Composition de forces parallèles

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Facile15 exercices

Exercice 1résultante de deux forces de même sens

Sur une barre, deux forces parallèles de même sens sont appliquées : $F_1=3\,\mathrm{N}$ en $A$ et $F_2=5\,\mathrm{N}$ en $B$ .

a)
Calcule l'intensité $R$ de la résultante.
Forces de même sens $\Rightarrow$ les intensités s'ajoutent : $R = F_1+F_2 = 3+5 = 8\,\mathrm{N}$ .
b)
Précise sa direction et son sens.
$\vec{R}$ est parallèle à $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ , et de même sens qu'elles (vers le bas).

Exercice 2résultante de deux forces de sens opposé

Deux forces parallèles de sens opposé agissent sur un solide : $F_1=2\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=6\,\mathrm{N}$ (en $B$ ).

a)
Calcule l'intensité $F_r$ de la résultante.
Sens opposés $\Rightarrow$ on soustrait : $F_r = F_2 - F_1 = 6 - 2 = 4\,\mathrm{N}$ .
b)
Quel est son sens : celui de $\vec{F}_1$ ou celui de $\vec{F}_2$ ?
$\vec{F}_r$ a le sens de la plus grande force, c'est-à-dire celui de $\vec{F}_2$ .

Exercice 3rapport des bras de levier

Deux forces parallèles de même sens sont appliquées en $A$ ( $F_1=2\,\mathrm{N}$ ) et en $B$ ( $F_2=4\,\mathrm{N}$ ). Le point d'application $O$ de la résultante vérifie $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ .

a)
Calcule le rapport $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}$ .
De $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ on tire $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}} = \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{4}{2} = 2$ .
b)
Le point $O$ est-il plus proche de $A$ ou de $B$ ? Pourquoi ?
$O$ est plus proche de $B$ . En effet $\overline{AO}=2\,\overline{BO}$ : la distance à $A$ est le double de la distance à $B$ . Le point d'application est toujours plus proche de la force la plus intense ( $F_2$ ).

Exercice 4position du point d'application

Sur une tige, $F_1=1\,\mathrm{N}$ est appliquée en $A$ et $F_2=2\,\mathrm{N}$ en $B$ , de même sens, avec $\overline{AB}=30\,\mathrm{cm}$ .

Écris la relation entre $\overline{AO}$ et $\overline{BO}$ , puis calcule ces deux distances.

Même sens $\Rightarrow$ $O$ est entre $A$ et $B$ , donc $\overline{AO}+\overline{BO}=30\,\mathrm{cm}$ . La règle des moments donne $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{2}{1}=2$ , soit $\overline{AO}=2\,\overline{BO}$ . En reportant : 2 BO+BO=30 3 BO=30 BO= $10\,\mathrm{cm}$ , AO= $20\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 5force équilibrante

Deux forces parallèles de même sens ont pour résultante $\vec{R}$ , d'intensité $R=10\,\mathrm{N}$ , dirigée vers le bas et appliquée en un point $O$ .

a)
Quelle force unique, appliquée en $O$ , maintient le solide en équilibre de translation ?
La force équilibrante : appliquée au même point $O$ , elle doit annuler la résultante, donc $\sum\vec{F}=\vec{0}$ .
b)
Donne son intensité et son sens.
Même intensité que $\vec{R}$ : $10\,\mathrm{N}$ ; sens opposé : dirigée vers le haut.

Exercice 6deux ouvriers soulèvent une poutre

Deux ouvriers soulèvent une poutre horizontale à l'aide de deux cordes verticales tirant vers le haut (forces parallèles de même sens) : $F_1=6\,\mathrm{N}$ en $A$ et $F_2=10\,\mathrm{N}$ en $B$ .

a)
Calcule l'intensité $R$ de la résultante (la force unique équivalente).
Forces de même sens $\Rightarrow$ les intensités s'ajoutent : $R=F_1+F_2=6+10=16\,\mathrm{N}$ .
b)
Le point d'application $O$ de cette résultante est-il plus proche de $A$ ou de $B$ ?
$O$ est plus proche de $B$ : le point d'application est toujours du côté de la force la plus intense ( $F_2=10\,\mathrm{N}>F_1$ ).

Exercice 7deux dynamomètres en sens contraire

Deux forces parallèles de sens opposé sont appliquées sur un solide : $F_1=4\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=7\,\mathrm{N}$ (en $B$ ).

a)
Calcule l'intensité $F_r$ de la résultante.
Sens opposé $\Rightarrow$ on soustrait : $F_r=F_2-F_1=7-4=3\,\mathrm{N}$ .
b)
Précise son sens (celui de $\vec{F}_1$ ou celui de $\vec{F}_2$ ?).
$\vec{F}_r$ a le sens de la plus grande force, c'est-à-dire celui de $\vec{F}_2$ .

Exercice 8deux forces égales de même sens

Sur une tige, deux forces parallèles de même sens et de même intensité $F_1=F_2=5\,\mathrm{N}$ sont appliquées en $A$ et $B$ , avec $\overline{AB}=40\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité $R$ de la résultante.
$R=F_1+F_2=5+5=10\,\mathrm{N}$ .
b)
Où se situe son point d'application $O$ (distances $\overline{AO}$ et $\overline{BO}$ ) ?
Les forces étant égales, $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=1$ : $O$ est au milieu de $[AB]$ , soit $\overline{AO}=\overline{BO}=20\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 9retrouver la seconde force

Deux forces parallèles de même sens ont pour résultante $R=9\,\mathrm{N}$ . La première vaut $F_1=2\,\mathrm{N}$ .

a)
Détermine l'intensité $F_2$ de la seconde force.
Même sens : $R=F_1+F_2 \Rightarrow F_2=R-F_1=9-2=7\,\mathrm{N}$ .
b)
Le point d'application $O$ est-il plus proche de $A$ ou de $B$ ?
$F_2>F_1$ , donc $O$ est plus proche de $B$ (côté de la force la plus intense).

Exercice 10lire le rapport des forces sur un schéma

On mesure sur une tige les distances $\overline{AO}=12\,\mathrm{cm}$ et $\overline{BO}=4\,\mathrm{cm}$ , où $O$ est le point d'application de la résultante de deux forces parallèles de même sens (situé entre $A$ et $B$ ).

a)
Calcule le rapport $\dfrac{F_2}{F_1}$ des deux intensités.
La règle des moments donne $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}$ , donc $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{12}{4}=3$ : la force en $B$ est trois fois plus intense.
b)
Quelle est la force la plus intense, celle appliquée en $A$ ou celle appliquée en $B$ ?
La plus intense est celle appliquée en $B$ ( $F_2=3F_1$ ) : $O$ est d'ailleurs plus près de $B$ .

