Mathématiques · Fiche 4

Les fonctions

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Ce que tu sauras faire

définir une fonction, distinguer image et antécédent ;
déterminer le domaine de définition $D_f$ d'une fonction (les trois interdits) ;
reconnaître les caractéristiques d'une fonction : axe et centre de symétrie, parité, périodicité, croissance, racines, extremums ;
lire et construire un tableau de variation ;
étudier les fonctions usuelles : affine, quadratique, trigonométriques (et leurs réciproques), exponentielle et logarithmique ;
appliquer les formules de la géométrie analytique (pente, distance, milieu, droite) et le formulaire trigonométrique.

1Introduction : qu'est-ce qu'une fonction ?

La notion de fonction est l'un des piliers des mathématiques : elle décrit comment une grandeur dépend d'une autre. Dire que « le prix à payer dépend du nombre d'articles achetés », que « la distance parcourue dépend du temps » ou que « l'aire d'un disque dépend de son rayon » revient à chaque fois à définir une fonction. Dans cette fiche, nous apprenons à décrire, caractériser et représenter les fonctions, puis nous passons en revue les fonctions usuelles que l'on rencontre partout dans les sciences.

Sauf indication contraire, toutes les fonctions de cette fiche sont des fonctions d'une variable réelle $x$ , à valeurs réelles, et on les représente graphiquement dans un repère orthonormé (deux axes perpendiculaires gradués avec la même unité de longueur).

2Notion de fonction

Définition2.1Fonction, image, antécédent

Une fonction de la variable $x$ est un procédé mathématique qui associe à chaque nombre $x$ un unique nombre correspondant, appelé son image.

L'image de $x$ par la fonction $f$ se note $f(x)$ (lire « $f$ de $x$ »).
Réciproquement, $x$ est appelé un antécédent de $f(x)$ par la fonction $f$ .

Le mot-clé de cette définition est unique : à un $x$ donné ne correspond qu'une seule image. En revanche, un même nombre peut posséder plusieurs antécédents (par exemple $4$ a deux antécédents, $-2$ et $2$ , par la fonction $x\mapsto x^2$ ).

Formule2.1Notation d'une fonction

f:\ x \longmapsto f(x)

où :

$f$ : le nom de la fonction (une lettre : $f$ , $g$ , $h$ …) ;
$x$ : la variable (ou antécédent) — un nombre réel, sans unité dans le cadre des mathématiques pures (en physique, $x$ porterait l'unité de la grandeur représentée) ;
$f(x)$ : l'image de $x$ — le nombre réel obtenu après application du procédé ;
le symbole $\longmapsto$ se lit « a pour image » et relie un antécédent à son image.

ExempleLire « image » et « antécédent » sur une formule

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=2x+1$ .

Image de $x=1$ . On remplace $x$ par $1$ dans l'expression : f(1)=2× 1 + 1 = 3. On dit que « l'image de $1$ par $f$ est $3$ », ce qui s'écrit $f(1)=3$ .
Antécédent de $3$ . On cherche le(s) nombre(s) $x$ tel(s) que $f(x)=3$ : 2x+1=3 2x = 2 x = 1. Donc « l'antécédent de $3$ est $1$ ».

Sur le graphique, l'image se lit verticalement (on monte depuis $x$ jusqu'à la courbe), et l'antécédent se lit horizontalement (on part d'une valeur sur l'axe des $y$ et on rejoint la courbe).

figure Figure 1 : lecture graphique de l'image et de l'antécédent pour $f(x)=2x+1$ .

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3. Domaine de définition d'une fonction
4. Caractéristiques et formules importantes d'une fonction
5. Les caractéristiques des fonctions usuelles
… et 3 de plus

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