Mode et moyenne

Le plus grand effectif est $12$, obtenu par la pointure $39$. Donc $M=\mathbf{39}$ (et non $M=12$, qui est l'effectif).

Le plus grand effectif est $12$, sur la classe $[12,16[$. Classe modale : $M=\mathbf{[12,16[}$ (centre $14$).

$N=2+3+5=10$.

Transformation $x\mapsto x+3$ ($\alpha=1,\ \beta=3$) : $m'=m+3=12+3=\mathbf{15}$ g.

Transformation $x\mapsto 0{,}5\,x$ ($\alpha=0{,}5,\ \beta=0$) : $m'=0{,}5\times m=0{,}5\times12=\mathbf{6}$.

On compte les effectifs : $0\!\to\!2$, $1\!\to\!4$, $2\!\to\!6$, $3\!\to\!2$, $4\!\to\!1$. Le plus grand effectif est $6$, obtenu par la valeur $2$. Donc $M=\mathbf{2}$ (une valeur, pas l'effectif $6$).

Le bâton le plus haut correspond à la valeur $3$ (effectif $13$). Donc $M=\mathbf{3}$ : on lit une valeur, pas la hauteur $13$.

L'effectif maximal est $9$ ; il est atteint deux fois, par $6$ et par $8$. La série est bimodale : $M=\mathbf{6}$ et $M=\mathbf{8}$. Le mode n'est donc pas toujours unique.

$N=2+5+8+5=20$.

Les coefficients jouent le rôle des effectifs :

Les fréquences ($0{,}25+0{,}50+0{,}25=1$) tiennent lieu de poids :

Majorer de $10\,\%$, c'est appliquer $x\mapsto 1{,}1\,x$ ($\alpha=1{,}1,\ \beta=0$) : $m'=1{,}1\times 13=\mathbf{14{,}3}$.

Transformation $x\mapsto x-4$ ($\alpha=1,\ \beta=-4$) : $m'=18-4=\mathbf{14\ {}^\circ\mathrm{C}}$.

La barre la plus haute est celle de la classe $[20,30[$ (effectif $18$). Classe modale : $M=\mathbf{[20,30[}$ (centre $25$).

(a) $N=4+7+6+3=20$ et $\sum n_i x_i=4(0)+7(1)+6(2)+3(3)=0+7+12+9=28$, d'où $m=\dfrac{28}{20}=\mathbf{1{,}4}$ but par match.
(b) Aucun match n'a marqué $1{,}4$ but : la moyenne est un résumé de la série, pas nécessairement une valeur réellement observée.

Centres : $22,26,30,34,38$. Somme des produits :

$F=1{,}8\,C+32$, donc $\alpha=1{,}8$ et $\beta=32$ :

(a) Ajouter $\beta$ donne $m'=m+\beta$. On veut $50+\beta=55$, donc $\beta=\mathbf{5}$ kg.
(b) Multiplier par $\alpha$ donne $m'=\alpha m$. On veut $50\alpha=55$, donc $\alpha=\dfrac{55}{50}=\mathbf{1{,}1}$.

Classe modale : plus grand effectif $15$, soit $M=\mathbf{[20,30[}$.
Centres $15,25,35,45$, $N=6+15+12+7=40$ :

La moyenne ($30$) tombe à la frontière de la classe modale $[20,30[$ : mode et moyenne ne coïncident pas en général. Le mode repère le « pic » d'effectif, la moyenne le centre de gravité.

(a) $N=6+10+14+8+2=\mathbf{40}$.
(b) Centres $10,30,50,70,90$ :

$\dfrac{8+12+14+9+x}{5}=11\ \Rightarrow\ 43+x=55\ \Rightarrow\ x=\mathbf{12}$.

$\sum n_i x_i=4(10)+a(12)+6(15)=130+12a$ et $N=10+a$ :

Donc $5=0{,}5\,a$, soit $a=\mathbf{10}$. (Vérification : $N=20$, $\sum n_i x_i=250$, $m=250/20=12{,}5$.)

(a) La somme des fréquences vaut $1$ : $f=1-(0{,}15+0{,}40+0{,}10)=\mathbf{0{,}35}$.
(b) $m=0(0{,}15)+1(0{,}40)+2(0{,}35)+3(0{,}10)=0+0{,}40+0{,}70+0{,}30=\mathbf{1{,}4}$.

Somme des $9$ notes : $9\times11=99$. Somme des $10$ notes : $10\times11{,}5=115$. Donc $v=115-99=\mathbf{16}$.

$m'=m\!\left(1+\tfrac{p}{100}\right)$ : $2100=2000\!\left(1+\tfrac{p}{100}\right)\Rightarrow 1+\tfrac{p}{100}=1{,}05$, donc $\tfrac{p}{100}=0{,}05$ et $p=\mathbf{5}$.

$2$ est l'unique mode $\iff$ son effectif dépasse strictement tous les autres, c'est-à-dire $a>\max(7,5,4)=7$. Comme $a$ est un entier : $a\ge\mathbf{8}$. (Si $a=7$, la série serait bimodale, avec les modes $1$ et $2$.)

$\dfrac{11(2)+9(1)+13(1)+x(2)}{2+1+1+2}=12\ \Rightarrow\ \dfrac{44+2x}{6}=12\ \Rightarrow\ 44+2x=72$, donc $x=\mathbf{14}$.

(a) $\sum=20+21+19+22+20+138=240$, d'où $m=\dfrac{240}{6}=\mathbf{40}$.
(b) Avec $18$ à la place : $\sum=120$, $m'=\dfrac{120}{6}=\mathbf{20}$. La seule valeur aberrante $138$ faisait doubler la moyenne ($40$ au lieu de $20$) : la moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes.

(a) Transformation $x\mapsto x/2$ ($\alpha=\tfrac12,\ \beta=0$) : $m'=\dfrac{27}{2}=\mathbf{13{,}5/20}$.
(b) On ajoute $2$ : $m''=13{,}5+2=\mathbf{15{,}5/20}$.
(c) Enchaîner « diviser par $2$ » puis « ajouter $2$ » donne

Vérification : $0{,}5\times27+2=13{,}5+2=15{,}5$. (même résultat qu'en (b)).
(d) On résout $0{,}5\,x+2=10$ : $0{,}5\,x=8$, donc $x=\mathbf{16/40}$. (Une note de $16/40$ devient bien $8/20+2=10/20$.)

(a) Total des points $=$ effectif $\times$ moyenne :

(b) Moyenne d'ensemble = total des points $\div$ effectif total :

(c) Non, ce n'est pas $13$. La moyenne d'ensemble est pondérée par les effectifs : le groupe B, plus nombreux ($30$ contre $20$), tire la moyenne vers sa valeur $14$. La demi-somme $13$ ne serait juste que si les deux groupes avaient le même effectif.
(d) On écrit la moyenne des trois groupes :

Donc $660-600=12n-10n$, soit $60=2n$ et $n=\mathbf{30}$ étudiants.

(a) $5+a+b+4=25$, soit $a+b=16$.
(b) $\sum n_i x_i=6(5)+8a+10b+12(4)=78+8a+10b$ et $N=25$ : $\dfrac{78+8a+10b}{25}=9{,}2\Rightarrow 8a+10b=152\Rightarrow 4a+5b=76$.
(c) De $a=16-b$ : $4(16-b)+5b=76\Rightarrow 64+b=76\Rightarrow b=12$, puis $a=4$.
(d) Effectifs $5,4,12,4$ : le maximum $12$ est à la valeur $10$, donc $M=\mathbf{10}$.

(a) Masse $=3\times20+2\times45=60+90=\mathbf{150\ \text{g}}$.
(b) Volume total $=3+2=5$ L : $c=\dfrac{150}{5}=\mathbf{30\ \text{g/L}}$. (C'est la moyenne des concentrations pondérée par les volumes, et non $\tfrac{20+45}{2}$.)
(c) En ajoutant $V$ litres d'eau : $\dfrac{150}{5+V}=25\Rightarrow 5+V=6\Rightarrow V=\mathbf{1\ \text{L}}$.

