Champ créé par les courants

Les trois niveaux s'enchaînent. Clique sur « Corrigé » pour révéler la solution d'une seule question.

Facile15 exercices

Exercice 1champ d'un fil rectiligne

Un long fil rectiligne est parcouru par un courant $I=10\,\mathrm{A}$ . On calcule le champ magnétique à la distance $d=5\,\mathrm{cm}$ du fil.

Calcule l'intensité $B$ du champ au point $M$ (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).

Formule du fil : $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\,I}{d}$ , avec $d=0.05\,\mathrm{m}$ :

B=\frac{2\cdot10^{-7}\times10}{0{,}05}=\frac{2\cdot10^{-6}}{0{,}05}=4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}.

(Soit environ le champ magnétique terrestre.)

Exercice 2champ au centre d'une spire

Une spire circulaire unique de rayon $r=2\,\mathrm{cm}$ est parcourue par un courant $I=5\,\mathrm{A}$ . Calcule l'intensité du champ magnétique au centre de la spire (on prend $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\approx1.26\times 10^{-6}$ , et $2\pi\approx6{,}28$ ).

Formule de la spire ( $N=1$ ) : $B=\dfrac{\mu_0 I}{2r}$ , avec $r=0.02\,\mathrm{m}$ :

B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times5}{2\times0{,}02} =\frac{1{,}26\cdot10^{-6}\times5}{0{,}04} =\frac{6{,}3\cdot10^{-6}}{0{,}04}\approx1.6\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.

Exercice 3champ dans un solénoïde

Un solénoïde comporte $N=1000$ spires réparties sur une longueur $L=50\,\mathrm{cm}$ ; il est parcouru par $I=3\,\mathrm{A}$ . Calcule l'intensité du champ magnétique à l'intérieur.

Formule du solénoïde : $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ , avec $L=0.5\,\mathrm{m}$ :

B=\frac{4\pi\times10^{-7}\times1000\times3}{0{,}5} =\frac{1{,}26\cdot10^{-6}\times3000}{0{,}5} =\frac{3{,}77\cdot10^{-3}}{0{,}5}\approx7.5\times 10^{-3}\,\mathrm{T}=7.5\,\mathrm{mT}.

Exercice 4reconnaître un électro-aimant

On réalise le montage ci-dessous : une pile alimente, via un interrupteur, une bobine enroulée autour d'un clou en fer doux.

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a)
Comment s'appelle ce dispositif lorsqu'un courant circule ?
C'est un électro-aimant : une bobine parcourue par un courant, autour d'un noyau de fer doux, se comporte comme un aimant (une face Nord, une face Sud) tant que le courant circule.
b)
Que devient le champ magnétique si l'on ouvre l'interrupteur ? Justifie avec la nature du fer doux.
En ouvrant l'interrupteur, le courant s'annule ( $I=0$ ) : le champ du solénoïde disparaît. Le fer étant doux, il perd immédiatement son aimantation — l'électro-aimant « lâche » sa charge. (Un fer « dur » resterait aimanté : ce serait un aimant permanent.)

Exercice 5la décroissance en

1/d

À la distance $d=10\,\mathrm{cm}$ d'un fil rectiligne, le champ vaut $B=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Sans recalculer $I$ , en utilisant seulement la dépendance $B\propto 1/d$ :

a)
Quelle est l'intensité du champ à $d'=20\,\mathrm{cm}$ ?
Comme $B\propto 1/d$ (à $I$ fixé), le produit $B\times d$ est constant.
On double la distance $\Rightarrow$ $B$ est divisé par 2 : $B'=\dfrac{6\cdot10^{-5}}{2}=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
Et à $d''=5\,\mathrm{cm}$ ?
On divise la distance par 2 $\Rightarrow$ $B$ est doublé : $B''=2\times6\cdot10^{-5}=1.2\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ .

Exercice 6sens du champ autour d'un fil

Un fil rectiligne vertical est parcouru par un courant $I$ dirigé vers le haut. On observe deux points du plan de la figure : $M_1$ à gauche du fil, $M_2$ à droite.

a)
En appliquant la règle de la main droite, donne le sens de $\vec{B}$ au point $M_2$ (à droite) : sort-il de la feuille ( $\odot$ ) ou y entre-t-il ( $\otimes$ ) ?
On empoigne le fil avec la main droite, le pouce vers le haut (sens de $I$ ) ; les doigts enroulés donnent le sens des lignes de champ (des cercles autour du fil).
À droite ( $M_2$ ), les doigts « plongent » derrière le fil : $\vec{B}$ entre dans la feuille ( $\otimes$ ).
b)
Même question au point $M_1$ (à gauche).
À gauche ( $M_1$ ), c'est l'inverse : $\vec{B}$ sort de la feuille ( $\odot$ ). Le champ change de sens de part et d'autre du fil.

