Champ magnétique : sens et superposition

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Facile15 exercices

Exercice 1lire les lignes de champ d'un aimant

Un aimant droit crée le spectre magnétique ci-dessous. Deux points $A$ et $C$ sont repérés.

a)
À l'extérieur de l'aimant, dans quel sens les lignes de champ sont-elles orientées ?
À l'extérieur, les lignes de champ sont orientées du pôle Nord vers le pôle Sud (elles se referment en boucles, repassant du S au N à l'intérieur de l'aimant).
b)
Au point $A$ (tout près d'un pôle) ou au point $C$ (loin de l'aimant) : où le champ $\vec{B}$ est-il le plus intense ? Justifie.
Au point $A$ : c'est là que le champ est le plus intense. Près des pôles, les lignes de champ sont plus resserrées ; or plus les lignes sont serrées, plus $\vec{B}$ est grand. Au point $C$ , éloigné, les lignes s'écartent : le champ y est faible.

Exercice 2sens de

\vec{B}

autour d'un fil : main droite

Un fil rectiligne vertical est parcouru par un courant $I$ orienté vers le haut. Deux points $M$ (à droite) et $N$ (à gauche) sont situés dans le plan de la feuille.

a)
Au point $M$ , le champ $\vec{B}$ sort-il de la feuille ( $\odot$ ) ou y entre-t-il ( $\otimes$ ) ?
On applique la règle de la main droite : pouce vers le haut (sens de $I$ ), les doigts s'enroulent autour du fil.
Du côté droit, les doigts « plongent » derrière le fil : au point $M$ , le champ entre dans la feuille, $\otimes$ .
b)
Même question au point $N$ .
Du côté gauche, les doigts « remontent » vers l'avant : au point $N$ , le champ sort de la feuille, $\odot$ . (Les deux sont bien de sens opposés, comme attendu de part et d'autre du fil.)

Exercice 3superposition de deux champs alignés

En un point $M$ , deux sources créent chacune un champ magnétique de même direction (horizontale), d'intensités $B_1=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ et $B_2=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Si les deux champs sont de même sens, quelle est l'intensité du champ résultant ?
La superposition est une somme vectorielle. Les deux champs étant colinéaires :
Même sens : les normes s'ajoutent,
$B_{\text{tot}}=B_1+B_2=3\cdot10^{-5}+2\cdot10^{-5}=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}.$
b)
S'ils sont de sens opposés, quelle est l'intensité du champ résultant, et dans quel sens pointe-t-il ?
Sens opposés : les normes se soustraient,
$B_{\text{tot}}=|B_1-B_2|=|3\cdot10^{-5}-2\cdot10^{-5}|=1\times 10^{-5}\,\mathrm{T},$
dirigé dans le sens du plus grand, c'est-à-dire celui de $\vec{B}_1$ .

Exercice 4sens de

\vec{B}

dans une spire

Une spire circulaire est parcourue par le courant $I$ dans le sens indiqué (sens trigonométrique, vu de face).

a)
À l'intérieur de la spire, le champ $\vec{B}$ sort-il vers toi ( $\odot$ ) ou s'enfonce-t-il dans la feuille ( $\otimes$ ) ?
Règle de la main droite « version spire » : on courbe les doigts dans le sens de $I$ (ici trigonométrique) ; le pouce donne le sens de $\vec{B}$ à l'intérieur.
Les doigts tournant dans le sens trigonométrique, le pouce pointe vers toi : $\vec{B}$ sort de la feuille, $\odot$ .
b)
Quelle face de la spire (celle tournée vers toi, ou celle de derrière) est la face Nord ?
Le champ sort toujours par la face Nord : c'est donc la face tournée vers toi qui est la face Nord (la face de derrière est Sud).

Exercice 5fil vu en bout : convention

\odot/\otimes

Un fil perpendiculaire à la feuille est traversé par un courant $I$ qui sort de la feuille (symbole $\odot$ ). Un point $P$ est situé juste au-dessus du fil.

a)
Les lignes de champ tournent-elles autour du fil dans le sens horaire ou trigonométrique (anti-horaire) ?
Le courant sort de la feuille ( $\odot$ ) : on place le pouce vers soi, les doigts s'enroulent.
Vus de face avec le pouce pointé vers soi, les doigts tournent dans le sens trigonométrique (anti-horaire).
b)
Au point $P$ , le vecteur $\vec{B}$ pointe-t-il vers la gauche ou vers la droite ?
Sur le cercle parcouru dans le sens anti-horaire, la tangente au point le plus haut $P$ pointe vers la gauche : $\vec{B}$ est dirigé vers la gauche en $P$ .

Exercice 6solénoïde : sens de

\vec{B}

et faces Nord/Sud

Un solénoïde est représenté en coupe : sur les brins du haut le courant entre dans la feuille ( $\otimes$ ), sur ceux du bas il en sort ( $\odot$ ).

a)
À l'intérieur du solénoïde, vers quel côté (gauche ou droite) pointe le champ $\vec{B}$ ?
Main droite « version bobine » sur un brin quelconque. Prends un brin du bas ( $\odot$ , courant vers toi) : juste au-dessus de lui — donc à l'intérieur du solénoïde — les doigts enroulés pointent vers la gauche. Même résultat avec un brin du haut ( $\otimes$ ).
À l'intérieur, le champ $\vec{B}$ est uniforme et pointe vers la gauche.
b)
En déduis quelle extrémité (gauche ou droite) constitue la face Nord.
Le champ sort par la face Nord : l'extrémité gauche est la face Nord (la droite est Sud).