Exercice 11point d'application en sens opposé

Deux forces parallèles de sens opposé agissent sur une barre : $F_1=2\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=6\,\mathrm{N}$ (en $B$ ), avec $\overline{AB}=40\,\mathrm{cm}$ .

a)
De quel côté le point d'application $O$ de la résultante se trouve-t-il ?
En sens opposé, $O$ sort du segment $[AB]$ , du côté de la plus grande force $F_2$ , c'est-à-dire au-delà de $B$ .
b)
Calcule la distance $\overline{BO}$ .
En posant $\overline{BO}=x$ , on a $\overline{AO}=\overline{AB}+x=40+x$ , et $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ :
$2(40+x)=6x \;\Rightarrow\; 80=4x \;\Rightarrow\; \overline{BO}=20\,\mathrm{cm}\ \text{(au-delà de }B).$

Exercice 12force équilibrante en sens opposé

Deux forces parallèles de sens opposé sont appliquées sur un solide : $F_1=3\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=8\,\mathrm{N}$ (en $B$ ).

a)
Calcule l'intensité et le sens de la résultante $\vec{F}_r$ .
Sens opposé : $F_r=F_2-F_1=8-3=5\,\mathrm{N}$ , de même sens que $\vec{F}_2$ (la plus grande).
b)
Quelle force équilibrante (intensité et sens) faut-il ajouter pour immobiliser le solide ?
La force équilibrante a la même intensité $5\,\mathrm{N}$ mais le sens opposé à $\vec{F}_r$ (donc le sens de $\vec{F}_1$ ) : on a alors $\sum\vec{F}=\vec{0}$ .

Exercice 13retrouver la longueur de la tige

Deux forces parallèles de même sens, $F_1=2\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=3\,\mathrm{N}$ (en $B$ ), donnent une résultante appliquée en $O$ tel que $\overline{BO}=12\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule la distance $\overline{AO}$ .
$\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{3}{2}$ , donc $\overline{AO}=\dfrac{3}{2}\times\overline{BO}=1{,}5\times 12=18\,\mathrm{cm}$ .
b)
En déduis la longueur $\overline{AB}$ de la tige.
Même sens $\Rightarrow$ $O$ entre $A$ et $B$ : $\overline{AB}=\overline{AO}+\overline{BO}=18+12=30\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 14centre de gravité de deux masses

Une tige horizontale de masse négligeable porte deux masses : $m_1=100\,\mathrm{g}$ en $A$ et $m_2=300\,\mathrm{g}$ en $B$ , avec $\overline{AB}=40\,\mathrm{cm}$ . On prend $g=10\,\mathrm{N/kg}$ . Leurs poids sont deux forces parallèles verticales de même sens.

a)
En quel point $G$ le poids total s'applique-t-il (distances $\overline{AG}$ et $\overline{BG}$ ) ?
Les poids valent $P_1=m_1 g$ et $P_2=m_2 g$ , de même sens (verticaux vers le bas). Le poids total s'applique au point $G$ tel que $\dfrac{\overline{AG}}{\overline{BG}}=\dfrac{P_2}{P_1} =\dfrac{m_2}{m_1}=\dfrac{300}{100}=3$ , avec $\overline{AG}+\overline{BG}=40$ . D'où $4\,\overline{BG}=40$ , soit $\overline{BG}=10\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AG}=30\,\mathrm{cm}$ ( $G$ est proche de la masse la plus lourde, en $B$ ).
b)
Calcule l'intensité de ce poids total.
Poids total $P=(m_1+m_2)\,g=(0{,}1+0{,}3)\times 10=4\,\mathrm{N}$ .

Exercice 15résultante complète de deux forces de même sens

Sur une barre, $F_1=5\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=15\,\mathrm{N}$ (en $B$ ) sont parallèles et de même sens, avec $\overline{AB}=60\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité $R$ de la résultante.
$R=F_1+F_2=5+15=20\,\mathrm{N}$ (parallèle aux deux forces, de même sens).
b)
Détermine son point d'application $O$ (distances $\overline{AO}$ et $\overline{BO}$ ).
$\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{15}{5}=3$ et $\overline{AO}+\overline{BO}=60$ , d'où $4\,\overline{BO}=60$ : $\overline{BO}=15\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO}=45\,\mathrm{cm}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1résultante complète — même sens

Deux forces parallèles de même sens, $F_1=2\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=3\,\mathrm{N}$ (en $B$ ), sont appliquées aux extrémités d'une tige avec $\overline{AB}=50\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité de la résultante.
$R = F_1+F_2 = 2+3 = 5\,\mathrm{N}$ (parallèle, même sens).
b)
Détermine la position du point d'application $O$ (distances $\overline{AO}$ et $\overline{BO}$ ).
$\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{3}{2}$ , soit $\overline{AO}=\tfrac{3}{2}\,\overline{BO}$ . Avec $\overline{AO}+\overline{BO}=50$ :
$\tfrac{3}{2}\overline{BO}+\overline{BO}=50 \Rightarrow \tfrac{5}{2}\overline{BO}=50 \Rightarrow \overline{BO}=20\,\mathrm{cm},\ \overline{AO}=30\,\mathrm{cm}.$

Exercice 2résultante complète — sens opposé

Mêmes points $A$ et $B$ ( $\overline{AB}=60\,\mathrm{cm}$ ), mais les forces sont de sens opposé : $F_1=2\,\mathrm{N}$ en $A$ et $F_2=5\,\mathrm{N}$ en $B$ .

a)
Calcule l'intensité $F_r$ de la résultante et donne son sens.
$F_r = F_2 - F_1 = 5 - 2 = 3\,\mathrm{N}$ , de même sens que $\vec{F}_2$ (la plus grande).
b)
Situe le point $O$ (de quel côté, et à quelle distance de $B$ ?).
$O$ est hors de $[AB]$ , du côté de $B$ . En posant $\overline{BO}=x$ , on a $\overline{AO}=\overline{AB}+x=60+x$ , et $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ :
$2(60+x)=5x \Rightarrow 120=3x \Rightarrow x=\overline{BO}=40\,\mathrm{cm}.$
$O$ est donc à $40\,\mathrm{cm}$ au-delà de $B$ .

