Loi de Coulomb et superposition des forces

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Facile15 exercices

Exercice 1intensité de la force de Coulomb

Deux charges $q_1 = +3\,\mathrm{\mu C}$ et $q_2 = +2\,\mathrm{\mu C}$ sont distantes de $d = 10\,\mathrm{cm}$ dans l'air ( $K = 9\times 10^{9}\ \mathrm{N}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ ).

a)
Calcule l'intensité $F$ de la force d'interaction (pense à convertir les unités).
Conversions : $q_1 = 3\times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ , $q_2 = 2\times 10^{-6}\ \mathrm{C}$ , $d = 0.10\,\mathrm{m}$ .
$F = K\,\frac{|q_1||q_2|}{d^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{(3\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{6\times 10^{-12}}{0{,}01} = 5.4\,\mathrm{N}.$
b)
Cette force est-elle attractive ou répulsive ?
Les deux charges sont positives (mêmes signes) : force répulsive.

Exercice 2attraction ou répulsion ?

Pour chacun des couples ci-dessous, indique si la force est attractive ou répulsive, et dans quel sens pointe la force subie par la charge de gauche.

a)
$q_1 = +5\,\mathrm{nC}$ (gauche) et $q_2 = -2\,\mathrm{nC}$ (droite).
Signes opposés ( $+$ et $-$ ) : attraction. La force sur la charge de gauche pointe vers la droite (vers $q_2$ ).
b)
$q_1 = -4\,\mathrm{nC}$ (gauche) et $q_2 = -6\,\mathrm{nC}$ (droite).
Mêmes signes ( $-$ et $-$ ) : répulsion. La force sur la charge de gauche pointe vers la gauche (elle est repoussée, dos à $q_2$ ).

Exercice 3jouer sur la charge et la distance

Deux charges se repoussent avec une force d'intensité $F_0 = 8\,\mathrm{N}$ à la distance $d$ .

a)
Que devient l'intensité si l'on double la distance (charges inchangées) ?
On raisonne par proportionnalité, sans tout recalculer.
$F \propto 1/d^2$ : doubler $d$ divise $F$ par $2^2 = 4$ .
$F = \frac{F_0}{4} = \frac{8}{4} = 2\,\mathrm{N}.$
b)
Que devient l'intensité si, à distance $d$ inchangée, on triple l'une des deux charges ?
$F \propto |q|$ : tripler une charge triple $F$ .
$F = 3\,F_0 = 3\times 8 = 24\,\mathrm{N}.$

Exercice 4retrouver la distance

Deux charges $q_1 = +5\,\mathrm{\mu C}$ et $q_2 = +2\,\mathrm{\mu C}$ se repoussent avec une force d'intensité $F = 9\,\mathrm{N}$ .

a)
Exprime la distance $d$ en fonction de $K$ , $q_1$ , $q_2$ et $F$ .
De $F = K\,|q_1||q_2|/d^2$ on isole $d$ :
$d = \sqrt{\frac{K\,|q_1|\,|q_2|}{F}}.$
b)
Calcule $d$ (en cm).
$d = \sqrt{\frac{9\times 10^{9}\times(5\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{9}} = \sqrt{\frac{9\times 10^{9}\times1\times 10^{-11}}{9}} = \sqrt{0{,}01} = 0.10\,\mathrm{m} = 10\,\mathrm{cm}.$

Exercice 5la plus grosse charge subit-elle plus ?

Deux charges positives $q_1 = +2\,\mathrm{\mu C}$ et $q_2 = +8\,\mathrm{\mu C}$ sont distantes de $d = 20\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité de la force subie par $q_1$ , puis celle subie par $q_2$ .
La distance et le produit des charges sont les mêmes pour les deux, donc une seule valeur :
$F = K\,\frac{|q_1||q_2|}{d^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(8\times 10^{-6})}{(0{,}20)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{1.6\times 10^{-11}}{0{,}04} = 3.6\,\mathrm{N}.$
$q_1$ subit $3.6\,\mathrm{N}$ , $q_2$ subit aussi $3.6\,\mathrm{N}$ .
b)
La charge $q_2$ (quatre fois plus grande) subit-elle une force plus intense ? Conclus.
Non : les deux forces sont égales (action–réaction). La formule ne fait intervenir que le produit $|q_1||q_2|$ , identique pour les deux charges. Une charge plus grande ne subit pas une force plus intense.

Exercice 6force dans l'atome d'hydrogène

Dans un atome d'hydrogène, on modélise le proton et l'électron par deux charges ponctuelles de valeur absolue égale à la charge élémentaire $e = 1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ , séparées par une distance $d = 1\times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule l'intensité $F$ de la force électrique qui s'exerce entre eux.
$F = K\,\frac{e^2}{d^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{(1.6\times 10^{-19})^2}{(1\times 10^{-10})^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{2.56\times 10^{-38}}{1\times 10^{-20}} \approx 2.3\times 10^{-8}\,\mathrm{N}.$
b)
Cette force est-elle attractive ou répulsive ?
Le proton est positif, l'électron négatif (signes opposés) : la force est attractive.

Exercice 7deux petites charges en nanocoulombs

Deux charges $q_1 = +40\,\mathrm{nC}$ et $q_2 = -50\,\mathrm{nC}$ sont distantes de $d = 3\,\mathrm{cm}$ dans l'air.

a)
Après conversion des unités, calcule l'intensité $F$ de la force d'interaction.
Conversions : $q_1 = 4\times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ , $q_2 = 5\times 10^{-8}\ \mathrm{C}$ , $d = 0.03\,\mathrm{m}$ .
$F = 9\times 10^{9}\times\frac{(4\times 10^{-8})(5\times 10^{-8})}{(0{,}03)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{2\times 10^{-15}}{9\times 10^{-4}} = 20\,\mathrm{N}.$
b)
Précise si elle est attractive ou répulsive.
Signes opposés ( $+$ et $-$ ) : force attractive.

