Mathématiques · Fiche 5

Dérivation

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Ce que tu sauras faire

définir le nombre dérivé d'une fonction en un point comme limite du taux d'accroissement ;
interpréter ce nombre dérivé comme la pente de la tangente et comme une vitesse instantanée ;
connaître et appliquer les 17 formules de dérivation (puissances, produit, quotient, fonctions composées, trigonométriques, logarithmes, exponentielles) ;
utiliser le signe de la dérivée première $f'$ pour étudier la croissance et trouver les extremums ;
utiliser le signe de la dérivée seconde $f''$ pour étudier la concavité et les points d'inflexion ;
écrire l'équation de la tangente à une courbe en un point donné.

1Introduction : à quoi sert la dérivation ?

La dérivation est l'un des outils les plus puissants des mathématiques. Elle répond à une question apparemment simple mais centrale : à quelle vitesse une grandeur varie-t-elle à un instant précis ?

Considérons une voiture dont la position évolue dans le temps. On sait calculer sa vitesse moyenne : il suffit de diviser la distance parcourue par la durée du trajet. Mais comment connaître la vitesse affichée par le compteur à un instant exact, par exemple à $3\,\mathrm{s}$ pile ? C'est précisément ce que permet la dérivation : passer d'une variation moyenne (entre deux instants) à une variation instantanée (en un seul point), grâce à l'idée de limite.

Géométriquement, le même outil répond à une autre question : quelle est l'inclinaison exacte d'une courbe en un point donné ? La réponse est la pente de la tangente, et nous verrons qu'elle coïncide exactement avec le nombre dérivé.

Remarque

La dérivation se construit en trois temps que ce cours suit dans l'ordre :

le nombre dérivé en un point (section 2) : la définition fondatrice ;
les formules de dérivation (section 3) : pour dériver sans recalculer de limite à chaque fois ;
les propriétés des dérivées (sections 4, 5, 6) : ce que $f'$ et $f''$ nous apprennent sur la fonction $f$ (variations, extremums, concavité, tangente).

2Le nombre dérivé et la fonction dérivée

Le taux d'accroissement (variation moyenne)

Avant de parler de variation instantanée, il faut parler de variation moyenne entre deux points. C'est le rôle du taux d'accroissement.

Définition2.1Taux d'accroissement de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$

Soit $f$ une fonction et $x_0$ un point de son domaine. Pour un petit écart $h\neq 0$ , le taux d'accroissement (ou taux de variation moyen) de $f$ entre $x_0$ et $x_0+h$ est le quotient

\tau(h)=\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Décortiquons ce quotient, terme par terme :

où :

$f(x_0+h)-f(x_0)$ : la variation de la sortie (de l'ordonnée $y$ ), c'est-à-dire de combien la fonction a augmenté ou diminué. Unité : celle de $y$ (par exemple des mètres en cinématique) ;
$h=(x_0+h)-x_0$ : la variation de l'entrée (de l'abscisse $x$ ), l'écart entre les deux points. Unité : celle de $x$ (par exemple des secondes) ;
$\tau(h)$ : le rapport des deux, soit la variation de $y$ par unité de variation de $x$ . Son unité est donc $[y]/[x]$ (par exemple des ).

Géométriquement, $\tau(h)$ est la pente de la sécante qui joint les deux points $A\big(x_0,f(x_0)\big)$ et $B\big(x_0+h,\,f(x_0+h)\big)$ de la courbe.

Figure 1 : le taux d'accroissement est la pente de la sécante $(AB)$ . Le triangle « horizontal $h$ , vertical $f(x_0+h)-f(x_0)$ » donne directement $\tau(h)$ .

Le nombre dérivé (variation instantanée)

Faisons maintenant tendre $h$ vers $0$ : le point $B$ glisse sur la courbe et se rapproche de $A$ . La sécante $(AB)$ pivote autour de $A$ et tend vers une position limite : la tangente. La pente de cette tangente est le nombre dérivé.

Définition2.2Fonction dérivable en un point — nombre dérivé

On suppose que la fonction $f$ est continue au point $x=x_0$ . On dit que $f$ est dérivable au point $x=x_0$ si le taux d'accroissement de $f$ au point $x_0$ admet une limite réelle lorsque $h$ tend vers zéro. Cette limite est appelée nombre dérivé de $f$ en $x_0$ et se note $f'(x_0)$ :

\boxed{\;\lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\;}

où :

$x_0$ : le point où l'on calcule la dérivée (une abscisse fixée) ;
$h$ : l'écart qui tend vers $0$ — c'est le cœ ur du passage « moyen $\to$ instantané » ;
$f'(x_0)$ : le nombre dérivé, valeur unique qui mesure la variation instantanée de $f$ en $x_0$ . C'est un nombre, pas une fonction. Son unité est $[y]/[x]$ ;
« limite réelle » : la limite doit exister et être un nombre fini. Si elle n'existe pas (ou vaut $\pm\infty$ ), $f$ n'est pas dérivable en $x_0$ .

RemarqueUne autre écriture, utile pour la tangente

En posant $x=x_0+h$ (donc $h=x-x_0$ , et $h\to 0 \Leftrightarrow x\to x_0$ ), la même définition s'écrit

f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}.

Cette forme « avec $x$ » est celle qu'on retrouvera pour l'équation de la tangente (section 6).

Interprétation géométrique : la pente de la tangente

Propriété2.1Nombre dérivé = pente de la tangente

Si $f$ est dérivable en $x_0$ , alors la courbe de $f$ admet au point $P_0\big(x_0,f(x_0)\big)$ une tangente dont le coefficient angulaire (la pente) est exactement $f'(x_0)$ .

C'est l'image à retenir : la tangente est la « position limite » des sécantes lorsque le second point se rapproche du premier.

Figure 2 : quand $h\to 0$ , les sécantes (en gris) pivotent vers la tangente (en vert). Sa pente est $f'(x_0)$ .

Interprétation cinématique : la vitesse instantanée

En physique, si $f(x)$ donne la position d'un mobile en fonction du temps $x$ , alors :

le taux d'accroissement $\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ est la vitesse moyenne entre les instants $x_0$ et $x_0+h$ ;
le nombre dérivé $f'(x_0)$ est la vitesse instantanée à l'instant $x_0$ .

Détaillons l'exemple fondateur du livre, celui d'un mobile en mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA).

ExempleVitesse instantanée d'un mobile en MRUA

On considère la trajectoire d'un mobile en MRUA d'équation horaire

y=f(x)=\tfrac12\,x^2,

avec une accélération $a=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $x$ le temps en secondes et une vitesse initiale $v_0=0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . On cherche la dérivée $f'(x_0)$ , c'est-à-dire la vitesse instantanée à l'instant $x_0$ .

Étape 1 — écrire le taux d'accroissement.

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\tfrac12(x_0+h)^2-\tfrac12(x_0)^2}{h}.

Étape 2 — développer le numérateur. Comme $(x_0+h)^2=x_0^2+2x_0h+h^2$ ,

\tfrac12(x_0+h)^2-\tfrac12 x_0^2 =\tfrac12\big(x_0^2+2x_0h+h^2-x_0^2\big) =\tfrac12\big(2x_0h+h^2\big).

Étape 3 — simplifier par $h$ (licite car $h\neq 0$ tant que la limite n'est pas prise) :

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{\tfrac12(2x_0h+h^2)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{\tfrac12\,h\,(2x_0+h)}{h} =\lim_{h\to 0}\frac{2x_0+h}{2}.

Étape 4 — faire tendre $h$ vers $0$ . Le terme $h$ disparaît :

f'(x_0)=\frac{2x_0+0}{2}=x_0.

Conclusion. D'où $f'(x_0)=x_0$ . Cela donne directement la vitesse instantanée à chaque instant :

pour $x_0=3 \Rightarrow f'(x_0)=3$ : la vitesse instantanée vaut $3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à l'instant $3\,\mathrm{s}$ ;
pour $x_0=4 \Rightarrow f'(x_0)=4$ : la vitesse instantanée vaut $4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à l'instant $4\,\mathrm{s}$ .