Exercice 7face Nord d'une spire

Une spire circulaire est vue de face ; le courant $I$ y circule dans le sens horaire (tel que vu par le lecteur).

a)
Avec la règle de la main droite (doigts dans le sens du courant, pouce $=\vec{B}$ ), le champ $\vec{B}$ au centre pointe-t-il vers le lecteur ou derrière la feuille ?
Les doigts de la main droite suivent le courant (sens horaire, vu de face) : le pouce pointe alors derrière la feuille. Donc $\vec{B}$ au centre s'éloigne du lecteur.
b)
La face tournée vers le lecteur est-elle la face Nord ou Sud de la spire ?
Le champ sort par la face arrière : c'est elle la face Nord. La face tournée vers le lecteur, par où $\vec{B}$ entre, est donc la face Sud.

Exercice 8bobine de huit spires

Une petite bobine plate de $N=8$ spires jointives, de rayon $r=1\,\mathrm{cm}$ , est parcourue par un courant $I=2\,\mathrm{A}$ . Calcule l'intensité du champ magnétique au centre (on prend $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\approx1.26\times 10^{-6}$ ).

Champ au centre d'une bobine de $N$ spires : $B=\dfrac{N\,\mu_0 I}{2r}$ , avec $r=0.01\,\mathrm{m}$ :

B=\frac{8\times4\pi\times10^{-7}\times2}{2\times0{,}01} =\frac{8\times1{,}26\cdot10^{-6}\times2}{0{,}02}\approx1.0\times 10^{-3}\,\mathrm{T}=1.0\,\mathrm{mT}.

Exercice 9solénoïde et densité de spires

Un solénoïde présente une densité linéique $n=1500\,1/\mathrm{m}$ (soit $1500$ spires par mètre) et est parcouru par $I=4\,\mathrm{A}$ .

a)
Écris l'expression du champ interne en fonction de la densité $n=N/L$ .
Comme $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ et $n=\dfrac{N}{L}$ , on a directement $B=\mu_0\,n\,I$ .
b)
Calcule l'intensité $B$ du champ à l'intérieur (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ).
$B=4\pi\times10^{-7}\times1500\times4=1{,}26\cdot10^{-6}\times6000\approx7.5\times 10^{-3}\,\mathrm{T} =7.5\,\mathrm{mT}.$

Exercice 10renforcement par un noyau de fer

Un solénoïde crée dans le vide un champ interne $B_0=8\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ . On glisse à l'intérieur un noyau de fer doux de perméabilité relative $\mu_r=600$ .

a)
Par quel facteur le champ est-il multiplié ?
Le noyau remplace $\mu_0$ par $\mu=\mu_r\,\mu_0$ : le champ est multiplié par $\mu_r=\mathbf{600}$ .
b)
Quelle est la nouvelle valeur du champ à l'intérieur ?
$B=\mu_r\,B_0=600\times8\cdot10^{-3}=4.8\,\mathrm{T}$ . (C'est le principe de l'électro-aimant : un champ énorme obtenu avec le même courant.)

Exercice 11combien de fois le champ terrestre ?

Une spire de rayon $r=2\,\mathrm{cm}$ est parcourue par $I=8\,\mathrm{A}$ .

a)
Calcule le champ $B$ au centre de la spire (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ).
$B=\dfrac{\mu_0 I}{2r}=\dfrac{4\pi\times10^{-7}\times8}{2\times0{,}02} =\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times8}{0{,}04}\approx2.5\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$
b)
Combien de fois est-il plus intense que le champ terrestre $B_T=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ?
$\dfrac{B}{B_T}=\dfrac{2{,}5\cdot10^{-4}}{5\cdot10^{-5}}=\mathbf{5}$ : le champ de la spire est 5 fois plus intense que le champ terrestre.

Exercice 12choisir la bonne formule

Pour chacune des trois situations, indique quelle formule de Biot et Savart il faut employer (sans calcul numérique) :

a)
le champ à $3\,\mathrm{cm}$ d'un long fil droit ;
Fil rectiligne : $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi d}=\dfrac{2\cdot10^{-7} I}{d}$ (dépend de la distance $d$ ).
b)
le champ au centre d'une bobine plate de $N$ spires de rayon $r$ ;
Spire / bobine plate : $B=\dfrac{N\,\mu_0 I}{2r}$ (au centre ; dépend du rayon $r$ ).
c)
le champ à l'intérieur d'un solénoïde de $N$ spires réparties sur une longueur $L$ .
Solénoïde : $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ (uniforme à l'intérieur ; dépend de $N/L$ ).

Exercice 13proportionnalité dans un solénoïde

À l'intérieur d'un solénoïde, le champ vaut $B_0=6\,\mathrm{mT}$ . Sans tout recalculer, en utilisant $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ :

a)
que devient le champ si l'on double le courant $I$ (à $N$ et $L$ fixés) ?
Le champ est proportionnel à $I$ et à $N$ (à $L$ fixé).
Doubler $I$ double le champ : $B=2\times6=12\,\mathrm{mT}$ .
b)
que devient-il si l'on double le nombre de spires $N$ (à $I$ et $L$ fixés) ?
Doubler $N$ double aussi le champ : $B=2\times6=12\,\mathrm{mT}$ .