Exercice 8retrouver une charge

Deux charges se repoussent avec une force d'intensité $F = 4.5\,\mathrm{N}$ lorsqu'elles sont distantes de $d = 20\,\mathrm{cm}$ . L'une d'elles vaut $q_1 = +2\,\mathrm{\mu C}$ .

a)
Exprime la seconde charge $q_2$ en fonction de $F$ , $d$ , $K$ et $q_1$ .
De $F = K\,|q_1||q_2|/d^2$ on isole $q_2$ :
$q_2 = \frac{F\,d^2}{K\,|q_1|}.$
b)
Calcule $q_2$ (en $\mathrm{\mu C}$ ).
$q_2 = \frac{4{,}5\times(0{,}20)^2}{9\times 10^{9}\times2\times 10^{-6}} = \frac{4{,}5\times 0{,}04}{1.8\times 10^{4}} = \frac{0{,}18}{1.8\times 10^{4}} = 1\times 10^{-5}\ \mathrm{C} = 10\,\mathrm{\mu C}.$

Exercice 9rapprocher les charges

Deux charges fixes exercent l'une sur l'autre une force d'intensité $F_0 = 2\,\mathrm{N}$ à la distance $d$ .

a)
Sans tout recalculer, par quel facteur l'intensité est-elle multipliée si l'on divise la distance par $3$ (charges inchangées) ?
$F \propto 1/d^2$ : diviser $d$ par $3$ multiplie l'intensité par $3^2 = \mathbf{9}$ .
b)
Donne la nouvelle intensité.
$F = 9\,F_0 = 9\times 2 = 18\,\mathrm{N}.$

Exercice 10doubler les deux charges

Deux charges exercent l'une sur l'autre une force d'intensité $F_0 = 5\,\mathrm{N}$ .

a)
Par quel facteur l'intensité est-elle multipliée si l'on double chacune des deux charges, la distance restant la même ?
$F \propto |q_1||q_2|$ : doubler chacune des deux charges multiplie l'intensité par $2\times 2 = \mathbf{4}$ .
b)
Donne la nouvelle intensité.
$F = 4\,F_0 = 4\times 5 = 20\,\mathrm{N}.$

Exercice 11deux dispositions, même force ?

On compare deux dispositions de deux charges ponctuelles :

a)
disposition A : deux charges $q$ et $q$ séparées de $d$ ;
$F_A = K\,\frac{q\cdot q}{d^2} = K\,\frac{q^2}{d^2},\qquad F_B = K\,\frac{(2q)(2q)}{(2d)^2} = K\,\frac{4q^2}{4d^2} = K\,\frac{q^2}{d^2}.$
b)
disposition B : deux charges $2q$ et $2q$ séparées de $2d$ .
1. Exprime l'intensité de la force dans chacune des deux dispositions.
2. Les deux forces ont-elles la même intensité ? Justifie.
Oui, les deux forces ont la même intensité ( $F_A = F_B$ ) : doubler à la fois les charges et la distance laisse la force inchangée, car le numérateur ( $\times 4$ ) et le dénominateur ( $\times 4$ ) sont multipliés par le même facteur.

Exercice 12déduire le signe d'une charge

On connaît le caractère de la force (attractive ou répulsive) mais pas tous les signes.

a)
La force entre deux charges est répulsive et $q_1 = +7\,\mathrm{nC}$ . Quel est le signe de $q_2$ ?
Force répulsive $\Rightarrow$ mêmes signes. Comme $q_1 > 0$ , la charge $q_2$ est positive.
b)
La force est cette fois attractive et $q_1 = -7\,\mathrm{nC}$ . Quel est le signe de $q_2$ ?
Force attractive $\Rightarrow$ signes contraires. Comme $q_1 < 0$ , la charge $q_2$ est positive.

Exercice 13quel couple exerce la plus grande force ?

On étudie deux couples de charges positives :

a)
couple 1 : $q_1 = +2\,\mathrm{\mu C}$ , $q_2 = +3\,\mathrm{\mu C}$ , $d_1 = 10\,\mathrm{cm}$ ;
$F_1 = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(3\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{6\times 10^{-12}}{0{,}01} = 5.4\,\mathrm{N},$
$F_2 = 9\times 10^{9}\times\frac{(1\times 10^{-6})(3\times 10^{-6})}{(0{,}05)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{3\times 10^{-12}}{2.5\times 10^{-3}} = 10.8\,\mathrm{N}.$
b)
couple 2 : $q_1' = +1\,\mathrm{\mu C}$ , $q_2' = +3\,\mathrm{\mu C}$ , $d_2 = 5\,\mathrm{cm}$ .
1. Calcule l'intensité de la force dans chaque couple.
2. Dans quel couple la force est-elle la plus intense ?
C'est le couple 2 qui exerce la force la plus intense ( $F_2 = 2\,F_1$ ) : bien que ses charges soient plus petites, la distance deux fois plus courte l'emporte (effet en $1/d^2$ ).

Exercice 14la constante

K

et la permittivité du vide

La constante de Coulomb s'écrit $K = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}$ , où $\varepsilon_0 = 8.85\times 10^{-12}\,\mathrm{F}/\mathrm{m}$ est la permittivité du vide.

a)
Écris l'expression littérale de $K$ en fonction de $\varepsilon_0$ .
$K = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}.$
b)
Effectue l'application numérique et vérifie que $K \approx 9\times 10^{9}$ (en unités SI).
$K = \frac{1}{4\pi\times8.85\times 10^{-12}} = \frac{1}{1.112\times 10^{-10}} \approx 9.0\times 10^{9}\ \mathrm{N}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.$

Exercice 15deux billes électrisées

Une petite bille $A$ portant la charge $q_A = +0.10\,\mathrm{\mu C}$ est placée à $d = 6\,\mathrm{cm}$ d'une bille $B$ portant la charge $q_B = -0.20\,\mathrm{\mu C}$ .

a)
La force subie par $A$ est-elle attractive ou répulsive, et vers où pointe-t-elle ?
Les charges sont de signes opposés : la force est attractive. La force subie par $A$ pointe vers $B$ (vers la droite).
b)
Calcule l'intensité $F$ de cette force.
$F = 9\times 10^{9}\times\frac{(1\times 10^{-7})(2\times 10^{-7})}{(0{,}06)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{2\times 10^{-14}}{3.6\times 10^{-3}} = 0.05\,\mathrm{N}.$

Moyen15 exercices

Exercice 1variations composées de la force

Deux charges se repoussent avec une force d'intensité $F_0 = 1\,\mathrm{N}$ .