Vérification par l'accélération. Avec ces deux vitesses instantanées, on retrouve bien

a=1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}=\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{4-3}{1}.

On constate donc que pour $f(x)=\tfrac12 x^2$ , on a $f'(x)=x$ : la dérivée transforme la loi de position en loi de vitesse.

Figure 3 : la parabole de position $y=\tfrac12 x^2$ . Le rapport $\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ tend vers la pente de la tangente, qui vaut $x_0$ (la vitesse instantanée).

De la dérivée en un point à la fonction dérivée

Dans l'exemple précédent, on a trouvé que $f'(x_0)=x_0$ quel que soit le point $x_0$ choisi. Autrement dit, à chaque abscisse $x$ on peut associer le nombre dérivé en ce point : cela définit une nouvelle fonction, la fonction dérivée, notée $f'$ .

Définition2.3Fonction dérivée

Lorsque $f$ est dérivable en tout point d'un intervalle $I$ , la fonction dérivée de $f$ est la fonction

f' : x\longmapsto f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

qui à chaque $x$ de $I$ associe le nombre dérivé de $f$ en ce point.

AttentionNe pas confondre $f'(x_0)$ et $f'$

$f'(x_0)$ est un nombre (le nombre dérivé en un point précis $x_0$ ) ; $f'$ est une fonction (la fonction dérivée). On obtient le premier en évaluant la seconde en $x_0$ .

RemarqueDérivabilité et continuité

Si une fonction est dérivable en $x_0$ , alors elle y est nécessairement continue. La réciproque est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable (par exemple en un point « anguleux » comme le sommet de $|x|$ en $0$ , où la tangente n'est pas définie de manière unique). C'est pourquoi la définition commence par supposer $f$ continue en $x_0$ .

3Le formulaire de dérivation

Calculer une dérivée à partir de la limite du taux d'accroissement est long et fastidieux. Heureusement, une fois la dérivée des fonctions de base établie (par la définition), on dispose de règles qui permettent de dériver presque toutes les fonctions usuelles sans recalculer de limite.

Dans tout ce qui suit, on adopte les conventions du livre :

où :

$a$ : une constante non nulle et positive ;
$C$ : une constante quelconque ;
$U$ et $V$ : des fonctions de la variable $x$ ;
$x$ : la variable indépendante ;
$U'$ , $V'$ : les dérivées de $U$ et $V$ . La dérivée de $U(V)$ se note $U'(V')$ .

Les dérivées de référence

Formule3.1Dérivée d'une constante

C'=0 \qquad (C \text{ est une constante}).

Interprétation. Une fonction constante est une droite horizontale : sa pente est nulle partout, donc sa dérivée est nulle. Exemple : si $y=3$ , alors $y'=0$ .

Formule3.2Dérivée de la variable

x'=1.

Interprétation. La fonction $y=x$ est la première bissectrice, droite de pente $1$ ; sa dérivée vaut donc $1$ . Exemple : si $y=2x$ , alors $y'=2$ (la pente de la droite $y=2x$ ).

Formule3.3Dérivée d'une puissance (forme composée)

\big(U^{\,n}\big)' = n\times U^{\,n-1}\times U'.

où :

$U$ : une fonction de $x$ ;
$n$ : l'exposant (entier, fractionnaire, positif ou négatif) ;
$U'$ : la dérivée de la fonction $U$ — c'est le facteur qui « vient de l'intérieur » (règle de la chaîne).

Cas particulier essentiel. Si $U=x$ (donc $U'=1$ ), on retrouve $\big(x^n\big)'=n\,x^{n-1}$ . Cette formule fonctionne aussi avec des racines et des exposants négatifs, à condition de réécrire la racine sous forme de puissance : $\sqrt[n]{x^{p}}=x^{p/n}$ .

ExempleLa puissance sous toutes ses formes

Puissance entière : $y=x^4 \Rightarrow y'=4\times x^{3}\times x' = 4x^3\times 1 = 4x^3.$
Racine cubique : on écrit $y=\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ , puis y'=23× x^23-1× x' =23× x^-13 =23×1[3]x.
Racine carrée : on écrit $y=\sqrt{x}=x^{1/2}$ , puis y'=12 x^12-1 x'=12 x^-12=12x.
Forme générale : $y=\sqrt[n]{x^{p}}=x^{p/n}\Rightarrow y'=\dfrac{p}{n}\,x^{\frac{p}{n}-1}=\dots$

Comment faireDériver une racine ou un exposant négatif

Réécrire la racine en puissance : $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , $\sqrt[3]{x^2}=x^{2/3}$ , $\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}$ .
Appliquer $\big(x^n\big)'=n\,x^{n-1}$ : on descend l'exposant devant et on retire $1$ à l'exposant.
Revenir si besoin à la notation racine ( $x^{-1/2}=\tfrac{1}{\sqrt{x}}$ ) pour présenter un résultat « propre ».

Les règles opératoires

Formule3.4Dérivée d'une somme

\big(U+V\big)' = U'+V'.

Interprétation. La dérivée d'une somme est la somme des dérivées : on dérive chaque terme séparément. (De même, $\big(U-V\big)'=U'-V'$ , et $\big(a\,U\big)'=a\,U'$ : une constante multiplicative « sort » de la dérivée.)

ExempleSomme d'une puissance et d'une racine

Soit $y=x^2+\sqrt[3]{x}$ . On dérive terme à terme :

y'=\big(x^2\big)'+\big(\sqrt[3]{x}\big)' =2x+\frac13\times\frac{1}{\sqrt[3]{x^2}}\qquad (n\in\mathbb{N}_0).

Formule3.5Dérivée d'un produit

\big(U\times V\big)' = U'\times V + U\times V'.

où :

$U'\times V$ : on dérive le premier facteur, on garde le second ;
$U\times V'$ : on garde le premier facteur, on dérive le second ;
on additionne les deux. Attention : $\big(UV\big)'\neq U'V'$ (erreur classique !).

ExempleDérivée d'un produit

Soit $y=x\times\sqrt{x+1}$ . Posons $U=x$ et $V=\sqrt{x+1}$ . Alors $U'=1$ et $V'=\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ (racine d'une fonction composée). D'où

y'=\underbrace{(x)'}_{U'}\times\big(\sqrt{x+1}\big)+x\times\underbrace{\big(\sqrt{x+1}\big)'}_{V'} =1\times\big(\sqrt{x+1}\big)+x\times\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.

Formule3.6Dérivée d'un quotient

\left(\frac{U}{V}\right)' = \frac{U'\times V - U\times V'}{V^2}.

où :

au numérateur : « dérivée du haut $\times$ bas $-$ haut $\times$ dérivée du bas » (l'ordre compte, à cause du signe $-$ ) ;
au dénominateur : le carré du dénominateur $V^2$ ;
la formule n'est valable que là où $V\neq 0$ .

ExempleDérivée d'un quotient

Soit $y=\dfrac{x^2}{1+x^4}$ . Posons $U=x^2$ (donc $U'=2x$ ) et $V=1+x^4$ (donc $V'=4x^3$ ). Alors

y'=\frac{\big(x^2\big)'\times\big(1+x^4\big)-x^2\times\big(1+x^4\big)'}{\big(1+x^4\big)^2} =\frac{2x\times\big(1+x^4\big)-x^2\times\big(4x^3\big)}{\big(1+x^4\big)^2}.

Comment faireDériver un quotient $U/V$ sans se tromper de signe

Identifier le haut $U$ et le bas $V$ , puis calculer à part $U'$ et $V'$ .
Écrire le numérateur dans le bon ordre : $U'V - UV'$ (jamais $UV'-U'V$ ).
Mettre $V^2$ au dénominateur.
Développer et simplifier le numérateur seulement (on laisse souvent $V^2$ factorisé).