Exercice 7fil vertical : courant vers le bas

Un fil rectiligne vertical est parcouru par un courant $I$ orienté vers le bas. Deux points $M$ (à droite) et $N$ (à gauche) sont dans le plan de la feuille.

a)
Au point $M$ , le champ $\vec{B}$ sort-il de la feuille ( $\odot$ ) ou y entre-t-il ( $\otimes$ ) ?
Main droite, pouce vers le bas (sens de $I$ ) : les doigts s'enroulent. Le courant étant inversé par rapport au cas « vers le haut », tous les sens le sont aussi.
Au point $M$ (à droite), le champ sort de la feuille : $\odot$ .
b)
Même question au point $N$ .
Au point $N$ (à gauche), le champ entre dans la feuille : $\otimes$ .

Exercice 8spire parcourue en sens horaire

Une spire circulaire, vue de face, est parcourue par le courant $I$ dans le sens horaire.

a)
À l'intérieur de la spire, le champ $\vec{B}$ sort-il vers toi ( $\odot$ ) ou s'enfonce-t-il dans la feuille ( $\otimes$ ) ?
Main droite « version spire » : on courbe les doigts dans le sens du courant (ici horaire) ; le pouce donne le sens de $\vec{B}$ à l'intérieur.
Les doigts tournant en sens horaire, le pouce pointe loin de toi : $\vec{B}$ s'enfonce dans la feuille, $\otimes$ .
b)
La face tournée vers toi est-elle la face Nord ou la face Sud ?
Le champ entre par la face avant : la face tournée vers toi est donc la face Sud (la face arrière est Nord).

Exercice 9deux champs opposés de même intensité

En un point $M$ , deux sources créent deux champs de même direction (horizontale) et de même intensité $B_1=B_2=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , mais de sens opposés.

a)
Quelle est l'intensité du champ résultant en $M$ ?
Superposition $=$ somme vectorielle ; champs colinéaires de sens opposés $\Rightarrow$ les normes se soustraient.
$B_{\text{tot}}=|B_1-B_2|=|5-5|\times10^{-5}=0$ : les deux champs se compensent exactement ( $M$ est un point neutre).
b)
Que vaudrait-elle si les deux champs étaient de même sens ?
De même sens, ils s'ajouteraient : $B_{\text{tot}}=B_1+B_2=1\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ .

Exercice 10trois champs alignés de même sens

En un point $M$ , trois sources créent chacune un champ horizontal dirigé vers la droite, d'intensités $B_1=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , $B_2=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ et $B_3=1\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Quelle est l'intensité du champ résultant ?
Colinéaires et de même sens : les normes s'ajoutent simplement.
$B_{\text{tot}}=B_1+B_2+B_3=(2+3+1)\times10^{-5}=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
Dans quel sens pointe-t-il ?
Il pointe vers la droite, comme les trois champs.

Exercice 11reconnaître un champ uniforme

Le spectre ci-dessous montre des lignes de champ parallèles et régulièrement espacées, orientées vers la droite. Deux points $A$ et $B$ y sont marqués.

a)
Quelles sont la direction et le sens du champ $\vec{B}$ au point $A$ ?
Des lignes parallèles et régulièrement espacées caractérisent un champ uniforme : même direction, même sens et même intensité en tout point.
En $A$ , $\vec{B}$ est horizontal, dirigé vers la droite (tangent aux lignes, dans leur sens).
b)
Le champ est-il plus intense en $A$ , plus intense en $B$ , ou de même intensité aux deux points ? Justifie.
Le champ a la même intensité en $A$ et en $B$ : l'espacement des lignes étant constant, le champ ne varie pas d'un point à l'autre.

Exercice 12deux aimants face à face : un point neutre

Deux aimants droits identiques sont alignés horizontalement, pôles Nord en regard (configuration N – N). Le point $M$ est sur l'axe, à égale distance des deux pôles Nord.

a)
En $M$ , le champ de l'aimant de gauche et celui de l'aimant de droite ont-ils le même sens ou des sens opposés ? (Rappel : à l'extérieur, $\vec{B}$ « sort » de la face Nord.)
À l'extérieur, $\vec{B}$ sort de la face Nord : chaque pôle Nord « pousse » son champ vers $M$ .
L'aimant de gauche (Nord à droite) crée en $M$ un champ dirigé vers la droite ; celui de droite (Nord à gauche) un champ dirigé vers la gauche : les deux champs sont de sens opposés.
b)
Qu'en déduis-tu pour le champ résultant en $M$ ?
Par symétrie ils ont la même intensité ; opposés et égaux, ils s'annulent : $B_{\text{tot}}=0$ . Le point $M$ est un point neutre.

Exercice 13fil vu en bout : courant entrant

Un fil perpendiculaire à la feuille est traversé par un courant $I$ qui entre dans la feuille ( $\otimes$ ). On considère un point $P$ juste au-dessus du fil et un point $Q$ juste au-dessous.

a)
Dans quel sens (horaire ou trigonométrique) tournent les lignes de champ autour du fil ?
Courant entrant ( $\otimes$ ) : main droite, pouce enfoncé dans la feuille, les doigts s'enroulent.
Vu de face avec le pouce qui s'éloigne, les doigts tournent dans le sens horaire.
b)
Au point $P$ (au-dessus), $\vec{B}$ pointe-t-il vers la gauche ou vers la droite ? Même question au point $Q$ .
Sur ce cercle horaire, la tangente au sommet $P$ pointe vers la droite, et au point bas $Q$ vers la gauche.

Exercice 14retrouver la face Nord d'un aimant

Le spectre d'un aimant droit est représenté ci-dessous. À l'extérieur, les lignes de champ sortent par l'extrémité gauche et rentrent par l'extrémité droite.

a)
Quelle extrémité (gauche ou droite) est la face Nord ?
Règle des lignes de champ : à l'extérieur, elles sortent du Nord et entrent par le Sud.
Les lignes sortant à gauche, l'extrémité gauche est la face Nord (la droite est Sud).
b)
En un point situé juste à gauche de l'aimant, dans quel sens pointe $\vec{B}$ ?
Juste à gauche de l'aimant, $\vec{B}$ est tangent à la ligne dans son sens : il pointe vers la gauche (il s'éloigne du pôle Nord).