Exercice 14proportionnalité pour une spire

Au centre d'une spire, le champ vaut $B_0=1.2\,\mathrm{mT}$ . En utilisant $B=\dfrac{\mu_0 I}{2r}$ :

a)
que devient le champ si l'on double le rayon $r$ (à $I$ fixé) ?
Le champ est proportionnel à $I$ et inversement proportionnel à $r$ .
Doubler $r$ divise le champ par 2 : $B=\dfrac{1{,}2}{2}=0.6\,\mathrm{mT}$ .
b)
que devient-il si l'on triple le courant $I$ (à $r$ fixé) ?
Tripler $I$ triple le champ : $B=3\times1{,}2=3.6\,\mathrm{mT}$ .

Exercice 15le piège des millimètres

On mesure le champ magnétique à la distance $d=2\,\mathrm{mm}$ d'un fin fil rectiligne parcouru par $I=5\,\mathrm{A}$ . Calcule l'intensité $B$ du champ (pense à convertir $d$ en mètres ; on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).

On convertit d'abord : $d=2\,\mathrm{mm}=2\times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ . Puis

B=\frac{2\cdot10^{-7}\times5}{2\cdot10^{-3}}=\frac{1\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-3}} =5\times 10^{-4}\,\mathrm{T}=0.5\,\mathrm{mT}.

Oublier la conversion (prendre $d=2$ ) donnerait un résultat $1000$ fois trop petit !

Moyen15 exercices

Exercice 1à quelle distance retrouve-t-on le champ terrestre ?

Une ligne électrique transporte un courant $I=100\,\mathrm{A}$ . À quelle distance $d$ du fil l'intensité du champ magnétique est-elle égale à celle du champ terrestre $B_T=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ? (On prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ .)

On isole $d$ dans $B=\dfrac{2\cdot10^{-7} I}{d}$ :

d=\frac{2\cdot10^{-7}\,I}{B_T}=\frac{2\cdot10^{-7}\times100}{5\cdot10^{-5}} =\frac{2\cdot10^{-5}}{5\cdot10^{-5}}=0{,}4\ \mathrm{m}=40\,\mathrm{cm}.

À $40\,\mathrm{cm}$ du fil, son champ vaut déjà autant que celui de la Terre.

Exercice 2quel courant pour un champ donné ?

On veut créer, à la distance $d=2\,\mathrm{cm}$ d'un fil rectiligne, un champ magnétique d'intensité $B=1\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ . Quel courant $I$ faut-il faire passer dans le fil ?

On isole $I$ dans $B=\dfrac{2\cdot10^{-7} I}{d}$ , avec $d=0.02\,\mathrm{m}$ :

I=\frac{B\,d}{2\cdot10^{-7}}=\frac{1\cdot10^{-4}\times0{,}02}{2\cdot10^{-7}} =\frac{2\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-7}}=10\,\mathrm{A}.

Exercice 3bobine plate de

N

spires

Une bobine plate de $N=50$ spires jointives, de rayon $r=5\,\mathrm{cm}$ , est parcourue par un courant $I=2\,\mathrm{A}$ .

a)
Écris la formule du champ au centre d'une bobine de $N$ spires.
Les $N$ spires jointives ajoutent leurs champs : $B=\dfrac{N\,\mu_0 I}{2r}$ .
b)
Calcule l'intensité du champ au centre.
Application, avec $r=0.05\,\mathrm{m}$ :
$B=\frac{50\times4\pi\times10^{-7}\times2}{2\times0{,}05} =\frac{50\times1{,}26\cdot10^{-6}\times2}{0{,}1}\approx1.3\times 10^{-3}\,\mathrm{T}.$

Exercice 4dimensionner un solénoïde

On souhaite qu'un solénoïde de longueur $L=50\,\mathrm{cm}$ produise un champ interne $B=1\times 10^{-2}\,\mathrm{T}$ lorsqu'il est parcouru par $I=5\,\mathrm{A}$ . Combien de spires $N$ faut-il enrouler ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)

On isole $N$ dans $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ :

N=\frac{B\,L}{\mu_0 I}=\frac{1\cdot10^{-2}\times0{,}5}{1{,}26\cdot10^{-6}\times5} =\frac{5\cdot10^{-3}}{6{,}3\cdot10^{-6}}\approx 800\ \text{spires}.

Exercice 5deux bobines, même densité de spires

On compare deux solénoïdes parcourus par le même courant $I$ :

	Solénoïde 1	Solénoïde 2
Nombre de spires $N$	$100$	$150$
Longueur $L$	$4\,\mathrm{cm}$	$6\,\mathrm{cm}$

a)
Calcule la densité linéique de spires $n=N/L$ pour chaque solénoïde.
Le champ interne ne dépend que de la densité $n=N/L$ (et de $I$ ) : $B=\mu_0\,\dfrac{N}{L}\,I=\mu_0 n I$ .
$n_1=\dfrac{100}{0{,}04}=2500\,1/\mathrm{m}$ ; $n_2=\dfrac{150}{0{,}06}=2500\,1/\mathrm{m}$ .
b)
Lequel crée le champ interne le plus intense ? Justifie.
Les deux densités sont égales et le courant est le même : les deux solénoïdes créent donc exactement le même champ interne. Avoir plus de spires ( $N_2>N_1$ ) ne suffit pas ; c'est le rapport $N/L$ qui compte.