Exercice 3retrouver une force inconnue

Deux forces parallèles de même sens ont une résultante $R=12\,\mathrm{N}$ . On sait que $F_1=4\,\mathrm{N}$ .

a)
Détermine l'intensité $F_2$ de la seconde force.
Même sens : $R=F_1+F_2 \Rightarrow F_2 = R-F_1 = 12-4 = 8\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule alors le rapport $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}$ .
$\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{8}{4}=2$ .

Exercice 4panneau tenu par deux cordes

Un panneau est soutenu par deux cordes verticales tirant vers le haut en $A$ et $B$ ( $\overline{AB}=50\,\mathrm{cm}$ ) : $F_1=8\,\mathrm{N}$ et $F_2=12\,\mathrm{N}$ . Le poids du panneau, vertical vers le bas, équilibre exactement ces deux forces.

a)
Quelle est l'intensité du poids du panneau ?
Les deux cordes tirent dans le même sens : leur résultante vaut $F_1+F_2=8+12=20\,\mathrm{N}$ . À l'équilibre, le poids l'équilibre exactement : $G=20\,\mathrm{N}$ .
b)
En quel point $O$ le poids s'applique-t-il (distances à $A$ et $B$ ) ?
Le poids s'applique au point $O$ de la résultante des deux forces : $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{12}{8}=1{,}5$ , et $\overline{AO}+\overline{BO}=50$ . Donc $2{,}5\,\overline{BO}=50$ , soit $\overline{BO}=20\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO}=30\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 5même sens ou sens opposé : comparaison

On applique les mêmes forces $F_1=1\,\mathrm{N}$ (en $A$ ) et $F_2=3\,\mathrm{N}$ (en $B$ ), avec $\overline{AB}=40\,\mathrm{cm}$ , dans deux situations.

a)
Forces de même sens : donne l'intensité de la résultante et la distance $\overline{BO}$ .
Même sens : $R=F_1+F_2=1+3=4\,\mathrm{N}$ . Position : $\overline{AO}/\overline{BO}=3$ et $\overline{AO}+\overline{BO}=40$ , d'où $4\,\overline{BO}=40$ , $\overline{BO}=10\,\mathrm{cm}$ (entre $A$ et $B$ ).
b)
Forces de sens opposé : donne l'intensité de la résultante et la distance $\overline{BO}$ .
Sens opposé : $F_r=F_2-F_1=3-1=2\,\mathrm{N}$ . Position : $\overline{AO}=40+\overline{BO}$ et $1\times(40+\overline{BO})=3\times\overline{BO}$ , d'où $40=2\,\overline{BO}$ , $\overline{BO}=20\,\mathrm{cm}$ (au-delà de $B$ ).
c)
Dans quel cas la résultante est-elle la plus intense ?
La résultante est plus intense dans le cas de même sens ( $4\,\mathrm{N}>2\,\mathrm{N}$ ) : les forces coopèrent au lieu de se contrarier.

Exercice 6deux enfants sur une planche

Une planche horizontale porte deux enfants dont les poids (parallèles, vers le bas) sont $P_1=300\,\mathrm{N}$ en $A$ et $P_2=200\,\mathrm{N}$ en $B$ , avec $\overline{AB}=3\,\mathrm{m}$ . On veut placer un pivot unique (support vers le haut) qui équilibre l'ensemble.

a)
Calcule l'intensité de la résultante des deux poids.
Poids de même sens $\Rightarrow$ $R=P_1+P_2=300+200=500\,\mathrm{N}$ (vers le bas).
b)
À quelle distance de $A$ faut-il placer le pivot ?
Le pivot doit être au point d'application $O$ de la résultante : $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{P_2}{P_1}=\dfrac{200}{300}=\dfrac{2}{3}$ , avec $\overline{AO}+\overline{BO}=3\,\mathrm{m}$ . Donc $\overline{AO}=\tfrac{2}{3}\overline{BO}$ et $\tfrac{2}{3}\overline{BO}+\overline{BO}=3$ , soit $\overline{BO}=1.8\,\mathrm{m}$ et $\overline{AO}=1.2\,\mathrm{m}$ : le pivot est à $1.2\,\mathrm{m}$ de $A$ .

Exercice 7retrouver les deux forces à partir de la résultante

Sur une barre $\overline{AB}=50\,\mathrm{cm}$ , deux forces parallèles de même sens ont une résultante $R=10\,\mathrm{N}$ appliquée en $O$ , avec $\overline{AO}=20\,\mathrm{cm}$ et $\overline{BO}=30\,\mathrm{cm}$ .

a)
Détermine le rapport $\dfrac{F_2}{F_1}$ .
$\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{20}{30}=\dfrac{2}{3}$ .
b)
En déduis les intensités $F_1$ (en $A$ ) et $F_2$ (en $B$ ).
$F_2=\tfrac{2}{3}F_1$ et $F_1+F_2=10$ : $F_1+\tfrac{2}{3}F_1=10 \Rightarrow \tfrac{5}{3}F_1=10 \Rightarrow F_1=6\,\mathrm{N}$ , puis $F_2=4\,\mathrm{N}$ . ( $O$ est plus proche de $A$ , donc $F_1>F_2$ , cohérent.)

Exercice 8force inconnue en sens opposé

Deux forces parallèles de sens opposé sont appliquées en $A$ et $B$ ( $\overline{AB}=30\,\mathrm{cm}$ ) : $F_1=4\,\mathrm{N}$ en $A$ et $F_2$ inconnue en $B$ . On observe que le point d'application $O$ de la résultante est situé à $20\,\mathrm{cm}$ au-delà de $B$ .

a)
Détermine l'intensité $F_2$ .
$O$ étant à $20\,\mathrm{cm}$ au-delà de $B$ , on a $\overline{BO}=20\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO}=\overline{AB}+\overline{BO}=30+20=50\,\mathrm{cm}$ . La relation $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ donne
$4\times 50 = F_2\times 20 \;\Rightarrow\; F_2=10\,\mathrm{N}.$
b)
Calcule alors l'intensité de la résultante $\vec{F}_r$ .
Sens opposé : $F_r=F_2-F_1=10-4=6\,\mathrm{N}$ (de même sens que $\vec{F}_2$ ).

