La loi de Snell–Descartes

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Facile15 exercices

Exercice 1air vers eau

Un rayon lumineux passe de l'air ( $n_1=1$ ) à l'eau ( $n_2=1{,}33$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=40^{\circ}$ (mesuré par rapport à la normale).

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
Loi de Snell–Descartes : $n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1\times\sin40^{\circ}}{1{,}33} =\dfrac{0{,}643}{1{,}33}=0{,}483$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}483)\approx28.9^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ?
L'eau est plus réfringente que l'air ( $n_2>n_1$ ) : le rayon se rapproche de la normale ( $\hat{\imath}_2<\hat{\imath}_1$ ). Cohérent : $28.9^{\circ}<40^{\circ}$ .

Exercice 2air vers verre

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=60^{\circ}$ .

Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .

\sin\hat{\imath}_2=\frac{1\times\sin60^{\circ}}{1{,}5}=\frac{0{,}866}{1{,}5}=0{,}577 \;\Rightarrow\;\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}577)\approx35.3^{\circ}.

Le rayon se rapproche de la normale ( $n_2>n_1$ ).

Exercice 3eau vers air

Un rayon part du fond d'un bassin et passe de l'eau ( $n_1=1{,}33$ ) à l'air ( $n_2=1$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=30^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ dans l'air.
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1{,}33\times\sin30^{\circ}}{1} =1{,}33\times0{,}5=0{,}665$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}665)\approx41.7^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ?
L'air est moins réfringent que l'eau ( $n_2<n_1$ ) : le rayon s'éloigne de la normale ( $\hat{\imath}_2>\hat{\imath}_1$ ). Cohérent : $41.7^{\circ}>30^{\circ}$ .

Exercice 4retrouver l'angle d'incidence

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ). On mesure un angle de réfraction $\hat{\imath}_2=28^{\circ}$ .

Quel était l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ ?

On isole $\hat{\imath}_1$ : $n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2$ , donc

\sin\hat{\imath}_1=\frac{n_2\sin\hat{\imath}_2}{n_1}=\frac{1{,}5\times\sin28^{\circ}}{1} =1{,}5\times0{,}469=0{,}704 \;\Rightarrow\;\hat{\imath}_1=\arcsin(0{,}704)\approx44.8^{\circ}.

On vérifie $\hat{\imath}_1>\hat{\imath}_2$ : normal, on entrait dans un milieu plus réfringent.

Exercice 5angle donné par rapport au dioptre

Un rayon arrive sur la surface d'un bloc de verre ( $n_2=1{,}5$ ) en faisant un angle de $35^{\circ}$ avec le dioptre (la surface). Le milieu de départ est l'air ( $n_1=1$ ).

a)
Quel est l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ (par rapport à la normale) ?
La normale est perpendiculaire au dioptre : $\hat{\imath}_1=90^{\circ}-35^{\circ}=55^{\circ}$ .
b)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{1\times\sin55^{\circ}}{1{,}5}=\dfrac{0{,}819}{1{,}5}=0{,}546 \;\Rightarrow\;\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}546)\approx33.1^{\circ}$ .

Exercice 6air vers diamant

Un rayon lumineux passe de l'air ( $n_1=1$ ) au diamant ( $n_2=2{,}42$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=40^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1\times\sin40^{\circ}}{2{,}42} =\dfrac{0{,}643}{2{,}42}=0{,}266$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}266)\approx15.4^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ?
Le diamant est beaucoup plus réfringent que l'air ( $n_2>n_1$ ) : le rayon se rapproche fortement de la normale. Cohérent : $15.4^{\circ}<40^{\circ}$ .

Exercice 7eau vers verre

Un rayon passe de l'eau ( $n_1=1{,}33$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=45^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1{,}33\times\sin45^{\circ}}{1{,}5} =\dfrac{1{,}33\times0{,}707}{1{,}5}=\dfrac{0{,}940}{1{,}5}=0{,}627$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}627)\approx38.8^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ? Justifie par les indices.
Le verre est plus réfringent que l'eau ( $n_2>n_1$ ) : le rayon se rapproche de la normale. Cohérent : $38.8^{\circ}<45^{\circ}$ .

Exercice 8verre vers air

Un rayon passe du verre ( $n_1=1{,}5$ ) à l'air ( $n_2=1$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=25^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1{,}5\times\sin25^{\circ}}{1} =1{,}5\times0{,}423=0{,}634$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}634)\approx39.3^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ?
L'air est moins réfringent que le verre ( $n_2<n_1$ ) : le rayon s'éloigne de la normale. Cohérent : $39.3^{\circ}>25^{\circ}$ .

Exercice 9prévoir le sens sans calculer

On donne les indices : air $n=1$ , eau $n=1{,}33$ , verre $n=1{,}5$ , diamant $n=2{,}42$ . Pour chacun des passages suivants, dis sans calcul si le rayon se rapproche ou s'éloigne de la normale.

a)
de l'air vers l'eau ;
Le rayon se rapproche de la normale si le milieu d'arrivée est plus réfringent ( $n_2>n_1$ ), il s'en éloigne si le milieu d'arrivée est moins réfringent ( $n_2<n_1$ ).
air $\to$ eau : $1<1{,}33$ , milieu plus réfringent : le rayon se rapproche de la normale.
b)
du verre vers l'eau ;
verre $\to$ eau : $1{,}5>1{,}33$ , milieu moins réfringent : le rayon s'éloigne de la normale.
c)
de l'eau vers l'air ;
eau $\to$ air : $1{,}33>1$ , milieu moins réfringent : le rayon s'éloigne de la normale.
d)
de l'air vers le diamant.
air $\to$ diamant : $1<2{,}42$ , milieu plus réfringent : le rayon se rapproche de la normale.

Exercice 10angle donné par rapport au dioptre (eau vers air)

Un rayon part du fond d'un bassin et arrive sur la surface eau/air en faisant un angle de $50^{\circ}$ avec le dioptre. On donne $n_{\text{eau}}=1{,}33$ et $n_{\text{air}}=1$ .

a)
Quel est l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ (par rapport à la normale) ?
La normale est perpendiculaire au dioptre : $\hat{\imath}_1=90^{\circ}-50^{\circ}=40^{\circ}$ .
b)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ dans l'air.
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1{,}33\times\sin40^{\circ}}{1} =1{,}33\times0{,}643=0{,}855$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}855)\approx58.7^{\circ}$ . Le rayon s'éloigne de la normale ( $n_2<n_1$ ), cohérent : $58.7^{\circ}>40^{\circ}$ .