Exercice 6retrouver le rayon d'une bobine

Une bobine plate de $N=100$ spires est parcourue par $I=2\,\mathrm{A}$ et crée en son centre un champ $B=5\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ . Quel est le rayon $r$ de la bobine ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)

On isole $r$ dans $B=\dfrac{N\,\mu_0 I}{2r}$ :

r=\frac{N\,\mu_0 I}{2B}=\frac{100\times1{,}26\cdot10^{-6}\times2}{2\times5\cdot10^{-3}} =\frac{2{,}52\cdot10^{-4}}{1\cdot10^{-2}}\approx2.5\times 10^{-2}\,\mathrm{m}=2.5\,\mathrm{cm}.

Exercice 7quel courant dans le solénoïde ?

Un solénoïde de $N=600$ spires et de longueur $L=30\,\mathrm{cm}$ doit produire à l'intérieur un champ $B=8\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ . Quel courant $I$ doit le parcourir ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)

On isole $I$ dans $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ , avec $L=0.3\,\mathrm{m}$ :

I=\frac{B\,L}{\mu_0 N}=\frac{8\cdot10^{-3}\times0{,}3}{1{,}26\cdot10^{-6}\times600} =\frac{2{,}4\cdot10^{-3}}{7{,}56\cdot10^{-4}}\approx3.2\,\mathrm{A}.

Exercice 8quelle longueur pour le solénoïde ?

On dispose de $N=1000$ spires. Parcourues par $I=4\,\mathrm{A}$ , elles doivent créer un champ interne $B=1\times 10^{-2}\,\mathrm{T}$ . Sur quelle longueur $L$ faut-il les répartir ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)

On isole $L$ dans $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ :

L=\frac{\mu_0 N I}{B}=\frac{1{,}26\cdot10^{-6}\times1000\times4}{1\cdot10^{-2}} =\frac{5{,}03\cdot10^{-3}}{1\cdot10^{-2}}\approx0.50\,\mathrm{m}=50\,\mathrm{cm}.

Exercice 9à quelle distance ce champ précis ?

À $d_1=5\,\mathrm{cm}$ d'un fil rectiligne, le champ vaut $B_1=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . À quelle distance $d_2$ le champ n'est-il plus que $B_2=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ? (Utilise seulement la proportionnalité $B\propto 1/d$ , sans calculer $I$ .)

À $I$ fixé, $B\propto 1/d$ , donc le produit $B\,d$ est constant : $B_1 d_1=B_2 d_2$ . D'où

d_2=\frac{B_1 d_1}{B_2}=\frac{8\cdot10^{-5}\times0{,}05}{2\cdot10^{-5}} =\frac{4\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-5}}=0.20\,\mathrm{m}=20\,\mathrm{cm}.

Le champ a été divisé par $4$ : la distance est donc multipliée par $4$ .

Exercice 10combien de spires par centimètre ?

Un solénoïde parcouru par $I=2\,\mathrm{A}$ crée un champ interne $B=5\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ .

a)
Calcule la densité linéique de spires $n=N/L$ nécessaire (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ).
De $B=\mu_0\,n\,I$ on tire $n=\dfrac{B}{\mu_0 I}=\dfrac{5\cdot10^{-3}}{1{,}26\cdot10^{-6}\times2} =\dfrac{5\cdot10^{-3}}{2{,}52\cdot10^{-6}}\approx2000\,1/\mathrm{m}$ (soit $20$ spires/cm).
b)
Si le solénoïde mesure $L=10\,\mathrm{cm}$ , combien de spires $N$ comporte-t-il ?
$N=n\,L=2000\times0{,}10=\mathbf{200}$ spires.

Exercice 11fil ou solénoïde : lequel gagne ?

On compare deux sources :

a)
calcule le champ créé par un fil portant $I=10\,\mathrm{A}$ , à $d=1\,\mathrm{cm}$ (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ) ;
Fil : $B_{\text{fil}}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times10}{0{,}01}=2\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ .
b)
calcule le champ interne d'un solénoïde de $N=200$ spires, de longueur $L=20\,\mathrm{cm}$ , parcouru par $I=1\,\mathrm{A}$ (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ) ;
Solénoïde : $B_{\text{sol}}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times200\times1}{0{,}2} =\dfrac{2{,}52\cdot10^{-4}}{0{,}2}\approx1.3\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ .
c)
lequel est le plus intense, et environ combien de fois ?
Le solénoïde l'emporte : $1.3\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ contre $2\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ , soit environ 6 fois plus intense.

Exercice 12quel courant pour la bobine plate ?

Une bobine plate de $N=100$ spires et de rayon $r=4\,\mathrm{cm}$ doit créer en son centre un champ $B=4\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ . Quel courant $I$ faut-il ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)

On isole $I$ dans $B=\dfrac{N\,\mu_0 I}{2r}$ , avec $r=0.04\,\mathrm{m}$ :

I=\frac{B\,(2r)}{N\,\mu_0}=\frac{4\cdot10^{-3}\times0{,}08}{100\times1{,}26\cdot10^{-6}} =\frac{3{,}2\cdot10^{-4}}{1{,}26\cdot10^{-4}}\approx2.5\,\mathrm{A}.

