Intégrale d'une fonction continue

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F'(x)=f(x)$ pour tout $x\in I$. On note

où $C\in\mathbb{R}$ est la constante d'intégration.

Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$, toutes les primitives de $f$ sur $I$ sont les $x\mapsto F(x)+C$, $C\in\mathbb{R}$. Deux primitives d'une même fonction diffèrent toujours d'une constante.

$\displaystyle\int(3x^2+2x-5)\,\mathrm{d} x=x^3+x^2-5x+C$ (on intègre chaque terme séparément). On vérifie toujours en dérivant le résultat.

$\int f(x)\,\mathrm{d} x$ est une fonction (famille de primitives, $C$ obligatoire) ; $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d} x$ est un nombre (une aire algébrique, $C$ se simplifie).

1. Repérer la « brique » $U(x)$ (intérieur d'une puissance, d'un $\ln$, d'un $\cos$, d'une exponentielle…).
2. Calculer $\mathrm{d} U=U'(x)\,\mathrm{d} x$.
3. Comparer avec l'intégrande : s'il manque une constante $k$, multiplier-diviser par $k$. S'il manque un facteur non constant, penser à l'IPP (section 3).
4. Appliquer la formule du tableau en remplaçant $x$ par $U$.

$\dfrac{U^{n+1}}{n+1}$ n'a pas de sens pour $n=-1$ : la primitive de $1/U$ n'est pas une puissance, c'est $\ln|U|$.

$\displaystyle\int x^{2018}\,\mathrm{d} x=\frac{x^{2019}}{2019}+C$ ; $\displaystyle\int (5x^2+3)^3\,10x\,\mathrm{d} x=\frac{(5x^2+3)^4}{4}+C$ ($U=5x^2+3$, $\mathrm{d} U=10x\,\mathrm{d} x$ apparaît tel quel).

$\displaystyle\int \frac{\mathrm{d} x}{x}=\ln|x|+C$ : ne jamais écrire $\ln x$ seul (faux pour $x<0$).

$\displaystyle\int \frac{2x\,\mathrm{d} x}{x^2+3}=\ln(x^2+3)+C$ ($U=x^2+3$ ; pas de valeur absolue car $U>0$).

$-\cos U$ (pas $+$) et $-\cot U$ (pas $+$) : retenir via $(\cos)'=-\sin$ et $(\cot)'=-1/\sin^2$.

$\displaystyle\int \cos(2x+1)\cdot 2\,\mathrm{d} x=\sin(2x+1)+C$ ($U=2x+1$) ; $\displaystyle\int\frac{2x\,\mathrm{d} x}{\cos^2(x^2+1)}=\tan(x^2+1)+C$.

$\displaystyle\int\frac{3\,\mathrm{d} x}{\sqrt{1-(3x)^2}}=\arcsin(3x)+C$ ; $\displaystyle\int\frac{\mathrm{d} x}{1+(3x)^2}=\frac13\arctan(3x)+C$ (technique « multiplier-diviser » quand $\mathrm{d} U$ diffère d'une constante).

$\displaystyle\int e^{2x}\,\mathrm{d} x=\frac12\,e^{2x}+C$ ; $\displaystyle\int 2^{3x}\,\mathrm{d} x=\frac13\cdot\frac{2^{3x}}{\ln 2}+C$.

$U$ : fonction dérivée ; $V$ : fonction intégrée ; l'objectif est que $\int V\,\mathrm{d} U$ soit plus simple que l'intégrale initiale.

On pose $U$ = fonction la plus à gauche dans la liste de priorité :

Le reste de l'intégrande devient $V'$ (à intégrer). Si l'IPP « boucle », poser $I=\int\ldots$ et résoudre l'équation en $I$. Toujours vérifier en dérivant le résultat.

$\displaystyle\int x\,e^x\,\mathrm{d} x=(x-1)\,e^x+C$ ($U=x$, $V'=e^x$) ; $\displaystyle\int x\cos x\,\mathrm{d} x=x\sin x+\cos x+C$ ($U=x$, $V'=\cos x$) ; $\displaystyle\int \ln x\,\mathrm{d} x = x\ln x-x+C$ ($U=\ln x$, $V'=1$ — seul choix possible car $\ln x$ n'a pas de primitive directe).

1. Factoriser le dénominateur, poser $\dfrac{N(x)}{(x-\alpha)(x-\beta)}=\dfrac{A}{x-\alpha}+\dfrac{B}{x-\beta}$.
2. Astuce « multiplier-évaluer » : $A=\left.\dfrac{N(x)}{x-\beta}\right|_{x=\alpha}$, $B=\left.\dfrac{N(x)}{x-\alpha}\right|_{x=\beta}$.
3. Intégrer chaque terme : $\int\dfrac{\mathrm{d} x}{x-a}=\ln|x-a|+C$.

$\displaystyle\int \frac{2}{(x-1)(x+3)}\,\mathrm{d} x=\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+3|+C$ (avec $A=\left.\tfrac{2}{x+3}\right|_{x=1}=\tfrac12$, $B=\left.\tfrac{2}{x-1}\right|_{x=-3}=-\tfrac12$).