Exercice 11retrouver l'indice de départ

Un rayon passe d'un milieu transparent inconnu vers l'air ( $n_2=1$ ). On mesure, dans le milieu de départ, un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=30^{\circ}$ et, dans l'air, un angle de réfraction $\hat{\imath}_2=47^{\circ}$ .

Détermine l'indice $n_1$ du milieu de départ.

On isole $n_1$ dans la loi de Snell–Descartes $n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2$ :

n_1=\frac{n_2\sin\hat{\imath}_2}{\sin\hat{\imath}_1}=\frac{1\times\sin47^{\circ}}{\sin30^{\circ}} =\frac{0{,}731}{0{,}5}=1{,}46.

Le milieu de départ, d'indice $n_1\approx1{,}46$ , est plus réfringent que l'air, ce qui explique que le rayon se soit éloigné de la normale en sortant ( $47^{\circ}>30^{\circ}$ ).

Exercice 12incidence normale

Un rayon arrive perpendiculairement à la surface d'un bloc de verre ( $n_2=1{,}5$ ) : son angle d'incidence est $\hat{\imath}_1=0^{\circ}$ . Le milieu de départ est l'air ( $n_1=1$ ).

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1\times\sin0^{\circ}}{1{,}5} =\dfrac{0}{1{,}5}=0$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0)=0^{\circ}$ .
b)
Le rayon est-il dévié en entrant dans le verre ?
L'angle de réfraction est nul : le rayon n'est pas dévié. Un rayon qui arrive perpendiculairement au dioptre traverse en ligne droite, quels que soient les deux milieux.

Exercice 13identifier un liquide

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) à un liquide transparent. On mesure un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=50^{\circ}$ et un angle de réfraction $\hat{\imath}_2=35^{\circ}$ .

a)
Détermine l'indice de réfraction $n_2$ du liquide.
On isole $n_2$ : $n_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{\sin\hat{\imath}_2} =\dfrac{1\times\sin50^{\circ}}{\sin35^{\circ}}=\dfrac{0{,}766}{0{,}574}=1{,}34$ .
b)
À l'aide des valeurs usuelles, de quel liquide s'agit-il vraisemblablement ?
Cette valeur $n_2\approx1{,}33$ est celle de l'eau : le liquide est de l'eau.

Exercice 14diamant vers air

Un rayon se propage dans un diamant ( $n_1=2{,}42$ ) et sort dans l'air ( $n_2=1$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=15^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{2{,}42\times\sin15^{\circ}}{1} =2{,}42\times0{,}259=0{,}626$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}626)\approx38.8^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ?
L'air est moins réfringent que le diamant ( $n_2<n_1$ ) : le rayon s'éloigne de la normale. Cohérent : $38.8^{\circ}>15^{\circ}$ .

Exercice 15un rayon qui sort de l'eau

Un plongeur allume une lampe sous l'eau ( $n_1=1{,}33$ ). Le rayon sort dans l'air ( $n_2=1$ ) et on observe, dans l'air, un angle de réfraction $\hat{\imath}_2=60^{\circ}$ par rapport à la normale.

Quel était l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ du rayon dans l'eau ?

On isole $\hat{\imath}_1$ dans $n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2$ (ici milieu 1 $=$ eau, milieu 2 $=$ air) :

\sin\hat{\imath}_1=\frac{n_2\sin\hat{\imath}_2}{n_1}=\frac{1\times\sin60^{\circ}}{1{,}33} =\frac{0{,}866}{1{,}33}=0{,}651 \;\Rightarrow\;\hat{\imath}_1=\arcsin(0{,}651)\approx40.6^{\circ}.

Le rayon partait de l'eau sous $\approx40.6^{\circ}$ et s'est éloigné de la normale en sortant dans l'air ( $60^{\circ}>40.6^{\circ}$ ), cohérent avec un passage vers un milieu moins réfringent.

Moyen15 exercices

Exercice 1l'angle mesuré par rapport au dioptre

Un rayon lumineux se propage dans un milieu d'indice $n_1=1{,}3$ et pénètre dans un milieu d'indice $n_2=1$ . L'angle d'incidence vaut $30^{\circ}$ (par rapport à la normale). On cherche l'angle $\beta$ que fait le rayon réfracté avec le dioptre (et non avec la normale).

a)
Calcule d'abord l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ mesuré par rapport à la normale.
$n_1\sin30^{\circ}=n_2\sin\hat{\imath}_2 \Rightarrow \sin\hat{\imath}_2 =\dfrac{1{,}3\times\sin30^{\circ}}{1}=1{,}3\times0{,}5=0{,}65$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}65)\approx40.5^{\circ}$ . (On part d'un milieu plus réfringent vers un moins réfringent : le rayon s'éloigne de la normale, $\hat{\imath}_2>30^{\circ}$ , cohérent.)
b)
Déduis-en l'angle $\beta$ mesuré par rapport au dioptre.
L'angle avec le dioptre est le complémentaire de l'angle avec la normale :
$\beta=90^{\circ}-\hat{\imath}_2=90^{\circ}-\arcsin(0{,}65)\approx49.5^{\circ}.$

Exercice 2verre vers eau

Un rayon passe du verre ( $n_1=1{,}5$ ) à l'eau ( $n_2=1{,}33$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=40^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1{,}5\times\sin40^{\circ}}{1{,}33} =\dfrac{1{,}5\times0{,}643}{1{,}33}=\dfrac{0{,}964}{1{,}33}=0{,}725$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}725)\approx46.5^{\circ}$ .
b)
Le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ? Justifie par les indices.
$n_2<n_1$ (l'eau est moins réfringente que le verre) : le rayon s'éloigne de la normale. Cohérent : $46.5^{\circ}>40^{\circ}$ .

Exercice 3l'angle de déviation

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=50^{\circ}$ . On appelle déviation $D$ l'angle entre la direction qu'aurait suivie le rayon sans le dioptre (le prolongement du rayon incident) et le rayon réfracté réel.