Exercice 13quelle perméabilité pour le noyau ?

Un solénoïde de $N=500$ spires, de longueur $L=25\,\mathrm{cm}$ , est parcouru par $I=3\,\mathrm{A}$ .

a)
Calcule le champ $B_0$ qu'il crée dans le vide (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ).
$B_0=\dfrac{\mu_0 N I}{L}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times500\times3}{0{,}25} =\dfrac{1{,}89\cdot10^{-3}}{0{,}25}\approx7.5\times 10^{-3}\,\mathrm{T}.$
b)
On veut, en insérant un noyau, atteindre $B=2\,\mathrm{T}$ . Quelle perméabilité relative $\mu_r$ le noyau doit-il posséder ?
Avec noyau, $B=\mu_r B_0$ , donc $\mu_r=\dfrac{B}{B_0}=\dfrac{2}{7{,}5\cdot10^{-3}}\approx\mathbf{265}$ .

Exercice 14régler le second solénoïde

Deux solénoïdes doivent produire le même champ interne. Le premier : $N_1=200$ spires, $L_1=10\,\mathrm{cm}$ , $I_1=3\,\mathrm{A}$ . Le second : $N_2=500$ spires, $L_2=20\,\mathrm{cm}$ . Quel courant $I_2$ faut-il imposer au second ?

Le facteur $\mu_0$ se simplifie dans la condition $B_1=B_2$ :

\frac{N_1 I_1}{L_1}=\frac{N_2 I_2}{L_2}\;\Longrightarrow\; I_2=\frac{N_1 I_1 L_2}{N_2 L_1}=\frac{200\times3\times0{,}20}{500\times0{,}10} =\frac{120}{50}=2.4\,\mathrm{A}.

Exercice 15deux fils au point milieu

Deux fils parallèles perpendiculaires à la feuille sont distants de $8\,\mathrm{cm}$ . Ils portent des courants de sens opposés : $I_1=10\,\mathrm{A}$ (fil de gauche, sortant $\odot$ ) et $I_2=15\,\mathrm{A}$ (fil de droite, entrant $\otimes$ ). On étudie le point milieu $M$ , à $4\,\mathrm{cm}$ de chaque fil.

a)
Calcule les intensités $B_1$ et $B_2$ créées par chaque fil en $M$ (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).
$d=0.04\,\mathrm{m}$ pour chaque fil.
$B_1=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times10}{0{,}04}=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; $B_2=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times15}{0{,}04}=7.5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
Les courants étant de sens opposés, les deux champs sont ici de même sens en $M$ : calcule l'intensité du champ résultant.
Courants opposés $\Rightarrow$ en $M$ les deux champs pointent dans le même sens : on les ajoute.
$B_{\text{tot}}=B_1+B_2=5\cdot10^{-5}+7{,}5\cdot10^{-5}=1.25\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$

Difficile14 exercices

Exercice 1sous une ligne à haute tension

Une ligne à haute tension transporte $I=100\,\mathrm{A}$ . On prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ et $B_T=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ pour le champ terrestre.

a)
Calcule le champ magnétique à $d=40\,\mathrm{cm}$ du fil.
$B=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times100}{0{,}4}=\dfrac{2\cdot10^{-5}}{0{,}4}=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (autant que le champ terrestre).
b)
Calcule le champ à $d=30\,\mathrm{m}$ (hauteur typique du câble) et compare-le au champ terrestre : combien de fois plus faible ?
$B=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times100}{30}=\dfrac{2\cdot10^{-5}}{30}\approx6.7\times 10^{-7}\,\mathrm{T}$ . Rapport : $\dfrac{B_T}{B}=\dfrac{5\cdot10^{-5}}{6{,}7\cdot10^{-7}}\approx 75$ : le champ de la ligne est environ 75 fois plus faible que le champ terrestre. C'est pourquoi on place les câbles très haut : la décroissance en $1/d$ suffit à rendre le champ négligeable au sol.

Exercice 2mettre le solénoïde à l'échelle

Un solénoïde crée un champ interne $B_0=2\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ . On modifie ses caractéristiques : on double le nombre de spires, on divise la longueur par deux, et on triple le courant.

a)
Sachant que $B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ , par quel facteur le champ est-il multiplié ?
$B=\dfrac{\mu_0 N I}{L}$ : $B$ est proportionnel à $N$ , à $I$ , et à $1/L$ . Donc
$\text{facteur}= \underbrace{2}_{N\times2}\times\underbrace{3}_{I\times3}\times \underbrace{2}_{L\div2\ \Rightarrow\ 1/L\times2}=\mathbf{12}.$
b)
Quelle est la nouvelle valeur du champ interne ?
$B=12\times B_0=12\times2\cdot10^{-3}=2.4\times 10^{-2}\,\mathrm{T}=24\,\mathrm{mT}.$

Exercice 3combien de spires pour la bobine ?

