haut.
$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(x^3+x^2)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^3+x^2)=-\infty$ .
Pour son opposé $-x^3-x^2$ : $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(-x^3-x^2)=+\infty$ et $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(-x^3-x^2)=-\infty$ .

Propriété2.2propriétés des limites infinies

Si $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty$ , $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)=+\infty$ et $n$ un entier naturel non nul, alors :

\lim_{x\to+\infty}\bigl(f(x)\bigr)^{n}=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(-f(x)\bigr)^{2n}=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl(-f(x)\bigr)^{2n+1}=-\infty,

\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)+g(x)\bigr]=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\bigl[-f(x)-g(x)\bigr]=-\infty.

En revanche, les opérations suivantes ne se concluent pas directement :

\lim_{x\to+\infty}\bigl[f(x)-g(x)\bigr]=+\infty-\infty\ \Rightarrow\ \textbf{forme indéterminée (FI)},

\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{+\infty}{+\infty}\ \Rightarrow\ \textbf{forme indéterminée (FI)}.

où :

$n$ : un entier naturel non nul ( $n\in\mathbb{N}^{*}$ ) — il fixe la parité de l'exposant ;
un exposant pair ( $2n$ ) transforme un négatif en positif : $(-\infty)^{\text{pair}}=+\infty$ ;
un exposant impair ( $2n+1$ ) conserve le signe : $(-\infty)^{\text{impair}}=-\infty$ ;
les deux dernières lignes ( $\infty-\infty$ et $\tfrac{\infty}{\infty}$ ) annoncent les formes indéterminées de la section suivante.

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3. Lien entre limite et continuité en un point
4. Les formes indéterminées (FI)
5. Calcul des limites — techniques (« comment faire »)
… et 2 de plus

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