Exercice 9la brouette

Une brouette est modélisée par une barre rigide : la roue (appui vertical vers le haut) est en $A$ , les mains (force verticale vers le haut) en $B$ , avec $\overline{AB}=1.5\,\mathrm{m}$ . La charge, de poids $P=300\,\mathrm{N}$ , s'applique en $G$ situé à $0.5\,\mathrm{m}$ de la roue.

a)
Quelle est l'intensité de la force à exercer aux mains ( $F_B$ ) ?
Les deux appuis $\vec{R}_A$ (roue) et $\vec{F}_B$ (mains) sont verticaux vers le haut ; leur résultante équilibre le poids $\vec{P}$ et s'applique donc en $G$ . On a $\overline{AG}=0.5\,\mathrm{m}$ et $\overline{GB}=\overline{AB}-\overline{AG}=1{,}5-0{,}5=1\,\mathrm{m}$ .
La règle des moments (point d'application en $G$ ) donne $R_A\times\overline{AG}=F_B\times\overline{GB}$ , soit $R_A\times 0{,}5=F_B\times 1$ , d'où $R_A=2F_B$ . Or $R_A+F_B=P=300$ : $2F_B+F_B=300 \Rightarrow F_B=100\,\mathrm{N}$ .
b)
En déduis la réaction $R_A$ supportée par la roue.
$R_A=P-F_B=300-100=200\,\mathrm{N}$ (la roue reprend la plus grande part, car $G$ en est plus proche).

Exercice 10plaque suspendue avec charge décentrée

Une plaque horizontale de masse négligeable, longueur $120\,\mathrm{cm}$ , est suspendue par deux tiges verticales en $A$ (à une extrémité) et $B$ (à l'autre). On pose une masse $m=30\,\mathrm{kg}$ à $40\,\mathrm{cm}$ de $A$ ( $g=10\,\mathrm{N/kg}$ ).

a)
Détermine la tension $T_A$ de la tige en $A$ .
Le poids vaut $P=mg=30\times 10=300\,\mathrm{N}$ ; il s'applique en $G$ à $40\,\mathrm{cm}$ de $A$ , donc à $120-40=80\,\mathrm{cm}$ de $B$ . Les deux tensions montantes $T_A,T_B$ ont pour résultante ce poids, appliquée en $G$ .
$T_A\times\overline{AG}=T_B\times\overline{BG}$ : $T_A\times 40=T_B\times 80 \Rightarrow T_A=2T_B$ . Avec $T_A+T_B=300$ : $3T_B=300 \Rightarrow T_B=100\,\mathrm{N}$ , donc $T_A=200\,\mathrm{N}$ .
b)
Détermine la tension $T_B$ de la tige en $B$ .
$T_B=100\,\mathrm{N}$ (la tige la plus éloignée de la charge supporte le moins).

Exercice 11la position ne dépend que du rapport

Deux forces parallèles de même sens sont appliquées en $A$ et $B$ , avec $\overline{AB}=30\,\mathrm{cm}$ .

a)
Cas 1 : $F_1=2\,\mathrm{N}$ et $F_2=4\,\mathrm{N}$ . Détermine la position de $O$ (distances à $A$ et $B$ ).
$\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{4}{2}=2$ , soit $\overline{AO}=2\,\overline{BO}$ . Avec $\overline{AO}+\overline{BO}=30$ : $2\,\overline{BO}+\overline{BO}=30 \Rightarrow 3\,\overline{BO}=30$ , d'où $\overline{BO}=10\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO}=20\,\mathrm{cm}$ .
b)
Cas 2 : on double les deux forces, $F_1=4\,\mathrm{N}$ et $F_2=8\,\mathrm{N}$ . Que devient la position de $O$ ? Que peux-tu conclure sur l'influence des intensités ?
Cas 2 : $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{8}{4}=2$ : le rapport est inchangé, donc $O$ occupe exactement la même position qu'au cas 1 ( $\overline{BO}=10\,\mathrm{cm}$ ). La position de $O$ ne dépend que du rapport des intensités, pas de leur valeur absolue : seule la résultante change ( $6\,\mathrm{N}$ puis $12\,\mathrm{N}$ ).

Exercice 12composition de trois forces de même sens

Sur une règle, trois forces parallèles de même sens sont appliquées : $F_1=6\,\mathrm{N}$ en $A$ ( $x_A=0$ ), $F_2=6\,\mathrm{N}$ en $B$ ( $x_B=40\,\mathrm{cm}$ ) et $F_3=12\,\mathrm{N}$ en $C$ ( $x_C=60\,\mathrm{cm}$ ). On compose de proche en proche.

a)
Détermine l'intensité et la position de la résultante $\vec{R}_{12}$ de $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ .
$R_{12}=F_1+F_2=6+6=12\,\mathrm{N}$ . Les deux forces étant égales, $O_{12}$ est au milieu de $[AB]$ : $x_{12}=\dfrac{0+40}{2}=20\,\mathrm{cm}$ .
b)
Compose $\vec{R}_{12}$ avec $\vec{F}_3$ : donne l'intensité et la position de la résultante globale.
On compose $\vec{R}_{12}$ ( $12\,\mathrm{N}$ à $x=20$ ) avec $\vec{F}_3$ ( $12\,\mathrm{N}$ à $x=60$ ) : intensités égales $\Rightarrow$ point d'application au milieu, $x=\dfrac{20+60}{2}=40\,\mathrm{cm}$ . Résultante globale : $R=R_{12}+F_3=12+12=24\,\mathrm{N}$ appliquée à $x=40\,\mathrm{cm}$ .

Exercice 13étagère sur deux équerres

Une étagère horizontale de masse négligeable, longueur $80\,\mathrm{cm}$ , est fixée par deux équerres en $A$ ( $x=0$ ) et $B$ ( $x=80\,\mathrm{cm}$ ). On pose une caisse de poids $240\,\mathrm{N}$ à $60\,\mathrm{cm}$ de $A$ .

a)
Calcule les forces $F_A$ et $F_B$ supportées par chaque équerre.
Le poids (résultante des deux appuis) s'applique en $x=60\,\mathrm{cm}$ , donc $\overline{AG}=60$ et $\overline{BG}=80-60=20\,\mathrm{cm}$ . La règle des moments donne $F_A\times 60=F_B\times 20 \Rightarrow F_A=\tfrac{1}{3}F_B$ . Avec $F_A+F_B=240$ : $\tfrac{1}{3}F_B+F_B=240 \Rightarrow \tfrac{4}{3}F_B=240 \Rightarrow F_B=180\,\mathrm{N}$ , puis $F_A=60\,\mathrm{N}$ .
b)
Chaque équerre supporte au maximum $150\,\mathrm{N}$ . Le montage est-il sûr ?
L'équerre $B$ supporte $180\,\mathrm{N}>150\,\mathrm{N}$ : le montage n'est pas sûr, l'équerre $B$ est surchargée (il faudrait rapprocher la caisse de $A$ ).

