Mathématiques · Synthèse · Fiche 5

Dérivation

fiche de révision condensée.

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À maîtriser

la définition du nombre dérivé (limite du taux d'accroissement) et ses deux lectures : pente de la tangente, vitesse instantanée ;
les 17 formules du formulaire de dérivation (puissances, produit, quotient, composées, trigo, log, exp) ;
le lien signe de $f'$ $\to$ variations / extremums, et signe de $f''$ $\to$ concavité / inflexion ;
l'équation de la tangente en un point et le test de perpendicularité.

1Le nombre dérivé et la fonction dérivée

Définition1.1Taux d'accroissement

Pour $f$ et $x_0$ fixé, $h\neq0$ :

\tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

est la pente de la sécante $(AB)$ , avec $A\big(x_0,f(x_0)\big)$ et $B\big(x_0+h,f(x_0+h)\big)$ .

Définition1.2Nombre dérivé

$f$ est dérivable en $x_0$ si $\tau(h)$ admet une limite réelle quand $h\to0$ . Cette limite, le nombre dérivé, se note :

\boxed{\;f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\;}

Propriété1.1Deux lectures de $f'(x_0)$

Géométrique : la sécante tend vers la tangente ; $f'(x_0)$ en est la pente.
Cinématique : si $f$ est la position, $f'(x_0)$ est la vitesse instantanée en $x_0$ . (Ex. : $f(x)=\tfrac12x^2\Rightarrow f'(x)=x$ ; on retrouve l'accélération $a=\Delta v/\Delta t$ .)

AttentionContinuité $\neq$ dérivabilité

Dérivable en $x_0\Rightarrow$ continue en $x_0$ , mais la réciproque est fausse : $f(x)=|x|$ est continue en $0$ mais n'y est pas dérivable (point anguleux, pas de tangente unique). $f'(x_0)$ est un nombre ; $f'$ est une fonction.

2Le formulaire de dérivation

Conventions : $a$ constante $>0$ , $C$ constante, $U,V$ fonctions de $x$ , $U',V'$ leurs dérivées.

N^o	Formule	Exemple
1.	$C'=0$	$y=3\Rightarrow y'=0$
2.	$x'=1$	$y=2x\Rightarrow y'=2$
3.	$\big(U^{n}\big)'=n\,U^{n-1}U'$	$y=x^4\Rightarrow y'=4x^3$ ; $y=\sqrt{x}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
4.	$\big(U+V\big)'=U'+V'$	$y=x^2+\sqrt[3]{x}\Rightarrow y'=2x+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
5.	$\big(U\,V\big)'=U'V+U\,V'$	$y=x\sqrt{x+1}\Rightarrow y'=\sqrt{x+1}+\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}$
6.	$\left(\dfrac{U}{V}\right)'=\dfrac{U'V-U\,V'}{V^2}$	$y=\dfrac{x^2}{1+x^4}\Rightarrow y'=\dfrac{2x(1+x^4)-4x^5}{(1+x^4)^2}$
7.	$\big(\sin U\big)'=U'\cos U$	$y=\sin x^2\Rightarrow y'=2x\cos x^2$
8.	$\big(\cos U\big)'=-U'\sin U$	$y=\cos\dfrac{x}{2}\Rightarrow y'=-\dfrac12\sin\dfrac{x}{2}$
9.	$\big(\operatorname{tg} U\big)'=\dfrac{U'}{\cos^2 U}$	$y=\operatorname{tg} 2x\Rightarrow y'=\dfrac{2}{\cos^2 2x}$
10.	$\big(\operatorname{cotg} U\big)'=\dfrac{-U'}{\sin^2 U}$	$y=\operatorname{cotg} x\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\sin^2 x}$
11.	$\big(\arcsin U\big)'=\dfrac{U'}{\sqrt{1-U^2}}$	$y=\arcsin x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
12.	$\big(\arccos U\big)'=\dfrac{-U'}{\sqrt{1-U^2}}$	$y=\arccos x^2\Rightarrow y'=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^4}}$
13.	$\big(\operatorname{arctg} U\big)'=\dfrac{U'}{1+U^2}$	$y=\operatorname{arctg} 2x\Rightarrow y'=\dfrac{2}{1+4x^2}$
14.	$\big(\operatorname{arccotg} U\big)'=\dfrac{-U'}{1+U^2}$	$y=\operatorname{arccotg} x\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{1+x^2}$
15.	$\big(\log_a U\big)'=\dfrac{U'}{U\ln a}$	$y=\log_{10} x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{x\ln 10}$
16.	$\big(\ln U\big)'=\dfrac{U'}{U}$	$y=\ln x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{x}$
17.	$\big(a^{U}\big)'=U'\,a^{U}\ln a$	$y=3^{x}\Rightarrow y'=3^{x}\ln 3$

AttentionPièges classiques

$\big(UV\big)'\neq U'V'$ : il faut $U'V+UV'$ .
Ordre du quotient : $U'V-UV'$ (jamais $UV'-U'V$ ), puis diviser par $V^2$ .
Les formules 3, 7 à 17 contiennent toutes $U'$ (règle de la chaîne) : on dérive la couche externe en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. On répète si l'intérieur est lui-même composé.

ExempleComposée à deux couches

$y=\sin^2\big(\sqrt{x}+1\big)$ : carré (externe) puis sinus (interne).

y'=2\sin\big(\sqrt{x}+1\big)\times\cos\big(\sqrt{x}+1\big)\times\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{1}{2\sqrt{x}}\sin\big(2(\sqrt{x}+1)\big).

