Le tableau statistique

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Facile15 exercices

Exercice 1Exercice 1 — Centre de classe

Calculer le centre $x_i=\dfrac{a+b}{2}$ de chacune des classes suivantes :

a)
$[55,65[$
On applique $x_i=\dfrac{a+b}{2}$ (milieu de l'intervalle).
$\frac{55+65}{2}=\mathbf{60}$
b)
$[100,110[$
$\frac{100+110}{2}=\mathbf{105}$
c)
$[0,4[$
$\frac{0+4}{2}=\mathbf{2}$
d)
$[12{,}5\,;\,17{,}5[ .$
$\frac{12{,}5+17{,}5}{2}=\mathbf{15}.$

Exercice 2Exercice 2 — Effectif total

Une série comporte six classes d'effectifs :

n_1=3,\ n_2=7,\ n_3=12,\ n_4=15,\ n_5=8,\ n_6=5.

Calculer l'effectif total $N$ .

On additionne toute la colonne :

N=3+7+12+15+8+5=\mathbf{50}.

Exercice 3Exercice 3 — Fréquence

Dans une population de $N=50$ individus, une classe contient $n_i=18$ individus. Calculer sa fréquence $f_i$ , puis l'exprimer en pourcentage.

f_i=\frac{n_i}{N}=\frac{18}{50}=\mathbf{0{,}36}\ =\ \mathbf{36\,\%}.

Lecture : $36\,\%$ des individus appartiennent à cette classe.

Exercice 4Exercice 4 — Effectifs cumulés

Recopier et compléter la colonne des effectifs cumulés $n_c$ :

Classes	$[0,5[$	$[5,10[$	$[10,15[$	$[15,20[$
$n_i$	6	11	9	4
$n_c$	…	…	…	…

Que vaut la dernière case ? Que doit-elle valoir ?

On additionne de proche en proche : $6$ ; $6+11=17$ ; $17+9=26$ ; $26+4=30$ .

$n_i$	6	11	9	4
$n_c$	6	17	26	30

La dernière case vaut $\mathbf{30}$ : c'est l'effectif total $N=6+11+9+4=30$ . La dernière valeur cumulée doit toujours être égale à $N$ (contrôle).

Exercice 5Exercice 5 — Retrouver un effectif

Dans une population de $N=200$ patients, une catégorie représente une fréquence $f_i=0{,}15$ . Combien de patients cette catégorie contient-elle ?

On inverse $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ en $n_i=f_i\times N$ :

n_i=0{,}15\times 200=\mathbf{30\ \text{patients}}.

Exercice 6Exercice 6 — Centres de classe

Calculer le centre $x_i=\dfrac{a+b}{2}$ de chacune des classes suivantes :

a)
$[30,40[$ ;
On applique $x_i=\dfrac{a+b}{2}$ (milieu de l'intervalle).
$\dfrac{30+40}{2}=\mathbf{35}$ .
b)
$[140,160[$ ;
$\dfrac{140+160}{2}=\mathbf{150}$ .
c)
$[7,10[$ ;
$\dfrac{7+10}{2}=\mathbf{8{,}5}$ .
d)
$[2{,}5\,;\,7{,}5[$ .
$\dfrac{2{,}5+7{,}5}{2}=\mathbf{5}$ .

Exercice 7Exercice 7 — Amplitude d'une classe

L'amplitude d'une classe $[a,b[$ est le nombre $b-a$ . Donner l'amplitude de :

a)
$[0,5[$ ;
On calcule $b-a$ :
$5-0=\mathbf{5}$ .
b)
$[10,25[$ ;
$25-10=\mathbf{15}$ .
c)
$[100,130[$ ;
$130-100=\mathbf{30}$ .
d)
$[12{,}5\,;\,20[$ .
$20-12{,}5=\mathbf{7{,}5}$ .

Exercice 8Exercice 8 — Fréquence en pourcentage

Une population de $N=80$ individus se répartit en quatre classes d'effectifs $20$ , $32$ , $16$ et $12$ . Calculer la fréquence $f_i$ de chaque classe, puis l'exprimer en pourcentage :

a)
la classe d'effectif $20$ ;
On applique $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ avec $N=80$ :
$\dfrac{20}{80}=\mathbf{0{,}25}=25\,\%$ .
b)
la classe d'effectif $32$ ;
$\dfrac{32}{80}=\mathbf{0{,}40}=40\,\%$ .
c)
la classe d'effectif $16$ ;
$\dfrac{16}{80}=\mathbf{0{,}20}=20\,\%$ .
d)
la classe d'effectif $12$ .
$\dfrac{12}{80}=\mathbf{0{,}15}=15\,\%$ .
Contrôle : $25+40+20+15=100\,\%$ .

Exercice 9Exercice 9 — Fréquences cumulées

On donne la colonne des fréquences $f_i$ d'une série à quatre classes :

Classes	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$
$f_i$	0,20	0,35	0,30	0,15
$f_c$	…	…	…	…

a)
Compléter la colonne des fréquences cumulées $f_c$ .
On additionne de proche en proche : $0{,}20$ ; $0{,}20+0{,}35=0{,}55$ ; $0{,}55+0{,}30=0{,}85$ ; $0{,}85+0{,}15=1{,}00$ .
$f_i$ 0,20 0,35 0,30 0,15
$f_c$ 0,20 0,55 0,85 1,00
b)
Que vaut la dernière case ? Que doit-elle toujours valoir ?
La dernière case vaut $\mathbf{1{,}00}$ : une fréquence cumulée finit toujours à $1{,}00$ ( $=100\,\%$ ).