Exercice 15deux champs perpendiculaires : raisonnement

En un point $M$ , deux champs de même intensité $B$ sont perpendiculaires : $\vec{B}_1$ est horizontal (vers la droite), $\vec{B}_2$ vertical (vers le haut).

a)
Sans calcul, l'intensité du champ résultant est-elle plus petite, égale ou plus grande que $B$ ? Pourquoi ne vaut-elle pas $2B$ ?
L'intensité résultante est plus grande que $B$ , mais pas égale à $2B$ : on additionne des vecteurs, pas des nombres. La résultante est la diagonale du carré de côté $B$ , soit $B\sqrt2\approx1{,}41\,B$ .
b)
Dans quelle direction pointe approximativement le champ résultant ?
$\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ ayant la même norme, la résultante est la bissectrice de l'angle droit : elle pointe en diagonale vers le haut à droite, à 45 de chacun.

Moyen14 exercices

Exercice 1deux champs perpendiculaires de même norme

En un point $M$ , deux sources créent deux champs perpendiculaires, l'un horizontal $\vec{B}_1$ , l'autre vertical $\vec{B}_2$ , de même intensité $B_1=B_2=1.0\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ .

a)
Calcule l'intensité du champ résultant $\vec{B}_{\text{tot}}$ .
Les deux champs étant orthogonaux, on applique le théorème de Pythagore (surtout pas $B_1+B_2$ !).
$B_{\text{tot}}=\sqrt{B_1^2+B_2^2}=\sqrt{2}\,B_1=1{,}414\times1.0\times 10^{-4} \approx1.41\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$
b)
Quel angle $\theta$ fait-il avec $\vec{B}_1$ ?
$\tan\theta=\dfrac{B_2}{B_1}=1 \Rightarrow \theta=45^{\circ}$ : le champ résultant est la bissectrice de l'angle droit (logique, puisque $B_1=B_2$ ).

Exercice 2superposition orthogonale : Pythagore

Deux champs perpendiculaires se superposent en $M$ : $B_1=3\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ (horizontal) et $B_2=4\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ (vertical).

a)
Détermine l'intensité du champ résultant.
$B_{\text{tot}}=\sqrt{B_1^2+B_2^2}=\sqrt{(3\cdot10^{-4})^2+(4\cdot10^{-4})^2} =\sqrt{9+16}\times10^{-4}=\sqrt{25}\times10^{-4}=5\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$ (C'est le triangle $3$ – $4$ – $5$ .)
b)
Détermine l'angle $\theta$ que fait le champ résultant avec le champ horizontal $\vec{B}_1$ (on donne $\tan^{-1}(4/3)\approx53^{\circ}$ ).
$\tan\theta=\dfrac{B_2}{B_1}=\dfrac{4}{3}\Rightarrow \theta\approx53^{\circ}$ au-dessus de l'horizontale $\vec{B}_1$ .

Exercice 3fil horizontal : champ au-dessus et au-dessous

Un fil rectiligne horizontal, dans le plan de la feuille, est parcouru par un courant $I$ orienté vers la droite. On considère un point $P$ situé au-dessus du fil et un point $Q$ situé au-dessous.

a)
Au point $P$ (au-dessus), $\vec{B}$ sort-il ( $\odot$ ) ou entre-t-il ( $\otimes$ ) dans la feuille ?
Main droite : pouce vers la droite (sens de $I$ ), les doigts s'enroulent autour du fil.
Au-dessus du fil, les doigts sortent vers l'avant : au point $P$ , $\vec{B}$ sort de la feuille, $\odot$ .
b)
Même question au point $Q$ (au-dessous).
Au-dessous, les doigts plongent vers l'arrière : au point $Q$ , $\vec{B}$ entre dans la feuille, $\otimes$ . Le champ « tourne » bien autour du fil (sens opposés de part et d'autre).

Exercice 4deux fils identiques : champ au milieu

Deux fils parallèles, perpendiculaires à la feuille, portent le même courant de même sens (tous deux sortants, $\odot$ ). Le point $M$ est situé exactement au milieu des deux fils ; chacun y crée un champ d'intensité $4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
En appliquant la règle de la main droite à chaque fil, indique la direction et le sens des champs $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ créés en $M$ .
Chaque courant sort de la feuille : main droite, pouce vers soi, doigts en sens trigonométrique. Fil 1 (à gauche de $M$ ) crée en $M$ un champ dirigé vers le haut ; fil 2 (à droite de $M$ ) crée en $M$ un champ dirigé vers le bas. Les deux champs sont donc opposés.
b)
En déduis l'intensité du champ résultant en $M$ .
De même norme ( $4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) et de sens contraires, ils se compensent :
$B_{\text{tot}}=|B_1-B_2|=0.$
Le champ résultant est nul au milieu de deux fils identiques parcourus dans le même sens.

Exercice 5trois champs alignés, l'un à contre-sens

En un point $M$ , trois champs horizontaux se superposent : $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ sont dirigés vers la droite, d'intensités $B_1=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ et $B_2=4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ; $\vec{B}_3$ est dirigé vers la gauche, d'intensité $B_3=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Quelle est l'intensité du champ résultant ?
Champs colinéaires : on compte $+$ vers la droite, $-$ vers la gauche.
$B_{\text{tot}}=B_1+B_2-B_3=(6+4-3)\times10^{-5}=7\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
Dans quel sens pointe-t-il ?
Le résultat est positif : le champ pointe vers la droite.