3Signe de $f'$ f' et de $f''$ f” : variations, extremums, concavité

Propriété3.1Signe de $f'$ $\Rightarrow$ variations et extremums

$f'(x)>0\Rightarrow f$ croissante ; $f'(x)<0\Rightarrow f$ décroissante.
$f'(x)=0$ en changeant de signe $\Rightarrow$ extremum local : maximum si $+\to-$ , minimum si $-\to+$ .

Figure 1 : tableau de variation type — maximum en $x_0$ , minimum en $x_1$ .

Attention $f'=0$ ne suffit pas

Si $f'$ s'annule sans changer de signe, il n'y a pas d'extremum (juste une tangente horizontale : point d'inflexion à tangente horizontale). Ex. : $f(x)=3x^3-3x^2+x+1\Rightarrow f'(x)=(3x-1)^2\geq0$ partout : $f$ est croissante sur $\mathbb{R}$ , sans extremum bien que $f'(\tfrac13)=0$ .

Définition3.1Dérivée seconde

$f''(x)=\big(f'(x)\big)'$ : la dérivée de la dérivée.

Propriété3.2Signe de $f''$ $\Rightarrow$ concavité et inflexion

$f''(x)>0\Rightarrow$ concavité vers le haut (bol $\smallsmile$ ).
$f''(x)<0\Rightarrow$ concavité vers le bas (cloche $\smallfrown$ ).
Point d'inflexion en $x_0$ $\iff$ $f''(x_0)$ change de signe et $f'(x_0)$ existe.

Figure 2 : les trois cas de concavité selon le signe de $f''$ .

Comment faireLire un graphe de $f$ sans calcul

$f$ monte $\Rightarrow f'>0$ ; $f$ descend $\Rightarrow f'<0$ ; sommet/creux $\Rightarrow f'=0$ .
courbe en « bol » $\Rightarrow f''>0$ ; courbe en « cloche » $\Rightarrow f''<0$ .
la courbe de $f'$ coupe l'axe des $x$ là où $f$ a un extremum.

4L'équation de la tangente

Propriété4.1Tangente en $x_0$

Si $f$ est dérivable en $x_0$ , la tangente à la courbe en $P_0\big(x_0,f(x_0)\big)$ a pour équation

\boxed{\;y=(x-x_0)\,f'(x_0)+f(x_0)\;}

( $f'(x_0)$ = pente, $f(x_0)$ = ordonnée du point de contact).

RemarqueCas particuliers

$f'(x_0)=0\Rightarrow$ tangente horizontale : $y=f(x_0)$ .
deux droites de pentes $m_1,m_2$ sont perpendiculaires $\iff m_1\times m_2=-1$ .

ExempleTangente et perpendicularité

Pour $f(x)=x-3\ln|x+2|$ (donc $f'(x)=1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}$ ) :

en $x=1$ : $f'(1)=0\Rightarrow$ tangente horizontale $y=1-3\ln3$ (minimum) ;
en $x=0$ : $f'(0)=-\tfrac12$ , tangente $y=-\tfrac12x-3\ln2$ , perpendiculaire à $y=2x+1$ car $2\times(-\tfrac12)=-1$ .

5Méthode : étudier une fonction complète

Comment faireMarche à suivre

domaine de définition $D_f$ ;
calculer $f'(x)$ (formulaire) ;
résoudre $f'(x)=0$ , étudier le signe de $f'$ $\Rightarrow$ tableau de variation ;
calculer $f''(x)$ , étudier son signe $\Rightarrow$ concavité, inflexions ;
tangentes remarquables : $y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)$ .

ExempleApplication à $f(x)=x-3\ln|x+2|$

Étape	Résultat
Domaine	$D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}$
Dérivée	$f'(x)=1-\dfrac{3}{x+2}=\dfrac{x-1}{x+2}$
Signe / variations	$f'>0$ sur $]-\infty;-2[$ , $f'<0$ sur $]-2;1[$ , $f'>0$ sur $]1;+\infty[$
Extremum	minimum local en $x=1$ : $f(1)=1-3\ln3$
Dérivée seconde	$f''(x)=\dfrac{3}{(x+2)^2}>0$ partout : concavité vers le haut, pas d'inflexion
Tangente notable	horizontale en $x=1$ : $y=1-3\ln3$

6Mémo

MémoL'essentiel de la dérivation

Définition :

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\qquad\text{(pente de la tangente, vitesse instantanée)}.

Règles :

(C)'=0,\quad (x)'=1,\quad (U^n)'=nU^{n-1}U',\quad (U+V)'=U'+V',

(UV)'=U'V+UV',\qquad \left(\frac{U}{V}\right)'=\frac{U'V-UV'}{V^2},

(\sin U)'=U'\cos U,\quad (\cos U)'=-U'\sin U,\quad (\ln U)'=\frac{U'}{U},\quad (a^U)'=U'a^U\ln a.

Tangente en $x_0$ : $\;y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)$ .

Tableau récapitulatif des cas :

Signe	Conclusion
$f'>0$	$f$ croissante
$f'<0$	$f$ décroissante
$f'=0$ en changeant de signe	extremum local (max si $+\to-$ , min si $-\to+$ )
$f'=0$ sans changer de signe	pas d'extremum (tangente horizontale, inflexion possible)
$f''>0$	concavité vers le haut ( $\smallsmile$ )
$f''<0$	concavité vers le bas ( $\smallfrown$ )
$f''=0$ en changeant de signe	point d'inflexion

Fin de la fiche de révision — Fiche 5 : Dérivation.