$f_i$	0,20	0,35	0,30	0,15
$f_c$	0,20	0,55	0,85	1,00

Exercice 10Exercice 10 — Effectif total puis fréquence

Une série a pour effectifs $5$ , $12$ , $18$ , $9$ et $6$ .

a)
Calculer l'effectif total $N$ .
$N=5+12+18+9+6=\mathbf{50}$ .
b)
En déduire la fréquence de la classe d'effectif $18$ .
$f=\dfrac{18}{50}=\mathbf{0{,}36}=36\,\%$ .

Exercice 11Exercice 11 — Des pourcentages aux effectifs

Sur $N=400$ patients, cinq services se répartissent en $30\,\%$ , $25\,\%$ , $20\,\%$ , $15\,\%$ et $10\,\%$ . Déterminer l'effectif $n_i$ de chaque service :

a)
le service à $30\,\%$ ;
On applique $n_i=f_i\times N$ avec $N=400$ :
$0{,}30\times400=\mathbf{120}$ .
b)
le service à $25\,\%$ ;
$0{,}25\times400=\mathbf{100}$ .
c)
le service à $20\,\%$ ;
$0{,}20\times400=\mathbf{80}$ .
d)
le service à $15\,\%$ ;
$0{,}15\times400=\mathbf{60}$ .
e)
le service à $10\,\%$ .
$0{,}10\times400=\mathbf{40}$ .
Contrôle : $120+100+80+60+40=400=N$ .

Exercice 12Exercice 12 — Compléter les deux colonnes cumulées

On donne un tableau à quatre classes d'effectif total $N=40$ :

Classes	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$
$n_i$	8	10	16	6
$f_i$	0,20	0,25	0,40	0,15

a)
Construire la colonne des effectifs cumulés $n_c$ .
$n_c$ : $8$ ; $8+10=18$ ; $18+16=34$ ; $34+6=\mathbf{40}=N$ .
b)
Construire la colonne des fréquences cumulées $f_c$ .
$f_c$ : $0{,}20$ ; $0{,}45$ ; $0{,}85$ ; $\mathbf{1{,}00}$ .
$n_i$ 8 10 16 6
$n_c$ 8 18 34 40
$f_c$ 0,20 0,45 0,85 1,00

$n_i$	8	10	16	6
$n_c$	8	18	34	40
$f_c$	0,20	0,45	0,85	1,00

Exercice 13Exercice 13 — Lire un tableau cumulé

Le tableau ci-dessous ( $N=40$ ) est déjà complété :

Classes	$[0,10[$	$[10,20[$	$[20,30[$	$[30,40[$
$n_c$	6	20	32	40
$f_c$	0,15	0,50	0,80	1,00

a)
Combien d'individus ont une valeur inférieure à $20$ ?
« inférieure à $20$ » se lit sur $n_c$ de la classe $[10,20[$ : $\mathbf{20}$ individus.
b)
Quel pourcentage d'individus ont une valeur inférieure à $30$ ?
« inférieure à $30$ » se lit sur $f_c$ de la classe $[20,30[$ : $0{,}80=\mathbf{80\,\%}$ .

Exercice 14Exercice 14 — Fréquence manquante

Une série à quatre classes a pour fréquences $f_1=0{,}18$ , $f_2=0{,}27$ , $f_3$ (inconnue) et $f_4=0{,}25$ .

a)
Déterminer la fréquence manquante $f_3$ .
$f_3=1-(0{,}18+0{,}27+0{,}25)=1-0{,}70=\mathbf{0{,}30}$ .
b)
Sachant que $N=200$ , en déduire l'effectif $n_3$ .
$n_3=f_3\times N=0{,}30\times200=\mathbf{60}$ .

Exercice 15Exercice 15 — Retrouver une borne à partir du centre

On rappelle que le centre d'une classe $[a,b[$ est $x=\dfrac{a+b}{2}$ . Déterminer la borne manquante :

a)
une classe $[20,b[$ de centre $x=25$ ;
De $x=\dfrac{a+b}{2}$ on tire $a+b=2x$ .
$20+b=2\times25=50$ , donc $b=\mathbf{30}$ .
b)
une classe $[a,54[$ de centre $x=48$ ;
$a+54=2\times48=96$ , donc $a=\mathbf{42}$ .
c)
une classe $[6,b[$ de centre $x=9$ .
$6+b=2\times9=18$ , donc $b=\mathbf{12}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1Exercice 1 — Compléter un tableau

On étudie la masse (en g) de $N=40$ souris de laboratoire. Recopier et compléter entièrement le tableau (centres $x_i$ , fréquences $f_i$ , cumulés $n_c$ et $f_c$ ) :

Classes (g)	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[20,24[$	…	4	…	…	…
$[24,28[$	…	10	…	…	…
$[28,32[$	…	14	…	…	…
$[32,36[$	…	8	…	…	…
$[36,40[$	…	4	…	…	…

Centres $x_i=(a+b)/2$ ; fréquences $f_i=n_i/40$ ; cumuls par additions successives.