Exercice 6superposition orthogonale : triangle 5-12-13

Deux champs perpendiculaires se superposent en $M$ : $\vec{B}_1=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (horizontal, vers l'Est) et $\vec{B}_2=12\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (vertical, vers le Nord).

a)
Calcule l'intensité du champ résultant.
Champs perpendiculaires $\Rightarrow$ théorème de Pythagore.
$B_{\text{tot}}=\sqrt{B_1^2+B_2^2}=\sqrt{5^2+12^2}\times10^{-5}=\sqrt{169}\times10^{-5}=13\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
Quel angle $\theta$ fait-il avec $\vec{B}_1$ ? (On donne $\tan^{-1}(2{,}4)\approx67^{\circ}$ .)
$\tan\theta=\dfrac{B_2}{B_1}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\Rightarrow\theta\approx67^{\circ}$ au-dessus de $\vec{B}_1$ (vers le Nord).

Exercice 7solénoïde : polarité et action sur une boussole

Dans le solénoïde en coupe ci-dessous, le courant sort de la feuille sur les brins du haut ( $\odot$ ) et y entre sur ceux du bas ( $\otimes$ ).

a)
Vers quel côté pointe le champ $\vec{B}$ à l'intérieur ? Quelle extrémité est la face Nord ?
Main droite sur un brin du haut ( $\odot$ ) : juste en dessous (à l'intérieur) les doigts pointent vers la droite ; même chose pour un brin du bas ( $\otimes$ ).
$\vec{B}$ intérieur pointe vers la droite ; le champ sort par la face Nord, donc l'extrémité droite est la face Nord.
b)
On approche le pôle Nord d'une petite boussole de l'extrémité droite. Est-il attiré ou repoussé ?
La face droite étant Nord, elle repousse le pôle Nord de la boussole (deux pôles de même nom se repoussent).

Exercice 8deux fils superposés : champ entre eux

Deux fils horizontaux, dans le plan de la feuille, sont superposés (fil du haut, fil du bas). Ils portent le même courant $I$ orienté vers la droite. Le point $M$ est entre les deux fils, à égale distance de chacun ; chaque fil y crée un champ d'intensité $6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Par la main droite, donne le sens ( $\odot$ ou $\otimes$ ) du champ créé en $M$ par chaque fil, puis déduis-en le champ résultant.
Main droite, pouce vers la droite pour chaque fil.
Le fil du haut crée en $M$ (situé au-dessous de lui) un champ entrant $\otimes$ ; le fil du bas crée en $M$ (situé au-dessus de lui) un champ sortant $\odot$ . Opposés et de même intensité, ils se compensent : $B_{\text{tot}}=0$ .
b)
On inverse le sens du courant dans le fil du bas. Que vaut alors le champ résultant en $M$ ?
En inversant le courant du bas, ce fil crée maintenant en $M$ un champ entrant $\otimes$ , comme celui du haut. Ils s'ajoutent : $B_{\text{tot}}=2\times6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}=1.2\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ (entrant).

Exercice 9composer puis annuler

En un point $M$ , deux champs perpendiculaires se superposent : $\vec{B}_1=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers l'Est et $\vec{B}_2=4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers le Nord.

a)
Détermine l'intensité et la direction (angle avec l'Est) du champ résultant. (On donne $\tan^{-1}(4/3)\approx53^{\circ}$ .)
$B_{\text{tot}}=\sqrt{3^2+4^2}\times10^{-5}=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , faisant un angle $\tan^{-1}(4/3)\approx53^{\circ}$ avec l'Est (vers le Nord-Est).
b)
Quelles doivent être l'intensité, la direction et le sens d'un troisième champ $\vec{B}_3$ pour que le champ total soit nul en $M$ ?
Pour annuler le champ total, $\vec{B}_3$ doit être l'opposé de la résultante : même intensité $5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , même direction, mais sens contraire — soit 53 au Sud de l'Ouest.

Exercice 10retrouver un champ manquant (colinéaire)

En un point $M$ , un premier champ $\vec{B}_1=7\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ est dirigé vers la droite. Un second champ $\vec{B}_2$ , de même direction (horizontale), s'y superpose.

a)
On mesure un champ total de $3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ dirigé vers la droite. Quelles sont l'intensité et le sens de $\vec{B}_2$ ?
On compte $+$ vers la droite : $7\times10^{-5}+B_2=B_{\text{tot}}$ .
$B_{\text{tot}}=+3\times10^{-5}$ : $B_2=(3-7)\times10^{-5}=-4\times10^{-5}$ , soit $4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ dirigé vers la gauche.
b)
Même question si le champ total mesuré vaut $3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ mais dirigé vers la gauche.
$B_{\text{tot}}=-3\times10^{-5}$ : $B_2=(-3-7)\times10^{-5}=-10\times10^{-5}$ , soit $1\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ dirigé vers la gauche.

Exercice 11retrouver une composante (orthogonale)

En un point $M$ , un champ horizontal $\vec{B}_1=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (vers l'Est) se superpose à un champ vertical $\vec{B}_2$ (vers le Nord). Le champ résultant a pour intensité $13\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Détermine l'intensité de $\vec{B}_2$ .
Pythagore : $B_{\text{tot}}^2=B_1^2+B_2^2$ .
$B_2=\sqrt{B_{\text{tot}}^2-B_1^2}=\sqrt{13^2-5^2}\times10^{-5}=\sqrt{144}\times10^{-5}=12\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
Quel angle le champ résultant fait-il avec l'Est ? (On donne $\tan^{-1}(2{,}4)\approx67^{\circ}$ .)
$\tan\theta=\dfrac{B_2}{B_1}=\dfrac{12}{5}=2{,}4\Rightarrow\theta\approx67^{\circ}$ avec l'Est.