On veut qu'une bobine plate de rayon $r=3\,\mathrm{cm}$ , parcourue par $I=4\,\mathrm{A}$ , crée en son centre un champ $B=2\times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ . Combien de spires $N$ faut-il ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)

On isole $N$ dans $B=\dfrac{N\,\mu_0 I}{2r}$ , avec $r=0.03\,\mathrm{m}$ :

N=\frac{B\,(2r)}{\mu_0 I}=\frac{2\cdot10^{-3}\times0{,}06}{1{,}26\cdot10^{-6}\times4} =\frac{1{,}2\cdot10^{-4}}{5{,}03\cdot10^{-6}}\approx 24\ \text{spires}.

Exercice 4deux fils : Biot-Savart puis superposition

Deux fils parallèles, perpendiculaires à la feuille, distants de $6\,\mathrm{cm}$ , portent des courants de même sens (tous deux sortants, $\odot$ ) : $I_1=10\,\mathrm{A}$ (fil 1, à gauche) et $I_2=20\,\mathrm{A}$ (fil 2, à droite). On étudie le point milieu $M$ , à $3\,\mathrm{cm}$ de chaque fil.

a)
Calcule les intensités $B_1$ et $B_2$ créées par chaque fil en $M$ (loi de Biot et Savart).
$d=0.03\,\mathrm{m}$ pour chaque fil.
$B_1=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times10}{0{,}03}=\dfrac{2\cdot10^{-6}}{0{,}03}\approx6.7\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; $B_2=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times20}{0{,}03}=\dfrac{4\cdot10^{-6}}{0{,}03}\approx1.3\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ .
b)
Donne le sens de chacun (main droite), puis calcule l'intensité du champ résultant en $M$ .
Les deux courants sortent : main droite $\Rightarrow$ en $M$ , $\vec{B}_1$ (dû au fil de gauche) est dirigé vers le haut, $\vec{B}_2$ (dû au fil de droite) vers le bas. Ils sont opposés, donc on soustrait :
$B_{\text{tot}}=B_2-B_1=1{,}3\cdot10^{-4}-6{,}7\cdot10^{-5}\approx6.7\times 10^{-5}\,\mathrm{T},$
dirigé vers le bas (sens de $\vec{B}_2$ , le plus intense).

Exercice 5deux solénoïdes à axes perpendiculaires

Au même point $M$ se croisent les axes de deux solénoïdes perpendiculaires. Le premier ( $N_1=400$ spires, $L_1=20\,\mathrm{cm}$ , $I_1=2\,\mathrm{A}$ ) a son axe horizontal ; le second ( $N_2=250$ spires, $L_2=10\,\mathrm{cm}$ , $I_2=3\,\mathrm{A}$ ) a son axe vertical.

a)
Calcule le champ $B_1$ au centre du premier solénoïde.
$B_1=\dfrac{\mu_0 N_1 I_1}{L_1}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times400\times2}{0{,}20}\approx5.0\times 10^{-3}\,\mathrm{T}.$
b)
Calcule le champ $B_2$ au centre du second.
$B_2=\dfrac{\mu_0 N_2 I_2}{L_2}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times250\times3}{0{,}10}\approx9.4\times 10^{-3}\,\mathrm{T}.$
c)
Les deux champs étant perpendiculaires, calcule l'intensité du champ résultant en $M$ .
Champs orthogonaux $\Rightarrow$ théorème de Pythagore :
$B=\sqrt{B_1^2+B_2^2}=\sqrt{(5{,}0)^2+(9{,}4)^2}\cdot10^{-3}\approx1.07\times 10^{-2}\,\mathrm{T} =10.7\,\mathrm{mT}.$
d)
Quel angle le champ résultant fait-il avec $\vec{B}_1$ ?
(On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)
$\tan\theta=\dfrac{B_2}{B_1}=\dfrac{9{,}4}{5{,}0}\approx1{,}9$ , soit $\theta\approx62^{\circ}$ (mesuré depuis $\vec{B}_1$ ).

Exercice 6deux spires concentriques coplanaires

Deux spires circulaires de même centre et coplanaires ont pour rayons $r_1=2\,\mathrm{cm}$ et $r_2=4\,\mathrm{cm}$ . Elles sont parcourues par le même courant $I=6\,\mathrm{A}$ .

a)
Calcule les champs $B_1$ et $B_2$ créés au centre par chaque spire.
$B_1=\dfrac{\mu_0 I}{2r_1}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times6}{2\times0{,}02}\approx1.9\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ ; $B_2=\dfrac{\mu_0 I}{2r_2}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times6}{2\times0{,}04}\approx9.4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}.$
b)
Les courants circulent dans le même sens : calcule le champ résultant au centre.
Même sens : les champs (mêmes direction et sens sur l'axe) s'ajoutent : $B=B_1+B_2\approx1{,}9\cdot10^{-4}+0{,}94\cdot10^{-4}=2.8\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$
c)
Les courants circulent en sens contraires : calcule le champ résultant au centre.
(On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)
Sens contraires : ils se soustraient, résultante dans le sens de $\vec{B}_1$ (spire la plus petite, la plus intense) : $B=B_1-B_2\approx1{,}9\cdot10^{-4}-0{,}94\cdot10^{-4}=9.4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}.$