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{1\times\sin50^{\circ}}{1{,}5}=\dfrac{0{,}766}{1{,}5}=0{,}511 \Rightarrow \hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}511)\approx30.7^{\circ}$ .
b)
Déduis-en la déviation $D$ du rayon.
Sans dioptre, le rayon aurait continué sous l'angle $\hat{\imath}_1$ ; il repart en réalité sous $\hat{\imath}_2$ . La déviation est l'écart entre les deux :
$D=\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2=50^{\circ}-30.7^{\circ}=19.3^{\circ}.$
(En entrant dans un milieu plus réfringent, le rayon est « rabattu » vers la normale de $D$ .)

Exercice 4identifier un milieu inconnu

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) à un liquide transparent inconnu. On mesure un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=45^{\circ}$ et un angle de réfraction $\hat{\imath}_2=30^{\circ}$ .

Détermine l'indice de réfraction $n_2$ du liquide.

On isole $n_2$ dans la loi de Snell–Descartes :

n_2=\frac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{\sin\hat{\imath}_2}=\frac{1\times\sin45^{\circ}}{\sin30^{\circ}} =\frac{0{,}707}{0{,}5}=1{,}41\;(\approx\sqrt{2}).

Le liquide a un indice $n_2\approx1{,}41$ : plus réfringent que l'air, ce qui explique bien que le rayon se soit rapproché de la normale ( $30^{\circ}<45^{\circ}$ ).

Exercice 5choisir le bon tracé

Un rayon lumineux traverse successivement un milieu $n_1$ , puis un milieu plus réfringent $n_2>n_1$ , puis ressort dans l'air ( $n\approx 1$ ). Les faces successives sont parallèles.

Sans calcul, décris qualitativement le trajet : à chaque interface, le rayon se rapproche-t-il ou s'éloigne-t-il de la normale ? L'angle final dans l'air est-il plus grand ou plus petit que l'angle initial dans $n_1$ ? Justifie.

À la 1 interface ( $n_1\to n_2$ , plus réfringent) : le rayon se rapproche de la normale.
À la 2 interface ( $n_2\to$ air, moins réfringent) : le rayon s'éloigne de la normale.

Les faces étant parallèles, l'invariant $n\sin\hat{\imath}$ se conserve : $n_1\sin\hat{\imath}_1 =1\times\sin\hat{\imath}_{\text{air}}$ , donc $\sin\hat{\imath}_{\text{air}}=n_1\sin\hat{\imath}_1 >\sin\hat{\imath}_1$ (car $n_1>1$ ). L'angle final dans l'air est donc plus grand que l'angle initial dans $n_1$ : le rayon ressort plus incliné qu'il n'est entré, la couche intermédiaire $n_2$ ne modifie pas cette conclusion.

Exercice 6déviation en sortant de l'eau

Un rayon passe de l'eau ( $n_1=1{,}33$ ) à l'air ( $n_2=1$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=35^{\circ}$ . On appelle déviation $D$ l'angle entre le prolongement du rayon incident et le rayon réfracté réel.

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{1{,}33\times\sin35^{\circ}}{1} =1{,}33\times0{,}574=0{,}763$ , d'où $\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}763)\approx49.7^{\circ}$ .
b)
Déduis-en la déviation $D$ du rayon. Est-elle égale à $\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2$ ou à $\hat{\imath}_2-\hat{\imath}_1$ ? Justifie par le sens de la déviation.
On passe vers un milieu moins réfringent : le rayon s'éloigne de la normale, donc $\hat{\imath}_2>\hat{\imath}_1$ et la déviation vaut
$D=\hat{\imath}_2-\hat{\imath}_1=49.7^{\circ}-35^{\circ}=14.7^{\circ}.$

Exercice 7air vers diamant : angle avec le dioptre

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au diamant ( $n_2=2{,}42$ ) sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=60^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ (par rapport à la normale).
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{1\times\sin60^{\circ}}{2{,}42}=\dfrac{0{,}866}{2{,}42}=0{,}358 \Rightarrow\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}358)\approx21.0^{\circ}$ . (Le diamant étant très réfringent, le rayon se rapproche fortement de la normale.)
b)
Déduis-en l'angle $\beta$ que fait le rayon réfracté avec le dioptre.
L'angle avec le dioptre est le complémentaire de l'angle avec la normale :
$\beta=90^{\circ}-\hat{\imath}_2=90^{\circ}-21.0^{\circ}=69.0^{\circ}.$

Exercice 8étalonner puis prévoir

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) à un verre inconnu. Une première mesure donne $\hat{\imath}_1=55^{\circ}$ et $\hat{\imath}_2=40^{\circ}$ .

a)
Détermine l'indice $n_2$ du verre.
$n_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{\sin\hat{\imath}_2}=\dfrac{\sin55^{\circ}}{\sin40^{\circ}} =\dfrac{0{,}819}{0{,}643}=1{,}27$ .
b)
À l'aide de cette valeur, prévois l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2'$ pour un nouveau rayon arrivant cette fois sous $\hat{\imath}_1'=30^{\circ}$ .
Avec ce même verre : $\sin\hat{\imath}_2'=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1'}{n_2} =\dfrac{\sin30^{\circ}}{1{,}27}=\dfrac{0{,}5}{1{,}27}=0{,}394\Rightarrow \hat{\imath}_2'=\arcsin(0{,}394)\approx23.1^{\circ}$ .

Exercice 9le point d'impact au fond du bassin

Un rayon laser arrive de l'air ( $n_1=1$ ) sur la surface d'un bassin d'eau ( $n_2=1{,}33$ ) au point $O$ , sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=50^{\circ}$ . La profondeur du bassin est $h=1.2\,\mathrm{m}$ . On cherche à quelle distance horizontale $x$ du point $O$ le rayon atteint le fond.