Exercice 12trois champs : d'abord aligner, puis Pythagore

En un point $M$ se superposent trois champs : $\vec{B}_1=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers l'Est, $\vec{B}_2=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers l'Ouest et $\vec{B}_3=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers le Nord.

a)
Détermine d'abord la résultante des deux champs horizontaux $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ .
$\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ sont colinéaires et opposés : résultante horizontale $=(8-2)\times10^{-5}=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers l'Est.
b)
En la composant avec $\vec{B}_3$ , calcule l'intensité du champ total et l'angle qu'il fait avec l'Est. (On donne $\tan^{-1}(4/3)\approx53^{\circ}$ .)
Cette résultante ( $6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , Est) est perpendiculaire à $\vec{B}_3$ ( $8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , Nord) : $B_{\text{tot}}=\sqrt{6^2+8^2}\times10^{-5}=10\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , à $\tan^{-1}(8/6)=\tan^{-1}(4/3)\approx53^{\circ}$ de l'Est.

Exercice 13quel sens de courant pour une face Nord donnée ?

On dispose une spire circulaire face à toi (dans le plan de la feuille). On souhaite que la face tournée vers toi se comporte comme un pôle Nord.

a)
À l'intérieur de la spire, dans quel sens ( $\odot$ ou $\otimes$ ) doit alors être orienté le champ $\vec{B}$ ?
Une face Nord est celle par où $\vec{B}$ sort. Pour que la face avant soit Nord, $\vec{B}$ doit sortir vers toi à l'intérieur : $\odot$ .
b)
Dans quel sens (horaire ou trigonométrique) le courant $I$ doit-il circuler ? Justifie par la main droite.
Main droite : pour que le pouce (sens de $\vec{B}$ ) pointe vers toi, les doigts s'enroulent en sens trigonométrique (anti-horaire). Le courant doit donc circuler en sens trigonométrique.

Exercice 14champ autour d'un fil vu en bout

Un fil perpendiculaire à la feuille porte un courant sortant ( $\odot$ ). Quatre points sont placés autour de lui : $E$ (à l'Est), $N$ (au Nord), $O$ (à l'Ouest) et $S$ (au Sud).

a)
Dans quel sens tournent les lignes de champ (horaire ou trigonométrique) ?
Courant sortant ( $\odot$ ) : pouce vers toi, les doigts s'enroulent en sens trigonométrique (anti-horaire). $\vec{B}$ est tangent au cercle, dans ce sens.
Les lignes tournent en sens trigonométrique (anti-horaire).
b)
Donne la direction et le sens de $\vec{B}$ (haut, bas, gauche ou droite) en chacun des points $E$ , $N$ , $O$ , $S$ .
Tangente anti-horaire : en $E$ (Est) $\vec{B}$ pointe vers le haut ; en $N$ vers la gauche ; en $O$ vers le bas ; en $S$ vers la droite.

Difficile14 exercices

Exercice 1la boussole déviée par un fil

Une petite boussole est posée sur une table ; son aiguille s'aligne d'abord sur la composante horizontale du champ terrestre $\vec{B}_H$ , dirigée vers le Nord, d'intensité $B_H=2.0\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . On approche un fil qui crée, à l'endroit de la boussole, un champ horizontal $\vec{B}_f$ dirigé vers l'Est, perpendiculaire à $\vec{B}_H$ , d'intensité $B_f=3.46\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Quelle est l'intensité du champ résultant qui oriente désormais l'aiguille ?
Les deux champs horizontaux sont perpendiculaires : on compose par Pythagore. Avec $B_f=3.46\times 10^{-5}\,\mathrm{T}=2\sqrt{3}\times10^{-5}$ :
$B_{\text{tot}}=\sqrt{B_H^2+B_f^2}=\sqrt{(2)^2+(2\sqrt3)^2}\times10^{-5} =\sqrt{4+12}\times10^{-5}=\sqrt{16}\times10^{-5}=4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}.$
b)
De quel angle $\alpha$ l'aiguille tourne-t-elle par rapport au Nord ? (On donne $\tan^{-1}(\sqrt{3})=60^{\circ}$ .)
L'aiguille s'aligne sur $\vec{B}_{\text{tot}}$ :
$\tan\alpha=\frac{B_f}{B_H}=\frac{3{,}46}{2}=\sqrt{3}\;\Rightarrow\;\alpha=60^{\circ}.$
L'aiguille tourne de 60 vers l'Est. C'est précisément l'expérience d'Ørsted : le courant « détourne » la boussole d'autant plus que $B_f$ est grand devant $B_H$ .

Exercice 2deux fils de courants opposés : champ au milieu

Reprenons deux fils perpendiculaires à la feuille, mais cette fois de courants de sens contraires : le fil 1 (à gauche) est sortant ( $\odot$ ), le fil 2 (à droite) est entrant ( $\otimes$ ). Chacun crée au point milieu $M$ un champ d'intensité $4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Donne la direction et le sens de $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ au point $M$ .
Fil 1 ( $\odot$ , à gauche de $M$ ) : main droite $\Rightarrow$ $\vec{B}_1$ dirigé vers le haut en $M$ . Fil 2 ( $\otimes$ , à droite de $M$ ) : courant entrant, les lignes tournent en sens horaire ; à gauche du fil 2 (donc en $M$ ) le champ $\vec{B}_2$ est aussi dirigé vers le haut. Les deux champs sont de même sens.
b)
En déduis l'intensité du champ résultant en $M$ , et compare au cas des courants de même sens.
Ils s'ajoutent :
$B_{\text{tot}}=B_1+B_2=4\cdot10^{-5}+4\cdot10^{-5}=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}\ \text{(vers le haut).}$
À retenir : au milieu de deux fils, courants de même sens $\Rightarrow$ champ nul ; courants opposés $\Rightarrow$ champ maximal (les contributions s'ajoutent). C'est l'inverse de l'intuition !