Exercice 14centre de gravité de trois masses

Une tige horizontale de masse négligeable porte trois masses : $m_1=1\,\mathrm{kg}$ en $x=0$ , $m_2=1\,\mathrm{kg}$ en $x=20\,\mathrm{cm}$ et $m_3=2\,\mathrm{kg}$ en $x=50\,\mathrm{cm}$ . On compose leurs poids de proche en proche.

a)
Détermine la position du centre de gravité $G_{12}$ des deux premières masses.
Poids $P_1=P_2=10\,\mathrm{N}$ (masses égales) : $G_{12}$ est au milieu de $[0\,;20]$ , soit $x_{12}=10\,\mathrm{cm}$ ; poids partiel $20\,\mathrm{N}$ .
b)
En déduis la position du centre de gravité $G$ de l'ensemble.
On compose $G_{12}$ ( $20\,\mathrm{N}$ à $x=10$ ) avec le poids de $m_3$ ( $20\,\mathrm{N}$ à $x=50$ ) : intensités égales $\Rightarrow$ milieu, $x_G=\dfrac{10+50}{2}=30\,\mathrm{cm}$ . (Vérification : $x_G=\dfrac{1\cdot 0+1\cdot 20+2\cdot 50}{1+1+2}=\dfrac{120}{4}=30\,\mathrm{cm}$ .)

Exercice 15résultante, point d'application et équilibrante

Sur une barre $\overline{AB}=40\,\mathrm{cm}$ , on applique $F_1=6\,\mathrm{N}$ vers le bas en $A$ et $F_2=14\,\mathrm{N}$ vers le haut en $B$ (forces parallèles de sens opposé).

a)
Calcule l'intensité et le sens de la résultante $\vec{F}_r$ .
Sens opposé : $F_r=F_2-F_1=14-6=8\,\mathrm{N}$ , de même sens que $\vec{F}_2$ (vers le haut).
b)
Situe son point d'application $O$ (côté et distance à $B$ ).
$O$ est hors de $[AB]$ , du côté de $B$ (force la plus intense). En posant $\overline{BO}=x$ : $\overline{AO}=40+x$ et $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ :
$6(40+x)=14x \;\Rightarrow\; 240=8x \;\Rightarrow\; \overline{BO}=30\,\mathrm{cm}\ \text{(au-delà de }B).$
c)
Donne la force équilibrante à appliquer en $O$ et vérifie que $\sum\vec{F}=\vec{0}$ .
Force équilibrante en $O$ : $8\,\mathrm{N}$ vers le bas (opposée à $\vec{F}_r$ ). Vérification : vers le haut $=F_2=14\,\mathrm{N}$ ; vers le bas $=F_1+F_{\text{éq}}=6+8=14\,\mathrm{N}$ . Elles se compensent, $\sum\vec{F}=\vec{0}$ .

Difficile14 exercices

Exercice 1deux forces, deux configurations

Sur un solide plan, deux forces parallèles sont appliquées en $A$ et $B$ , distants de $\overline{AB}=70\,\mathrm{cm}$ : $F_1=1\,\mathrm{N}$ et $F_2=2.5\,\mathrm{N}$ . On considère le cas a) où elles sont de même sens, et le cas b) où elles sont de sens opposé.

Pour chaque proposition, dis si elle est correcte ou non (en justifiant) :

a)
Dans les deux cas, la résultante est parallèle à $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ .
Correcte. La résultante de deux forces parallèles est toujours parallèle à celles-ci, que les forces soient de même sens ou de sens opposé.
b)
Dans le cas b), l'intensité de la résultante vaut $1.5\,\mathrm{N}$ .
Correcte. Cas b) (sens opposé) : $F_r = F_2 - F_1 = 2{,}5 - 1 = 1.5\,\mathrm{N}$ .
c)
Dans le cas a), le point d'application de la résultante est situé entre $A$ et $B$ , à $20\,\mathrm{cm}$ de $B$ .
Correcte. Cas a) : $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=2{,}5$ et $\overline{AO}+\overline{BO}=70$ , d'où $3{,}5\,\overline{BO}=70$ , soit $\overline{BO}=20\,\mathrm{cm}$ . $O$ est bien entre $A$ et $B$ , à $20\,\mathrm{cm}$ de $B$ .
d)
Dans le cas b), la résultante s'applique à l'extérieur de $[AB]$ , du côté de $A$ .
Incorrecte. En sens opposé, $O$ sort du segment du côté de la plus grande force $F_2$ , c'est-à-dire du côté de $B$ — et non du côté de $A$ . C'est la proposition fausse.

Exercice 2tige maintenue horizontale par une masse

Une tige horizontale rigide, de masse négligeable, subit à ses extrémités $A$ et $B$ ( $\overline{AB}=100\,\mathrm{cm}$ ) deux forces parallèles de même sens dirigées vers le haut : $F_1=1\,\mathrm{N}$ en $A$ et $F_2=2.5\,\mathrm{N}$ en $B$ . Pour la maintenir horizontale, on suspend un objet de masse $m$ en un point $O$ ( $g=10\,\mathrm{N/kg}$ ).

Indique si chaque proposition est correcte ou fausse, en justifiant.

a)
La masse de l'objet suspendu vaut $35\,\mathrm{g}$ .
À l'équilibre de translation, le poids équilibre les deux forces montantes : $G = F_1+F_2 = 1+2{,}5 = 3.5\,\mathrm{N}$ .
Fausse. $m = \dfrac{G}{g} = \dfrac{3{,}5}{10} = 0.35\,\mathrm{kg} = 350\,\mathrm{g}$ (et non $35\,\mathrm{g}$ ).
b)
Le rapport $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}$ vaut $2{,}5$ .
Correcte. $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{2{,}5}{1}=2{,}5$ .
c)
La somme des moments des forces par rapport à l'axe passant par $O$ est nulle.
Correcte. $O$ est le point d'application de la résultante des deux forces : la relation $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ signifie exactement que les moments de $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ autour de $O$ se compensent ; de plus $\vec{G}$ passe par $O$ (bras nul). La somme des moments autour de $O$ est donc nulle.
d)
Cette somme des moments par rapport à $O$ est égale à $F_2\times\overline{BO} - F_1\times\overline{AO} + G\times 0 > 0$ .
Fausse. Puisque $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ , on a $F_2\times\overline{BO}-F_1\times\overline{AO}=0$ , et $G\times 0 = 0$ : la somme vaut exactement 0, elle n'est pas strictement positive.

