Les limites

Dire que « $x$ tend vers $x_0$ » ($x\to x_0$) signifie que $x$ prend des valeurs de plus en plus proches de $x_0$ (sans nécessairement l'atteindre). On note $\lim_{x\to x_0} f(x)$ la valeur dont $f(x)$ se rapproche.

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{x+2}{3}=\frac{2}{3}$ (fonction affine, définie en $0$ : on remplace $x$ par $0$).

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\ell$ (réel) : la droite $y=\ell$ est alors asymptote horizontale. Si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty} f(x)=\pm\infty$, la courbe part vers l'infini (branche infinie).

Pour $a\neq 0$ :

(règle des signes appliquée à $a$ et au signe du « $0$ » : $0^+\equiv{+}$, $0^-\equiv{-}$). Ce n'est pas une forme indéterminée.

Si $\lim_{x\to x_0} f=\ell$ et $\lim_{x\to x_0} g=\ell'$ ($k\in\mathbb{R}$) :

Ces règles s'étendent aux limites infinies, sauf pour $\infty-\infty$ et $\dfrac{\infty}{\infty}$ : ce sont des formes indéterminées (voir §3).

$f$ est continue en $x_0\in D_f$ si

Les fonctions usuelles (polynômes, rationnelles sur leur domaine, $\sin$, $\cos$, $\exp$, $\ln$, $\sqrt{\cdot}$) sont continues sur $D_f$ : on y calcule une limite par simple remplacement de $x$ par $x_0$. Les difficultés n'apparaissent qu'aux points exclus de $D_f$ ou à l'infini.

Une FI signale qu'aucun théorème général ne permet de conclure directement : il faut transformer l'écriture pour la lever.

Une FI n'est pas une absence de limite : après transformation, la limite peut valoir $0$, un réel quelconque, $+\infty$, $-\infty$, ou ne pas exister. À l'inverse, $\dfrac{a}{0^{\pm}}$ ($a\neq0$) n'est pas une FI : on conclut directement par la règle des signes (§1).