Exercice 3superposition à 60 : passer par les composantes

En un point $M$ , deux champs de même intensité $B=4\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ font entre eux un angle de 60 : $\vec{B}_1$ est horizontal, $\vec{B}_2$ est incliné de 60 au-dessus de l'horizontale.

a)
Décompose $\vec{B}_1$ et $\vec{B}_2$ sur les axes horizontal et vertical, puis calcule les composantes du champ résultant. (On donne $\cos60^{\circ}=0{,}5$ et $\sin60^{\circ}\approx0{,}866$ .)
Sur l'axe horizontal ( $x$ ) et vertical ( $y$ ), avec $B=4\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ :
$\vec{B}_1=(B,\;0),\qquad \vec{B}_2=(B\cos60^{\circ},\;B\sin60^{\circ})=(2\cdot10^{-4},\;3{,}46\cdot10^{-4}).$
Composantes du résultant :
$R_x=B+B\cos60^{\circ}=4\cdot10^{-4}+2\cdot10^{-4}=6\times 10^{-4}\,\mathrm{T},\quad R_y=B\sin60^{\circ}=3.46\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$
b)
En déduis l'intensité du champ résultant et l'angle qu'il fait avec l'horizontale.
Norme :
$B_{\text{tot}}=\sqrt{R_x^2+R_y^2}=\sqrt{6^2+3{,}46^2}\times10^{-4} \approx\sqrt{48}\times10^{-4}\approx6.9\times 10^{-4}\,\mathrm{T}.$
Angle avec l'horizontale : $\tan\varphi=\dfrac{R_y}{R_x}=\dfrac{3{,}46}{6}=0{,}577 \Rightarrow \varphi=30^{\circ}$ . La résultante bissecte l'angle des deux champs (normal, puisqu'ils ont la même norme).

Exercice 4annuler un champ avec un fil

En un point $M$ , un aimant crée un champ uniforme $\vec{B}_A$ dirigé vers la droite, de norme $6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . On veut annuler le champ en $M$ à l'aide d'un long fil perpendiculaire à la feuille, passant par un point $O$ situé juste au-dessus de $M$ .

a)
Quelles doivent être la direction, le sens et l'intensité du champ $\vec{B}_f$ créé par le fil en $M$ pour que le champ total y soit nul ?
Pour que $\vec{B}_A+\vec{B}_f=\vec{0}$ , il faut $\vec{B}_f=-\vec{B}_A$ : même intensité $6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , même direction (horizontale), mais sens opposé, donc dirigé vers la gauche.
b)
En déduis, par la règle de la main droite, dans quel sens le courant doit circuler dans le fil (sortant $\odot$ ou entrant $\otimes$ ).
Le point $M$ est au-dessous du fil. On veut qu'en ce point le champ pointe vers la gauche. Par la règle de la main droite, cela impose un courant entrant dans la feuille ( $\otimes$ ) : pouce enfoncé dans la feuille, les doigts tournent en sens horaire, et sous le fil la tangente est bien dirigée vers la gauche. Avec ce sens et une intensité réglée pour $B_f=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , le champ total est nul en $M$ .

Exercice 5deux fils parallèles : champ sur la médiatrice

Deux longs fils, perpendiculaires à la feuille, portent des courants sortants ( $\odot$ ) de même intensité, placés en $F_1$ et $F_2$ symétriques par rapport à un axe vertical. Le point $P$ est sur cet axe, tel que $PF_1=PF_2$ et que les segments $PF_1$ , $PF_2$ font chacun un angle de 45 avec l'horizontale. Chaque fil crée en $P$ un champ d'intensité $B_0=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Par la main droite, donne la direction et le sens du champ créé en $P$ par chaque fil (rappel : $\vec{B}$ est perpendiculaire au segment fil– $P$ ).
Chaque fil $\odot$ engendre un champ tournant en sens trigonométrique ; en $P$ , $\vec{B}$ est perpendiculaire au segment fil– $P$ .
Segment $F_1\!\to\!P$ orienté à 45 (haut-droite) : $\vec{B}_1$ , perpendiculaire et tourné en sens trigo, pointe vers le haut-gauche (135). Segment $F_2\!\to\!P$ à 135 : $\vec{B}_2$ pointe vers le bas-gauche (225). Les deux ont la norme $B_0$ .
b)
Projette ces deux champs sur les axes horizontal et vertical. Que remarque-t-on pour les composantes verticales ?
Composantes verticales : $+B_0\sin45^{\circ}$ pour $\vec{B}_1$ , $-B_0\sin45^{\circ}$ pour $\vec{B}_2$ : elles s'annulent. Composantes horizontales : $-B_0\cos45^{\circ}$ chacune : elles s'ajoutent.
c)
Déduis-en l'intensité et la direction du champ résultant en $P$ . (On donne $\cos45^{\circ}\approx0{,}707$ .)
$B_{\text{tot}}=2\,B_0\cos45^{\circ}=2\times2\times 10^{-5}\times0{,}707=B_0\sqrt2\approx2.83\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , dirigé horizontalement vers la gauche (parallèlement à la droite des deux fils).