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ dans l'eau.
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{\sin50^{\circ}}{1{,}33} =\dfrac{0{,}766}{1{,}33}=0{,}576\Rightarrow\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}576)\approx35.2^{\circ}$ .
b)
Déduis-en la distance horizontale $x=h\tan\hat{\imath}_2$ .
Le rayon réfracté descend en ligne droite dans l'eau ; le triangle rectangle formé avec la verticale donne
$x=h\tan\hat{\imath}_2=1.2\,\mathrm{m}\times\tan35.2^{\circ}=1{,}2\times0{,}705\approx0.85\,\mathrm{m}.$

Exercice 10le rayon réfracté donné par rapport au dioptre

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ). On observe que le rayon réfracté fait un angle de $68^{\circ}$ avec le dioptre.

a)
Quel est l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ (par rapport à la normale) ?
L'angle avec la normale est le complémentaire de l'angle avec le dioptre : $\hat{\imath}_2=90^{\circ}-68^{\circ}=22^{\circ}$ .
b)
Retrouve l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ .
$n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2\Rightarrow\sin\hat{\imath}_1 =1{,}5\times\sin22^{\circ}=1{,}5\times0{,}375=0{,}562$ , d'où $\hat{\imath}_1=\arcsin(0{,}562)\approx34.2^{\circ}$ .

Exercice 11indice relatif et retour inverse

Un rayon passe d'un milieu $A$ à un milieu $B$ sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_A=45^{\circ}$ ; l'angle de réfraction mesuré est $\hat{\imath}_B=28^{\circ}$ .

a)
Calcule le rapport des indices $n_B/n_A$ .
$n_A\sin\hat{\imath}_A=n_B\sin\hat{\imath}_B\Rightarrow \dfrac{n_B}{n_A}=\dfrac{\sin\hat{\imath}_A}{\sin\hat{\imath}_B} =\dfrac{\sin45^{\circ}}{\sin28^{\circ}}=\dfrac{0{,}707}{0{,}469}=1{,}51.$
b)
On envoie maintenant un rayon de $B$ vers $A$ sous une incidence $28^{\circ}$ . Montre, sans connaître $n_A$ ni $n_B$ séparément, que le rayon ressort dans $A$ sous $45^{\circ}$ (principe du retour inverse de la lumière).
Pour le passage $B\to A$ sous $28^{\circ}$ : $n_B\sin28^{\circ}=n_A\sin\hat{\imath}$ , soit $\sin\hat{\imath}=\dfrac{n_B}{n_A}\sin28^{\circ}=1{,}51\times0{,}469=0{,}707=\sin45^{\circ}$ . Donc $\hat{\imath}=45^{\circ}$ : le rayon reprend exactement le trajet inverse, c'est le retour inverse de la lumière.

Exercice 12la vitre à faces parallèles : angles

Un rayon issu de l'air ( $n=1$ ) arrive sur une vitre en verre ( $n=1{,}5$ ) à faces parallèles sous une incidence $\hat{\imath}_1=45^{\circ}$ .

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat r$ à l'intérieur de la vitre (première face).
Première face (air $\to$ verre) : $\sin\hat r=\dfrac{\sin45^{\circ}}{1{,}5} =\dfrac{0{,}707}{1{,}5}=0{,}471\Rightarrow\hat r=\arcsin(0{,}471)\approx28.1^{\circ}$ .
b)
Calcule l'angle $\hat{\imath}_1'$ sous lequel le rayon ressort dans l'air (deuxième face) et conclus sur la direction du rayon émergent par rapport au rayon incident.
Les faces étant parallèles, l'angle d'incidence interne sur la deuxième face vaut aussi $\hat r$ . Deuxième face (verre $\to$ air) : $\sin\hat{\imath}_1'=1{,}5\sin\hat r =1{,}5\times0{,}471=0{,}707\Rightarrow\hat{\imath}_1'=45^{\circ}$ . Le rayon émergent ressort sous le même angle qu'à l'entrée : il est parallèle au rayon incident (simplement décalé sur le côté).

Exercice 13l'angle de réfraction maximal

Lorsqu'un rayon entre dans un milieu plus réfringent, la réfraction a toujours lieu, mais l'angle réfracté ne peut pas dépasser une valeur maximale $\hat r_{\max}$ , atteinte pour un rayon incident rasant ( $\hat{\imath}_1\to90^{\circ}$ ).

a)
Détermine $\hat r_{\max}$ pour un passage de l'air ( $n_1=1$ ) vers l'eau ( $n_2=1{,}33$ ).
Pour un rayon rasant, $\hat{\imath}_1\to90^{\circ}$ donc $\sin\hat{\imath}_1\to1$ , et $\sin\hat r_{\max}=\dfrac{n_1}{n_2}$ .
Air $\to$ eau : $\hat r_{\max}=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{1{,}33}\right)=\arcsin(0{,}752)\approx48.8^{\circ}$ .
b)
Détermine $\hat r_{\max}$ pour un passage de l'air ( $n_1=1$ ) vers le diamant ( $n_2=2{,}42$ ).
Air $\to$ diamant : $\hat r_{\max}=\arcsin\!\left(\dfrac{1}{2{,}42}\right)=\arcsin(0{,}413)\approx24.4^{\circ}$ . (Aucun rayon réfracté ne peut faire, dans le diamant, un angle supérieur à $\approx24.4^{\circ}$ .)

Exercice 14conversion, réfraction et déviation

Un rayon arrive de l'air ( $n_1=1$ ) sur un bloc de verre ( $n_2=1{,}5$ ) en faisant un angle de $25^{\circ}$ avec le dioptre.

a)
Détermine l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ .
$\hat{\imath}_1=90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$ .
b)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{\sin65^{\circ}}{1{,}5}=\dfrac{0{,}906}{1{,}5}=0{,}604 \Rightarrow\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}604)\approx37.2^{\circ}$ .
c)
Déduis-en la déviation $D=\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2$ subie par le rayon.
$D=\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2=65^{\circ}-37.2^{\circ}=27.8^{\circ}$ (le rayon entre dans un milieu plus réfringent, il est rabattu vers la normale de $D$ ).