Classes (g)	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[20,24[$	22	4	0,10	4	0,10
$[24,28[$	26	10	0,25	14	0,35
$[28,32[$	30	14	0,35	28	0,70
$[32,36[$	34	8	0,20	36	0,90
$[36,40[$	38	4	0,10	40	1,00
Totaux	$N=40$	$1{,}00$

Contrôles : $\sum n_i=40=N$ et le dernier $f_c=1{,}00$ .

Exercice 2Exercice 2 — Lecture des cumuls

En reprenant le tableau de l'exercice 1 : (a) combien de souris pèsent moins de $32$ g ? (b) quel pourcentage des souris pèsent moins de $28$ g ?

(a) « moins de $32$ g » = effectif cumulé de la classe $[28,32[$ : $n_c=\mathbf{28}$ souris.
(b) « moins de $28$ g » = fréquence cumulée de la classe $[24,28[$ : $f_c=0{,}35=\mathbf{35\,\%}$ .

Exercice 3Exercice 3 — Des pourcentages aux effectifs

Une enquête porte sur $N=300$ étudiants. Les groupes sanguins se répartissent ainsi : O : $45\,\%$ ; A : $40\,\%$ ; B : $10\,\%$ ; AB : $5\,\%$ . Construire la colonne des effectifs $n_i$ de chaque groupe et vérifier que $\sum n_i=N$ .

On applique $n_i=f_i\times N$ avec $N=300$ :

\text{O}:0{,}45\times300=135;\quad \text{A}:0{,}40\times300=120;\quad \text{B}:0{,}10\times300=30;\quad \text{AB}:0{,}05\times300=15.

Contrôle : $135+120+30+15=\mathbf{300}=N$ .

Exercice 4Exercice 4 — Série discrète

Le nombre d'enfants par famille dans un immeuble de $25$ familles est :

0,1,2,1,3,2,1,0,2,1,4,2,1,0,2,3,1,2,1,0,2,1,3,2,1.

Construire le tableau (valeurs $x_i$ , effectifs $n_i$ , fréquences $f_i$ ). Indice : les valeurs vont de $0$ à $4$ .

On compte les apparitions de chaque valeur (caractère discret : $x_i$ = la valeur).

$x_i$ (enfants)	0	1	2	3	4
$n_i$	4	9	8	3	1
$f_i$	0,16	0,36	0,32	0,12	0,04

Contrôle : $4+9+8+3+1=25=N$ et $\sum f_i=1{,}00$ .

Exercice 5Exercice 5 — Effectif manquant

Un tableau à quatre classes a pour effectif total $N=60$ . On connaît $n_1=9$ , $n_2=21$ et $n_4=12$ . Déterminer l'effectif manquant $n_3$ , puis la fréquence $f_3$ .

La somme des effectifs vaut $N$ , donc

n_3=N-n_1-n_2-n_4=60-9-21-12=\mathbf{18}.

Puis $f_3=\dfrac{18}{60}=\mathbf{0{,}30}=30\,\%$ .

Exercice 6Exercice 6 — Tableau complet, effectif total à trouver

On mesure la taille (en cm) de patients répartis en cinq classes d'effectifs $6$ , $15$ , $24$ , $12$ et $3$ :

Classes (cm)	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[150,160[$	…	6	…	…	…
$[160,170[$	…	15	…	…	…
$[170,180[$	…	24	…	…	…
$[180,190[$	…	12	…	…	…
$[190,200[$	…	3	…	…	…

a)
Déterminer l'effectif total $N$ .
$N=6+15+24+12+3=\mathbf{60}$ .

Compléter entièrement le tableau (centres $x_i$ , fréquences $f_i$ , cumuls $n_c$ et $f_c$ ).

Centres $x_i=(a+b)/2$ , fréquences $f_i=n_i/60$ , cumuls par additions successives :

Classes (cm)	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[150,160[$	155	6	0,10	6	0,10
$[160,170[$	165	15	0,25	21	0,35
$[170,180[$	175	24	0,40	45	0,75
$[180,190[$	185	12	0,20	57	0,95
$[190,200[$	195	3	0,05	60	1,00
Totaux	$N=60$	$1{,}00$

Contrôles : $\sum n_i=60=N$ et dernier $f_c=1{,}00$ .

Exercice 7Exercice 7 — Décumul des fréquences

Une étude sur $N=200$ personnes ne fournit que la colonne des fréquences cumulées :

Classes	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$C_5$
$f_c$	0,08	0,30	0,62	0,85	1,00

a)
Retrouver les fréquences $f_i$ de chaque classe (par différences successives).
Par différences successives : $f_1=0{,}08$ ; $0{,}30-0{,}08=0{,}22$ ; $0{,}62-0{,}30=0{,}32$ ; $0{,}85-0{,}62=0{,}23$ ; $1{,}00-0{,}85=0{,}15$ .
b)
En déduire les effectifs $n_i$ .
$n_i=f_i\times200$ : $16$ ; $44$ ; $64$ ; $46$ ; $30$ . Contrôle : $16+44+64+46+30=200$ .