Les dérivées trigonométriques

Formule3.7Sinus et cosinus composés

\big(\sin U\big)' = U'\times\cos U \qquad\text{et}\qquad \big(\cos U\big)' = U'\times(-\sin U).

À retenir : dériver $\cos$ fait apparaître un signe moins. Le facteur $U'$ est toujours présent dès que l'argument n'est pas simplement $x$ .

ExempleSinus et cosinus d'une fonction

$y=\sin\big(x^2\big) \Rightarrow y'=\big(x^2\big)'\times\cos\big(x^2\big)=2x\cos\big(x^2\big).$
$y=\cos\dfrac{x}{2} \Rightarrow y'=\left(\dfrac{x}{2}\right)'\times\left(-\sin\dfrac{x}{2}\right) =-\dfrac12\sin\dfrac{x}{2}.$

Formule3.8Tangente et cotangente composées

\big(\operatorname{tg} U\big)' = U'\times\frac{1}{\cos^2 U} \qquad\text{et}\qquad \big(\operatorname{cotg} U\big)' = -\,U'\times\frac{1}{\sin^2 U}.

ExempleDérivée de $\operatorname{tg}$ et $\operatorname{cotg}$

$y=\operatorname{tg}(2x)\Rightarrow y'=(2x)'\times\dfrac{1}{\cos^2(2x)}=\dfrac{2}{\cos^2(2x)}.$
$y=\operatorname{cotg} x\Rightarrow y'=-(x)'\times\dfrac{1}{\sin^2 x}=\dfrac{-1}{\sin^2 x}.$

Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Formule3.9Arc sinus et arc cosinus

\big(\arcsin U\big)' = \frac{U'}{\sqrt{1-U^2}} \qquad\text{et}\qquad \big(\arccos U\big)' = \frac{-\,U'}{\sqrt{1-U^2}}.

Comme pour $\cos$ , l'arc cosinus introduit un signe moins. Le dénominateur $\sqrt{1-U^2}$ impose $-1<U<1$ .

ExempleDérivée de $\arcsin$ et $\arccos$

$y=\arcsin x\Rightarrow y'=\dfrac{(x)'}{\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$
$y=\arccos\big(x^2\big)\Rightarrow y'=\dfrac{-\big(x^2\big)'}{\sqrt{1-\big(x^2\big)^2}} =\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^4}}.$

Formule3.10Arc tangente et arc cotangente

\big(\operatorname{arctg} U\big)' = \frac{U'}{1+U^2} \qquad\text{et}\qquad \big(\operatorname{arccotg} U\big)' = \frac{-\,U'}{1+U^2}.

ExempleDérivée de $\operatorname{arctg}$ et $\operatorname{arccotg}$

$y=\operatorname{arctg}(2x)\Rightarrow y'=\dfrac{(2x)'}{1+(2x)^2}=\dfrac{2}{1+4x^2}.$
$y=\operatorname{arccotg} x\Rightarrow y'=\dfrac{-(x)'}{1+(x)^2}=\dfrac{-1}{1+x^2}.$

Les dérivées logarithmiques et exponentielles

Formule3.11Logarithme de base $a$ et logarithme népérien

\big(\log_a U\big)' = \frac{U'}{U\,\ln a} \qquad\text{et}\qquad \big(\ln U\big)' = \frac{U'}{U\times\ln e}=\frac{U'}{U}.

où :

$\ln a$ : le logarithme népérien de la base $a$ (constante). Pour le logarithme décimal, $a=10$ donc $\ln 10$ apparaît ;
$\ln e = 1$ : c'est pourquoi le cas du logarithme népérien se simplifie en $\dfrac{U'}{U}$ ;
$U'$ : la dérivée de l'argument (règle de la chaîne).

ExempleDérivée de logarithmes

$y=\log_3 x\Rightarrow y'=\dfrac{(x)'}{x\,\ln 3}=\dfrac{1}{x\,\ln 3}.$
$y=\log_{10} x\Rightarrow y'=\dfrac{(x)'}{x\,\ln 10}=\dfrac{1}{x\,\ln 10}.$
$y=\ln x\Rightarrow y'=\dfrac{(x)'}{x}=\dfrac{1}{x}.$

Formule3.12Exponentielle de base $a$

\big(a^{\,U}\big)' = U'\times a^{\,U}\times\ln a.

Cas particulier. Pour $a=e$ (puisque $\ln e=1$ ), on obtient la propriété remarquable $\big(e^{\,U}\big)'=U'\,e^{\,U}$ : l'exponentielle népérienne est « sa propre dérivée » (au facteur $U'$ près).

ExempleDérivée d'une exponentielle

$y=3^{\,x}\Rightarrow y'=\big(3^x\big)'=(x)'\times 3^x\times\ln 3 = 3^x\times\ln 3.$

Tableau récapitulatif des 17 formules

Le tableau ci-dessous rassemble toutes les formules, avec à gauche la règle et à droite une application typique. C'est le formulaire à mémoriser.

N^o	Formule de dérivation	Application
1.	$C'=0$	$y=3\Rightarrow y'=0$
2.	$x'=1$	$y=2x\Rightarrow y'=2$
3.	$\big(U^{n}\big)'=n\,U^{n-1}U'$	$y=x^4\Rightarrow y'=4x^3$ ; $y=\sqrt{x}\Rightarrow y'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$
4.	$\big(U+V\big)'=U'+V'$	$y=x^2+\sqrt[3]{x}\Rightarrow y'=2x+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$
5.	$\big(U\,V\big)'=U'V+U\,V'$	$y=x\sqrt{x+1}\Rightarrow y'=\sqrt{x+1}+\dfrac{x}{2\sqrt{x+1}}$
6.	$\left(\dfrac{U}{V}\right)'=\dfrac{U'V-U\,V'}{V^2}$	$y=\dfrac{x^2}{1+x^4}\Rightarrow y'=\dfrac{2x(1+x^4)-x^2(4x^3)}{(1+x^4)^2}$
7.	$\big(\sin U\big)'=U'\cos U$	$y=\sin x^2\Rightarrow y'=2x\cos x^2$
8.	$\big(\cos U\big)'=-U'\sin U$	$y=\cos\dfrac{x}{2}\Rightarrow y'=-\dfrac12\sin\dfrac{x}{2}$
9.	$\big(\operatorname{tg} U\big)'=\dfrac{U'}{\cos^2 U}$	$y=\operatorname{tg} 2x\Rightarrow y'=\dfrac{2}{\cos^2 2x}$
10.	$\big(\operatorname{cotg} U\big)'=\dfrac{-U'}{\sin^2 U}$	$y=\operatorname{cotg} x\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{\sin^2 x}$
11.	$\big(\arcsin U\big)'=\dfrac{U'}{\sqrt{1-U^2}}$	$y=\arcsin x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
12.	$\big(\arccos U\big)'=\dfrac{-U'}{\sqrt{1-U^2}}$	$y=\arccos x^2\Rightarrow y'=\dfrac{-2x}{\sqrt{1-x^4}}$
13.	$\big(\operatorname{arctg} U\big)'=\dfrac{U'}{1+U^2}$	$y=\operatorname{arctg} 2x\Rightarrow y'=\dfrac{2}{1+4x^2}$
14.	$\big(\operatorname{arccotg} U\big)'=\dfrac{-U'}{1+U^2}$	$y=\operatorname{arccotg} x\Rightarrow y'=\dfrac{-1}{1+x^2}$
15.	$\big(\log_a U\big)'=\dfrac{U'}{U\ln a}$	$y=\log_{10} x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{x\ln 10}$
16.	$\big(\ln U\big)'=\dfrac{U'}{U}$	$y=\ln x\Rightarrow y'=\dfrac{1}{x}$
17.	$\big(a^{U}\big)'=U'\,a^{U}\ln a$	$y=3^{x}\Rightarrow y'=3^{x}\ln 3$

Remarque

Dans ce tableau récapitulatif, les ensembles de définition des fonctions ne sont pas précisés. En pratique, il faut toujours vérifier où la fonction (et sa dérivée) sont définies : par exemple $\sqrt{x}$ n'est dérivable que pour $x>0$ , $\ln x$ que pour $x>0$ , $\operatorname{tg} x$ que là où $\cos x\neq 0$ , etc.

