Mode et moyenne

Thème 2 — Mode et moyenne
Valeur la plus fréquente et moyenne pondérée

Le mode est la modalité (ou la classe) dont l'effectif $n_i$ est le plus grand. On le lit directement dans la colonne des effectifs : aucun calcul. Attention, le mode est une valeur (ou une classe), pas un effectif.

Notes : $2$ ($15$ élèves), $5$ ($10$ élèves), $8$ ($5$ élèves). Le plus grand effectif est $15$, donc $M=2$ (et surtout pas $M=15$). Sur des classes, si $[85,95[$ a l'effectif maximal, alors $M=[85,95[$ (ou $M=90$, son centre).

$x_i$ : centre de classe (ou valeur si discret) ; $n_i$ : effectif (le « poids ») ; $N=\sum n_i$. Unité : celle du caractère. On multiplie toujours chaque valeur par son effectif : c'est une moyenne pondérée, pas une moyenne « simple » des $x_i$.

1. Dresser la colonne des produits $n_i x_i$ (valeur $\times$ effectif).
2. Additionner cette colonne : on obtient $\sum n_i x_i$.
3. Diviser par $N$.

Notes $2$ ($15$), $5$ ($10$), $8$ ($5$), $N=30$ :

La note $2$, très fréquente, « tire » la moyenne vers le bas : c'est tout l'effet des poids.

Si l'on transforme chaque valeur par $x_i\mapsto \alpha x_i+\beta$, alors la moyenne devient

Cas particuliers : ajouter $\beta$ à toutes les valeurs ajoute $\beta$ à la moyenne ; multiplier toutes les valeurs par $\alpha$ multiplie la moyenne par $\alpha$.

Série de moyenne $m=4/10$. On veut une moyenne de $5$. En ajoutant $1$ point à chaque note ($\alpha=1,\ \beta=1$) : $m'=1\times4+1=5$. En doublant chaque note ($\alpha=2,\ \beta=0$) on obtiendrait $m'=2\times4=8$.

La moyenne peut tomber entre deux valeurs (ex. $4{,}0$ n'est la note de personne) : c'est normal, c'est un résumé, pas une valeur observée. Le mode, lui, est toujours une valeur réellement présente (celle du plus grand bâton / de la plus haute barre).

L'erreur nº1 : faire $\dfrac{2+5+8}{3}=5$ au lieu de la moyenne pondérée $4$. Tant qu'il y a des effectifs (ou des classes), on pondère. La moyenne « simple » ne vaut que si tous les effectifs sont égaux à $1$.