Exercice 15l'indice à partir de la déviation

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) à un verre inconnu sous un angle d'incidence $\hat{\imath}_1=50^{\circ}$ . On mesure une déviation $D=18^{\circ}$ (le rayon est rabattu vers la normale).

a)
Déduis-en l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
Le rayon se rapproche de la normale (air $\to$ verre), donc $\hat{\imath}_2=\hat{\imath}_1-D=50^{\circ}-18^{\circ}=32^{\circ}$ .
b)
Calcule l'indice $n_2$ du verre.
$n_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{\sin\hat{\imath}_2}=\dfrac{\sin50^{\circ}}{\sin32^{\circ}} =\dfrac{0{,}766}{0{,}530}=1{,}45.$

Difficile13 exercices

Exercice 1la lame de verre à faces parallèles

Un rayon lumineux traverse une lame de verre ( $n=1{,}5$ ) à faces parallèles, d'épaisseur $e=4\,\mathrm{cm}$ , entourée d'air. Il arrive sur la première face sous un angle d'incidence $\hat{\imath}=60^{\circ}$ .

a)
Montre que le rayon émergent est parallèle au rayon incident ( $\hat{\imath}'=\hat{\imath}$ ).
À la 1 face (air $\to$ verre) : $\sin\hat{\imath}=n\sin\hat r$ . Les deux faces sont parallèles, donc l'angle d'incidence interne sur la 2 face est égal à $\hat r$ (angles alternes-internes). À la 2 face (verre $\to$ air) : $n\sin\hat r=\sin\hat{\imath}'$ . En combinant : $\sin\hat{\imath}'=\sin\hat{\imath}$ , d'où $\boxed{\hat{\imath}'=\hat{\imath}}$ : le rayon émergent est parallèle à l'incident.
b)
L'angle de réfraction dans le verre est $\hat r$ tel que $\sin\hat r=\sin\hat{\imath}/n$ . Sachant que le décalage latéral du rayon vaut $d=\dfrac{e\,\sin(\hat{\imath}-\hat r)}{\cos\hat r}$ , calcule $d$ .
Angle dans le verre : $\sin\hat r=\dfrac{\sin60^{\circ}}{1{,}5}=\dfrac{0{,}866}{1{,}5}=0{,}577 \Rightarrow \hat r\approx35.3^{\circ}$ . Décalage latéral :
$d=\frac{e\,\sin(\hat{\imath}-\hat r)}{\cos\hat r} =\frac{4\times\sin(60^{\circ}-35.3^{\circ})}{\cos35.3^{\circ}} =\frac{4\times\sin24.7^{\circ}}{\cos35.3^{\circ}} =\frac{4\times0{,}418}{0{,}816}\approx2.05\,\mathrm{cm}.$
La lame ne change pas la direction, elle décale le rayon de $\approx2\,\mathrm{cm}$ sur le côté.

Exercice 2un empilement de couches parallèles

Un rayon issu de l'air ( $n_0=1$ ) sous une incidence $\hat{\imath}_0=50^{\circ}$ traverse une couche d'eau ( $n_1=1{,}33$ ), puis un bloc de verre ( $n_2=1{,}5$ ). Les trois interfaces sont parallèles.

a)
Calcule l'angle du rayon dans l'eau.
Air $\to$ eau : $\sin\hat{\imath}_1=\dfrac{n_0\sin\hat{\imath}_0}{n_1} =\dfrac{\sin50^{\circ}}{1{,}33}=\dfrac{0{,}766}{1{,}33}=0{,}576\Rightarrow\hat{\imath}_1\approx35.2^{\circ}$ .
b)
Calcule l'angle du rayon dans le verre.
Eau $\to$ verre : $\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}$ . Mais $n_1\sin\hat{\imath}_1=n_0\sin\hat{\imath}_0=\sin50^{\circ}$ , donc $\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{\sin50^{\circ}}{1{,}5}=0{,}511\Rightarrow\hat{\imath}_2\approx30.7^{\circ}$ .
c)
Montre que l'angle dans le verre ne dépend pas de la présence de la couche d'eau. Que faut-il connaître pour prévoir l'angle final ?
À travers des interfaces parallèles, la quantité $n\sin\hat{\imath}$ se conserve :
$n_0\sin\hat{\imath}_0=n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2.$
L'angle dans le verre ne dépend donc que de $n_0\sin\hat{\imath}_0$ et de $n_2$ : la couche d'eau intermédiaire n'intervient pas. Pour prévoir l'angle final, il suffit de connaître le milieu de départ et le milieu d'arrivée — les couches parallèles traversées entre les deux sont sans effet sur la direction finale.

Exercice 3imposer la déviation

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ). On souhaite que la déviation $D=\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2$ du rayon soit exactement égale à $20^{\circ}$ .

En posant $\hat{\imath}_2=\hat{\imath}_1-20^{\circ}$ dans la loi de Snell–Descartes, détermine l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ . (Indication : développe $\sin(\hat{\imath}_1-20^{\circ})$ puis regroupe pour obtenir $\tan\hat{\imath}_1$ .)

On veut $D=\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2=20^{\circ}$ , soit $\hat{\imath}_2=\hat{\imath}_1-20^{\circ}$ . La loi de Snell–Descartes air $\to$ verre s'écrit $\sin\hat{\imath}_1=1{,}5\,\sin\hat{\imath}_2$ :

\sin\hat{\imath}_1=1{,}5\,\sin(\hat{\imath}_1-20^{\circ}) =1{,}5\big(\sin\hat{\imath}_1\cos20^{\circ}-\cos\hat{\imath}_1\sin20^{\circ}\big).

On regroupe les termes en $\sin\hat{\imath}_1$ et $\cos\hat{\imath}_1$ :

\sin\hat{\imath}_1\big(1-1{,}5\cos20^{\circ}\big)=-1{,}5\sin20^{\circ}\,\cos\hat{\imath}_1.

Avec $\cos20^{\circ}=0{,}940$ et $\sin20^{\circ}=0{,}342$ : $1-1{,}5\times0{,}940=-0{,}410$ , d'où

\tan\hat{\imath}_1=\frac{1{,}5\times0{,}342}{0{,}410}=\frac{0{,}513}{0{,}410}=1{,}253 \;\Longrightarrow\;\boxed{\hat{\imath}_1\approx51.4^{\circ}}.

Vérification : $\hat{\imath}_2=31.4^{\circ}$ , et $1{,}5\sin31.4^{\circ}=1{,}5\times0{,}521=0{,}782 =\sin51.4^{\circ}$ . La déviation vaut bien $51.4^{\circ}-31.4^{\circ}=20^{\circ}$ .

Exercice 4la marche du rayon dans un prisme

Un prisme en verre ( $n=1{,}5$ ) a un angle au sommet $A=60^{\circ}$ . Un rayon arrive sur la première face sous une incidence $\hat{\imath}_1=50^{\circ}$ . On note $r_1$ et $r_2$ les angles de réfraction internes sur la première et la seconde face, et $\hat{\imath}_2$ l'angle d'émergence.

a)
Calcule $r_1$ à la première face (air $\to$ verre).
Première face (air $\to$ verre) : $\sin r_1=\dfrac{\sin\hat{\imath}_1}{n}=\dfrac{\sin50^{\circ}}{1{,}5} =\dfrac{0{,}766}{1{,}5}=0{,}511\Rightarrow r_1=\arcsin(0{,}511)\approx30.7^{\circ}$ .
b)
Un résultat de géométrie du prisme donne $r_1+r_2=A$ . Déduis-en $r_2$ .
$r_2=A-r_1=60^{\circ}-30.7^{\circ}=29.3^{\circ}$ .
c)
Calcule l'angle d'émergence $\hat{\imath}_2$ à la seconde face (verre $\to$ air).
Seconde face (verre $\to$ air) : $\sin\hat{\imath}_2=n\sin r_2=1{,}5\times\sin29.3^{\circ} =1{,}5\times0{,}489=0{,}734\Rightarrow\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}734)\approx47.2^{\circ}$ .
d)
Calcule la déviation totale $D=\hat{\imath}_1+\hat{\imath}_2-A$ .
$D=\hat{\imath}_1+\hat{\imath}_2-A=50^{\circ}+47.2^{\circ}-60^{\circ}=37.2^{\circ}$ .

Exercice 5viser une pièce au fond de la piscine

Une pièce de monnaie repose au fond d'une piscine de profondeur $h=2.0\,\mathrm{m}$ . Un rayon issu de l'air ( $n_1=1$ ) pénètre dans l'eau ( $n_2=1{,}33$ ) au point $O$ de la surface et doit atteindre la pièce, située à la distance horizontale $L=1.5\,\mathrm{m}$ de la verticale de $O$ .

a)
Par la géométrie du triangle sous l'eau, détermine l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ .
Sous l'eau, le rayon descend en ligne droite ; le triangle rectangle (profondeur $h$ , décalage $L$ ) donne
$\tan\hat{\imath}_2=\frac{L}{h}=\frac{1{,}5}{2{,}0}=0{,}75\Rightarrow \hat{\imath}_2=\arctan(0{,}75)\approx36.9^{\circ}.$
b)
Déduis-en l'angle d'incidence $\hat{\imath}_1$ que doit avoir le rayon dans l'air.
Loi de Snell–Descartes air $\to$ eau : $\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2 =1{,}33\times\sin36.9^{\circ}=1{,}33\times0{,}600=0{,}798$ , d'où $\hat{\imath}_1=\arcsin(0{,}798)\approx52.9^{\circ}$ .

Exercice 6deux liquides superposés

Une cuve contient une couche d'huile ( $n_1=1{,}47$ , épaisseur $e_1=3\,\mathrm{cm}$ ) flottant sur une couche d'eau ( $n_2=1{,}33$ , épaisseur $e_2=4\,\mathrm{cm}$ ). Un rayon issu de l'air ( $n_0=1$ ) pénètre au sommet de l'huile sous une incidence $\hat{\imath}_0=50^{\circ}$ . Les interfaces sont horizontales et parallèles.

a)
Calcule l'angle $\theta_1$ du rayon dans l'huile, puis son décalage horizontal en traversant l'huile.
Air $\to$ huile : $\sin\theta_1=\dfrac{n_0\sin\hat{\imath}_0}{n_1}=\dfrac{\sin50^{\circ}}{1{,}47} =\dfrac{0{,}766}{1{,}47}=0{,}521\Rightarrow\theta_1\approx31.4^{\circ}$ . Décalage dans l'huile : $x_1=e_1\tan\theta_1=3\times\tan31.4^{\circ}=3\times0{,}611\approx1.83\,\mathrm{cm}$ .
b)
Calcule l'angle $\theta_2$ du rayon dans l'eau, puis son décalage horizontal en traversant l'eau.
Huile $\to$ eau : $\sin\theta_2=\dfrac{n_1\sin\theta_1}{n_2}$ . Or $n_1\sin\theta_1=n_0\sin\hat{\imath}_0 =\sin50^{\circ}$ , donc $\sin\theta_2=\dfrac{\sin50^{\circ}}{1{,}33}=0{,}576\Rightarrow\theta_2\approx35.2^{\circ}$ . Décalage dans l'eau : $x_2=e_2\tan\theta_2=4\times\tan35.2^{\circ}=4\times0{,}705\approx2.82\,\mathrm{cm}$ .
c)
Déduis-en le décalage horizontal total entre le point d'entrée (au sommet de l'huile) et le point d'arrivée au fond de l'eau.
Décalage horizontal total : $x=x_1+x_2\approx1{,}83+2{,}82\approx4.65\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 7le minimum de déviation d'un prisme

On étudie un prisme d'angle au sommet $A=60^{\circ}$ . En faisant tourner le prisme, on constate que la déviation $D$ passe par un minimum $D_{\min}=40^{\circ}$ . On admet qu'au minimum de déviation la marche du rayon est symétrique : $\hat{\imath}_1=\hat{\imath}_2$ et $r_1=r_2=A/2$ .

a)
À partir de $D=\hat{\imath}_1+\hat{\imath}_2-A$ et de la symétrie, exprime $\hat{\imath}_1$ en fonction de $A$ et $D_{\min}$ , puis calcule sa valeur.
Avec $\hat{\imath}_1=\hat{\imath}_2$ , $D=\hat{\imath}_1+\hat{\imath}_2-A=2\hat{\imath}_1-A$ , d'où
$\hat{\imath}_1=\frac{A+D_{\min}}{2}=\frac{60^{\circ}+40^{\circ}}{2}=50^{\circ}.$
b)
Sachant que $r_1=A/2$ , applique la loi de Snell–Descartes à la première face pour déterminer l'indice $n$ du verre.
À la première face, $r_1=A/2=30^{\circ}$ et $\sin\hat{\imath}_1=n\sin r_1$ , donc
$n=\frac{\sin\hat{\imath}_1}{\sin r_1}=\frac{\sin50^{\circ}}{\sin30^{\circ}} =\frac{0{,}766}{0{,}5}=1{,}53.$
c)
Vérifie que $n=\dfrac{\sin\!\big((A+D_{\min})/2\big)}{\sin(A/2)}$ redonne la même valeur.
$\dfrac{\sin\!\big((A+D_{\min})/2\big)}{\sin(A/2)}=\dfrac{\sin50^{\circ}}{\sin30^{\circ}} =\dfrac{0{,}766}{0{,}5}=1{,}53$ : même valeur, $n\approx1{,}53$ .