Exercice 3composition de trois forces parallèles

Trois forces parallèles de même sens sont appliquées sur une règle, aux points $A$ , $B$ , $C$ alignés : $F_1=10\,\mathrm{N}$ en $A$ , $F_2=20\,\mathrm{N}$ en $B$ , $F_3=30\,\mathrm{N}$ en $C$ . On repère les positions par leur abscisse : $x_A=0$ , $x_B=30\,\mathrm{cm}$ , $x_C=60\,\mathrm{cm}$ . On compose de proche en proche.

a)
Détermine l'intensité et la position de la résultante $\vec{R}_{12}$ de $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ .
Même sens : $R_{12}=F_1+F_2=10+20=30\,\mathrm{N}$ . Position : $\overline{AO_1}/\overline{BO_1} =F_2/F_1=2$ et $\overline{AO_1}+\overline{BO_1}=30$ , d'où $\overline{BO_1}=10\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO_1}=20\,\mathrm{cm}$ : $\vec{R}_{12}$ s'applique à $x=20\,\mathrm{cm}$ .
b)
Compose ensuite $\vec{R}_{12}$ avec $\vec{F}_3$ : donne l'intensité et la position de la résultante globale.
On compose $\vec{R}_{12}$ ( $30\,\mathrm{N}$ à $x=20$ ) avec $\vec{F}_3$ ( $30\,\mathrm{N}$ à $x=60$ ). Les deux intensités sont égales : le point d'application est au milieu, à $x=\dfrac{20+60}{2}=40\,\mathrm{cm}$ . Résultante globale :
$R = R_{12}+F_3 = 30+30 = 60\,\mathrm{N}\ \text{à}\ x=40\,\mathrm{cm}.$

Exercice 4résultante et force équilibrante

Sur une barre, $F_1=3\,\mathrm{N}$ (en $A$ , vers le bas) et $F_2=8\,\mathrm{N}$ (en $B$ , vers le haut) sont parallèles et de sens opposé, avec $\overline{AB}=40\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité et le sens de la résultante $\vec{F}_r$ .
Sens opposé : $F_r = F_2 - F_1 = 8 - 3 = 5\,\mathrm{N}$ , de même sens que $\vec{F}_2$ (vers le haut).
b)
Situe son point d'application $O$ (côté et distance à $B$ ).
$O$ est hors de $[AB]$ , du côté de $B$ (force la plus grande). En posant $\overline{BO}=x$ : $\overline{AO}=40+x$ et $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ :
$3(40+x)=8x \Rightarrow 120=5x \Rightarrow x=\overline{BO}=24\,\mathrm{cm}.$
$O$ est à $24\,\mathrm{cm}$ au-delà de $B$ .
c)
Quelle force équilibrante faut-il appliquer en $O$ , et de quel sens, pour immobiliser la barre ? Vérifie que $\sum\vec{F}=\vec{0}$ .
La force équilibrante s'applique en $O$ , de même intensité que $\vec{F}_r$ mais de sens opposé : $5\,\mathrm{N}$ vers le bas. Vérification : forces vers le haut $= F_2 = 8\,\mathrm{N}$ ; vers le bas $= F_1 + F_{\text{éq}} = 3 + 5 = 8\,\mathrm{N}$ . Elles se compensent : $\sum\vec{F}=\vec{0}$ .

Exercice 5composition de quatre forces parallèles

Sur une longue règle, quatre forces parallèles de même sens sont appliquées le long de l'axe $(Ox)$ : $F_1=10\,\mathrm{N}$ en $x=0$ , $F_2=20\,\mathrm{N}$ en $x=30\,\mathrm{cm}$ , $F_3=30\,\mathrm{N}$ en $x=40\,\mathrm{cm}$ et $F_4=40\,\mathrm{N}$ en $x=60\,\mathrm{cm}$ . On compose de proche en proche.

a)
Détermine l'intensité et la position de la résultante $\vec{R}_{12}$ de $\vec{F}_1$ et $\vec{F}_2$ .
$R_{12}=F_1+F_2=10+20=30\,\mathrm{N}$ . Position : $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{F_2}{F_1}=2$ sur $[0\,;30]$ , d'où $\overline{BO}=10\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO}=20\,\mathrm{cm}$ : $\vec{R}_{12}$ s'applique à $x=20\,\mathrm{cm}$ .
b)
Compose $\vec{R}_{12}$ avec $\vec{F}_3$ pour obtenir $\vec{R}_{123}$ (intensité et position).
$R_{123}=R_{12}+F_3=30+30=60\,\mathrm{N}$ . On compose $30\,\mathrm{N}$ à $x=20$ avec $30\,\mathrm{N}$ à $x=40$ : intensités égales $\Rightarrow$ milieu, $x=\dfrac{20+40}{2}=30\,\mathrm{cm}$ .
c)
Compose enfin $\vec{R}_{123}$ avec $\vec{F}_4$ : donne l'intensité et la position de la résultante globale.
$R=R_{123}+F_4=60+40=100\,\mathrm{N}$ . On compose $60\,\mathrm{N}$ à $x=30$ avec $F_4=40\,\mathrm{N}$ à $x=60$ . Distance depuis $x=30$ notée $a$ , depuis $x=60$ notée $b$ : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{F_4}{R_{123}}=\dfrac{40}{60}=\dfrac{2}{3}$ et $a+b=30$ , d'où $a=12\,\mathrm{cm}$ . La résultante globale vaut $100\,\mathrm{N}$ et s'applique à $x=30+12=42\,\mathrm{cm}$ . (Contrôle : $x_G=\dfrac{10\cdot 0+20\cdot 30+30\cdot 40+40\cdot 60}{100} =\dfrac{4200}{100}=42\,\mathrm{cm}$ .)