Exercice 7point extérieur d'une ligne bifilaire

Deux fils parallèles perpendiculaires à la feuille, distants de $6\,\mathrm{cm}$ , portent chacun $I=10\,\mathrm{A}$ . On étudie un point $M$ situé sur la droite joignant les deux fils, à l'extérieur, à $4\,\mathrm{cm}$ du fil le plus proche (donc à $10\,\mathrm{cm}$ de l'autre).

a)
Les deux courants sont de même sens (tous deux sortants). Calcule $B_1$ et $B_2$ en $M$ , puis le champ résultant (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).
Distances : $d_1=0.04\,\mathrm{m}$ , $d_2=0.10\,\mathrm{m}$ .
$B_1=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times10}{0{,}04}=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; $B_2=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times10}{0{,}10}=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . En un point extérieur aligné, deux courants de même sens créent en $M$ des champs de même sens : ils s'ajoutent, $B=B_1+B_2=7\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
On inverse le fil 2 (courant entrant) : recalcule le champ résultant.
En inversant le fil 2, $\vec{B}_2$ change de sens : on soustrait, $B=B_1-B_2=5\cdot10^{-5}-2\cdot10^{-5}=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (sens de $\vec{B}_1$ ).

Exercice 8annuler le champ terrestre

On veut annuler le champ magnétique terrestre horizontal $B_T=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ au centre d'une bobine plate de $N=20$ spires et de rayon $r=15\,\mathrm{cm}$ , en orientant la bobine de façon que son champ soit opposé à $\vec{B_T}$ .

a)
Quel courant $I$ faut-il faire circuler dans la bobine ? (On prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ .)
Il faut $B_{\text{bobine}}=B_T$ , soit $\dfrac{N\mu_0 I}{2r}=B_T$ , d'où
$I=\frac{2r\,B_T}{N\mu_0}=\frac{2\times0{,}15\times5\cdot10^{-5}}{20\times1{,}26\cdot10^{-6}} =\frac{1{,}5\cdot10^{-5}}{2{,}52\cdot10^{-5}}\approx0.60\,\mathrm{A}.$
b)
Si l'on double le nombre de spires ( $N=40$ ) sans changer $r$ , quel courant suffit alors ?
Le courant est inversement proportionnel à $N$ : doubler $N$ divise $I$ par 2, soit $I\approx0.30\,\mathrm{A}$ .

Exercice 9transformer une spire

Au centre d'une spire, le champ vaut $B_0=3\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ . On modifie la spire : on double le nombre de spires $N$ , on triple le courant $I$ , et on double le rayon $r$ .

a)
Sachant que $B=\dfrac{N\mu_0 I}{2r}$ , par quel facteur le champ est-il multiplié ?
$B\propto\dfrac{N\,I}{r}$ : facteur $=\underbrace{2}_{N\times2}\times\underbrace{3}_{I\times3} \times\underbrace{\tfrac12}_{r\times2\,\Rightarrow\,1/r\div2}=\mathbf{3}.$
b)
Quelle est la nouvelle valeur du champ ?
$B=3\times B_0=3\times3\cdot10^{-4}=9\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$

Exercice 10dimensionner un électro-aimant

Un solénoïde de $N=800$ spires et de longueur $L=40\,\mathrm{cm}$ est parcouru par $I=2\,\mathrm{A}$ .

a)
Calcule le champ $B_0$ créé dans le vide (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ).
$B_0=\dfrac{\mu_0 N I}{L}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times800\times2}{0{,}40}\approx5.0\times 10^{-3}\,\mathrm{T}.$
b)
On insère un noyau de fer doux et l'on souhaite atteindre $B=1.5\,\mathrm{T}$ . Quelle perméabilité relative $\mu_r$ le noyau doit-il avoir ?
$\mu_r=\dfrac{B}{B_0}=\dfrac{1{,}5}{5{,}0\cdot10^{-3}}=\mathbf{300}.$
c)
Sans noyau, par quel facteur faudrait-il multiplier le courant pour obtenir $1.5\,\mathrm{T}$ ? Ce courant est-il réaliste ? Conclus.
Il faudrait multiplier $I$ par $300$ (car $B\propto I$ ), soit $I\approx600\,\mathrm{A}$ : irréaliste (échauffement, section de fil énorme). D'où l'intérêt du noyau de fer plutôt que d'un courant gigantesque.

Exercice 11vérifier la loi de Biot et Savart

On mesure le champ $B$ créé par un long fil rectiligne à différentes distances $d$ :

$d$ ( $\mathrm{cm}$ )	$5$	$10$	$20$	$40$
$B$ ( $\mathrm{\mu T}$ )	$100$	$50$	$25$	$12{,}5$

a)
Montre, en calculant le produit $B\times d$ , que les mesures suivent bien une loi en $1/d$ .
Produits $B\times d$ (en $\mathrm{T}\mathrm{m}$ ) : $100\cdot10^{-6}\times0{,}05=5\cdot10^{-6}$ ; $50\cdot10^{-6}\times0{,}10=5\cdot10^{-6}$ ; $25\cdot10^{-6}\times0{,}20=5\cdot10^{-6}$ ; $12{,}5\cdot10^{-6}\times0{,}40=5\cdot10^{-6}$ . Le produit est constant : donc $B\propto 1/d$ . Tracé de $B$ en fonction de $1/d$ (droite passant par l'origine) :
b)
Déduis-en l'intensité $I$ du courant (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).
$B\,d=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}=2\cdot10^{-7}\,I$ , donc $I=\dfrac{B\,d}{2\cdot10^{-7}}=\dfrac{5\cdot10^{-6}}{2\cdot10^{-7}}=25\,\mathrm{A}.$
c)
Prévois le champ à $d=25\,\mathrm{cm}$ .
$B=\dfrac{5\cdot10^{-6}}{0{,}25}=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}=20\,\mathrm{\mu T}.$