Exercice 6trois champs à 120 : la résultante s'annule

En un point $M$ , trois sources créent trois champs de même intensité $B=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , faisant entre eux des angles de 120 (comme les branches d'un $Y$ ).

a)
Prends $\vec{B}_1$ vertical (vers le haut) et écris les composantes $(x,y)$ des trois champs. (On donne $\cos30^{\circ}\approx0{,}866$ et $\sin30^{\circ}=0{,}5$ .)
On prend $\vec{B}_1$ selon $+y$ , les autres à 210 et 330, tous de norme $B=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
$\vec{B}_1=(0,\;B)$ ; $\vec{B}_2=(B\cos210^{\circ},\,B\sin210^{\circ})=(-0{,}866\,B,\,-0{,}5\,B)$ ; $\vec{B}_3=(0{,}866\,B,\,-0{,}5\,B)$ .
b)
Calcule la somme des composantes sur chaque axe.
Somme sur $x$ : $-0{,}866\,B+0{,}866\,B=0$ . Somme sur $y$ : $B-0{,}5\,B-0{,}5\,B=0$ .
c)
Conclus sur l'intensité et la direction du champ résultant.
Le champ résultant est nul : trois champs égaux à 120 se compensent exactement (comme trois forces équilibrées).

Exercice 7deux champs à 120 d'intensités différentes

En un point $M$ , deux champs font entre eux un angle de 120 : $\vec{B}_1=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (horizontal, vers la droite) et $\vec{B}_2=4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (à 120 de $\vec{B}_1$ , mesuré dans le sens trigonométrique).

a)
Décompose les deux champs sur les axes $x$ (horizontal) et $y$ (vertical). (On donne $\cos120^{\circ}=-0{,}5$ et $\sin120^{\circ}\approx0{,}866$ .)
$\vec{B}_1=(6,\;0)\times10^{-5}$ . $\vec{B}_2=(4\cos120^{\circ},\,4\sin120^{\circ})\times10^{-5}=(-2,\;3{,}46)\times10^{-5}$ . Résultante : $R_x=6-2=4$ et $R_y=3{,}46$ (en $10^{-5}$ ).
b)
Calcule l'intensité du champ résultant.
$B_{\text{tot}}=\sqrt{R_x^2+R_y^2}=\sqrt{4^2+3{,}46^2}\times10^{-5}=\sqrt{28}\times10^{-5}\approx5.3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
c)
Quel angle fait-il avec $\vec{B}_1$ ?
$\tan\varphi=\dfrac{R_y}{R_x}=\dfrac{3{,}46}{4}=0{,}866\Rightarrow\varphi\approx41^{\circ}$ au-dessus de $\vec{B}_1$ .

Exercice 8où le champ de deux fils s'annule-t-il ?

Deux longs fils parallèles, perpendiculaires à la feuille, portent des courants sortants ( $\odot$ ) de même intensité. On étudie le champ le long du segment qui joint les deux fils.

a)
En un point du segment, quelle est la direction (haut/bas) du champ dû au fil 1 ? au fil 2 ? Sont-ils de même sens ou opposés ?
Un point du segment est à droite du fil 1 et à gauche du fil 2. Le fil 1 ( $\odot$ ) y crée un champ vers le haut ; le fil 2 ( $\odot$ ) un champ vers le bas : ils sont de sens opposés.
b)
Déduis-en en quel(s) point(s) du segment le champ résultant peut s'annuler. (Indice : pense à l'égalité des distances aux deux fils.)
Ils s'annulent là où leurs intensités sont égales, c'est-à-dire à égale distance des deux fils : uniquement au milieu du segment.
c)
On inverse le courant du fil 2 (désormais entrant, $\otimes$ ). Existe-t-il encore un point d'annulation sur le segment ? Explique.
Si le fil 2 devient entrant ( $\otimes$ ), il crée à sa gauche un champ vers le haut — le même sens que le fil 1. Les deux champs s'ajoutent partout sur le segment : il n'y a plus aucun point d'annulation.

Exercice 9boussole : de la déviation au champ du fil

L'aiguille d'une boussole s'aligne d'abord sur la composante horizontale du champ terrestre $\vec{B}_H$ (vers le Nord), d'intensité $B_H=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . On approche un fil qui crée, à l'endroit de la boussole, un champ horizontal $\vec{B}_f$ dirigé vers l'Est, perpendiculaire à $\vec{B}_H$ . L'aiguille dévie alors de 30 vers l'Est.

a)
Exprime $\tan(30^{\circ})$ en fonction de $B_f$ et $B_H$ , puis calcule $B_f$ . (On donne $\tan30^{\circ}\approx0{,}577$ .)
L'aiguille s'aligne sur la résultante de $\vec{B}_H$ (Nord) et $\vec{B}_f$ (Est), perpendiculaires.
$\tan(30^{\circ})=\dfrac{B_f}{B_H}\Rightarrow B_f=B_H\tan30^{\circ}=2\times10^{-5}\times0{,}577\approx1.15\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
b)
On double le courant dans le fil (donc $B_f$ double). De quel angle l'aiguille dévie-t-elle maintenant ? (On donne $\tan^{-1}(1{,}15)\approx49^{\circ}$ .)
En doublant le courant, $B_f'\approx2.3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ : $\tan\alpha=\dfrac{B_f'}{B_H}=\dfrac{2{,}3}{2}\approx1{,}15\Rightarrow\alpha\approx49^{\circ}$ . Doubler le courant ne double pas l'angle !

Exercice 10superposition de quatre champs cardinaux

En un point $M$ se superposent quatre champs horizontaux : vers le Nord $5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , vers le Sud $2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , vers l'Est $6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ et vers l'Ouest $2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Réduis d'abord les paires Nord/Sud et Est/Ouest à un champ résultant sur chaque axe.
Nord/Sud : $5-2=3\times10^{-5}$ vers le Nord. Est/Ouest : $6-2=4\times10^{-5}$ vers l'Est.
b)
Calcule l'intensité du champ total.
Ces deux résultantes sont perpendiculaires : $B_{\text{tot}}=\sqrt{3^2+4^2}\times10^{-5}=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .
c)
Quel angle fait-il avec la direction Est ? (On donne $\tan^{-1}(3/4)\approx37^{\circ}$ .)
$\tan\theta=\dfrac{3}{4}\Rightarrow\theta\approx37^{\circ}$ au Nord de l'Est.