a)
On double chacune des deux charges et on divise la distance par 2. Que devient l'intensité de la force ?
Doubler chaque charge multiplie $F$ par $2\times 2 = 4$ ; diviser $d$ par $2$ multiplie $F$ par $2^2 = 4$ . Au total $\times 16$ :
$F = 16\,F_0 = 16\,\mathrm{N}.$
b)
En repartant de $F_0$ , on divise chaque charge par 3 et la distance par 3. Que devient l'intensité ?
Diviser chaque charge par $3$ : facteur $\tfrac{1}{9}$ ; diviser $d$ par $3$ : facteur $3^2 = 9$ . Les deux se compensent exactement :
$F = \frac{1/9}{1/9}\,F_0 = F_0 = 1\,\mathrm{N}\ \text{(inchangée)}.$

Exercice 2deux forces perpendiculaires

Une charge subit deux forces électriques perpendiculaires entre elles, d'intensités $F_1 = 6\,\mathrm{N}$ et $F_2 = 8\,\mathrm{N}$ .

a)
Calcule l'intensité de la force résultante.
Pythagore : $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36+64} = \sqrt{100} = 10\,\mathrm{N}$ .
b)
Donne l'angle $\theta$ que fait la résultante avec $\vec{F}_1$ ( $\tan\theta = F_2/F_1$ ).
$\tan\theta = \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$ , d'où $\theta = \arctan(4/3) \approx 53.1^{\circ}$ .

Exercice 3triangle équilatéral

On place une charge $+q$ avec $q = 2\,\mathrm{\mu C}$ à chaque sommet d'un triangle équilatéral de côté $a = 10\,\mathrm{cm}$ .

a)
Exprime, par symétrie, l'intensité de la force totale subie par la charge du sommet supérieur ( $F_{\text{tot}} = 2f\cos 30^\circ = \sqrt{3}\,K q^2/a^2$ ).
Les deux forces ont même intensité $f = K q^2/a^2$ et font entre elles un angle de $60^{\circ}$ . Par symétrie la résultante est verticale, somme des projections sur la bissectrice :
$F_{\text{tot}} = 2 f\cos30^{\circ} = 2\,\frac{K q^2}{a^2}\times\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3\,K q^2}{a^2}.$
b)
Fais l'application numérique.
$f = 9\times 10^{9}\times\dfrac{(2\times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\dfrac{4\times 10^{-12}}{0{,}01} = 3.6\,\mathrm{N}$ , donc
$F_{\text{tot}} = \sqrt3\times 3{,}6 \approx 6.2\,\mathrm{N}.$

Exercice 4trois charges alignées

Trois charges sont alignées et espacées de $10\,\mathrm{cm}$ : $A = +2\,\mathrm{\mu C}$ , $B = +3\,\mathrm{\mu C}$ (au milieu), $C = -2\,\mathrm{\mu C}$ .

a)
Donne l'intensité et le sens de la force exercée sur $B$ par $A$ , puis par $C$ .
Les distances $A\!B$ et $B\!C$ valent $0.10\,\mathrm{m}$ et les produits de charges sont identiques, donc les deux forces ont la même intensité :
$F_{A/B} = F_{C/B} = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(3\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{6\times 10^{-12}}{0{,}01} = 5.4\,\mathrm{N}.$
$A$ ( $+$ ) repousse $B$ : force vers la droite. $C$ ( $-$ ) attire $B$ : force aussi vers la droite.
b)
En déduire l'intensité et le sens de la force totale subie par $B$ .
Les deux forces ont le même sens (vers la droite) : elles s'ajoutent.
$F_{\text{tot}} = 5{,}4 + 5{,}4 = 10.8\,\mathrm{N}\ \text{vers la droite (vers } C).$

Exercice 5superposition à angle droit : calcul complet

Une charge $q_0 = +2\,\mathrm{\mu C}$ est placée en $O$ . Une charge $q_1 = +2\,\mathrm{\mu C}$ est à $20\,\mathrm{cm}$ sur l'axe horizontal, une charge $q_2 = +6\,\mathrm{\mu C}$ est à $30\,\mathrm{cm}$ sur l'axe vertical.

a)
Calcule les intensités $F_1$ (due à $q_1$ ) et $F_2$ (due à $q_2$ ) subies par $q_0$ .
$F_1 = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{(0{,}20)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{4\times 10^{-12}}{0{,}04} = 0.9\,\mathrm{N}\ (\text{horizontale}),$
$F_2 = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(6\times 10^{-6})}{(0{,}30)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{1.2\times 10^{-11}}{0{,}09} = 1.2\,\mathrm{N}\ (\text{verticale}).$
b)
En déduire l'intensité de la force résultante sur $q_0$ .
Forces perpendiculaires :
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{0{,}9^2 + 1{,}2^2} = \sqrt{0{,}81 + 1{,}44} = \sqrt{2{,}25} = 1.5\,\mathrm{N}.$
(Les deux charges $q_1,q_2$ étant positives, chaque force repousse $q_0$ : la résultante pointe à l'opposé du coin $(q_1,q_2)$ .)

Exercice 6force sur une charge en bout de ligne

Trois charges identiques $A$ , $B$ , $C$ portant chacune $q = +3\,\mathrm{\mu C}$ sont alignées et régulièrement espacées de $a = 10\,\mathrm{cm}$ .

a)
Donne l'intensité et le sens des forces exercées sur $A$ par $B$ , puis par $C$ .
$B$ est à $a = 0.10\,\mathrm{m}$ de $A$ , $C$ à $2a = 0.20\,\mathrm{m}$ .
$F_{B/A} = 9\times 10^{9}\times\frac{(3\times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{9\times 10^{-12}}{0{,}01} = 8.1\,\mathrm{N},$
$F_{C/A} = 9\times 10^{9}\times\frac{(3\times 10^{-6})^2}{(0{,}20)^2} = \frac{8{,}1}{4} = 2.025\,\mathrm{N}.$
$B$ et $C$ (positives) repoussent $A$ : les deux forces pointent vers la gauche (à l'opposé de $B$ et $C$ ).
b)
En déduire l'intensité de la force totale subie par $A$ .
Mêmes sens, on ajoute : $F_{\text{tot}} = 8{,}1 + 2{,}025 \approx 10.1\,\mathrm{N}$ vers la gauche.

Exercice 7charge sur la médiatrice

Deux charges $q = +2\,\mathrm{\mu C}$ sont fixées en deux points distants de $6\,\mathrm{cm}$ . Une charge $q_0 = +2\,\mathrm{\mu C}$ est placée sur la médiatrice du segment, à $4\,\mathrm{cm}$ du milieu (la distance à chaque charge vaut alors $r = 5\,\mathrm{cm}$ ).

a)
Calcule l'intensité $f$ de la force exercée sur $q_0$ par une des deux charges.
$r = 0.05\,\mathrm{m}$ :
$f = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{(0{,}05)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{4\times 10^{-12}}{2.5\times 10^{-3}} = 14.4\,\mathrm{N}.$
b)
En utilisant la symétrie, déduis-en l'intensité et la direction de la force totale sur $q_0$ .
Par symétrie, les composantes horizontales des deux forces s'annulent ; les composantes verticales (facteur $\cos\theta = \tfrac{4}{5}$ , avec $4$ cm de hauteur pour $r = 5$ cm) s'ajoutent :
$F = 2f\cos\theta = 2\times 14{,}4\times\frac{4}{5} = 23.04\,\mathrm{N} \approx 23\,\mathrm{N},$
dirigée le long de la médiatrice, en s'éloignant des deux charges.

Exercice 8résultante entre deux charges de même signe

Deux charges positives $q_1 = +2\,\mathrm{\mu C}$ (en $x=0$ ) et $q_2 = +8\,\mathrm{\mu C}$ (en $x = 30\,\mathrm{cm}$ ) sont fixes. On place une charge $q_0 = +1\,\mathrm{\mu C}$ au milieu, en $x = 15\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité et le sens des forces exercées sur $q_0$ par $q_1$ , puis par $q_2$ .
Les deux distances valent $0.15\,\mathrm{m}$ .
$F_1 = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(1\times 10^{-6})}{(0{,}15)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{2\times 10^{-12}}{2.25\times 10^{-2}} = 0.8\,\mathrm{N}\ (\text{vers la droite}),$
$F_2 = 9\times 10^{9}\times\frac{(8\times 10^{-6})(1\times 10^{-6})}{(0{,}15)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{8\times 10^{-12}}{2.25\times 10^{-2}} = 3.2\,\mathrm{N}\ (\text{vers la gauche}).$
( $q_1$ et $q_2$ , positives, repoussent $q_0$ chacune de son côté.)
b)
En déduire l'intensité et le sens de la force résultante sur $q_0$ .
Sens opposés, on soustrait :
$F_{\text{tot}} = 3{,}2 - 0{,}8 = 2.4\,\mathrm{N}\ \text{vers la gauche (vers } q_1).$

Exercice 9forces opposées d'un dipôle

On aligne trois charges : $+q$ en $x=0$ , $-q$ en $x = 5\,\mathrm{cm}$ , puis une charge test $q_0 = +q$ en $x = 10\,\mathrm{cm}$ , avec $q = 1\,\mathrm{\mu C}$ .

a)
Donne l'intensité et le sens des forces exercées sur $q_0$ par la charge $+q$ , puis par la charge $-q$ .
$q_0$ est à $0.10\,\mathrm{m}$ de $+q$ et à $0.05\,\mathrm{m}$ de $-q$ .
$F_{+} = 9\times 10^{9}\times\frac{(1\times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 0.9\,\mathrm{N} \ (\text{répulsion} : \text{vers la droite}),$
$F_{-} = 9\times 10^{9}\times\frac{(1\times 10^{-6})^2}{(0{,}05)^2} = 3.6\,\mathrm{N} \ (\text{attraction} : \text{vers la gauche}).$
b)
En déduire l'intensité et le sens de la force résultante sur $q_0$ .
Sens opposés, on soustrait :
$F_{\text{tot}} = 3{,}6 - 0{,}9 = 2.7\,\mathrm{N}\ \text{vers la gauche (vers le dipôle).}$

Exercice 10deux forces à 60

Une charge subit deux forces électriques d'intensités $F_1 = F_2 = 5\,\mathrm{N}$ faisant entre elles un angle de 60.

a)
Écris l'expression de l'intensité de la résultante (loi des cosinus : $F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos60^{\circ}}$ ).
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2 + 2F_1F_2\cos60^{\circ}}.$
b)
Calcule cette intensité et précise la direction de la résultante.
Avec $\cos60^{\circ} = \tfrac12$ :
$F = \sqrt{5^2 + 5^2 + 2\times 5\times 5\times\tfrac12} = \sqrt{25 + 25 + 25} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8.7\,\mathrm{N}.$
Les deux forces étant de même intensité, la résultante est portée par la bissectrice de l'angle (à 30 de chacune).

Exercice 11superposition à angle droit, signes mêlés

Une charge $q_0 = +2\,\mathrm{\mu C}$ est en $O$ . Une charge $q_1 = +3\,\mathrm{\mu C}$ est à $15\,\mathrm{cm}$ sur l'axe horizontal ; une charge $q_2 = -4\,\mathrm{\mu C}$ est à $20\,\mathrm{cm}$ sur l'axe vertical.

a)
Calcule les intensités $F_1$ (due à $q_1$ ) et $F_2$ (due à $q_2$ ) et précise le sens de chacune sur $q_0$ .
$F_1 = 9\times 10^{9}\times\frac{(3\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{(0{,}15)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{6\times 10^{-12}}{2.25\times 10^{-2}} = 2.4\,\mathrm{N}.$
$q_1$ ( $+$ ) repousse $q_0$ : $\vec{F}_1$ est horizontale, dirigée vers la gauche.
$F_2 = 9\times 10^{9}\times\frac{(4\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{(0{,}20)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{8\times 10^{-12}}{4\times 10^{-2}} = 1.8\,\mathrm{N}.$
$q_2$ ( $-$ ) attire $q_0$ : $\vec{F}_2$ est verticale, dirigée vers le haut (vers $q_2$ ).
b)
En déduire l'intensité de la force résultante et l'angle qu'elle fait avec l'horizontale.
Forces perpendiculaires :
$F = \sqrt{F_1^2 + F_2^2} = \sqrt{2{,}4^2 + 1{,}8^2} = \sqrt{5{,}76 + 3{,}24} = \sqrt{9} = 3\,\mathrm{N}.$
Angle avec l'horizontale : $\tan\theta = \dfrac{F_2}{F_1} = \dfrac{1{,}8}{2{,}4} = 0{,}75$ , soit $\theta \approx 36.9^{\circ}$ (résultante vers le haut et la gauche).

Exercice 12à quelle distance ?

Deux charges fixes exercent l'une sur l'autre une force d'intensité $F_1 = 4\,\mathrm{N}$ lors qu'elles sont distantes de $d_1 = 12\,\mathrm{cm}$ .

a)
À quelle distance faudrait-il les placer pour que l'intensité tombe à $1\,\mathrm{N}$ ?
On utilise $F \propto 1/d^2$ , donc $d = d_1\sqrt{F_1/F}$ .
$d = 12\sqrt{\frac{4}{1}} = 12\times 2 = 24\,\mathrm{cm}.$
b)
À quelle distance l'intensité vaudrait-elle $9\,\mathrm{N}$ ?
$d = 12\sqrt{\frac{4}{9}} = 12\times\frac{2}{3} = 8\,\mathrm{cm}.$

Exercice 13combien d'électrons en excès ?

Deux petites sphères identiques portent la même charge $q$ . Placées à $d = 10\,\mathrm{cm}$ , elles se repoussent avec une force d'intensité $F = 0.9\,\mathrm{N}$ . On donne la charge élémentaire $e = 1.6\times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

a)
Calcule la valeur commune $q$ des deux charges.
De $F = K q^2/d^2$ on tire $q = \sqrt{F d^2/K}$ :
$q = \sqrt{\frac{0{,}9\times(0{,}10)^2}{9\times 10^{9}}} = \sqrt{\frac{9\times 10^{-3}}{9\times 10^{9}}} = \sqrt{1\times 10^{-12}} = 1\times 10^{-6}\ \mathrm{C} = 1\,\mathrm{\mu C}.$
b)
Combien d'électrons en excès (ou en défaut) chaque sphère porte-t-elle ?
$N = \frac{q}{e} = \frac{1\times 10^{-6}}{1.6\times 10^{-19}} \approx 6.25\times 10^{12}\ \text{électrons}.$

Exercice 14au milieu de deux charges opposées

Deux charges $+q$ (en $x=0$ ) et $-q$ (en $x = 20\,\mathrm{cm}$ ) sont fixes, avec $q = 2\,\mathrm{\mu C}$ . On place une charge $q_0 = +2\,\mathrm{\mu C}$ au milieu, en $x = 10\,\mathrm{cm}$ .

a)
Vers où pointe la force exercée sur $q_0$ par $+q$ ? Et par $-q$ ? S'ajoutent-elles ?
$+q$ (positive) repousse $q_0$ : force vers la droite (vers $-q$ ). $-q$ (négative) attire $q_0$ : force aussi vers la droite (vers $-q$ ). Les deux forces ont le même sens : elles s'ajoutent.
b)
Calcule l'intensité de la force résultante sur $q_0$ .
Chaque charge est à $0.10\,\mathrm{m}$ de $q_0$ :
$f = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(2\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{4\times 10^{-12}}{0{,}01} = 3.6\,\mathrm{N},$
$F_{\text{tot}} = 2f = 7.2\,\mathrm{N}\ \text{vers la droite (vers } -q).$

Exercice 15deux charges en équerre

Deux charges identiques $q = +2\,\mathrm{\mu C}$ sont placées sur deux axes perpendiculaires, à la même distance $a = 10\,\mathrm{cm}$ d'un point $O$ . Une charge $q_0 = +2\,\mathrm{\mu C}$ occupe le point $O$ .

a)
Calcule l'intensité $f$ de la force exercée sur $q_0$ par chacune des deux charges.
$a = 0.10\,\mathrm{m}$ :
$f = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{4\times 10^{-12}}{0{,}01} = 3.6\,\mathrm{N}.$
b)
Les deux forces étant perpendiculaires, déduis-en l'intensité et la direction de la résultante sur $q_0$ .
Les deux forces (répulsives) sont perpendiculaires et de même intensité :
$F = \sqrt{f^2 + f^2} = f\sqrt{2} = 3{,}6\sqrt{2} \approx 5.1\,\mathrm{N},$
dirigée le long de la bissectrice (à 45), en s'éloignant des deux charges.

Difficile14 exercices

Exercice 1où la force résultante s'annule-t-elle ?

Deux charges fixes $q_1 = +1\,\mathrm{\mu C}$ et $q_2 = +4\,\mathrm{\mu C}$ sont distantes de $L = 30\,\mathrm{cm}$ . On dépose une troisième charge $q$ sur la droite $(q_1 q_2)$ de sorte que la force résultante qu'elle subit soit nulle.

a)
Le point cherché est-il entre les charges, à gauche de $q_1$ ou à droite de $q_2$ ? Justifie sans calcul.
Les deux charges étant positives, une charge test placée à l'extérieur subirait deux forces de même sens (jamais nulles). Le point doit donc être entre les charges, où les deux forces s'opposent, et plus près de la petite charge $q_1$ .
b)
Calcule sa position (distance à $q_1$ ).
Soit $x =$ distance à $q_1$ , donc $L-x$ à $q_2$ . On annule la résultante :
$K\,\frac{|q_1|}{x^2} = K\,\frac{|q_2|}{(L-x)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{L-x}{x} = \sqrt{\frac{|q_2|}{|q_1|}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2.$
D'où $L-x = 2x$ , soit $x = L/3 = 30/3 = 10\,\mathrm{cm}$ de $q_1$ (et $20\,\mathrm{cm}$ de $q_2$ ).

Exercice 2quelle charge annule la force sur une autre ?

Trois charges sont alignées : une charge $Q$ inconnue, puis $q_1 = +3\,\mathrm{nC}$ , puis $q_2 = +12\,\mathrm{nC}$ . On donne $Q q_1 = 10\,\mathrm{cm}$ et $q_1 q_2 = 20\,\mathrm{cm}$ . On veut que la force résultante exercée sur $q_1$ (charge du milieu) soit nulle.

a)
Quel doit être le signe de $Q$ ? Raisonne sur le sens des deux forces sur $q_1$ .
$q_2$ ( $+$ ) repousse $q_1$ vers la gauche (vers $Q$ ). Pour équilibrer, $Q$ doit repousser $q_1$ vers la droite : $Q$ et $q_1$ sont de même signe, donc $Q$ est positive.
b)
Calcule la valeur de $|Q|$ .
On égalise les intensités des deux forces sur $q_1$ :
$K\,\frac{|Q|\,q_1}{(0{,}10)^2} = K\,\frac{q_2\,q_1}{(0{,}20)^2} \;\Longrightarrow\; \frac{|Q|}{0{,}01} = \frac{12}{0{,}04}.$
Donc $|Q| = 0{,}01\times\dfrac{12}{0{,}04} = 3\,\mathrm{nC}$ , soit $Q = +3\,\mathrm{nC}$ .

Exercice 3direction de la résultante : le carré

Quatre charges positives occupent les sommets d'un carré : $+Q$ (haut-gauche), $+2Q$ (haut-droite), $+Q$ (bas-gauche), $+2Q$ (bas-droite). Une charge $+q$ est placée au centre $O$ .

a)
Par symétrie, quelle composante (horizontale ou verticale) de la force sur $+q$ s'annule ?
Les quatre charges sont à la même distance (demi-diagonale) de $O$ ; chacune repousse $+q$ selon la diagonale, dans le sens du coin vers le centre et au-delà .
Les deux charges $+Q$ (gauche) donnent une résultante vers la droite ; les deux $+2Q$ (droite) une résultante, deux fois plus forte, vers la gauche. Verticalement, haut et bas se compensent (mêmes charges symétriques) : la composante verticale s'annule.
b)
En déduire la direction et le sens de la force résultante sur $+q$ .
Il reste la composante horizontale : $+2Q$ (à droite) l'emporte sur $+Q$ (à gauche). La résultante est donc horizontale, dirigée vers la gauche (vers le côté des charges $+Q$ , les plus faibles). En intensité elle est proportionnelle à $2Q-Q = Q$ .

Exercice 4direction de la résultante : sur l'axe

Deux charges positives identiques $+Q$ sont placées sur l'axe vertical, en $(0,+a)$ et $(0,-a)$ . On place une charge négative $-Q$ au point $P = (D,0)$ situé sur l'axe horizontal, à droite de l'origine.

a)
Pourquoi les composantes verticales des deux forces sur $-Q$ se compensent-elles ?
Les deux charges $+Q$ sont symétriques par rapport à l'axe $x$ et à même distance de $P$ : elles attirent $-Q$ avec des forces de même intensité, l'une vers le haut, l'autre vers le bas. Leurs composantes verticales sont opposées et s'annulent.
b)
Quelle est la direction et le sens de la force résultante sur $-Q$ ?
Il ne reste que les composantes horizontales, toutes deux dirigées vers les charges (attraction $+/-$ ), c'est-à-dire vers la gauche. La résultante est donc horizontale, dirigée vers la gauche (le long de l'axe $x$ , vers l'origine).

Exercice 5force nulle : charges de signes opposés

Deux charges fixes $q_1 = +4\,\mathrm{\mu C}$ (en $x=0$ ) et $q_2 = -1\,\mathrm{\mu C}$ (en $x = L = 30\,\mathrm{cm}$ ) sont posées sur une droite. On cherche le point $M$ de cette droite où une charge test subirait une force résultante nulle.

a)
Montre sans calcul que $M$ ne peut être ni entre les charges, ni à gauche de $q_1$ : il est à droite de $q_2$ (au-delà de la charge la plus faible).
Entre les charges, la force due à $q_1$ ( $+$ ) et celle due à $q_2$ ( $-$ ) pointent dans le même sens : elles ne peuvent pas se compenser. À gauche de $q_1$ , la charge $q_1$ (la plus forte) est à la fois plus proche et plus intense : elle l'emporte toujours. Le point $M$ est donc à droite de $q_2$ , au-delà de la charge la plus faible.
b)
En posant $x$ = distance de $M$ à $q_2$ , écris l'équation d'annulation de la résultante.
Avec $x$ = distance à $q_2$ (donc $L+x$ à $q_1$ ), on égalise les intensités :
$K\,\frac{|q_1|}{(L+x)^2} = K\,\frac{|q_2|}{x^2} \;\Longrightarrow\; \frac{4}{(L+x)^2} = \frac{1}{x^2}.$
c)
Résous-la et donne la position de $M$ .
En prenant la racine : $\dfrac{2}{L+x} = \dfrac{1}{x}$ , soit $2x = L+x$ , d'où $x = L = 30\,\mathrm{cm}$ . Le point $M$ est donc à $30\,\mathrm{cm}$ à droite de $q_2$ (et à $60\,\mathrm{cm}$ de $q_1$ ).

Exercice 6pendule électrostatique

Deux petites billes identiques, de masse $m = 0.5\,\mathrm{g}$ chacune et portant la même charge $q = 20\,\mathrm{nC}$ , sont suspendues à des fils. À l'équilibre, elles s'écartent et sont distantes de $d = 3\,\mathrm{cm}$ ; chaque fil fait alors un angle $\theta$ avec la verticale. On prend $g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Fais l'inventaire des forces s'exerçant sur une bille et écris les deux conditions d'équilibre (horizontale et verticale).
Trois forces sur une bille : le poids $m\vec{g}$ (vertical, vers le bas), la tension $\vec{T}$ du fil (le long du fil) et la force de Coulomb $\vec{F}$ (horizontale, répulsive). À l'équilibre :
$\text{(horizontale)}\quad T\sin\theta = F,\qquad \text{(verticale)}\quad T\cos\theta = mg.$
b)
Montre que $\tan\theta = \dfrac{K q^2}{d^2\,m g}$ .
En divisant membre à membre les deux relations, $T$ disparaît :
$\tan\theta = \frac{F}{mg} = \frac{K q^2}{d^2\,m g}.$
c)
Calcule l'intensité de la force de Coulomb puis l'angle $\theta$ .
$F = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-8})^2}{(0{,}03)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{4\times 10^{-16}}{9\times 10^{-4}} = 4\times 10^{-3}\,\mathrm{N}.$
Avec $mg = 5\times 10^{-4}\times 10 = 5\times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ :
$\tan\theta = \frac{4\times 10^{-3}}{5\times 10^{-3}} = 0{,}8 \;\Longrightarrow\; \theta = \arctan(0{,}8) \approx 38.7^{\circ}.$

Exercice 7force sur un coin d'un carré

Quatre charges identiques $q = +2\,\mathrm{\mu C}$ occupent les sommets d'un carré de côté $a = 10\,\mathrm{cm}$ . On étudie la force totale subie par l'une d'elles (charge du coin inférieur gauche) sous l'effet des trois autres.

a)
Donne l'intensité de la force exercée par chacune des deux charges adjacentes (distance $a$ ) et par la charge diagonale (distance $a\sqrt2$ ).
Force d'une charge adjacente (distance $a = 0.10\,\mathrm{m}$ ) :
$f = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 3.6\,\mathrm{N}.$
Force de la charge diagonale (distance $a\sqrt2$ ) :
$f_d = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})^2}{(a\sqrt2)^2} = \frac{f}{2} = 1.8\,\mathrm{N}.$
b)
Combine les deux forces des charges adjacentes : montre qu'elles donnent une résultante $\sqrt2\,f$ portée par la diagonale.
Les deux forces des charges adjacentes sont perpendiculaires (le long des deux côtés) et de même intensité $f$ ; leur résultante vaut $\sqrt{f^2+f^2} = f\sqrt2$ et est portée par la diagonale (vers l'extérieur du carré), comme $f_d$ .
c)
En déduire l'intensité de la force totale sur la charge du coin.
Les trois contributions sont alignées sur la diagonale (vers l'extérieur) :
$F = f\sqrt2 + \frac{f}{2} = f\left(\sqrt2 + \tfrac12\right) = 3{,}6\times(1{,}414 + 0{,}5) \approx 6.9\,\mathrm{N}.$

Exercice 8stabilité d'une charge à l'équilibre

Deux charges identiques $+Q$ sont fixées en $x=0$ et $x=L$ . On place une charge test $+q$ au milieu du segment, où elle est en équilibre (les deux forces se compensent).

a)
Justifie que le milieu est bien une position d'équilibre pour $+q$ .
Au milieu, $+q$ est à égale distance des deux charges $+Q$ identiques : les deux forces répulsives ont même intensité et sont de sens opposés, donc leur somme est nulle. C'est bien une position d'équilibre.
b)
On déplace légèrement $+q$ le long de la droite, vers l'une des charges. La force résultante la ramène-t-elle vers le centre ? L'équilibre est-il stable dans cette direction ?
En rapprochant $+q$ d'une charge, celle-ci (plus proche) le repousse plus fort que la charge éloignée : la force résultante pointe vers le centre et ramène $+q$ . L'équilibre est stable le long de la droite.
c)
On déplace maintenant $+q$ perpendiculairement à la droite. L'équilibre est-il stable dans cette direction ? Justifie.
Écartée perpendiculairement, $+q$ subit deux forces symétriques dont les composantes le long de la droite se compensent, mais dont les composantes perpendiculaires pointent toutes deux en éloignant $+q$ de l'axe : la résultante l'éloigne encore plus. L'équilibre est instable dans la direction perpendiculaire.

Exercice 9triangle : charges inégales

Un triangle équilatéral a pour côté $a = 10\,\mathrm{cm}$ . Aux deux sommets de la base, on place $q_A = +1\,\mathrm{\mu C}$ (à gauche) et $q_B = +2\,\mathrm{\mu C}$ (à droite). Au sommet supérieur se trouve une charge $q_C = +3\,\mathrm{\mu C}$ .

a)
Calcule les intensités $f_A$ (force de $q_A$ sur $q_C$ ) et $f_B$ (force de $q_B$ sur $q_C$ ).
Toutes les distances valent $a = 0.10\,\mathrm{m}$ :
$f_A = 9\times 10^{9}\times\frac{(1\times 10^{-6})(3\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 2.7\,\mathrm{N},\quad f_B = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(3\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 5.4\,\mathrm{N}.$
b)
Projette ces deux forces sur les axes horizontal et vertical (chacune fait 60 avec l'horizontale).
$q_A$ (à gauche) repousse $q_C$ vers le haut-droite ; $q_B$ (à droite) le repousse vers le haut-gauche. Chaque force fait 60 avec l'horizontale ( $\cos60^{\circ}=\tfrac12$ , $\sin60^{\circ}=\tfrac{\sqrt3}{2}\approx 0{,}866$ ) :
$\begin{align*} f_A &: \; (+1{,}35\ ;\ +2{,}34)\ \mathrm{N}, \\ f_B &: \; (-2{,}70\ ;\ +4{,}68)\ \mathrm{N}. \end{align*}$
c)
En déduire l'intensité de la force totale sur $q_C$ et l'inclinaison de sa direction.
Somme des composantes : $F_x = 1{,}35 - 2{,}70 = -1{,}35\ \mathrm{N}$ , $F_y = 2{,}34 + 4{,}68 = 7{,}02\ \mathrm{N}$ .
$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{1{,}35^2 + 7{,}02^2} \approx 7.1\,\mathrm{N}.$
La composante horizontale est dirigée vers $q_A$ : la résultante est presque verticale, inclinée d'environ 11 vers le côté de la plus petite charge $q_A$ (donc à l'opposé de la plus grosse charge $q_B$ ).

Exercice 10trois charges toutes en équilibre

Deux charges identiques $+Q$ sont fixées en $x=0$ et $x=L$ . On veut placer une troisième charge $q_0$ sur le segment de sorte que les trois charges soient simultanément en équilibre.

a)
Où doit se trouver $q_0$ pour être elle-même en équilibre ? Justifie par la symétrie.
Les deux charges $+Q$ étant identiques, $q_0$ n'est en équilibre (forces égales et opposées) qu'au point équidistant : le milieu du segment, à $L/2$ de chaque $+Q$ .
b)
Écris la condition d'équilibre de l'une des charges $+Q$ ; quel doit être le signe de $q_0$ ?
Sur la charge $+Q$ de gauche s'exercent : la répulsion de l'autre $+Q$ (distante de $L$ ), qui la pousse vers l'extérieur, et la force de $q_0$ (distante de $L/2$ ). Pour l'équilibrer, $q_0$ doit attirer cette charge vers l'intérieur : $q_0$ est donc négative.
c)
Détermine la valeur de $q_0$ en fonction de $Q$ .
Égalité des intensités sur la charge $+Q$ :
$K\,\frac{|q_0|\,Q}{(L/2)^2} = K\,\frac{Q^2}{L^2} \;\Longrightarrow\; \frac{4|q_0|}{L^2} = \frac{Q}{L^2} \;\Longrightarrow\; |q_0| = \frac{Q}{4}.$
Donc $q_0 = -\dfrac{Q}{4}$ .

Exercice 11partage optimal d'une charge

On dispose d'une charge totale $Q_t = 8\,\mathrm{\mu C}$ que l'on répartit en deux charges ponctuelles $q$ et $Q_t - q$ , placées à une distance fixe $d = 20\,\mathrm{cm}$ l'une de l'autre.

a)
Exprime l'intensité $F(q)$ de la force de répulsion en fonction de $q$ .
$F(q) = K\,\frac{q\,(Q_t - q)}{d^2}.$
b)
Pour quelle valeur de $q$ cette force est-elle maximale ? (On cherche le maximum du produit $q(Q_t - q)$ à somme fixée.)
À somme $Q_t$ fixée, le produit $q(Q_t-q)$ est maximal quand les deux facteurs sont égaux, soit $q = \dfrac{Q_t}{2} = 4\,\mathrm{\mu C}$ (partage en deux charges égales).
c)
Calcule cette force maximale.
$F_{\max} = K\,\frac{(Q_t/2)^2}{d^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{(4\times 10^{-6})^2}{(0{,}20)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{1.6\times 10^{-11}}{4\times 10^{-2}} = 3.6\,\mathrm{N}.$

Exercice 12contact entre deux sphères conductrices

Deux petites sphères conductrices identiques portent respectivement $q_1 = +2\,\mathrm{\mu C}$ et $q_2 = +8\,\mathrm{\mu C}$ . Elles sont maintenues à une distance fixe $d = 10\,\mathrm{cm}$ .

a)
Calcule l'intensité $F_i$ de la force de répulsion avant tout contact.
$F_i = 9\times 10^{9}\times\frac{(2\times 10^{-6})(8\times 10^{-6})}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{1.6\times 10^{-11}}{0{,}01} = 14.4\,\mathrm{N}.$
b)
On met brièvement les deux sphères en contact, puis on les ramène à la distance $d$ . Quelle charge porte alors chaque sphère ? Calcule la nouvelle intensité $F_f$ .
Deux conducteurs identiques mis en contact se partagent la charge totale à parts égales : chaque sphère porte $\dfrac{q_1+q_2}{2} = \dfrac{2+8}{2} = 5\,\mathrm{\mu C}$ .
$F_f = 9\times 10^{9}\times\frac{(5\times 10^{-6})^2}{(0{,}10)^2} = 9\times 10^{9}\times\frac{2.5\times 10^{-11}}{0{,}01} = 22.5\,\mathrm{N}.$
c)
Donne le rapport $F_f/F_i$ et conclus sur l'évolution de la force.
$\frac{F_f}{F_i} = \frac{22{,}5}{14{,}4} = \frac{25}{16} \approx 1{,}56.$
La force augmente : à charge totale fixée, la répartition égale ( $5\times5=25$ ) donne un produit plus grand que la répartition initiale ( $2\times8=16$ ).

Exercice 13la force sur la médiatrice n'est pas monotone

Deux charges $q = +2\,\mathrm{\mu C}$ sont fixées en $(-a,0)$ et $(+a,0)$ , avec $a = 3\,\mathrm{cm}$ . Une charge $q_0 = +2\,\mathrm{\mu C}$ se déplace sur l'axe vertical, au point $(0,y)$ .

a)
Par symétrie, montre que la force sur $q_0$ est verticale et vaut $F(y) = \dfrac{2K q q_0\,y}{(a^2+y^2)^{3/2}}$ .
Les deux charges sont symétriques par rapport à l'axe $Oy$ : les composantes horizontales des deux forces s'annulent. Il reste la composante verticale de chacune, de facteur $\dfrac{y}{r}$ avec $r = \sqrt{a^2+y^2}$ et $f = \dfrac{K q q_0}{r^2}$ :
$F(y) = 2f\,\frac{y}{r} = \frac{2K q q_0\,y}{(a^2+y^2)^{3/2}}.$
b)
Calcule $F$ pour $y = a$ puis pour $y = 2a$ .
Avec $K q q_0 = 9\times 10^{9}\times(2\times 10^{-6})^2 = 3.6\times 10^{-2}$ (unités SI) :
$y = a :\quad r = a\sqrt2,\ f = \frac{3.6\times 10^{-2}}{1.8\times 10^{-3}} = 20\,\mathrm{N},\ F = 2\times 20\times\tfrac{1}{\sqrt2} \approx 28.3\,\mathrm{N}.$
$y = 2a :\quad r = a\sqrt5,\ f = \frac{3.6\times 10^{-2}}{4.5\times 10^{-3}} = 8\,\mathrm{N},\ F = 2\times 8\times\tfrac{2}{\sqrt5} \approx 14.3\,\mathrm{N}.$
c)
Sachant que $F(0)=0$ , que peux-tu conclure sur la variation de $F$ avec $y$ ?
$F(0)=0$ , puis $F$ croît ( $28.3\,\mathrm{N}$ en $y=a$ ), puis décroît ( $14.3\,\mathrm{N}$ en $y=2a$ ) : la force n'est pas monotone. Elle passe par un maximum à une distance intermédiaire, avant de tendre vers $0$ lorsque $q_0$ s'éloigne.

Exercice 14équilibre d'un coin par une charge centrale

Quatre charges identiques $q = +4\,\mathrm{\mu C}$ occupent les sommets d'un carré de côté $a$ . On place une charge $Q$ au centre du carré. On veut que la charge d'un coin soit en équilibre.

a)
Rappelle l'intensité de la force résultante exercée sur une charge de coin par les trois autres charges $q$ (résultat de l'exercice sur le carré), et précise sa direction.
Les trois charges $q$ exercent sur le coin une force résultante portée par la diagonale, vers l'extérieur du carré, d'intensité
$F_3 = f\left(\sqrt2 + \tfrac12\right),\qquad f = \frac{K q^2}{a^2}.$
b)
Écris la condition d'équilibre du coin : quel doit être le signe de $Q$ , et quelle est la distance du centre à un coin ?
Pour équilibrer le coin, $Q$ doit l'attirer vers le centre : $Q$ est négative. La distance du centre à un coin est la demi-diagonale $\dfrac{a\sqrt2}{2} = \dfrac{a}{\sqrt2}$ .
c)
Détermine $Q$ en fonction de $q$ , puis sa valeur numérique.
Condition d'équilibre (intensités égales) :
$K\,\frac{|Q|\,q}{(a/\sqrt2)^2} = f\left(\sqrt2+\tfrac12\right) \;\Longrightarrow\; \frac{2K|Q|q}{a^2} = \frac{K q^2}{a^2}\left(\sqrt2+\tfrac12\right).$
D'où $|Q| = \dfrac{q}{2}\left(\sqrt2+\tfrac12\right) = \dfrac{(2\sqrt2+1)}{4}\,q$ , soit
$Q = -\frac{2\sqrt2+1}{4}\,q \approx -0{,}96\,q \approx -3.83\,\mathrm{\mu C}.$

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