Exercice 6problème inverse et déplacement de la résultante

Sur une barre $\overline{AB}=60\,\mathrm{cm}$ , deux forces parallèles de même sens ont une résultante $R=15\,\mathrm{N}$ appliquée à $24\,\mathrm{cm}$ de $A$ .

a)
Détermine les intensités $F_1$ (en $A$ ) et $F_2$ (en $B$ ).
$\overline{AO}=24\,\mathrm{cm}$ et $\overline{BO}=60-24=36\,\mathrm{cm}$ . La règle des moments donne $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{24}{36}=\dfrac{2}{3}$ . Avec $F_1+F_2=15$ : $F_1+\tfrac{2}{3}F_1=15 \Rightarrow \tfrac{5}{3}F_1=15 \Rightarrow F_1=9\,\mathrm{N}$ et $F_2=6\,\mathrm{N}$ .
b)
On souhaite ramener le point d'application $O$ exactement au milieu de $[AB]$ en ne modifiant que $F_2$ ( $F_1$ reste inchangée). Quelle nouvelle valeur doit prendre $F_2$ ?
Pour $O$ au milieu, $\overline{AO}=\overline{BO}$ , donc $\dfrac{F_2}{F_1}=\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=1$ : il faut $F_2=F_1=9\,\mathrm{N}$ . Il faut donc augmenter $F_2$ de $6\,\mathrm{N}$ à $9\,\mathrm{N}$ (la résultante passe alors à $18\,\mathrm{N}$ ).

Exercice 7équilibre d'un fléau

Un fléau (barre rigide horizontale de masse négligeable) est en équilibre sur un pivot central. On suspend une masse $m_1=2\,\mathrm{kg}$ à $30\,\mathrm{cm}$ à gauche du pivot ; on veut équilibrer avec une masse $m_2=3\,\mathrm{kg}$ à droite ( $g=10\,\mathrm{N/kg}$ ).

a)
À quelle distance $d_2$ du pivot faut-il suspendre $m_2$ ?
À l'équilibre, la résultante des deux poids passe par le pivot : leurs moments s'y compensent, $P_1\times d_1=P_2\times d_2$ , soit $m_1 g\, d_1=m_2 g\, d_2 \Rightarrow m_1 d_1=m_2 d_2$ . D'où $d_2=\dfrac{m_1 d_1}{m_2}=\dfrac{2\times 30}{3}=20\,\mathrm{cm}$ .
b)
Quelle est alors l'intensité de la force exercée sur le pivot ?
Le pivot supporte la résultante des deux poids (même sens, vers le bas) : $F=(m_1+m_2)\,g=(2+3)\times 10=50\,\mathrm{N}$ (le pivot réagit par une force égale vers le haut).

Exercice 8trois forces de sens contraires

Sur une barre horizontale (abscisses en $\mathrm{cm}$ à partir de $A$ en $x=0$ ), trois forces parallèles verticales sont appliquées : $F_1=8\,\mathrm{N}$ vers le haut en $x=0$ , $F_2=3\,\mathrm{N}$ vers le bas en $x=20\,\mathrm{cm}$ , $F_3=5\,\mathrm{N}$ vers le haut en $x=40\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité et le sens de la résultante nette.
On oriente les forces vers le haut positivement.
Résultante nette : $R=+8-3+5=10\,\mathrm{N}$ , positive, donc dirigée vers le haut.
b)
À l'aide des moments par rapport à $A$ , détermine la position de son point d'application.
La somme des moments par rapport à $A$ est égale au moment de la résultante : $R\times x_R=\sum F_i\,x_i$ (forces comptées avec leur signe) :
$x_R=\frac{8\cdot 0-3\cdot 20+5\cdot 40}{10}=\frac{-60+200}{10}=\frac{140}{10}=14\,\mathrm{cm}.$
La résultante ( $10\,\mathrm{N}$ vers le haut) s'applique à $14\,\mathrm{cm}$ de $A$ .

Exercice 9retrouver une charge à partir de deux appuis

Une planche horizontale de masse négligeable, longueur $100\,\mathrm{cm}$ , repose sur deux appuis (des dynamomètres) placés en $A$ ( $x=0$ ) et $B$ ( $x=100\,\mathrm{cm}$ ). On y pose une charge unique. Les dynamomètres indiquent $T_A=120\,\mathrm{N}$ et $T_B=80\,\mathrm{N}$ .

a)
Calcule l'intensité de la charge.
Les deux appuis (vers le haut) équilibrent la charge (vers le bas) : leur résultante vaut $T_A+T_B=120+80=200\,\mathrm{N}$ , qui est donc l'intensité de la charge.
b)
Détermine sa position (distance à $A$ ).
La charge s'applique au point d'application de la résultante des deux appuis : $T_A\times\overline{AO}=T_B\times\overline{BO}$ , soit $120\,\overline{AO}=80\,\overline{BO}$ , d'où $\dfrac{\overline{AO}}{\overline{BO}}=\dfrac{80}{120}=\dfrac{2}{3}$ . Avec $\overline{AO}+\overline{BO}=100$ : $\tfrac{5}{3}\overline{BO}=100 \Rightarrow \overline{BO} =60\,\mathrm{cm}$ et $\overline{AO}=40\,\mathrm{cm}$ . La charge est à $40\,\mathrm{cm}$ de $A$ (plus proche de l'appui le plus chargé).

Exercice 10centre de gravité d'une plaque en L

Une plaque homogène d'épaisseur constante a la forme d'un « L », réunion de deux rectangles : un rectangle horizontal $R_1$ ( $0\le x\le 4$ , $0\le y\le 2$ , en $\mathrm{cm}$ ) et un rectangle vertical $R_2$ ( $0\le x\le 2$ , $2\le y\le 6$ ).

Le poids de chaque partie est une force verticale proportionnelle à son aire, appliquée en son centre.

a)
Calcule les aires de $R_1$ et $R_2$ , puis l'abscisse $x_G$ du centre de gravité.
Aires : $A_1=4\times 2=8\,\mathrm{cm}^2$ (centre $G_1$ en $x=2$ ) et $A_2=2\times 4=8\,\mathrm{cm}^2$ (centre $G_2$ en $x=1$ ). Les poids sont proportionnels aux aires :
$x_G=\frac{A_1 x_1+A_2 x_2}{A_1+A_2}=\frac{8\cdot 2+8\cdot 1}{16}=\frac{24}{16}=1.5\,\mathrm{cm}.$
(Aires égales $\Rightarrow$ $G$ au milieu de $[G_1G_2]$ .)
b)
Calcule l'ordonnée $y_G$ du centre de gravité.
De même : $y_G=\dfrac{8\cdot 1+8\cdot 4}{16}=\dfrac{40}{16}=2.5\,\mathrm{cm}$ . Le centre de gravité est en $(1{,}5\,;\,2{,}5)$ .