La dérivation des fonctions composées

Les formules 3, 7 à 17 contiennent toutes le facteur $U'$ : c'est la marque de la règle de dérivation en chaîne. On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur », et on multiplie par la dérivée de l'intérieur.

Comment faireDériver une fonction composée (« en pelures d'oignon »)

Repérer la couche externe (la dernière opération appliquée) : est-ce un carré ? un sinus ? une racine ? un logarithme ?
Dériver cette couche en gardant l'intérieur intact (avec la formule correspondante).
Multiplier par la dérivée de l'intérieur ( $U'$ ).
Recommencer si l'intérieur est lui-même composé (on enchaîne les facteurs).

ExempleComposition de plusieurs couches : $y=\sin^2\big(\sqrt{x}+1\big)$

La fonction comporte trois couches : un carré, un sinus, une racine. On utilise successivement $\big(U^n\big)'=nU^{n-1}U'$ puis $\big(\sin U\big)'=U'\cos U$ .

Couche 1 — le carré. Avec $U=\sin\big(\sqrt{x}+1\big)$ et $n=2$ :

f'(x)=2\,\sin^{1}\big(\sqrt{x}+1\big)\times\Big(\sin\big(\sqrt{x}+1\big)\Big)'.

Couche 2 — le sinus. On dérive $\sin\big(\sqrt{x}+1\big)$ :

\Big(\sin\big(\sqrt{x}+1\big)\Big)'=\big(\sqrt{x}+1\big)'\times\cos\big(\sqrt{x}+1\big) =\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}+0\right)\cos\big(\sqrt{x}+1\big).

Assemblage.

f'(x)=2\,\sin\big(\sqrt{x}+1\big)\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\times\cos\big(\sqrt{x}+1\big).

En utilisant l'identité $2\sin\theta\cos\theta=\sin(2\theta)$ avec $\theta=\sqrt{x}+1$ , on simplifie :

\boxed{\;f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\,\sin\big(2(\sqrt{x}+1)\big)\;}\qquad \text{pour tout } x\in[1,+\infty[.

ExempleRacine d'un logarithme : $y=\sqrt{\ln(\cos x+2)}$

On réécrit la racine en puissance : $f(x)=\big(\ln(\cos x+2)\big)^{1/2}$ . Deux formules sont en jeu : $\big(U^n\big)'=nU^{n-1}U'$ et $\big(\ln U\big)'=\dfrac{U'}{U}$ .

Couche externe (puissance $1/2$ ).

f'(x)=\frac12\big(\ln(\cos x+2)\big)^{\frac12-1}\times\big(\ln(\cos x+2)\big)'.

Couche interne (logarithme). Avec $U=\cos x+2$ et $U'=-\sin x$ :

\big(\ln(\cos x+2)\big)'=\frac{-\sin x}{\cos x+2}.

Assemblage.

\boxed{\;f'(x)=\frac12\times\frac{1}{\sqrt{\ln(\cos x+2)}}\times\frac{-\sin x}{\cos x+2} =\frac{-\sin x}{2(\cos x+2)\sqrt{\ln(\cos x+2)}}\;}

ExempleLogarithme décimal d'un quotient : $y=\dfrac{2}{5}+\log\!\left(\dfrac{2}{x^2+1}\right)$

Ici $\log$ désigne le logarithme de base $10$ . On combine $\big(\log_a U\big)'=\dfrac{U'}{U\ln a}$ et la règle du quotient. La constante $\tfrac25$ disparaît à la dérivation.

Dérivée de l'intérieur $U=\dfrac{2}{x^2+1}$ (quotient avec haut constant) :

U'=\frac{0\times(x^2+1)-2\times(x^2+1)'}{(x^2+1)^2}=\frac{-2\times 2x}{(x^2+1)^2}=\frac{-4x}{(x^2+1)^2}.

Application de la formule du logarithme (base $10$ , donc $\ln 10$ ) :

f'(x)=0+\frac{U'}{U\,\ln 10} =\frac{\dfrac{-4x}{(x^2+1)^2}}{\dfrac{2}{x^2+1}\times\ln 10} =\frac{-4x}{(x^2+1)^2}\times\frac{x^2+1}{2\ln 10}.

Simplification.

\boxed{\;f'(x)=\frac{-2x}{x^2+1}\times\frac{1}{\ln 10}\;}

Deux dérivées composées « générales » très utiles

On rencontre souvent des fonctions où l'on ne connaît pas $f$ explicitement, mais seulement le fait qu'elle est dérivable. Les deux résultats suivants sont alors précieux.

ExempleLe carré d'une fonction : $g=f^2$

Soit $f$ dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g(x)=f^2(x)$ . Comme $g=f\times f$ (produit de deux fonctions), la règle du produit donne

g'(x)=\big(f(x)\times f(x)\big)'=f'(x)\,f(x)+f(x)\,f'(x)=\boxed{\,2\,f'(x)\,f(x)\,}.

À retenir : $\big(f^2\big)'=2f'f$ et non $2f$ : le facteur $f'$ est indispensable (c'est encore la règle de la chaîne, avec $\big(U^2\big)'=2UU'$ ).

ExempleTrois fois le logarithme d'une fonction : $g=3\ln|f|$

Soit $f$ dérivable et ne s'annulant pas sur un intervalle $I$ , et $g(x)=3\ln|f(x)|$ . On distingue deux cas selon le signe de $f$ , mais le résultat est le même :

si $f(x)>0$ : $g=3\ln f$ , donc $g'=3\times\dfrac{f'}{f}$ ;
si $f(x)<0$ : $g=3\ln(-f)$ , donc $g'=3\times\dfrac{(-f)'}{-f}=3\times\dfrac{-f'}{-f}=3\times\dfrac{f'}{f}$ .

Dans les deux cas :

\boxed{\,g'(x)=3\times\frac{f'(x)}{f(x)}\,}.

La valeur absolue ne change donc rien à la dérivée : $\big(\ln|f|\big)'=\dfrac{f'}{f}$ .

ExempleComposée avec une fonction inconnue : $v(x)=u\big(\ln(x+1)\big)$ et $v(x)=u(3x)$

Soit $u$ dérivable. La règle de la chaîne « dérivée de l'extérieur évaluée en l'intérieur, $\times$ dérivée de l'intérieur » donne :

$v(x)=u\big(\ln(x+1)\big)\Rightarrow v'(x)=\big(\ln(x+1)\big)'\times u'\big(\ln(x+1)\big) =\dfrac{u'\big(\ln(x+1)\big)}{x+1}.$
$v(x)=u(3x)\Rightarrow v'(x)=(3x)'\times u'(3x)=3\,u'(3x).$
En particulier si $u(x)=x^2$ (donc $u'(x)=2x$ et $u'(3x)=2\times 3x=6x$ ), on obtient $v'(x)=3\times 6x=18x$ . On le vérifie directement : $v(x)=u(3x)=(3x)^2=9x^2$ , d'où $v'(x)=\big(9x^2\big)'=18x$ . ✓

4Propriétés de la dérivée première : variations et extremums

On entre maintenant dans le cœ ur des applications de la dérivation. La fonction dérivée $f'$ n'est pas un simple objet de calcul : son signe raconte tout le comportement de $f$ .

Propriété4.1Signe de $f'$ et sens de variation

Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ (ou sur un intervalle). Le signe de la fonction dérivée $f'$ nous informe sur la croissance, la décroissance et l'existence des extremums locaux (maximum et minimum) de $f$ :

si $f'(x)>0 \Rightarrow$ la fonction $f$ est croissante ;
si $f'(x)<0 \Rightarrow$ la fonction $f$ est décroissante ;
si $f'(x)=0$ $f^{'} (x) = 0$ en changeant de signe $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ la fonction $f$ $f$ présente un extremum local, c'est-à-dire :
- un maximum local lorsque $f'$ passe du signe positif au signe négatif ;
- un minimum local lorsque $f'$ passe du signe négatif au signe positif.