(a) $$

4+=10
16+=19

$; par différence$12=9$, donc$=0,75$et$=10-4(0,75)=7$. Transformation$x 0,75 x+7$.\\ \textbf{(b)}$m'=0,7510+7=14,5$.\\ \textbf{(c)}$0,75 x+7=13 0,75 x=6 x=8$.\\ \textbf{(d)}$0,75 x+7<x 7<0,25 x x>28$. Une note entre$0$et$20$ne dépasse jamais$28$: la transformation ne fait donc \textbf{jamais baisser} une note (elle les relève toutes).$

(a) $S_A=24\times11=\mathbf{264}$.
(b) $S=40\times12=\mathbf{480}$.
(c) $S_B=480-264=216$, donc $m_B=\dfrac{216}{16}=\mathbf{13{,}5}$.
(d) Non : la demi-somme vaudrait $\tfrac{11+13{,}5}{2}=12{,}25\neq12$. La moyenne d'ensemble est pondérée par les effectifs ; la classe A, plus nombreuse, tire la moyenne vers $11$.

(a) $\dfrac{10+12+8+14+x+y}{6}=12\Rightarrow 44+x+y=72\Rightarrow x+y=28$.
(b) Avec $y=x+4$ : $2x+4=28\Rightarrow x=\mathbf{12}$ et $y=\mathbf{16}$.
(c) Les notes sont $10,12,8,14,12,16$ : seule $12$ apparaît deux fois, donc $M=\mathbf{12}$.
(d) $x\mapsto x+2$ : $m'=12+2=\mathbf{14}$ et le mode devient $12+2=\mathbf{14}$.

(a) $\dfrac{30(9{,}5)+20(11{,}75)}{50}=\dfrac{285+235}{50}=\dfrac{520}{50}=\mathbf{10{,}4}$.
(b) Les $30$ voient chaque note augmenter de $2$ : nouvelle moyenne $9{,}5+2=\mathbf{11{,}5}$.
(c) $\dfrac{30(11{,}5)+20(11{,}75)}{50}=\dfrac{345+235}{50}=\dfrac{580}{50}=\mathbf{11{,}6}$.
(d) Hausse $=11{,}6-10{,}4=\mathbf{1{,}2}$ point. Ce n'est pas $2$ car seuls $30$ étudiants sur $50$ profitent du bonus : la hausse moyenne vaut $2\times\tfrac{30}{50}=1{,}2$.

(a) Groupe A : $\dfrac{60+13}{6}=\dfrac{73}{6}\approx\mathbf{12{,}17}$.
(b) Groupe B : $\dfrac{70-13}{4}=\dfrac{57}{4}=\mathbf{14{,}25}$.
(c) Ce n'est pas contradictoire : la note $13$ est comprise entre les deux moyennes ($12<13<14$). Elle est au-dessus de la moyenne de A (qu'elle fait donc monter) et en dessous de celle de B (dont le départ fait aussi monter la moyenne).

(a) $m=\dfrac{8(2)+11(3)+x(5)}{2+3+5}=\dfrac{49+5x}{10}$.
(b) $\dfrac{49+5x}{10}\ge10\Rightarrow 49+5x\ge100\Rightarrow x\ge\mathbf{10{,}2}$.
(c) La meilleure note possible est $x=20$ : $m=\dfrac{49+100}{10}=14{,}9<15$. Atteindre $15$ de moyenne est donc impossible.

(a) $N=4+9+15+8+4=\mathbf{40}$ ; barre la plus haute : classe modale $\mathbf{[60,70[}$ (effectif $15$).
(b) Centres $45,55,65,75,85$ :

(c) On ajoute $5$ à chaque valeur ($\alpha=1,\ \beta=5$) : la moyenne devient $64{,}75+5=\mathbf{69{,}75}$ mg/L et la classe modale se décale en $\mathbf{[65,75[}$ (les effectifs ne changent pas).

(a) $N=30$ : $6+a+b+4=30\Rightarrow a+b=20$. $m=5$ : $\dfrac{2(6)+4a+6b+8(4)}{30}=5\Rightarrow 44+4a+6b=150\Rightarrow 2a+3b=53$.
(b) De $a=20-b$ : $2(20-b)+3b=53\Rightarrow 40+b=53\Rightarrow b=13$, puis $a=7$.
(c) Effectifs $6,7,13,4$ : le maximum $13$ est à la valeur $6$, donc $M=\mathbf{6}$ (cohérent).
(d) $x\mapsto 2x-1$ : $m'=2(5)-1=\mathbf{9}$ ; le mode passe à $2(6)-1=\mathbf{11}$ (les effectifs sont inchangés).