Mécanique 1 · Tutoriel

Le tableau statistique

La mécanique à maîtriser avant de passer aux exercices.

Mémo

Thème 1 — Le tableau statistique
Effectifs, fréquences, cumuls et centres de classe

But du thème. Avant tout calcul d'indicateur (moyenne, médiane, variance…), il faut une chose : un tableau statistique propre et complet. C'est la « matière première » de toute la fiche. Ce thème entraîne la seule mécanique de construction de ce tableau, colonne par colonne. Rien de difficile : de l'addition et une division. Mais tout le reste en dépend.

Les cinq colonnes à savoir remplir

Formule1.1les grandeurs de base

Pour chaque ligne $i$ (une modalité si le caractère est discret, une classe $[a,b[$ s'il est continu) :

\underbrace{x_i=\frac{a+b}{2}}_{\text{centre de classe}}\qquad \underbrace{N=\sum_{i=1}^{k} n_i}_{\text{effectif total}}\qquad \underbrace{f_i=\frac{n_i}{N}}_{\text{fréquence}}

$n_i$ : effectif de la ligne = nombre d'individus concernés (un entier) ;
$x_i$ : centre de classe = milieu de $[a,b[$ ; pour un caractère discret, $x_i$ est directement la valeur (pas de calcul) ;
$N$ : effectif total = somme de toute la colonne $n_i$ ;
$f_i$ : fréquence = proportion (entre $0$ et $1$ ) ; $f_i\times 100$ = pourcentage.

Exemplecentre de classe

Classe $[85,95[$ : $x=\dfrac{85+95}{2}=90$ . Classe $[0,4[$ : $x=\dfrac{0+4}{2}=2$ . Le centre est toujours le milieu, même si les bornes sont « bizarres » : $[12{,}5\,;17{,}5[\ \to\ x=\dfrac{12{,}5+17{,}5}{2}=15$ .

Les colonnes « cumulées »

Cumuler, c'est additionner de proche en proche, du haut vers le bas.

Définition1.1effectif cumulé $n_c$ et fréquence cumulée $f_c$

n_c^{(i)} = n_1+n_2+\cdots+n_i \qquad\text{et}\qquad f_c^{(i)}=f_1+f_2+\cdots+f_i .

$n_c^{(i)}$ = nombre d'individus dont la valeur est inférieure à la borne supérieure de la ligne $i$ . La dernière valeur cumulée vaut toujours $n_c=N$ et $f_c=1{,}00$ ( $=100\,\%$ ).

Méthodeconstruire le tableau en 5 gestes

Colonne centres $x_i=(a+b)/2$ (ou recopier les valeurs si discret).
Colonne effectifs $n_i$ , puis additionner pour obtenir $N$ .
Colonne fréquences $f_i=n_i/N$ (arrondir à $0{,}01$ ).
Colonne effectifs cumulés $n_c$ : on descend en ajoutant à chaque fois $n_i$ .
Colonne fréquences cumulées $f_c$ : idem avec les $f_i$ .

Deux contrôles obligatoires : la somme de la colonne $n_i$ doit redonner $N$ , et la somme de la colonne $f_i$ doit valoir $1$ (dernier $f_c=1{,}00$ ).

Exempleune ligne se lit d'un coup d'œil

Classes	$x_i$	$n_i$	$f_i$	$n_c$	$f_c$
$[0,10[$	5	8	0,20	8	0,20
$[10,20[$	15	14	0,35	22	0,55
$[20,30[$	25	18	0,45	40	1,00
Totaux	$N=40$	$1{,}00$

Lecture : $22$ individus ( $55\,\%$ ) ont une valeur inférieure à $20$ . On vérifie $8+14+18=40=N$ et $0{,}20+0{,}35+0{,}45=1{,}00$ : le tableau est cohérent.

Attentionpièges classiques

Ne jamais confondre effectif $n_i$ (un compte, entier) et fréquence $f_i$ (une proportion, entre $0$ et $1$ ).
Une fréquence cumulée ne redescend jamais : elle croît de $0$ jusqu'à $1$ .
Le centre de classe utilise les deux bornes, pas seulement la borne inférieure.
Un caractère discret n'a pas de colonne « classes » : $x_i$ = la valeur elle-même.

Remarqueretrouver un effectif à partir d'une fréquence

La relation $f_i=\dfrac{n_i}{N}$ se lit dans les deux sens : si l'on connaît $f_i$ et $N$ , alors $n_i=f_i\times N$ . Par exemple $f_i=0{,}15$ pour $N=200$ donne $n_i=0{,}15\times 200=30$ individus. On s'en sert dès qu'un énoncé donne des pourcentages au lieu des effectifs.

Ensuite, 3 niveaux d'exercices :

FacileMoyenDifficile

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