Pourquoi ? Si la pente de la tangente est positive ( $f'>0$ ), la courbe « monte » quand on avance vers la droite : $f$ croît. Si la pente est négative ( $f'<0$ ), la courbe « descend ». Entre une montée et une descente, la courbe atteint un sommet (maximum) ; entre une descente et une montée, un creux (minimum). En ces points, la tangente est horizontale, donc $f'=0$ .

La figure ci-dessous est le tableau de variation de référence : $f'$ est positive, s'annule en $x_0$ en devenant négative (maximum), puis s'annule en $x_1$ en redevenant positive (minimum).

Figure 4 : tableau de variation. La fonction $f$ a un maximum local en $x=x_0$ et un minimum local en $x=x_1$ .

RemarqueLe changement de signe est essentiel

Soit $f$ définie et dérivable sur $]a;b[$ . Si $f'$ s'annule en $x_0$ ( $x_0\in\,]a;b[$ ) et change de signe, alors $f$ admet un extremum local en $x_0$ .

Si $f'$ s'annule sans changer de signe, il n'y a pas d'extremum (la courbe a juste une tangente horizontale puis repart dans le même sens : c'est un point d'inflexion à tangente horizontale).
On peut aussi avoir un maximum/minimum sans dérivée nulle (par exemple à un point anguleux, ou au bord d'un intervalle fermé).

Comment faireDresser le tableau de variation d'une fonction

Déterminer le domaine de définition de $f$ .
Calculer $f'(x)$ avec les formules de dérivation.
Résoudre $f'(x)=0$ : ce sont les abscisses candidates aux extremums (les « racines » de $f'$ ).
Étudier le signe de $f'$ entre ces racines (tableau de signes — souvent en factorisant $f'$ ).
Traduire : $f'>0\Rightarrow$ flèche montante ; $f'<0\Rightarrow$ flèche descendante.
Repérer les extremums là où $f'$ change de signe, et calculer les valeurs $f(x_i)$ .

Exemple détaillé : une dérivée qui ne change pas de signe

Exemple $f(x)=3x^3-3x^2+x+1$ — fonction toujours croissante

On considère $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=3x^3-3x^2+x+1$ . Étudions ses variations.

Étape 1 — calculer la dérivée. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (polynôme) et

f'(x)=3\times 3x^2-3\times 2x+1+0=9x^2-6x+1.

Étape 2 — factoriser et chercher les racines. On reconnaît une identité remarquable :

f'(x)=9x^2-6x+1=(3x-1)^2.

Cette dérivée s'annule au point $x=\tfrac13$ (car $3x-1=0\Leftrightarrow x=\tfrac13$ ).

Étape 3 — étudier le signe. Un carré est toujours positif ou nul : $(3x-1)^2\geq 0$ pour tout $x$ . Donc $f'(x)\geq 0$ partout, et $f'$ ne change pas de signe en $\tfrac13$ (elle s'annule mais reste positive de part et d'autre).

Étape 4 — conclure. La fonction $f$ est croissante sur tout $\mathbb{R}$ . Bien que $f'(\tfrac13)=0$ , il n'y a aucun extremum local (la dérivée ne change pas de signe) : en $x=\tfrac13$ , la courbe présente seulement une tangente horizontale, c'est un point d'inflexion à tangente horizontale.

Figure 5 : la courbe de $f(x)=3x^3-3x^2+x+1$ est strictement croissante ; en $x=\tfrac13$ la tangente est horizontale mais il n'y a pas d'extremum.

Exemple détaillé : compter les extremums

Exemple $f(x)=\dfrac{x^5}{5}-16x$ — combien d'extremums ?

On considère $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x)=\dfrac{x^5}{5}-16x$ . Cherchons le nombre d'extremums locaux.

Étape 1 — dériver.

f'(x)=\frac{5x^4}{5}-16=x^4-16.

Étape 2 — factoriser. On utilise deux fois l'identité $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ :

f'(x)=x^4-16=\big(x^2-4\big)\big(x^2+4\big)=(x-2)(x+2)\big(x^2+4\big).

Étape 3 — résoudre $f'(x)=0$ . Le facteur $x^2+4>0$ ne s'annule jamais. Il reste

f'(x)=0 \Longleftrightarrow x=2 \ \text{ou}\ x=-2.

Étape 4 — tableau de signes. On reporte les signes de chaque facteur :

Étape 5 — conclure. La dérivée $f'$ change de signe deux fois :

en $x=-2$ : $f'$ passe de $+$ à $-$ $\Rightarrow$ maximum local en $-2$ ;
en $x=2$ : $f'$ passe de $-$ à $+$ $\Rightarrow$ minimum local en $2$ .

La fonction possède donc exactement 2 extremums locaux.

Figure 6 : la courbe de $f(x)=\tfrac{x^5}{5}-16x$ présente un maximum local en $x=-2$ et un minimum local en $x=2$ .

5Propriétés de la dérivée seconde : concavité et inflexion

La dérivée $f'$ est elle-même une fonction : on peut donc la dériver à son tour. On obtient la dérivée seconde, notée $f''$ (lire « $f$ seconde »). Là où $f'$ renseigne sur les variations de $f$ , la dérivée seconde $f''$ renseigne sur la forme de la courbe : sa concavité.

Définition5.1Dérivée seconde

Soit $f'$ définie et dérivable sur $\mathbb{R}$ . La dérivée seconde de $f$ est la dérivée de la dérivée première :

f''(x)=\big(f'(x)\big)'.

Propriété5.1Signe de $f''$ et concavité

C'est la dérivée seconde $f''$ qui nous informe sur la concavité de la courbe et sur les points d'inflexion :

si $f''(x)>0 \Rightarrow$ la concavité est orientée vers les $y$ positifs (vers le haut) : la courbe a la forme d'un « bol » $\smallsmile$ ;
si $f''(x)<0 \Rightarrow$ la concavité est orientée vers les $y$ négatifs (vers le bas) : la courbe a la forme d'une « cloche » $\smallfrown$ ;
le point $A(x_0,y_0)$ $A (x_{0}, y_{0})$ est un point d'inflexion de $f$ $f$ si et seulement si :
- $f''(x_0)$ s'annule en changeant de signe, et
- $f'(x_0)$ existe.

Image à retenir. Un point d'inflexion est un point où la courbe « change de courbure » : elle passe de creuse vers le haut à creuse vers le bas (ou l'inverse). C'est l'endroit où la tangente traverse la courbe.

Figure 7 : à gauche $f''>0$ (bol, vers le haut), au milieu un point d'inflexion (changement de concavité), à droite $f''<0$ (cloche, vers le bas).

Comment faireÉtudier la concavité et trouver les points d'inflexion

Calculer $f'$ , puis dériver à nouveau pour obtenir $f''$ .
Résoudre $f''(x)=0$ : ce sont les candidats « points d'inflexion ».
Étudier le signe de $f''$ : là où $f''>0$ , concavité vers le haut ; là où $f''<0$ , concavité vers le bas.
Confirmer chaque point d'inflexion : il faut que $f''$ change de signe (et que $f'$ existe au point).

ExempleUne concavité toujours tournée vers le haut

Soit $f(x)=x-3\ln|x+2|$ , définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ (on l'étudiera complètement à la section 8). Sa dérivée première est $f'(x)=1-\dfrac{3}{x+2}$ . Dérivons une seconde fois :

f''(x)=\left(1-\frac{3}{x+2}\right)'=\left(-3(x+2)^{-1}\right)' =-3\times(-1)(x+2)^{-2}\times 1=\frac{3}{(x+2)^2}.

