Cinématique à une et deux dimensions

• $v_{\text{moy}}=\dfrac{\Delta x}{\Delta t}$ ; $v(t)=\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$ = pente de la tangente à $x(t)$
• $a_{\text{moy}}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}$ ; $a(t)=\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}$ = pente de la tangente à $v(t)$
• Plan (2D) : $v_x=v\cos\theta$, $\ v_y=v\sin\theta$, $\ v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}$
• distance parcourue (scalaire $\geq 0$) $\neq$ déplacement $\Delta\vec r$ (vecteur : ne dépend que du départ et de l'arrivée)

Une vitesse de norme (« rapidité ») constante n'implique pas un vecteur vitesse constant : en mouvement circulaire uniforme, $\lVert\vec v\rVert$ est fixe mais la direction tourne à chaque instant $\Rightarrow$ il y a bien une accélération (dite centripète, dirigée vers le centre).

1. pente de $x(t)$ $\to$ donne $v(t)$ ; pente de $v(t)$ $\to$ donne $a(t)$
2. aire sous $v(t)$ entre $t_1$ et $t_2$ = déplacement algébrique sur cet intervalle
3. distance totale = somme des aires en valeur absolue si $v$ change de signe
4. $v(t)$ franchit 0 $\Rightarrow$ position extrême (le plus loin, ou un rebroussement)

Un $x(t)$ qui « s'aplatit » (concave) n'a pas forcément une accélération constante : seule une vraie parabole ($x\propto t^2$) correspond à un $a(t)$ constant ; une courbe qui sature progressivement a une accélération qui varie (2018, Q20).

• « $v$ franchit 0 » $\Rightarrow$ position extrême : $v$ passe de $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $-4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur $[3\,;6]\,\mathrm{s}$, zéro à $t=5\,\mathrm{s}$ = instant le plus loin de l'observateur (2025, Q10).
• aire avec changement de signe : $v$ passe de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $-5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $15\,\mathrm{s}$ (zéro à $t=10\,\mathrm{s}$) $\Rightarrow$ distance $=50\,\mathrm{m}+12.5\,\mathrm{m}=62.5\,\mathrm{m}$, jamais l'aire algébrique nette (2024, Q9).
• pente maximale : sur un $x(t)$ décroissant, $\lvert v\rvert$ est maximale là où la tangente est la plus raide — souvent au tout début, pas là où $x$ est extrémal (2021, Q23).