Exercice 11centre de gravité d'une plaque trouée

Une plaque carrée homogène de côté $6\,\mathrm{cm}$ (coin inférieur gauche en $(0\,;0)$ ) est percée d'un trou carré de côté $2\,\mathrm{cm}$ centré en $(4\,;3)$ .

On traite le trou comme une aire (donc un poids) négatif.

a)
Justifie que $y_G=3\,\mathrm{cm}$ .
La plaque pleine et le trou sont tous deux centrés en $y=3$ (symétrie par rapport à la droite $y=3$ ) : leur composition laisse donc $y_G=3\,\mathrm{cm}$ .
b)
Calcule l'abscisse $x_G$ du centre de gravité de la plaque trouée.
On traite le trou comme un poids négatif. Aire pleine $36\,\mathrm{cm}^2$ ( $x=3$ ), aire du trou $4\,\mathrm{cm}^2$ ( $x=4$ ) :
$x_G=\frac{36\cdot 3-4\cdot 4}{36-4}=\frac{108-16}{32}=\frac{92}{32}=2.875\,\mathrm{cm}.$
Le centre de gravité s'est déplacé vers la gauche (à l'opposé du trou), en $(2{,}875\,;\,3)$ .

Exercice 12le cas limite : un couple de forces

Deux forces parallèles de sens opposé et de même intensité $F_1=F_2=5\,\mathrm{N}$ sont appliquées sur une barre, leurs lignes d'action distinctes étant séparées de $d=20\,\mathrm{cm}$ . Pour chaque proposition, indique si elle est correcte ou fausse, en justifiant.

a)
L'intensité de la résultante vaut $F_2-F_1=0\,\mathrm{N}$ .
Correcte. Forces opposées de même intensité : $F_r=F_2-F_1=5-5=0\,\mathrm{N}$ . Il n'y a pas de résultante de translation.
b)
Puisque la résultante est nulle, le solide est en équilibre.
Fausse. C'est un couple : la résultante est nulle mais le moment ne l'est pas, $\mathcal{M}=F\times d=5\times 0{,}20=1\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ . Le solide se met à tourner : il n'est pas en équilibre.
c)
On ne peut pas placer un point d'application $O$ de la résultante à distance finie.
Correcte. La relation $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ avec $F_1=F_2$ impose $\overline{AO}=\overline{BO}$ , ce qui est impossible pour deux lignes d'action distinctes : le point d'application est « rejeté à l'infini ». Un couple n'a pas de résultante localisable.
d)
Une force unique bien choisie suffit à rétablir l'équilibre.
Fausse. Une force unique introduirait une résultante non nulle. Un couple ne peut être équilibré que par un autre couple de moment opposé.

Exercice 13analyse critique : forces de sens opposé

Sur une barre, $F_1=3\,\mathrm{N}$ est appliquée en $A$ et $F_2=9\,\mathrm{N}$ en $B$ , parallèles et de sens opposé, avec $\overline{AB}=50\,\mathrm{cm}$ . Pour chaque proposition, indique si elle est correcte ou fausse, en justifiant.

a)
L'intensité de la résultante vaut $12\,\mathrm{N}$ .
Fausse. En sens opposé on soustrait : $F_r=F_2-F_1=9-3=6\,\mathrm{N}$ (et non $12\,\mathrm{N}$ , qui serait la somme).
b)
La résultante a le sens de $\vec{F}_2$ .
Correcte. La résultante prend le sens de la plus grande force, $\vec{F}_2$ .
c)
Le point d'application de la résultante est situé entre $A$ et $B$ .
Fausse. En sens opposé, $O$ sort du segment $[AB]$ , du côté de la plus grande force $F_2$ (côté $B$ ) : il n'est pas entre $A$ et $B$ .
d)
Le point d'application se trouve à $25\,\mathrm{cm}$ au-delà de $B$ .
Correcte. En posant $\overline{BO}=x$ : $\overline{AO}=50+x$ et $F_1\times\overline{AO}=F_2\times\overline{BO}$ :
$3(50+x)=9x \Rightarrow 150=6x \Rightarrow x=25\,\mathrm{cm}\ \text{au-delà de }B.$

Exercice 14un plongeoir

Un plongeoir (planche rigide de poids négligeable) est maintenu par deux appuis : un ancrage en $A$ ( $x=0$ , qui peut tirer la planche vers le bas) et un pivot en $B$ ( $x=1\,\mathrm{m}$ , qui pousse vers le haut). Un plongeur de poids $P=300\,\mathrm{N}$ se tient à l'extrémité libre $C$ , à $0.5\,\mathrm{m}$ au-delà de $B$ .

a)
Lequel des deux appuis tire vers le bas, lequel pousse vers le haut ? Justifie.
Le poids s'applique en $C$ , hors du segment $[AB]$ , du côté de $B$ . Or le point d'application d'une résultante ne sort d'un segment que si les deux forces sont de sens opposé, la plus grande étant du côté où sort la résultante. L'appui du côté de $C$ (le pivot $B$ ) pousse donc vers le haut (force la plus grande), et l'ancrage $A$ tire vers le bas.
b)
Calcule les intensités $R_A$ et $R_B$ des deux forces d'appui.
Les deux appuis ont pour résultante le poids $300\,\mathrm{N}$ (vers le bas) appliqué en $C$ . Sens opposé : $R_B-R_A=P=300$ . Position ( $O=C$ à $\overline{BC}=0.5\,\mathrm{m}$ au-delà de $B$ , $\overline{AC}=1.5\,\mathrm{m}$ ) : $R_A\times\overline{AC}=R_B\times\overline{BC}$ , soit $1{,}5\,R_A=0{,}5\,R_B \Rightarrow R_B=3R_A$ . Alors $3R_A-R_A=300 \Rightarrow R_A=150\,\mathrm{N}$ (vers le bas) et $R_B=450\,\mathrm{N}$ (vers le haut).
c)
Vérifie que $\sum\vec{F}=\vec{0}$ et que la somme des moments par rapport à $B$ est nulle.
Forces : vers le haut $=R_B=450\,\mathrm{N}$ ; vers le bas $=R_A+P=150+300=450\,\mathrm{N}$ : $\sum\vec{F}=\vec{0}$ . Moments par rapport à $B$ : $P\times\overline{BC}=300\times 0{,}5 =150\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (fait tourner d'un côté) et $R_A\times\overline{AB}=150\times 1=150\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}$ (fait tourner de l'autre) : ils se compensent, la somme est nulle.

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