Exercice 8Exercice 8 — Série discrète

On relève la note sur $5$ obtenue par $20$ étudiants :

2,3,5,4,3,2,1,3,4,5,3,2,4,3,1,5,4,3,2,3.

a)
Construire la colonne des effectifs $n_i$ pour chaque note de $1$ à $5$ .
On compte les apparitions de chaque note (caractère discret : $x_i$ = la valeur) :
Note $x_i$ 1 2 3 4 5
$n_i$ 2 4 7 4 3
b)
Calculer les fréquences $f_i$ .
$f_i=n_i/20$ : $0{,}10$ ; $0{,}20$ ; $0{,}35$ ; $0{,}20$ ; $0{,}15$ .
c)
Calculer les fréquences cumulées $f_c$ .
$f_c$ : $0{,}10$ ; $0{,}30$ ; $0{,}65$ ; $0{,}85$ ; $1{,}00$ .
Contrôle : $2+4+7+4+3=20=N$ et $\sum f_i=1{,}00$ .

Note $x_i$	1	2	3	4	5
$n_i$	2	4	7	4	3

Exercice 9Exercice 9 — Compléter une catégorie « Autres »

Un service de $N=500$ patients se répartit ainsi : Cardiologie $34\,\%$ , Pneumologie $22\,\%$ , Neurologie $18\,\%$ , et une catégorie « Autres ».

a)
Déterminer le pourcentage de la catégorie « Autres ».
« Autres » $=100-(34+22+18)=\mathbf{26\,\%}$ .
b)
Calculer l'effectif $n_i$ de chacune des quatre catégories et vérifier que $\sum n_i=N$ .
$n_i=f_i\times500$ : Cardiologie $170$ ; Pneumologie $110$ ; Neurologie $90$ ; Autres $130$ . Contrôle : $170+110+90+130=500=N$ .

Exercice 10Exercice 10 — Décumul des effectifs

On ne connaît que la colonne des effectifs cumulés d'une série :

Classes	$C_1$	$C_2$	$C_3$	$C_4$	$C_5$
$n_c$	12	30	58	74	80

a)
Retrouver les effectifs $n_i$ de chaque classe.
Par différences : $12$ ; $30-12=18$ ; $58-30=28$ ; $74-58=16$ ; $80-74=6$ .
b)
En déduire l'effectif total $N$ et vérifier la cohérence.
$N=80$ (dernier $n_c$ ). Contrôle : $12+18+28+16+6=80$ .

Exercice 11Exercice 11 — Tableau mixte

Un tableau à cinq classes a pour effectif total $N=100$ . On connaît :

n_1=12,\qquad f_2=0{,}20,\qquad n_3=35,\qquad f_4=0{,}18.

a)
Calculer $n_2$ et $n_4$ à partir de leurs fréquences.
$n_2=0{,}20\times100=\mathbf{20}$ et $n_4=0{,}18\times100=\mathbf{18}$ .
b)
En déduire $n_5$ pour que le total soit $N$ .
$n_5=100-(12+20+35+18)=100-85=\mathbf{15}$ .
c)
Donner les fréquences $f_1$ , $f_3$ et $f_5$ .
$f_1=\dfrac{12}{100}=0{,}12$ ; $f_3=\dfrac{35}{100}=0{,}35$ ; $f_5=\dfrac{15}{100}=0{,}15$ .

Exercice 12Exercice 12 — Regroupement de classes

On dispose d'un tableau fin ( $N=40$ ) :

Classes	$[0,5[$	$[5,10[$	$[10,15[$	$[15,20[$	$[20,25[$	$[25,30[$
$n_i$	4	6	10	8	7	5

On regroupe en trois classes de largeur $10$ : $[0,10[$ , $[10,20[$ et $[20,30[$ .

a)
Donner l'effectif de chaque classe regroupée.
$[0,10[ : 4+6=\mathbf{10}$ ; $[10,20[ : 10+8=\mathbf{18}$ ; $[20,30[ : 7+5=\mathbf{12}$ .
b)
Calculer les fréquences $f_i$ correspondantes.
$f_i=n_i/40$ : $0{,}25$ ; $0{,}45$ ; $0{,}30$ . Contrôle : $0{,}25+0{,}45+0{,}30=1{,}00$ .

Exercice 13Exercice 13 — Retrouver l'effectif total

Dans une série, une classe contient $n_i=45$ individus et a pour fréquence $f_i=0{,}15$ .

a)
En déduire l'effectif total $N$ .
$N=\dfrac{n_i}{f_i}=\dfrac{45}{0{,}15}=\mathbf{300}$ .
b)
Une autre classe a pour fréquence $0{,}22$ : quel est son effectif ?
$0{,}22\times300=\mathbf{66}$ individus.
c)
Une troisième classe contient $54$ individus : quelle est sa fréquence ?
$\dfrac{54}{300}=\mathbf{0{,}18}$ .

