Mathématiques · Synthèse · Fiche 4

Les fonctions

fiche de révision condensée.

6 min de révisionPack · aperçu gratuit6 sections Télécharger en PDF

À maîtriser

les trois interdits pour trouver un domaine de définition $D_f$ ;
les caractéristiques d'une fonction : symétries, parité, périodicité, variations, racines, extremums ;
les fonctions usuelles (affine, quadratique, trigonométriques et réciproques, exponentielle, logarithme) et leurs formules ;
le formulaire de géométrie analytique (pente, distance, milieu, droite).

1Notion de fonction

Définition1.1Fonction, image, antécédent

Une fonction $f$ associe à chaque $x$ un unique nombre $f(x)$ , son image. Réciproquement, $x$ est un antécédent de $f(x)$ . Un même nombre peut avoir plusieurs antécédents (ex. $4$ a pour antécédents $-2$ et $2$ par $x\mapsto x^2$ ), mais un antécédent n'a jamais qu'une seule image.

Formule1.1Notation

f:\ x \longmapsto f(x)

où :

$f$ : nom de la fonction ; $x$ : variable (antécédent) ; $f(x)$ : image de $x$ .

ExempleImage et antécédent

$f(x)=2x+1$ : image de $1$ : $f(1)=3$ . Antécédent de $3$ : $2x+1=3\Rightarrow x=1$ . Image = lecture verticale ; antécédent = lecture horizontale.

2Domaine de définition

Définition2.1Domaine de définition $D_f$

$D_f$ est l'ensemble des réels $x$ pour lesquels $f(x)$ existe.

AttentionLes trois interdits à mémoriser

Dénominateur $\neq 0$ (jamais de division par $0$ ).
Quantité sous une racine carrée $\geq 0$ .
Argument d'un logarithme $>0$ .

MéthodeDéterminer un domaine de définition

Repérer dénominateurs, racines carrées, logarithmes.
Écrire la condition d'existence de chacun.
Résoudre chaque (in)équation.
Combiner (intersection) ; si aucun interdit, $D_f=\mathbb{R}$ .

Fonction	Condition	$D_f$
$\frac1x$	$x\neq 0$	$\mathbb{R}\setminus\{0\}$
$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$	$\cos x\neq 0$	$\mathbb{R}\setminus\{\tfrac{\pi}{2}{+}k\pi\}$
$\sqrt{x}$	$x\geq 0$	$[0,+\infty[$
$\frac{1}{\sqrt{x}}$	$x\geq 0$ et $\sqrt x\neq 0$	$]0,+\infty[$
$\ln x$	$x>0$	$]0,+\infty[$
polynôme, $e^{x}$ , $\sin x$ , $\cos x$	aucune	$\mathbb{R}$

ExempleDomaine combiné : $f(x)=\sqrt{\dfrac{2x+1}{x+2}}$

Deux conditions : $\dfrac{2x+1}{x+2}\geq 0$ (racine) et $x+2\neq 0$ (dénominateur). Tableau de signes (zéros en $-2$ et $-\tfrac12$ ) $\Rightarrow$

\boxed{\;D_f=\,]-\infty,-2[\ \cup\ \big[-\tfrac12,+\infty\big[\;.}

Remarque

Une racine cubique (indice impair) existe sur $\mathbb{R}$ tout entier : ne pas imposer de condition de signe. Seules les racines d'indice pair l'exigent.

figure Figure 1 : hyperbole $\frac1x$ et tangente — asymptotes issues des deux premiers interdits.

3Caractéristiques d'une fonction

Définition3.1Axe et centre de symétrie

Axe de symétrie $x=a$ : $f(a-x)=f(a+x)$ , $\forall x\in D_f$ .
Centre de symétrie $(a\,;b)$ : $f(a-x)+f(a+x)=2b$ , $\forall x\in D_f$ .

Formule3.1Axe de symétrie d'une parabole

\boxed{\,x=-\dfrac{b}{2a}\,}\qquad\text{pour } f(x)=ax^2+bx+c.

Définition3.2Parité / imparité / périodicité

Paire : $f(-x)=f(x)$ (axe des ordonnées = axe de symétrie).
Impaire : $f(-x)=-f(x)$ (origine = centre de symétrie).
Périodique de période $T$ : $f(x+T)=f(x)$ , $\forall x\in D_f$ .

Attention

Beaucoup de fonctions ne sont ni paires ni impaires (ex. $f(x)=2x+1$ ). Ce sont deux propriétés particulières à vérifier, pas des cas qui couvrent tout.

ExempleParité, imparité, périodicité

$x^2+1$ et $\cos x$ sont paires ; $x^3$ et $\sin x$ sont impaires ( $f(-x)=-f(x)$ ) ; $\sin x$ est périodique de période $T=2\pi$ .

Définition3.3Variations, racines, extremums

Sur $[a,b]\subset D_f$ : $f$ croissante si $x_1>x_2\Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ ; décroissante si $x_1>x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ . Les racines vérifient $f(x)=0$ ; l'ordonnée à l'origine est $(0\,;f(0))$ . Un extremum annule $f'$ en changeant de signe ( $-\!\to\!+$ : minimum ; $+\!\to\!-$ : maximum).

Formule3.2Racines d'un trinôme $ax^2+bx+c$

\boxed{\;x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\;,\qquad \Delta=b^2-4ac\;}

AttentionLe discriminant décide de tout

$\Delta>0$ : deux racines distinctes. $\Delta=0$ : racine double $-\frac{b}{2a}$ .
$\Delta<0$ : aucune racine réelle ; $f$ garde le signe de $a$ .

MéthodeTrouver les extremums

Calculer $f'$ . 2. Résoudre $f'(x)=0$ . 3. Dresser le tableau de variation.
Conclure : $f'$ passe de $-$ à $+$ $\Rightarrow$ minimum ; de $+$ à $-$ $\Rightarrow$ maximum.

Exemple $f(x)=x^2-4x+3$

$f'(x)=2x-4=0\Leftrightarrow x=2$ .

$x$	$-\infty$		$2$		$+\infty$
$f'(x)$		$-$	$0$	$+$
$f(x)$		$\searrow$	$-1$	$\nearrow$

Minimum $(2\,;-1)$ (sommet). Racines $x_1=1$ , $x_2=3$ (car $\Delta=4$ ).

La moitié offerte, sans compte

L'autre moitié tient sur la même page.

Ton email, le paiement, et tout s'ouvre — cette synthèse et les 30 autres, plus les carnets et les QCM, jusqu'au concours du 27 août.

J-0Le concours est le 27 août 2026 — chaque jour compte.

4. Fonctions usuelles
5. Méthodes transversales
6. Mémo

Aujourd'hui : tout s'ouvreSynthèses, carnets, QCM — tout de suite, sur cette page.
Jusqu'au 27 août : accès completUn seul paiement. Pas d'abonnement, rien à résilier.
Paiement sécurisé Stripe.Bancontact, carte, Apple Pay ou Google Pay — on ne voit jamais tes données bancaires.

GratuitPack

Les 61 cours complets

31 synthèses (en ligne + PDF)

153 mécaniques corrigées

4000 QCM corrigés et justifiés

67 fiches de révision

Tout ce qui sort d'ici au concours (bio incluse)

39 € une fois ≈ 39,00€/jour d'ici au concours — moins qu'un café.

Paiement unique · Bancontact, carte, Apple Pay ou Google Pay · Accès immédiat, sans abonnement.

Pas prêt ? Les cours restent 100 % gratuits — · Déjà le Pack ?