Exercice 12la boussole déviée par un courant

Un long fil vertical est parcouru par un courant $I=4\,\mathrm{A}$ . À l'horizontale, à $d=2\,\mathrm{cm}$ du fil, on place une petite boussole : le champ du fil y est horizontal et perpendiculaire au champ terrestre horizontal $B_T=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Calcule l'intensité $B_{\text{fil}}$ du champ créé par le fil à l'endroit de la boussole (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).
$B_{\text{fil}}=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times4}{0{,}02}=\dfrac{8\cdot10^{-7}}{0{,}02} =4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}=40\,\mathrm{\mu T}.$
b)
De quel angle $\alpha$ (par rapport au Nord, direction de $\vec{B_T}$ ) l'aiguille dévie-t-elle ? On rappelle $\tan\alpha=B_{\text{fil}}/B_T$ .
$\tan\alpha=\dfrac{B_{\text{fil}}}{B_T}=\dfrac{4\cdot10^{-5}}{2\cdot10^{-5}}=2$ , d'où $\alpha\approx63^{\circ}$ : l'aiguille tourne de 63 par rapport au Nord.
c)
Calcule l'intensité du champ total à l'endroit de la boussole.
Champs perpendiculaires $\Rightarrow$ Pythagore : $B_{\text{tot}}=\sqrt{B_{\text{fil}}^2+B_T^2}=\sqrt{40^2+20^2}\ \mathrm{\mu T}\approx44.7\,\mathrm{\mu T}.$

Exercice 13champ sur la médiatrice de deux fils

Deux fils parallèles perpendiculaires à la feuille sont distants de $8\,\mathrm{cm}$ ; chacun porte $I=15\,\mathrm{A}$ dans le même sens (tous deux sortants). On étudie le point $M$ situé sur la médiatrice du segment joignant les fils, à $3\,\mathrm{cm}$ du milieu.

a)
Calcule la distance $s$ de $M$ à chaque fil, puis l'intensité $B_0$ du champ créé par un fil en $M$ (on prend $\mu_0/2\pi=2\times10^{-7}$ ).
Demi-écart $a=4\,\mathrm{cm}$ , hauteur $h=3\,\mathrm{cm}$ : $s=\sqrt{a^2+h^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5\,\mathrm{cm}=0.05\,\mathrm{m}$ . $B_0=\dfrac{2\cdot10^{-7}\times15}{0{,}05}=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (identique pour les deux fils).
b)
Par symétrie, quelle direction a le champ résultant ? Quelles composantes s'ajoutent, lesquelles s'annulent ?
Chaque champ est perpendiculaire à la droite fil– $M$ . Par symétrie, les composantes le long de la médiatrice s'annulent ; seules les composantes parallèles à la ligne des fils subsistent et s'ajoutent : le champ résultant est horizontal.
c)
Calcule l'intensité du champ résultant en $M$ .
Cette composante vaut $B_0\,\dfrac{h}{s}=6\cdot10^{-5}\times\dfrac{3}{5}=3.6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ par fil, soit
$B_{\text{tot}}=2\,B_0\,\frac{h}{s}=2\times6\cdot10^{-5}\times\frac{3}{5}=7.2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}.$

Exercice 14le vrai pilote du champ :

N

N/L

Un solénoïde de $N=500$ spires et de longueur $L=25\,\mathrm{cm}$ est parcouru par $I=2\,\mathrm{A}$ .

a)
Calcule le champ interne $B_0$ (on prend $\mu_0=1.26\times 10^{-6}$ ).
$B_0=\dfrac{\mu_0 N I}{L}=\dfrac{1{,}26\cdot10^{-6}\times500\times2}{0{,}25}\approx5.0\times 10^{-3}\,\mathrm{T} =5.0\,\mathrm{mT}.$
b)
On double le nombre de spires en réutilisant le même fil (même diamètre) : la longueur double aussi ( $L=50\,\mathrm{cm}$ ). Que devient le champ ?
$N$ et $L$ doublent : la densité $n=N/L$ est inchangée, donc $B=\mathbf{B_0}=5.0\,\mathrm{mT}$ . Ajouter des spires sans raccourcir la bobine ne change rien !
c)
On double au contraire $N$ en gardant $L=25\,\mathrm{cm}$ (fil plus fin). Que devient le champ ? Conclus sur la grandeur qui pilote réellement le champ.
Ici $N$ double mais $L$ reste fixe : $n$ double, donc $B=2B_0=10\,\mathrm{mT}$ . Conclusion : c'est la densité $n=N/L$ (et non $N$ seul) qui pilote le champ.

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