Exercice 14Exercice 14 — Lecture avancée des cumuls

Le tableau suivant ( $N=100$ ) est complété :

Classes	$[0,10[$	$[10,20[$	$[20,30[$	$[30,40[$	$[40,50[$
$n_c$	8	28	60	85	100
$f_c$	0,08	0,28	0,60	0,85	1,00

a)
Combien d'individus ont une valeur dans l'intervalle $[20,40[$ ?
Dans $[20,40[$ : $n_c(40)-n_c(20)=85-28=\mathbf{57}$ individus.
b)
Combien d'individus ont une valeur supérieure ou égale à $30$ ?
Valeur $\ge 30$ : $N-n_c(30)=100-60=\mathbf{40}$ individus.
c)
Quel pourcentage a une valeur inférieure à $20$ ?
Valeur $<20$ : $f_c=0{,}28=\mathbf{28\,\%}$ .

Exercice 15Exercice 15 — Reconstruire à partir de pourcentages

Une population de $N=250$ personnes se répartit par tranche d'âge : $[0,20[ : 12\,\%$ , $[20,40[ : 28\,\%$ , $[40,60[ : 36\,\%$ , $[60,80[ : 24\,\%$ .

a)
Calculer l'effectif $n_i$ de chaque tranche.
$n_i=f_i\times250$ : $30$ ; $70$ ; $90$ ; $60$ . (Contrôle : $30+70+90+60=250$ .)
b)
Construire la colonne des effectifs cumulés $n_c$ .
$n_c$ : $30$ ; $100$ ; $190$ ; $250$ .
c)
Construire la colonne des fréquences cumulées $f_c$ .
$f_c$ : $0{,}12$ ; $0{,}40$ ; $0{,}76$ ; $1{,}00$ .

Difficile12 exercices

Exercice 1Exercice 1 — Reconstitution d'un tableau (mise en situation)

Un service hospitalier chronomètre la durée (en minutes) de $N=200$ consultations. Le secrétariat a malheureusement égaré une partie du tableau ; il ne reste que ceci :

Classes (min)	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,10[$	…	0,05	…	…
$[10,20[$	30	…	…	…
$[20,30[$	…	…	110	…
$[30,40[$	…	0,25	…	…
$[40,50[$	…	…	200	…

Répondre dans l'ordre :

Déterminer $n_1$ à partir de $f_1$ et de $N$ .
En déduire $n_c$ des deux premières classes, puis $n_3$ sachant que $n_c=110$ à la ligne 3.
Déterminer $n_4$ à partir de $f_4$ .
En déduire $n_5$ pour que le total soit exactement $N$ .
Compléter la colonne $f_c$ . Combien de consultations ont duré moins de $30$ minutes ? Quel pourcentage a duré $30$ minutes ou plus ?

(a) $n_1=f_1\times N=0{,}05\times 200=\mathbf{10}$ .
(b) Cumul des deux premières lignes : $n_1+n_2=10+30=40$ . Or à la ligne 3 le cumul vaut $110$ , donc $n_3=110-40=\mathbf{70}$ .
(c) $n_4=f_4\times N=0{,}25\times200=\mathbf{50}$ .
(d) $n_5=N-(n_1+n_2+n_3+n_4)=200-(10+30+70+50)=200-160=\mathbf{40}$ .
(e) Tableau complété :

Classes (min)	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,10[$	10	0,05	10	0,05
$[10,20[$	30	0,15	40	0,20
$[20,30[$	70	0,35	110	0,55
$[30,40[$	50	0,25	160	0,80
$[40,50[$	40	0,20	200	1,00

Moins de $30$ min : $n_c=\mathbf{110}$ consultations. $30$ min ou plus : $200-110=90$ , soit $\dfrac{90}{200}=\mathbf{45\,\%}$ .

Exercice 2Exercice 2 — Classes d'amplitudes inégales

On regroupe l'âge (en années) de $N=50$ patients d'un cabinet en trois classes de largeurs différentes :

Classes (ans)	$[0,10[$	$[10,30[$	$[30,60[$
$n_i$	8	22	20

Donner l'amplitude de chaque classe. Sont-elles égales ?
Calculer le centre $x_i$ de chaque classe. La formule $x_i=(a+b)/2$ dépend-elle de l'amplitude ?
Calculer les fréquences $f_i$ et vérifier que $\sum f_i=1$ .

(a) Amplitudes $b-a$ : $10-0=10$ ; $30-10=20$ ; $60-30=30$ . Elles ne sont pas égales.
(b) Centres $x_i=(a+b)/2$ :

x_1=\frac{0+10}{2}=5,\qquad x_2=\frac{10+30}{2}=20,\qquad x_3=\frac{30+60}{2}=45 .

La formule ne fait intervenir que les deux bornes : elle donne le milieu quelle que soit l'amplitude. Elle est donc indépendante de la largeur de la classe.
(c) $f_1=\dfrac{8}{50}=0{,}16$ , $f_2=\dfrac{22}{50}=0{,}44$ , $f_3=\dfrac{20}{50}=0{,}40$ . Contrôle : $0{,}16+0{,}44+0{,}40=\mathbf{1{,}00}$ .