Exercice 8quand le réfracté est perpendiculaire au réfléchi

Un rayon arrive de l'air ( $n_1=1$ ) sur du verre ( $n_2=1{,}5$ ). Pour une certaine incidence $\hat{\imath}_1$ , on observe que le rayon réfléchi et le rayon réfracté sont exactement perpendiculaires.

a)
Le rayon réfléchi repart sous l'angle $\hat{\imath}_1$ de l'autre côté de la normale. En écrivant que l'angle entre réfléchi et réfracté vaut $90^{\circ}$ , montre que $\hat{\imath}_1+\hat{\imath}_2=90^{\circ}$ .
Le rayon réfléchi fait un angle $\hat{\imath}_1$ avec la normale (côté air), le réfracté un angle $\hat{\imath}_2$ de l'autre côté. Autour du point d'incidence, la normale sépare ces deux rayons ; l'angle entre eux vaut $180^{\circ}-\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2$ . Il est droit : $180^{\circ}-\hat{\imath}_1-\hat{\imath}_2=90^{\circ}$ , soit $\hat{\imath}_1+\hat{\imath}_2=90^{\circ}$ .
b)
En reportant $\hat{\imath}_2=90^{\circ}-\hat{\imath}_1$ dans la loi de Snell–Descartes, montre que $\tan\hat{\imath}_1=n_2$ .
Snell–Descartes : $\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2=n_2\sin(90^{\circ}-\hat{\imath}_1) =n_2\cos\hat{\imath}_1$ , d'où $\dfrac{\sin\hat{\imath}_1}{\cos\hat{\imath}_1}=\tan\hat{\imath}_1=n_2$ .
c)
Calcule $\hat{\imath}_1$ et $\hat{\imath}_2$ .
$\hat{\imath}_1=\arctan(1{,}5)\approx56.3^{\circ}$ (angle de Brewster), et $\hat{\imath}_2=90^{\circ}-56.3^{\circ}=33.7^{\circ}$ .

Exercice 9la largeur d'un faisceau réfracté

Un faisceau parallèle de lumière, de largeur $w_1=2\,\mathrm{cm}$ , arrive de l'air ( $n_1=1$ ) sur l'eau ( $n_2=1{,}33$ ) sous une incidence $\hat{\imath}_1=60^{\circ}$ . Les deux bords du faisceau frappent la surface sur une même bande, puis se réfractent.

a)
Justifie que les deux bords du faisceau restent parallèles après réfraction.
Tous les rayons du faisceau ont la même incidence $\hat{\imath}_1$ , donc le même angle réfracté $\hat{\imath}_2$ (loi de Snell). Des rayons de même direction restent parallèles : le faisceau réfracté est parallèle.
b)
On note $\hat{\imath}_2$ l'angle réfracté. En considérant la bande éclairée à la surface, montre que $w_2=w_1\dfrac{\cos\hat{\imath}_2}{\cos\hat{\imath}_1}$ .
La bande éclairée à la surface a une longueur $\ell$ commune aux deux faisceaux. La largeur d'un faisceau (mesurée perpendiculairement à sa direction) est reliée à $\ell$ par $w_1=\ell\cos\hat{\imath}_1$ et $w_2=\ell\cos\hat{\imath}_2$ . En éliminant $\ell$ :
$w_2=w_1\frac{\cos\hat{\imath}_2}{\cos\hat{\imath}_1}.$
c)
Calcule $\hat{\imath}_2$ puis la largeur $w_2$ du faisceau dans l'eau.
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{\sin60^{\circ}}{1{,}33}=\dfrac{0{,}866}{1{,}33}=0{,}651 \Rightarrow\hat{\imath}_2\approx40.6^{\circ}$ . Alors
$w_2=2\times\frac{\cos40.6^{\circ}}{\cos60^{\circ}}=2\times\frac{0{,}759}{0{,}5}\approx3.04\,\mathrm{cm}.$
Le faisceau s'élargit en entrant dans l'eau (il se rapproche de la normale).

Exercice 10aller-retour sur un miroir immergé

Un rayon arrive de l'air ( $n_1=1$ ) sur un bassin d'eau ( $n_2=1{,}33$ ) de profondeur $h=1.0\,\mathrm{m}$ , sous une incidence $\hat{\imath}_1=45^{\circ}$ . Un miroir horizontal tapisse le fond : le rayon s'y réfléchit, remonte et ressort dans l'air.

a)
Calcule l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ dans l'eau.
$\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{n_1\sin\hat{\imath}_1}{n_2}=\dfrac{\sin45^{\circ}}{1{,}33} =\dfrac{0{,}707}{1{,}33}=0{,}532\Rightarrow\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}532)\approx32.1^{\circ}$ .
b)
Détermine la distance horizontale entre le point d'entrée et le point de sortie du rayon à la surface.
À l'aller, le rayon parcourt horizontalement $h\tan\hat{\imath}_2$ pour descendre jusqu'au miroir ; au retour (réflexion symétrique), il en parcourt autant. La distance entre entrée et sortie vaut donc
$\Delta=2h\tan\hat{\imath}_2=2\times1{,}0\times\tan32.1^{\circ}=2\times0{,}627\approx1.25\,\mathrm{m}.$
c)
Sous quel angle le rayon ressort-il dans l'air ? Justifie.
Par symétrie, le rayon remonte vers la surface sous le même angle $\hat{\imath}_2$ ; en ressortant (eau $\to$ air) il retrouve $\hat{\imath}_1=45^{\circ}$ . Le rayon émergent ressort donc sous 45, parallèle au rayon incident (mais décalé de $\Delta$ ).