Exercice 11deux bobines coaxiales : ajouter ou annuler

Deux bobines plates sont placées face à face sur le même axe horizontal. Prise seule, la bobine de gauche crée au point central $M$ un champ $B_1=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ et celle de droite un champ $B_2=3\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
Les courants sont réglés pour que les deux champs pointent vers la droite. Quelle est l'intensité du champ résultant en $M$ ? De quel côté se trouve la face Nord de l'ensemble ?
Mêmes sens $\Rightarrow$ on ajoute : $B_{\text{tot}}=B_1+B_2=(5+3)\times10^{-5}=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers la droite. Le champ sortant vers la droite, la face Nord de l'ensemble est du côté droit.
b)
On inverse le sens du courant dans la bobine de droite (son champ pointe désormais vers la gauche). Quelle est alors l'intensité du champ résultant, et dans quel sens pointe-t-il ?
Sens opposés $\Rightarrow$ on soustrait : $B_{\text{tot}}=|B_1-B_2|=(5-3)\times10^{-5}=2\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ , dirigé vers la droite (sens du plus grand, $\vec{B}_1$ ).
c)
Serait-il possible d'annuler complètement le champ en $M$ en agissant seulement sur l'intensité du courant de la bobine de droite ? Explique.
Oui : en augmentant le courant de droite jusqu'à ce que $B_2=B_1=5\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (en sens opposé), les deux champs se compensent et le champ total est nul en $M$ .

Exercice 12décomposer une résultante et la corriger

En un point $M$ , le champ résultant de plusieurs sources a pour intensité $10\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ et pointe à 37 au-dessus de l'horizontale (mesuré à partir de l'Est).

a)
Détermine les composantes horizontale (Est) et verticale (Nord) de ce champ. (On donne $\cos37^{\circ}\approx0{,}8$ et $\sin37^{\circ}\approx0{,}6$ .)
$B_x=B\cos37^{\circ}=10\times0{,}8=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (Est) ; $B_y=B\sin37^{\circ}=10\times0{,}6=6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ (Nord).
b)
Quel champ (intensité, direction, sens) faudrait-il ajouter en $M$ pour annuler complètement le champ total ?
Pour annuler le champ, on ajoute son opposé : $10\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ dirigé à 37 sous l'horizontale, vers le Sud-Ouest.
c)
À la place, quel champ faudrait-il ajouter pour que le champ total devienne horizontal (dirigé vers l'Est) ?
Pour le rendre horizontal, il suffit d'annuler la seule composante verticale : ajouter $6\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers le Sud. Il reste alors $8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers l'Est.

Exercice 13un fil pour dévier (ou annuler) un champ uniforme

Un aimant crée, dans toute une région, un champ uniforme $\vec{B}_A$ dirigé vers la droite, de norme $8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Un long fil, perpendiculaire à la feuille et sortant ( $\odot$ ), passe par un point $O$ . À une certaine distance du fil, le champ qu'il crée a pour intensité $B_f=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Le point $P$ est juste au-dessus de $O$ , et le point $Q$ juste à droite de $O$ , tous deux à cette distance.

a)
Par la main droite, donne la direction et le sens du champ du fil en $P$ , puis en $Q$ .
Le fil $\odot$ engendre un champ tournant en sens trigonométrique, tangent au cercle centré sur le fil.
En $P$ (au-dessus de $O$ ), $\vec{B}_f$ pointe vers la gauche ; en $Q$ (à droite de $O$ ), $\vec{B}_f$ pointe vers le haut.
b)
En $P$ , calcule le champ total et indique s'il peut être nul.
En $P$ : $\vec{B}_f$ (gauche) est opposé à $\vec{B}_A$ (droite), de même norme $8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ . Le champ total y est nul.
c)
En $Q$ , calcule l'intensité du champ total et l'angle qu'il fait avec $\vec{B}_A$ . (On donne $\sqrt2\approx1{,}41$ .)
En $Q$ : $\vec{B}_f$ (haut) est perpendiculaire à $\vec{B}_A$ (droite). $B_{\text{tot}}=\sqrt{8^2+8^2}\times10^{-5}=8\sqrt2\times10^{-5}\approx1.13\times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ , à 45 au-dessus de $\vec{B}_A$ .

Exercice 14trois fils alignés : champ sur le fil central

Trois longs fils parallèles, perpendiculaires à la feuille, sont alignés et équidistants (fils 1, 2, 3 de gauche à droite). Ils portent tous un courant sortant ( $\odot$ ) de même intensité ; chacun des fils extérieurs crée, à l'emplacement du fil central, un champ d'intensité $4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ .

a)
À l'emplacement du fil 2, donne la direction (haut/bas) du champ créé par le fil 1, puis par le fil 3.
À l'emplacement du fil 2 : le fil 1 ( $\odot$ , à gauche) crée un champ vers le haut ; le fil 3 ( $\odot$ , à droite) crée un champ vers le bas.
b)
Déduis-en le champ résultant dû aux deux fils extérieurs en ce point.
De même intensité ( $4\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ ) et opposés, ces deux champs se compensent : le champ dû aux fils extérieurs est nul.
c)
On inverse le sens du courant du fil 3 (désormais entrant, $\otimes$ ). Que devient ce champ résultant ?
Fil 3 devenu entrant ( $\otimes$ ) : il crée à sa gauche un champ vers le haut, comme le fil 1. Les deux s'ajoutent : $B=(4+4)\times10^{-5}=8\times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ vers le haut.

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