Exercice 3Exercice 3 — Reconstitution d'un tableau à six classes

Un hôpital enregistre la durée de séjour (en jours) de $N=400$ patients. Une partie du tableau est illisible :

Classes (j)	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,4[$	…	0,05	…	…
$[4,8[$	48	…	…	…
$[8,12[$	…	…	200	…
$[12,16[$	…	0,20	…	…
$[16,20[$	…	…	…	…
$[20,24[$	…	0,08	…	…

a)
Déterminer $n_1$ à partir de $f_1$ .
$n_1=f_1\times N=0{,}05\times400=\mathbf{20}$ .
b)
Sachant que $n_c=200$ à la ligne $3$ , en déduire $n_3$ .
$n_c=200$ à la ligne $3$ , donc $n_3=200-(n_1+n_2)=200-(20+48)=\mathbf{132}$ .
c)
Déterminer $n_4$ (à partir de $f_4$ ) et $n_6$ (à partir de $f_6$ ).
$n_4=0{,}20\times400=\mathbf{80}$ et $n_6=0{,}08\times400=\mathbf{32}$ .
d)
En déduire $n_5$ pour que le total soit exactement $N$ .
$n_5=400-(20+48+132+80+32)=400-312=\mathbf{88}$ .

Compléter les colonnes $f_i$ , $n_c$ et $f_c$ .

Tableau complété :

Classes (j)	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,4[$	20	0,05	20	0,05
$[4,8[$	48	0,12	68	0,17
$[8,12[$	132	0,33	200	0,50
$[12,16[$	80	0,20	280	0,70
$[16,20[$	88	0,22	368	0,92
$[20,24[$	32	0,08	400	1,00

f)
Combien de patients sont restés moins de $12$ jours ? Quel pourcentage est resté au moins $16$ jours ?
Moins de $12$ jours : $n_c=\mathbf{200}$ patients. Au moins $16$ jours : $n_5+n_6=88+32=120$ , soit $\dfrac{120}{400}=\mathbf{30\,\%}$ .

Exercice 4Exercice 4 — Lire un histogramme

Le diagramme ci-dessous donne l'effectif $n_i$ de chaque classe du temps d'attente (en minutes) observé à l'accueil d'une pharmacie.

a)
Relever les effectifs $n_i$ et calculer l'effectif total $N$ .
Effectifs lus sur les barres : $6$ , $15$ , $21$ , $12$ , $6$ ; total $N=6+15+21+12+6=\mathbf{60}$ .

Construire le tableau complet : centres $x_i$ , fréquences $f_i$ , cumuls $n_c$ et $f_c$ .

Tableau complet ( $x_i=(a+b)/2$ , $f_i=n_i/60$ , cumuls) :

Classes (min)	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,10[$	5	6	0,10	6	0,10
$[10,20[$	15	15	0,25	21	0,35
$[20,30[$	25	21	0,35	42	0,70
$[30,40[$	35	12	0,20	54	0,90
$[40,50[$	45	6	0,10	60	1,00

c)
Quel pourcentage des personnes ont attendu moins de $30$ minutes ?
Moins de $30$ min : $f_c=\dfrac{6+15+21}{60}=\dfrac{42}{60}=0{,}70=\mathbf{70\,\%}$ .

Exercice 5Exercice 5 — Classes inégales et densité

On répartit l'âge (en années) de $N=100$ patients en quatre classes de largeurs différentes :

Classes (ans)	$[0,10[$	$[10,20[$	$[20,40[$	$[40,80[$
$n_i$	15	25	36	24

a)
Donner l'amplitude de chaque classe.
Amplitudes ( $b-a$ ) : $10$ ; $10$ ; $20$ ; $40$ .
b)
Calculer les fréquences $f_i$ et vérifier que $\sum f_i=1$ .
$f_i=n_i/100$ : $0{,}15$ ; $0{,}25$ ; $0{,}36$ ; $0{,}24$ . Contrôle : $0{,}15+0{,}25+0{,}36+0{,}24=1{,}00$ .
c)
Pour tracer un histogramme correct (aire $\propto$ effectif), on utilise la densité $h_i=\dfrac{n_i}{\text{amplitude}}$ . Calculer $h_i$ pour chaque classe.
Densités $h_i=\dfrac{n_i}{\text{amplitude}}$ : $\dfrac{15}{10}=1{,}5$ ; $\dfrac{25}{10}=2{,}5$ ; $\dfrac{36}{20}=1{,}8$ ; $\dfrac{24}{40}=0{,}6$ .
d)
Quelle classe a le plus grand effectif ? Quelle classe est la plus « dense » ? Commenter.
Le plus grand effectif est celui de $[20,40[$ ( $n=36$ ), mais la classe la plus dense est $[10,20[$ ( $h=2{,}5$ ). Comme les amplitudes diffèrent, la classe la plus fournie n'est pas forcément la plus concentrée : c'est la densité (et non l'effectif brut) qui fixe la hauteur d'un histogramme correct.

Exercice 6Exercice 6 — Effectif total inconnu

Une enquête répartit des ménages selon leur revenu (en k€) en cinq classes. On sait seulement que la classe $[20,30[$ contient $90$ ménages et représente la fréquence $f_3=0{,}18$ , que $f_1=0{,}10$ , que la fréquence cumulée atteint $0{,}60$ à la fin de la classe $[20,30[$ , et que $f_5=0{,}12$ .