Le facteur $(x+2)^2$ est strictement positif pour tout $x\neq -2$ . Donc $f''(x)>0$ sur tout $\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ : la concavité de $f$ est toujours orientée vers le haut, et la fonction n'admet aucun point d'inflexion (puisque $f''$ ne change jamais de signe).

Lecture d'un point particulier. La courbe de $f''$ coupe l'axe des ordonnées au point d'abscisse $0$ , c'est-à-dire en $\big(0;f''(0)\big)$ :

f''(0)=\frac{3}{(0+2)^2}=\frac{3}{4}=0{,}75,

donc ce point de rencontre est $\big(0;\tfrac34\big)$ .

6L'équation de la tangente

On a vu que $f'(x_0)$ est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse $x_0$ . On peut maintenant écrire l'équation complète de cette droite tangente.

Propriété6.1Équation de la tangente en un point

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ . Dans un repère orthonormé, la droite passant par $P_0\big(x_0;f(x_0)\big)$ et de pente $f'(x_0)$ est la tangente à la courbe d'équation $y=f(x)$ au point $P_0$ . Son équation est :

\boxed{\;y=(x-x_0)\,f'(x_0)+f(x_0)\;}

où :

$f'(x_0)$ : la pente (coefficient angulaire) de la tangente — le nombre dérivé en $x_0$ ;
$f(x_0)$ : l'ordonnée du point de contact $P_0$ ;
$x_0$ : l'abscisse du point de contact ;
$(x;y)$ : les coordonnées d'un point quelconque de la tangente.

D'où vient cette formule ? Une droite de pente $m$ passant par $(x_0;y_0)$ a pour équation $y-y_0=m(x-x_0)$ . En prenant $m=f'(x_0)$ et $y_0=f(x_0)$ , on retrouve exactement la formule encadrée. La tangente de $f$ en $P_0$ est aussi la limite du taux $\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$ quand $x$ tend vers $x_0$ .

Figure 8 : la tangente en $P_0$ est la position limite de la sécante $(P_0P)$ lorsque $P\to P_0$ . Sa pente est $f'(x_0)$ .

Comment faireDéterminer l'équation de la tangente en $x=x_0$

Calculer $f(x_0)$ : l'ordonnée du point de contact.
Calculer $f'(x)$ , puis évaluer $f'(x_0)$ : la pente.
Remplacer dans $y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)$ .
Développer pour obtenir la forme $y=mx+p$ si on le souhaite.

RemarqueTangentes particulières

Tangente horizontale : si $f'(x_0)=0$ , la tangente est horizontale d'équation $y=f(x_0)$ (cas des extremums et inflexions à tangente horizontale).
Droites perpendiculaires : deux droites de pentes $m_1$ et $m_2$ sont perpendiculaires si et seulement si $m_1\times m_2=-1$ (c'est-à-dire $m_2=-\tfrac{1}{m_1}$ , « l'opposé de l'inverse »).
Lecture de pente sur un graphe : plus la courbe « monte raide » en un point, plus $f'$ y est grand ; une courbe qui « descend » a $f'<0$ .

Exemple détaillé : tangente horizontale

ExempleUne tangente horizontale en $x=1$ pour $f(x)=x-3\ln|x+2|$

Reprenons $f(x)=x-3\ln|x+2|$ , dont la dérivée est $f'(x)=1-\dfrac{3}{x+2}$ (calcul détaillé à la section 8). L'équation de la tangente au point d'abscisse $x=1$ est $y=(x-1)f'(1)+f(1)$ .

Pente.

f'(1)=1-\frac{3}{1+2}=1-\frac{3}{3}=1-1=0.

La pente est nulle : la tangente est horizontale.

Ordonnée du point de contact.

f(1)=1-3\ln|1+2|=1-3\ln 3.

Équation de la tangente. Avec $f'(1)=0$ :

y=(x-1)\times 0+(1-3\ln 3)\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,y=1-3\ln 3\,}.

C'est bien l'équation d'une droite horizontale.

Exemple détaillé : retrouver $f'(x_0)$ à partir d'un point de la tangente

ExempleLa tangente en $x=1$ passe par $(3;2)$ , avec $f(1)=0$

Soit $f$ continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ . On sait, par lecture graphique, que $f(1)=0$ et que la tangente à la courbe au point d'abscisse $1$ passe également par le point de coordonnées $(3;2)$ . Quel est le nombre dérivé $f'(1)$ ?

Méthode 1 — par la formule de la tangente. L'équation de la tangente en $x=1$ est $y=(x-1)f'(1)+f(1)$ . Comme elle passe par $(3;2)$ , on remplace $x=3$ et $y=2$ :

2=(3-1)\,f'(1)+f(1)=2f'(1)+0.

On résout : $2=2f'(1)\Rightarrow f'(1)=1$ .

Méthode 2 — par la pente entre deux points. Le nombre dérivé $f'(1)$ est le coefficient angulaire de la tangente. Cette droite passe par les points $\big(1;f(1)\big)=(1;0)$ et $(3;2)$ . Sa pente vaut donc

f'(1)=\frac{2-0}{3-1}=\frac{2}{2}=1.

Les deux méthodes concordent : $\boxed{f'(1)=1}$ .

Exemple détaillé : tangentes et perpendicularité

ExempleTangente perpendiculaire à une droite donnée

Toujours pour $f(x)=x-3\ln|x+2|$ (donc $f'(x)=1-\tfrac{3}{x+2}$ ), montrons que la tangente au point d'abscisse $x=0$ est perpendiculaire à la droite d'équation $y=2x+1$ .

Pente de la tangente en $0$ .

f'(0)=1-\frac{3}{0+2}=1-\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}.

Ordonnée du point de contact. $f(0)=0-3\ln|0+2|=-3\ln 2$ .

Équation de la tangente en $0$ .

y=(x-0)\times\Big(-\tfrac12\Big)+(-3\ln 2)=-\tfrac12 x-3\ln 2.

Test de perpendicularité. La droite $y=2x+1$ a pour pente $m_1=2$ ; la tangente a pour pente $m_2=-\tfrac12$ . Or

m_1\times m_2=2\times\Big(-\tfrac12\Big)=-1.

Le produit des pentes vaut $-1$ : les deux droites sont bien perpendiculaires. (Autrement dit, $-\tfrac12$ est « l'opposé de l'inverse » de $2$ .)

7Lire un graphe : relier $f$ f, $f'$ f' et $f''$ f”

Beaucoup de questions ne demandent aucun calcul : il suffit de lire une courbe et d'en déduire des informations sur la dérivée. Voici les correspondances à maîtriser, puis des exemples détaillés.

Comment faireDéduire le signe de $f'$ et $f''$ à partir de la courbe de $f$

Où $f$ monte (croissante) $\Rightarrow f'>0$ ; où $f$ descend (décroissante) $\Rightarrow f'<0$ .
Aux sommets et aux creux (extremums) à tangente horizontale $\Rightarrow f'=0$ .
Où la courbe est un « bol » $\smallsmile$ (concave vers le haut) $\Rightarrow f''>0$ ; où elle est une « cloche » $\smallfrown$ (concave vers le bas) $\Rightarrow f''<0$ .
La courbe de $f'$ coupe l'axe des $x$ là où $f$ a un extremum ; elle est au-dessus de l'axe là où $f$ croît, en dessous là où $f$ décroît.

Exemple détaillé : analyser une courbe donnée

ExempleLecture d'une courbe avec maximum et minimum

On considère une fonction $f$ définie sur $[-8;8]$ dont l'allure est la suivante : $f$ croît fortement de $x=-8$ jusqu'à un maximum au point $C$ (vers $x\approx 0$ , à hauteur $y\approx 7$ ), puis chute jusqu'à un minimum au point $B$ (vers $x\approx 1$ , à hauteur $y\approx 0$ ), et remonte doucement ensuite ; le point $A$ se situe juste après $B$ , sur la partie remontante.