Exercice 11une réfraction sur mesure

Un rayon passe de l'air ( $n_1=1$ ) au verre ( $n_2=1{,}5$ ). On veut que l'angle de réfraction soit exactement la moitié de l'angle d'incidence : $\hat{\imath}_2=\hat{\imath}_1/2$ .

a)
Écris la loi de Snell–Descartes correspondante sous la forme $\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin(\hat{\imath}_1/2)$ .
Avec $\hat{\imath}_2=\hat{\imath}_1/2$ , la loi $n_1\sin\hat{\imath}_1=n_2\sin\hat{\imath}_2$ s'écrit $\sin\hat{\imath}_1=1{,}5\,\sin(\hat{\imath}_1/2)$ .
b)
En utilisant $\sin\hat{\imath}_1=2\sin(\hat{\imath}_1/2)\cos(\hat{\imath}_1/2)$ , montre que $\cos(\hat{\imath}_1/2)=n_2/2$ .
En développant $\sin\hat{\imath}_1=2\sin(\hat{\imath}_1/2)\cos(\hat{\imath}_1/2)$ :
$2\sin(\hat{\imath}_1/2)\cos(\hat{\imath}_1/2)=1{,}5\,\sin(\hat{\imath}_1/2).$
Comme $\sin(\hat{\imath}_1/2)\neq0$ , on simplifie : $\cos(\hat{\imath}_1/2)=\dfrac{1{,}5}{2}=0{,}75$ .
c)
Calcule $\hat{\imath}_1$ et $\hat{\imath}_2$ .
$\hat{\imath}_1/2=\arccos(0{,}75)\approx41.4^{\circ}$ , donc $\hat{\imath}_1\approx82.8^{\circ}$ et $\hat{\imath}_2\approx41.4^{\circ}$ . Vérification : $\sin82.8^{\circ}=0{,}992$ et $1{,}5\sin41.4^{\circ}=1{,}5\times0{,}661=0{,}992$ . Cohérent.

Exercice 12un rayon dans un milieu à couches (mirage)

On modélise l'atmosphère par des couches horizontales d'indice croissant. Un rayon part de la couche $0$ ( $n_0=1{,}00$ ) sous un angle $\hat{\imath}_0=70^{\circ}$ (mesuré par rapport à la verticale, qui joue le rôle de normale) et traverse les couches $n_1=1{,}10$ , $n_2=1{,}20$ , $n_3=1{,}30$ .

a)
Montre qu'à la traversée de couches parallèles la quantité $n\sin\theta$ se conserve, et écris l'invariant.
À chaque interface (couche $k$ vers couche $k+1$ ), Snell–Descartes donne $n_k\sin\theta_k=n_{k+1}\sin\theta_{k+1}$ . De proche en proche, le produit $n\sin\theta$ garde la même valeur dans toutes les couches :
$n\sin\theta=n_0\sin\hat{\imath}_0=\sin70^{\circ}=0{,}940.$
b)
Calcule les angles $\theta_1$ , $\theta_2$ , $\theta_3$ du rayon dans chaque couche.
$\sin\theta_k=\dfrac{0{,}940}{n_k}$ :
$\theta_1=\arcsin\!\frac{0{,}940}{1{,}10}=\arcsin(0{,}854)\approx58.7^{\circ},\quad \theta_2=\arcsin\!\frac{0{,}940}{1{,}20}=\arcsin(0{,}783)\approx51.5^{\circ},$
$\theta_3=\arcsin\!\frac{0{,}940}{1{,}30}=\arcsin(0{,}723)\approx46.3^{\circ}.$
c)
Le rayon se redresse-t-il (se rapproche de la verticale) ou se couche-t-il de plus en plus ? Interprète physiquement.
L'angle avec la verticale diminue à chaque couche : le rayon se redresse, il se rapproche de la verticale en s'enfonçant dans les couches de plus en plus réfringentes (la lumière est déviée vers les milieux d'indice élevé, ce qui courbe la trajectoire).

Exercice 13déterminer un indice par plusieurs mesures

On mesure, pour un passage air ( $n_1=1$ ) $\to$ verre, l'angle de réfraction $\hat{\imath}_2$ pour trois angles d'incidence :

$\hat{\imath}_1$	20	40	60
$\hat{\imath}_2$	13.2	25.4	35.3

a)
Pour chaque mesure, calcule $n=\dfrac{\sin\hat{\imath}_1}{\sin\hat{\imath}_2}$ et vérifie la cohérence des résultats.
$n=\dfrac{\sin\hat{\imath}_1}{\sin\hat{\imath}_2}$ :
$\frac{\sin20^{\circ}}{\sin13.2^{\circ}}=\frac{0{,}342}{0{,}228}=1{,}50,\quad \frac{\sin40^{\circ}}{\sin25.4^{\circ}}=\frac{0{,}643}{0{,}429}=1{,}50,\quad \frac{\sin60^{\circ}}{\sin35.3^{\circ}}=\frac{0{,}866}{0{,}578}=1{,}50.$
Les trois mesures donnent la même valeur : $n\approx1{,}50$ (verre ordinaire).
b)
En retenant la valeur moyenne de $n$ , prévois l'angle de réfraction pour $\hat{\imath}_1=75^{\circ}$ .
Avec $n=1{,}50$ : $\sin\hat{\imath}_2=\dfrac{\sin75^{\circ}}{1{,}5}=\dfrac{0{,}966}{1{,}5}=0{,}644 \Rightarrow\hat{\imath}_2=\arcsin(0{,}644)\approx40.1^{\circ}$ .
c)
Détermine l'angle de réfraction maximal $\hat r_{\max}$ (rayon rasant, $\hat{\imath}_1\to90^{\circ}$ ).
Rayon rasant : $\sin\hat r_{\max}=\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{1}{1{,}5}=0{,}667\Rightarrow \hat r_{\max}=\arcsin(0{,}667)\approx41.8^{\circ}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique