Physique · Fiche 1

Cinématique

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Ce que tu sauras faire

situer la cinématique parmi les branches de la mécanique ;
définir un référentiel, une trajectoire, un vecteur position ;
calculer une vitesse et une accélération, moyennes et instantanées, par dérivation et intégration ;
décomposer un vecteur vitesse dans le plan (projection orthogonale, loi de Chasles) ;
reconnaître et résoudre les mouvements MRU, MRUA/MRUD, la chute libre, le tir horizontal et le tir oblique.

1La mécanique et ses branches

La cinématique est le point de départ de toute la physique du mouvement. Avant de l'étudier, situons-la dans son cadre général : la mécanique.

Définition1.1la mécanique

La mécanique est la science qui étudie les mouvements des corps matériels. Elle se subdivise en trois branches complémentaires.

La cinématique décrit les mouvements des objets en fonction du temps sans faire appel aux causes ni aux effets de ces mouvements. C'est l'objet de cette fiche.
La dynamique étudie les forces qui causent les mouvements ; elle relie donc les forces au mouvement (2^e loi de Newton, etc.).
La statique étudie les forces qui s'exercent sur un objet en équilibre ou au repos (exemple : l'étude des leviers).

Référentiel, repère, position et trajectoire

Décrire un mouvement n'a de sens que par rapport à quelque chose. Ce « quelque chose » est le référentiel.

Définition1.2référentiel

La position d'un objet est déterminée dans un référentiel. Ce dernier est constitué :

d'un repère d'espace (une origine $O$ et des axes orientés, p. ex. $Ox$ , $Oy$ ) ;
d'un repère de temps (une origine des dates $t_0$ et une horloge graduée en secondes).

Remarque

Sauf indication contraire, dans tout ce cours les vitesses et les accélérations sont mesurées par rapport à la surface de la Terre (un point fixe sur le sol). Le mouvement est une notion relative : un passager assis dans un train est immobile par rapport au wagon, mais en mouvement par rapport au quai.

Définition1.3vecteur position

Le vecteur position $\vec{r}=\overrightarrow{OM}$ repère le point $M$ par rapport à l'origine $O$ . Dans le plan, ses coordonnées sont $(x_M,\,y_M)$ , exprimées en mètres ( $\mathrm{m}$ ).

Définition1.4trajectoire

L'ensemble des positions successives qu'occupe un objet au cours du temps est appelé trajectoire de l'objet. Selon sa forme, on parle de mouvement rectiligne (droite), circulaire (cercle) ou curviligne (courbe quelconque).

Attentiondistance parcourue $\neq$ déplacement

La distance parcourue est la longueur réelle du chemin suivi (toujours positive). Le déplacement $\Delta\vec{r}=\overrightarrow{M_iM_f}$ est le vecteur qui joint la position initiale à la position finale : il ne dépend que des extrémités, pas du trajet. Pour un aller-retour, la distance parcourue est non nulle alors que le déplacement est nul.

2La vitesse

La vitesse mesure à quelle rapidité et dans quel sens la position change.

Vitesse moyenne en une dimension

Définition2.1vitesse moyenne

Sur une durée $\Delta t = t_2 - t_1$ , si un mobile parcourt (algébriquement) $\Delta x = x_2 - x_1$ le long d'un axe, sa vitesse moyenne est le rapport du déplacement à la durée.

Formule2.1vitesse moyenne à une dimension

\boxed{\,v_{\text{moy}}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}=\dfrac{x_2-x_1}{t_2-t_1}\,}\qquad(\mathrm{m}/\mathrm{s})

où :

$v_{\text{moy}}$ : vitesse moyenne, en mètres par seconde ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ;
$\Delta x = x_2-x_1$ : déplacement algébrique, en mètres ( $\mathrm{m}$ ) ;
$\Delta t = t_2-t_1$ : durée du trajet, en secondes ( $\mathrm{s}$ ) ;
$x_1,x_2$ : positions (abscisses) aux instants $t_1$ et $t_2$ , en $\mathrm{m}$ .

Lecture de la formule. Deux positions et deux temps sont nécessaires pour déterminer une vitesse moyenne : elle résume tout l'intervalle par un seul nombre, sans rien dire de ce qui se passe entre $t_1$ et $t_2$ .

Signe. Une fois choisi le sens positif de l'axe : $v_{\text{moy}}>0$ si le déplacement se fait dans le sens de l'axe, $v_{\text{moy}}<0$ s'il se fait en sens inverse.
Trajet à vitesses différentes. La vitesse moyenne se calcule en divisant la distance totale parcourue par la durée totale : $v_{\text{moy}}=\dfrac{d_{\text{tot}}}{t_{\text{tot}}}$ .

Exemple

Une voiture parcourt $90\,\mathrm{km}$ en $1\,\mathrm{h}$ . Sa vitesse moyenne vaut

v_{\text{moy}}=\frac{90\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{h}}=90\,\mathrm{km}/\mathrm{h} =\frac{90\times1000}{3600}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}.

Conversion utile : diviser par $3{,}6$ pour passer de $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ à $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Vitesse instantanée en une dimension

La vitesse moyenne ne suffit pas pour connaître la vitesse à un instant précis. On fait alors tendre la durée $\Delta t$ vers zéro : c'est la dérivée.

Définition2.2vitesse instantanée

La vitesse instantanée est la vitesse du mobile à chaque instant. On l'obtient en dérivant la coordonnée d'espace $x(t)$ par rapport au temps.