Analysons quelques affirmations typiques :

« $f$ est croissante sur $[1;8]$ » — Vrai. Après le minimum $B$ (vers $x=1$ ), la courbe remonte : pour $x_1<x_2$ dans $[1;8]$ , on a $f(x_1)<f(x_2)$ .
« $f'$ est strictement positive sur $[-8;-2]$ » — Vrai. Sur cette partie, $f$ est strictement croissante, donc sa pente (donc $f'$ ) est strictement positive.
« Au point $A$ , la dérivée de $f$ est nulle » — Faux. En $A$ la courbe monte (partie remontante après $B$ ) : la tangente est une droite oblique de pente positive, donc $f'(A)>0$ , pas $0$ .
« $f$ a un maximum et un minimum sur $[-8;8]$ » — Vrai : maximum local au point $C$ , minimum local (négatif ou nul) au point le plus bas, situé entre $A$ et $B$ .
« La tangente au point $C$ est horizontale » — Vrai : $C$ est un maximum, donc $f'(C)=0$ et la tangente y est horizontale.
« La tangente au point $A$ a un coefficient angulaire positif » — Vrai, car la courbe monte en $A$ (cohérent avec $f'(A)>0$ ).

Comparer des nombres dérivés. Pour deux abscisses, on compare les pentes : là où la courbe monte plus raide, $f'$ est plus grand. Par exemple, si en $x=-4$ la montée est plus raide qu'en $x=0$ (sommet, pente nulle), alors $f'(-4)>f'(0)$ .

Exemple détaillé : la courbe de $f$ f et celle de $f'$ f'

ExempleReconnaître la courbe de la dérivée

Soit $f$ continue et dérivable, dont la courbe a la forme d'une cubique : elle monte jusqu'à un maximum en $x=0$ , descend jusqu'à un minimum en $x=2$ , puis remonte. Quelle est l'allure de la courbe de $f'$ ?

Raisonnement.

$f$ admet un extremum en $x=0$ et en $x=2$ $\Rightarrow f'(0)=0$ et $f'(2)=0$ : la courbe de $f'$ coupe l'axe des $x$ en $0$ et en $2$ .
Avant $0$ , $f$ croît $\Rightarrow f'>0$ (courbe de $f'$ au-dessus de l'axe).
Entre $0$ et $2$ , $f$ décroît $\Rightarrow f'<0$ (courbe de $f'$ sous l'axe).
Après $2$ , $f$ croît $\Rightarrow f'>0$ (au-dessus de l'axe).

La dérivée d'une cubique est une parabole ; ici elle s'annule en $0$ et $2$ , est positive à l'extérieur de $[0;2]$ et négative à l'intérieur : c'est donc une parabole tournée vers le haut, passant par $(0;0)$ et $(2;0)$ .

Figure 9 : la courbe de $f$ (trait plein bleu) a ses extremums en $x=0$ et $x=2$ ; la courbe de $f'$ (pointillés rouges) y coupe l'axe des abscisses.

Exemple détaillé : retrouver une fonction à partir d'un tableau de signes

ExempleQuelle fonction colle au tableau de signes de $f'$ ?

On donne le tableau de signes suivant pour $f'$ : la dérivée $f'$ est strictement positive partout ( $+$ avant et après), sauf en $x=\tfrac23$ où elle n'est pas définie (symbole $\nexists$ ). Parmi plusieurs expressions, laquelle correspond ?

Lecture du tableau. On cherche une fonction $f$ dont la dérivée $f'$ vérifie deux conditions : (i) $f'(x)>0$ pour tout $x\neq\tfrac23$ , et (ii) $f'$ n'est pas définie en $x=\tfrac23$ . La non-définition en $\tfrac23$ suggère un dénominateur qui s'annule, du type $(2-3x)$ , car $2-3x=0\Leftrightarrow x=\tfrac23$ .

Test du bon candidat $f(x)=\dfrac{-3x^2+4x}{2-3x}$ . C'est un quotient $\dfrac{U}{V}$ avec $U=-3x^2+4x$ (donc $U'=-6x+4$ ) et $V=2-3x$ (donc $V'=-3$ ). La règle du quotient donne :

f'(x)=\frac{(-6x+4)(2-3x)-(-3x^2+4x)(-3)}{(2-3x)^2}.

Développons le numérateur :

(-6x+4)(2-3x)=-12x+18x^2+8-12x=18x^2-24x+8,

-(-3x^2+4x)(-3)=-(9x^2-12x)=-9x^2+12x.

Somme : $18x^2-24x+8-9x^2+12x=9x^2-12x+8$ . Donc

f'(x)=\frac{9x^2-12x+8}{(2-3x)^2}.

Signe. Le dénominateur $(2-3x)^2>0$ . Pour le numérateur, le discriminant vaut

\Delta=(-12)^2-4\times 9\times 8=144-288=-144<0,

et le coefficient dominant $a=9>0$ : un trinôme de discriminant négatif garde le signe de $a$ , donc $9x^2-12x+8>0$ partout. Ainsi $f'(x)>0$ pour tout $x\neq\tfrac23$ , et $f'$ n'est pas définie en $\tfrac23$ : les deux conditions du tableau sont vérifiées.

Pourquoi pas les autres ? Pour $f(x)=\dfrac{x^2-1}{2-3x}$ , on trouve $f'(x)=\dfrac{-3x^2+4x-3}{(2-3x)^2}$ , dont le numérateur $-3x^2+4x-3$ a $\Delta=16-36=-20<0$ et $a=-3<0$ : il est toujours négatif, donc $f'<0$ — cela ne colle pas. De même $f(x)=\dfrac{-3}{2-3x}$ donne $f'(x)=\dfrac{-9}{(2-3x)^2}<0$ . Ces candidats sont écartés.

8Étude de fonction complète : mettre tous les outils ensemble

Cette section rassemble tout le cours sur un seul exemple « fil rouge », étudié à fond. On y voit comment domaine, dérivée première, tableau de variation, dérivée seconde, concavité et tangentes s'articulent.

ExempleÉtude complète de $f(x)=x-3\ln|x+2|$

On considère, dans un repère orthonormé, la fonction $f$ définie par $f(x)=x-3\ln|x+2|$ .

Étape 1 — domaine de définition. Le logarithme exige un argument strictement positif ; la valeur absolue $|x+2|$ est strictement positive sauf quand $x+2=0$ . Donc

D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}.

La valeur absolue permet d'écrire $f$ sans le symbole $|\cdot|$ sur deux intervalles :

\begin{cases} f(x)=x-3\ln(x+2) & \text{si } x\in\,]-2;+\infty[,\\[2pt] f(x)=x-3\ln(-x-2) & \text{si } x\in\,]-\infty;-2[. \end{cases}

Étape 2 — dérivée première. On dérive sur chaque morceau avec $\big(\ln U\big)'=\dfrac{U'}{U}$ :

sur $]-2;+\infty[$ : $f'(x)=1-3\times\dfrac{1}{x+2}=1-\dfrac{3}{x+2}$ ;
sur $]-\infty;-2[$ : $f'(x)=1-3\times\dfrac{-1}{-x-2}=1-\dfrac{3}{x+2}$ .

Les deux expressions coïncident : pour tout $x\in\mathbb{R}\setminus\{-2\}$ ,

\boxed{\;f'(x)=1-\frac{3}{x+2}=\frac{(x+2)-3}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}\;}

Étape 3 — racine et signe de $f'$ . La dérivée s'annule au numérateur :

f'(x)=0 \Longleftrightarrow x-1=0 \Longleftrightarrow x=1.

On étudie le signe du quotient $\dfrac{x-1}{x+2}$ en plaçant les valeurs $-2$ (interdite) et $1$ :

Étape 4 — variations. On en déduit :

sur $]-\infty;-2[$ : $f'>0$ , $f$ est croissante ;
sur $]-2;1[$ : $f'<0$ , $f$ est décroissante ;
sur $]1;+\infty[$ : $f'>0$ , $f$ est croissante.

En $x=1$ , $f'$ passe de $-$ à $+$ : $f$ admet un minimum local en $1$ , de valeur $f(1)=1-3\ln 3$ . En particulier, $f$ est strictement croissante sur $[1;4]$ .

Étape 5 — dérivée seconde et concavité. On dérive $f'(x)=1-3(x+2)^{-1}$ :

f''(x)=-3\times(-1)(x+2)^{-2}=\frac{3}{(x+2)^2}.

Comme $(x+2)^2>0$ pour tout $x\neq -2$ , on a $f''(x)>0$ partout : la concavité est toujours vers le haut, et il n'y a aucun point d'inflexion.

Étape 6 — quelques tangentes remarquables. (Voir aussi les exemples de la section 6.)

En $x=1$ : $f'(1)=\dfrac{1-1}{1+2}=0$ , donc la tangente est horizontale : $y=1-3\ln 3$ (cohérent avec le minimum).
En $x=4$ : $f'(4)=\dfrac{4-1}{4+2}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ : le coefficient angulaire de la tangente vaut $\tfrac12$ .
En $x=0$ : $f'(0)=\dfrac{0-1}{0+2}=-\dfrac12$ ; la tangente $y=-\tfrac12 x-3\ln 2$ est perpendiculaire à $y=2x+1$ (produit des pentes $=-1$ ).

Étape 7 — point de rencontre de $f''$ avec l'axe des ordonnées. C'est $\big(0;f''(0)\big)$ avec $f''(0)=\dfrac{3}{(0+2)^2}=\dfrac34=0{,}75$ . Le point est $\big(0;\tfrac34\big)$ .

Synthèse graphique.

Figure 10 : la courbe de $f(x)=x-3\ln|x+2|$ . Asymptote verticale en $x=-2$ (hors domaine), branche gauche croissante, minimum local en $x=1$ , concavité toujours vers le haut.

Exemple détaillé : reconstituer les paramètres d'une fonction

ExempleTrouver $m$ , $n$ , $p$ pour $f(x)=mx^2+nx+p$

Soit $f(x)=mx^2+nx+p$ avec $m,n,p\in\mathbb{R}$ . On donne trois informations : (i) la courbe de $f$ coupe l'axe des ordonnées en $y=1$ ; (ii) la courbe de $f'$ passe par le point $(1;3)$ ; (iii) l'axe de symétrie de la courbe de $f$ est la droite $x=\tfrac58$ . Déterminons $m$ , $n$ et $p$ .

Condition (i) — l'ordonnée à l'origine. La courbe coupe l'axe des $y$ en $x=0$ , donc $f(0)=1$ . Or $f(0)=m\times 0^2+n\times 0+p=p$ . D'où

\boxed{p=1}.

Condition (ii) — un point de la dérivée. La dérivée est $f'(x)=2mx+n$ . Le point $(1;3)$ appartient à sa courbe, donc $f'(1)=3$ :

f'(1)=2m\times 1+n=2m+n=3. \tag{I}

Condition (iii) — l'axe de symétrie. Pour une parabole $mx^2+nx+p$ , l'axe de symétrie est $x=\dfrac{-n}{2m}$ . La condition donne

\frac{-n}{2m}=\frac58 \;\Longleftrightarrow\; 8(-n)=5(2m) \;\Longleftrightarrow\; 10m+8n=0. \tag{II}

Résolution du système. On résout

\begin{cases} 2m+n=3 & (\mathrm{I})\\ 10m+8n=0 & (\mathrm{II})\end{cases}

On multiplie (I) par $-5$ pour opposer les coefficients de $m$ :

\begin{cases} -10m-5n=-15 & (\mathrm{I'})\\ \phantom{-}10m+8n=0 & (\mathrm{II})\end{cases}

La somme (I $'$ ) $+$ (II) donne $3n=-15$ , soit $n=-5$ . En reportant dans (I) : $2m+(-5)=3\Rightarrow 2m=8\Rightarrow m=4$ .

Conclusion. $\boxed{m=4,\quad n=-5,\quad p=1}$ , c'est-à-dire $f(x)=4x^2-5x+1$ .

9Synthèse

La carte ci-dessous résume les liens entre $f$ , sa dérivée première $f'$ et sa dérivée seconde $f''$ .

Figure 11 : carte de synthèse — ce que $f'$ et $f''$ nous apprennent sur $f$ .

RemarqueTrois précisions importantes

Cette synthèse concerne les fonctions dont les dérivées à gauche et à droite des points choisis existent et sont égales (fonctions « lisses »).
On peut avoir un maximum ou un minimum sans dérivée nulle (point anguleux, bord d'intervalle).
Un extremum local peut aussi être un extremum global (sur tout le domaine).

Formulaire à mémoriser

MémoL'essentiel de la dérivation

Définition (nombre dérivé / pente de la tangente / vitesse instantanée) :

f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.

Règles de calcul :

(C)'=0,\quad (x)'=1,\quad (U^n)'=nU^{n-1}U',\quad (U+V)'=U'+V',

(UV)'=U'V+UV',\qquad \left(\frac{U}{V}\right)'=\frac{U'V-UV'}{V^2}.

(\sin U)'=U'\cos U,\quad (\cos U)'=-U'\sin U,\quad (\operatorname{tg} U)'=\frac{U'}{\cos^2U},

(\ln U)'=\frac{U'}{U},\quad (\log_a U)'=\frac{U'}{U\ln a},\quad (a^U)'=U'a^U\ln a.

Étude de fonction :

$f'>0\Rightarrow f$ croît ; $f'<0\Rightarrow f$ décroît ; $f'=0$ en changeant de signe $\Rightarrow$ extremum.
$f''>0\Rightarrow$ concavité vers le haut ; $f''<0\Rightarrow$ vers le bas ; $f''=0$ en changeant de signe $\Rightarrow$ inflexion.
Tangente en $x_0$ : $\;y=(x-x_0)f'(x_0)+f(x_0)$ .

Fin du cours — Fiche 5 : Dérivation. Document rédigé d'après l'extrait du livre, figures TikZ originales.

Dérivation

1Introduction : à quoi sert la dérivation ?

2Le nombre dérivé et la fonction dérivée

Le taux d'accroissement (variation moyenne)

Le nombre dérivé (variation instantanée)

Interprétation géométrique : la pente de la tangente

Interprétation cinématique : la vitesse instantanée

De la dérivée en un point à la fonction dérivée

3Le formulaire de dérivation

Les dérivées de référence

Les règles opératoires

Les dérivées trigonométriques

Les dérivées des fonctions trigonométriques inverses

Les dérivées logarithmiques et exponentielles

Tableau récapitulatif des 17 formules

La dérivation des fonctions composées

Deux dérivées composées « générales » très utiles

4Propriétés de la dérivée première : variations et extremums

Exemple détaillé : une dérivée qui ne change pas de signe

Exemple détaillé : compter les extremums

5Propriétés de la dérivée seconde : concavité et inflexion

6L'équation de la tangente

Exemple détaillé : tangente horizontale

Exemple détaillé : retrouver f′(x0)f'(x_0)f′(x0​) à partir d'un point de la tangente

Exemple détaillé : tangentes et perpendicularité

7Lire un graphe : relier ffff, f′f'f′f' et f′′f''f′′f”

Exemple détaillé : analyser une courbe donnée

Exemple détaillé : la courbe de ffff et celle de f′f'f′f'

Exemple détaillé : retrouver une fonction à partir d'un tableau de signes

8Étude de fonction complète : mettre tous les outils ensemble

Exemple détaillé : reconstituer les paramètres d'une fonction

9Synthèse

Formulaire à mémoriser

Exemple détaillé : retrouver $f'(x_0)$ à partir d'un point de la tangente

7Lire un graphe : relier $f$ f, $f'$ f' et $f''$ f”

Exemple détaillé : la courbe de $f$ f et celle de $f'$ f'