Classes (k€)	$n_i$	$f_i$	$f_c$
$[0,10[$	…	0,10	…
$[10,20[$	…	…	…
$[20,30[$	90	0,18	0,60
$[30,40[$	…	…	…
$[40,50[$	…	0,12	1,00

a)
Déterminer l'effectif total $N$ à partir de $n_3$ et $f_3$ .
$N=\dfrac{n_3}{f_3}=\dfrac{90}{0{,}18}=\mathbf{500}$ .
b)
Calculer $n_1$ .
$n_1=f_1\times N=0{,}10\times500=\mathbf{50}$ .
c)
Déterminer $f_2$ (à l'aide de $f_c=0{,}60$ ) puis $n_2$ .
$f_c=0{,}60$ à la ligne $3$ ; la ligne $2$ a donc $f_c=0{,}60-0{,}18=0{,}42$ , d'où $f_2=0{,}42-0{,}10=\mathbf{0{,}32}$ et $n_2=0{,}32\times500=\mathbf{160}$ .
d)
Déterminer $f_4$ , puis les effectifs $n_4$ et $n_5$ .
Après la ligne $3$ , il reste $1-0{,}60=0{,}40$ ; comme $f_5=0{,}12$ , $f_4=0{,}40-0{,}12=\mathbf{0{,}28}$ . D'où $n_4=0{,}28\times500=\mathbf{140}$ et $n_5=0{,}12\times500=\mathbf{60}$ .
e)
Vérifier que $\sum n_i=N$ et compléter la colonne $f_c$ .
$\sum n_i=50+160+90+140+60=500=N$ ; colonne $f_c$ : $0{,}10$ ; $0{,}42$ ; $0{,}60$ ; $0{,}88$ ; $1{,}00$ .

Exercice 7Exercice 7 — Lire une ogive

La courbe ci-dessous est le polygone des fréquences cumulées (ogive) d'une série de $N=200$ mesures. Les valeurs sont regroupées en classes de largeur $10$ .

a)
Relever la fréquence cumulée $f_c$ à chaque borne de classe ( $0,10,20,30,40,50$ ).
Lecture aux bornes $0,10,20,30,40,50$ : $f_c=$ $0$ ; $0{,}10$ ; $0{,}30$ ; $0{,}65$ ; $0{,}90$ ; $1{,}00$ .
b)
En déduire les fréquences $f_i$ de chaque classe.
Par différences : $f_i=$ $0{,}10$ ; $0{,}20$ ; $0{,}35$ ; $0{,}25$ ; $0{,}10$ .
c)
Calculer les effectifs $n_i$ (avec $N=200$ ).
$n_i=f_i\times200$ : $20$ ; $40$ ; $70$ ; $50$ ; $20$ . (Contrôle : somme $=200$ .)
d)
Quel pourcentage des mesures est compris dans l'intervalle $[20,40[$ ?
Dans $[20,40[$ : $f_c(40)-f_c(20)=0{,}90-0{,}30=0{,}60=\mathbf{60\,\%}$ .

Exercice 8Exercice 8 — Réunir deux séries

Deux services A et B mesurent la même grandeur, répartie en trois classes. Les effectifs sont :

Classes	$[0,20[$	$[20,40[$	$[40,60[$
Service A	30	45	25
Service B	40	60	50

a)
Donner l'effectif total de A, de B, puis de la population réunie.
$N_A=30+45+25=100$ ; $N_B=40+60+50=150$ ; population réunie $N=100+150=\mathbf{250}$ .
b)
Construire la colonne des effectifs $n_i$ de la population réunie.
Effectifs réunis (somme classe par classe) : $70$ ; $105$ ; $75$ .
c)
Calculer les fréquences $f_i$ de la population réunie.
$f_i=n_i/250$ : $0{,}28$ ; $0{,}42$ ; $0{,}30$ .
d)
La fréquence de la classe $[0,20[$ dans la population réunie est-elle la moyenne des deux fréquences de A et B pour cette classe ? Justifier.
Non. Pour la classe $[0,20[$ : $f_A=\dfrac{30}{100}=0{,}30$ et $f_B=\dfrac{40}{150}\approx0{,}267$ ; leur moyenne simple vaut $\dfrac{0{,}30+0{,}267}{2}\approx0{,}283$ , alors que la fréquence réunie exacte est $\dfrac{70}{250}=0{,}280$ . Elles diffèrent car la réunion est une moyenne pondérée par les effectifs ( $100$ et $150$ ), pas la moyenne simple des deux fréquences.

Exercice 9Exercice 9 — Reconstruction algébrique

Un tableau à quatre classes a pour effectif total $N=300$ . On sait que la deuxième classe a un effectif double de la première, que la troisième en a $40$ de plus que la première, et que la quatrième contient $60$ individus.

a)
En notant $n_1$ l'effectif de la première classe, écrire une équation traduisant $\sum n_i=N$ , puis la résoudre.
$n_1+2n_1+(n_1+40)+60=300 \Rightarrow 4n_1+100=300 \Rightarrow 4n_1=200 \Rightarrow n_1=\mathbf{50}$ .
b)
En déduire les effectifs $n_2$ et $n_3$ .
$n_2=2\times50=\mathbf{100}$ et $n_3=50+40=\mathbf{90}$ (et $n_4=60$ ).
c)
Calculer les fréquences $f_i$ (arrondies à $0{,}01$ ) et vérifier leur somme.
$f_i=n_i/300$ : $\dfrac{50}{300}\approx0{,}17$ ; $\dfrac{100}{300}\approx0{,}33$ ; $\dfrac{90}{300}=0{,}30$ ; $\dfrac{60}{300}=0{,}20$ . Somme : $0{,}17+0{,}33+0{,}30+0{,}20=1{,}00$ .