Formule2.2vitesse instantanée (dérivée de la position)

\boxed{\,v(t)=\dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}=\dot{x}(t)\,}\qquad(\mathrm{m}/\mathrm{s}) \qquad\Longleftrightarrow\qquad \mathrm{d} x = v(t)\,\mathrm{d} t

où :

$v(t)$ : vitesse instantanée à la date $t$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$\dfrac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}$ : dérivée de la position par rapport au temps ;
$x(t)$ : équation horaire de la position, en $\mathrm{m}$ ;
$\dot{x}$ : notation abrégée (point de Newton) de la dérivée temporelle.

Interprétation graphique. $v(t)$ est la pente de la tangente à la courbe $x(t)$ au point d'abscisse $t$ . Là où $x(t)$ monte, $v>0$ ; là où elle descend, $v<0$ ; en un extremum de $x(t)$ , $v=0$ .

La relation $\mathrm{d} x = v(t)\,\mathrm{d} t$ s'intègre pour retrouver la position : c'est l'opération inverse de la dérivation.

Formule2.3position par intégration de la vitesse

\int_{t_0}^{t}\mathrm{d} x=\int_{t_0}^{t} v(t')\,\mathrm{d} t' \;\Longrightarrow\; \boxed{\,x(t)=x(t_0)+\int_{t_0}^{t} v(t')\,\mathrm{d} t'\,}\tag{I}

Si $x(t_0)=0\,\mathrm{m}$ et $t_0=0\,\mathrm{s}$ , alors $\displaystyle x(t)=\int_{0}^{t} v(t')\,\mathrm{d} t'$ .

où :

$x(t)$ : position à l'instant $t$ , en $\mathrm{m}$ ;
$x(t_0)$ : position initiale (à $t_0$ ), en $\mathrm{m}$ ;
$\displaystyle\int_{t_0}^{t} v\,\mathrm{d} t'$ : aire algébrique sous la courbe $v(t)$ entre $t_0$ et $t$ , en $\mathrm{m}$ .

Remarque

Dériver fait « descendre » dans la liste position $\to$ vitesse $\to$ accélération ; intégrer fait « remonter » accélération $\to$ vitesse $\to$ position. Ces deux opérations sont les outils de base de toute la cinématique.

Grandeurs vectorielles : le plan (deux dimensions)

À deux dimensions, la vitesse est un vecteur $\vec{v}$ . Dans un repère cartésien, on le remplace par deux vecteurs perpendiculaires $\vec{v}_x$ et $\vec{v}_y$ portés par les axes : c'est la projection orthogonale (ou décomposition).

Formule2.4décomposition du vecteur vitesse

\vec{v}=\vec{v}_x+\vec{v}_y,\qquad \boxed{v_x=v\cos\theta},\qquad \boxed{v_y=v\sin\theta},\qquad \boxed{v=\sqrt{v_x^{\,2}+v_y^{\,2}}}

et la direction est donnée par $\displaystyle \theta=\arctan\!\frac{v_y}{v_x}$ .

où :

$v=\lVert\vec{v}\rVert$ : norme (intensité) de la vitesse, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$v_x,\,v_y$ : composantes horizontale et verticale, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$\theta$ : angle entre $\vec{v}$ et l'axe $Ox$ , en degrés ( ${}^{\circ}$ ) ou radians ( $\mathrm{radian}$ ).

La relation $v^2=v_x^2+v_y^2$ n'est autre que le théorème de Pythagore appliqué au rectangle des composantes : $\vec{v}_x$ et $\vec{v}_y$ étant perpendiculaires, $\vec{v}$ en est l'hypoténuse.

Propriété2.1addition des vitesses — loi de Chasles

La vitesse résultante est la somme vectorielle des vitesses composantes :

\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2,\qquad\text{avec}\qquad \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

La loi de Chasles ne s'applique que si les deux vecteurs ont un point commun correspondant à l'extrémité de l'un et à l'origine de l'autre : on les place « bout à bout ». Sinon, on translate l'un des vecteurs pour réaliser cette condition.

Exemplevitesse d'un avion par rapport au sol

Le cas A modélise un avion dans le vent : $\vec{v}_1$ est la vitesse de l'avion par rapport à l'air, $\vec{v}_2$ la vitesse de l'air par rapport au sol ; la résultante $\vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2$ est la vitesse de l'avion par rapport au sol. Si les deux vitesses sont perpendiculaires (cas B), $v=\sqrt{v_1^2+v_2^2}$ et la trajectoire réelle est déviée d'un angle $\arctan(v_2/v_1)$ .

Vitesse (scalaire) et vecteur vitesse

Définition2.3vecteur vitesse

Le vecteur vitesse décrit à la fois trois informations :

la direction : la droite qui porte le mouvement ;
le sens : l'orientation sur cette droite (la pointe de la flèche) ;
la norme (ou intensité) : la « rapidité » $v=\lVert\vec{v}\rVert$ , une grandeur scalaire en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

La grandeur scalaire d'une vitesse ne mesure que la rapidité ; le vecteur ajoute la direction et le sens.

Attention« vitesse constante » $\neq$ « vecteur vitesse constant »

Dire que la vitesse (norme) est constante laisse la direction libre. Un vecteur vitesse constant exige que la norme ET le sens ET la direction soient tous constants : c'est le cas du seul mouvement rectiligne uniforme (MRU). Ainsi, une voiture allant de $A$ vers $B$ à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ n'a pas le même vecteur vitesse qu'une voiture allant de $B$ vers $A$ à la même vitesse (sens opposés).

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3. L'accélération
4. Les types de mouvement
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