Exercice 10Exercice 10 — Le piège des arrondis

Une série de $N=90$ observations se répartit en cinq classes d'effectifs $13$ , $17$ , $29$ , $19$ et $12$ .

a)
Calculer chaque fréquence $f_i$ arrondie à $0{,}01$ .
$f_i=n_i/90$ arrondies : $\dfrac{13}{90}\approx0{,}14$ ; $\dfrac{17}{90}\approx0{,}19$ ; $\dfrac{29}{90}\approx0{,}32$ ; $\dfrac{19}{90}\approx0{,}21$ ; $\dfrac{12}{90}\approx0{,}13$ .
b)
Faire la somme des cinq fréquences arrondies. Obtient-on exactement $1{,}00$ ?
Somme $=0{,}14+0{,}19+0{,}32+0{,}21+0{,}13=\mathbf{0{,}99}\neq1{,}00$ .
c)
Expliquer l'écart et indiquer comment on l'ajuste en pratique.
L'écart de $0{,}01$ vient des arrondis (plusieurs fréquences arrondies par défaut). En pratique, on l'ajuste en ajoutant $0{,}01$ à la plus grande fréquence : $0{,}32\to0{,}33$ , ce qui rétablit une somme de $1{,}00$ .

Exercice 11Exercice 11 — Regrouper puis analyser

Le tableau fin ci-dessous donne l'âge (en années) de $N=100$ patients :

Classes	$[0,10[$	$[10,20[$	$[20,30[$	$[30,40[$	$[40,50[$	$[50,60[$	$[60,70[$	$[70,80[$
$n_i$	5	12	18	25	20	12	6	2

On regroupe en quatre classes de largeur $20$ : $[0,20[$ , $[20,40[$ , $[40,60[$ et $[60,80[$ .

a)
Donner l'effectif de chaque classe regroupée.
$[0,20[ : 5+12=\mathbf{17}$ ; $[20,40[ : 18+25=\mathbf{43}$ ; $[40,60[ : 20+12=\mathbf{32}$ ; $[60,80[ : 6+2=\mathbf{8}$ .
b)
Calculer les fréquences $f_i$ .
$f_i=n_i/100$ : $0{,}17$ ; $0{,}43$ ; $0{,}32$ ; $0{,}08$ .
c)
Construire les colonnes $n_c$ et $f_c$ .
$n_c$ : $17$ ; $60$ ; $92$ ; $100$ . $f_c$ : $0{,}17$ ; $0{,}60$ ; $0{,}92$ ; $1{,}00$ .
d)
Quel pourcentage des patients a moins de $40$ ans ? Combien en ont au moins $40$ ?
Moins de $40$ ans : $f_c=0{,}60=\mathbf{60\,\%}$ . Au moins $40$ ans : $100-60=\mathbf{40}$ patients.

Exercice 12Exercice 12 — Reconstitution complète (classes inégales)

Un laboratoire mesure le temps de réaction (en ms) de patients, réparti en quatre classes de largeurs inégales. On sait que la première classe contient $40$ individus et représente $f_1=0{,}20$ , que la deuxième contient $70$ individus, et que la fréquence cumulée atteint $0{,}85$ à la fin de la troisième classe.

Classes (ms)	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,5[$	40	0,20	…	…
$[5,15[$	70	…	…	…
$[15,30[$	…	…	…	0,85
$[30,60[$	…	…	…	1,00

a)
Déterminer l'effectif total $N$ .
$N=\dfrac{n_1}{f_1}=\dfrac{40}{0{,}20}=\mathbf{200}$ .
b)
Déterminer $n_3$ (à l'aide de $f_c=0{,}85$ ) puis $n_4$ .
$f_c=0{,}85$ à la ligne $3$ donne $n_c=0{,}85\times200=170$ , d'où $n_3=170-(40+70)=\mathbf{60}$ ; puis $n_4=200-170=\mathbf{30}$ .
c)
Compléter les fréquences $f_i$ et les colonnes $n_c$ , $f_c$ .
$f_i=n_i/200$ : $0{,}20$ ; $0{,}35$ ; $0{,}30$ ; $0{,}15$ . $n_c$ : $40$ ; $110$ ; $170$ ; $200$ . $f_c$ : $0{,}20$ ; $0{,}55$ ; $0{,}85$ ; $1{,}00$ .
d)
Donner l'amplitude puis la densité $h_i=n_i/\text{amplitude}$ de chaque classe.
Amplitudes : $5$ ; $10$ ; $15$ ; $30$ . Densités $h_i=n_i/\text{amplitude}$ : $\dfrac{40}{5}=8$ ; $\dfrac{70}{10}=7$ ; $\dfrac{60}{15}=4$ ; $\dfrac{30}{30}=1$ .
e)
Quel pourcentage des patients a un temps de réaction d'au moins $15$ ms ?
Au moins $15$ ms : $n_3+n_4=60+30=90$ , soit $\dfrac{90}{200}=\mathbf{45\,\%}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique