force de gravitation

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Facile15 exercices

Exercice 1calcul direct

Deux sphères de plomb, de masses $m_A=10\,\mathrm{kilogram}$ et $m_B=10\,\mathrm{kilogram}$ , ont leurs centres distants de $d=0.50\,\mathrm{m}$ . Calcule l'intensité de la force de gravitation qu'elles exercent l'une sur l'autre. On donne $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm{N}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kilogram}^{2}$ .

On applique directement la loi, en unités SI :

F=\mathcal{G}\,\frac{m_A m_B}{d^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{10\times 10}{(0{,}50)^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{100}{0{,}25} =6.67\times 10^{-11}\times 400\approx2.7\times 10^{-8}\,\mathrm{N}.

Une force minuscule : la gravitation entre objets courants est imperceptible.

Exercice 2les deux forces

L'intensité de la force exercée par $A$ sur $B$ vaut $F_{A/B}=5.0\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ .

a)
Quelle est l'intensité de la force exercée par $B$ sur $A$ ?
Les deux forces forment un couple action–réaction.
Même intensité : $F_{B/A}=F_{A/B}=5.0\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ .
b)
Ces deux forces ont-elles le même sens ou des sens opposés ?
Elles sont de sens opposés (chaque corps attire l'autre vers lui).
c)
Sur quelle droite sont-elles portées ?
Elles sont portées par la droite $(AB)$ qui joint les centres des deux corps.

Exercice 3l'effet des masses

Deux corps s'attirent avec une force d'intensité $F_0$ . Sans changer la distance, exprime la nouvelle force en fonction de $F_0$ si :

a)
on double la masse $m_A$ ;
$F$ est proportionnelle au produit $m_A m_B$ (au numérateur).
$m_A\to 2m_A$ : la force double, $F=2F_0$ .
b)
on triple la masse $m_B$ ;
$m_B\to 3m_B$ : la force triple, $F=3F_0$ .
c)
on double les deux masses en même temps.
les deux doublent : $F=(2\times 2)F_0=4F_0$ .

Exercice 4l'effet de la distance

Deux corps s'attirent avec une force d'intensité $F_0$ . Sans changer les masses, exprime la nouvelle force en fonction de $F_0$ si :

a)
on double la distance $d$ ;
$F$ est inversement proportionnelle au carré de $d$ (loi en $1/d^2$ ).
$d\to 2d$ : $F\to F_0/2^2=F_0/4$ .
b)
on triple la distance $d$ ;
$d\to 3d$ : $F\to F_0/3^2=F_0/9$ .
c)
on divise la distance $d$ par $2$ .
$d\to d/2$ : $F\to F_0/(1/2)^2=4F_0$ .

Exercice 5force Terre–satellite

Un satellite de masse $m=500\,\mathrm{kilogram}$ a son centre à la distance $d=8.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ du centre de la Terre ( $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ). Calcule l'intensité de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite.

F=\mathcal{G}\,\frac{M_T\,m}{d^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}\times 500}{(8.0\times 10^{6})^2} =\frac{2.0\times 10^{17}}{6.4\times 10^{13}}\approx3.1\times 10^{3}\,\mathrm{N}.

On a d'abord regroupé le numérateur $6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}=4.0\times 10^{14}$ , puis multiplié par $500$ .

Exercice 6convertir avant de calculer

Deux camions-citernes de masses $m_A=5\,\mathrm{t}$ et $m_B=8\,\mathrm{t}$ sont arrêtés côte à côte ; leurs centres sont distants de $d=20\,\mathrm{m}$ . On donne $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}\ \mathrm{N}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kilogram}^{2}$ .

a)
Convertis les trois grandeurs en unités SI.
$m_A=5\,\mathrm{t}=5000\,\mathrm{kilogram}$ , $m_B=8\,\mathrm{t}=8000\,\mathrm{kilogram}$ , $d=20\,\mathrm{m}$ (déjà en SI).
b)
Calcule l'intensité de la force de gravitation entre les deux camions.
$F=\mathcal{G}\,\frac{m_A m_B}{d^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{5000\times 8000}{20^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{4.0\times 10^{7}}{400} =6.67\times 10^{-11}\times1.0\times 10^{5}\approx6.7\times 10^{-6}\,\mathrm{N}.$

Exercice 7deux sondes dans l'espace

Loin de tout astre, deux sondes $A$ et $B$ de masses $m_A=8.0\times 10^{2}\,\mathrm{kilogram}$ et $m_B=6.0\times 10^{2}\,\mathrm{kilogram}$ ont leurs centres distants de $d=2.0\,\mathrm{m}$ .

a)
Ces deux forces sont-elles de même sens ou de sens opposés ?
Elles sont de sens opposés : chaque sonde attire l'autre vers elle (couple action–réaction porté par la droite $(AB)$ ).
b)
Calcule leur intensité commune.
$F=\mathcal{G}\,\frac{m_A m_B}{d^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{8.0\times 10^{2}\times6.0\times 10^{2}}{(2{,}0)^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{4.8\times 10^{5}}{4}\approx8.0\times 10^{-6}\,\mathrm{N}.$

Exercice 8action et réaction chiffrées

La Terre attire un satellite de masse $500\,\mathrm{kilogram}$ avec une force d'intensité $F=4.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

a)
Quelle est l'intensité de la force exercée par le satellite sur la Terre ?
Même intensité : $F_{\text{sat}/\text{Terre}}=4.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ (3e loi de Newton).
b)
Ces deux forces ont-elles le même sens ?
Non : elles sont de sens opposés.
c)
« La Terre étant bien plus massive, elle attire le satellite plus fort que le satellite n'attire la Terre. » Vrai ou faux ?
Faux. Les deux intensités sont rigoureusement égales. La masse de la Terre n'intervient qu'une fois dans le produit $m_A m_B$ , commun aux deux forces. Ce qui diffère, c'est l'effet de cette force (l'accélération), pas son intensité.

Exercice 9la Terre attire une personne

Une personne de masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ se tient au sol. Son centre est alors à la distance $d=R_T=6.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ du centre de la Terre ( $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ). Calcule l'intensité de la force de gravitation exercée par la Terre sur cette personne, et compare-la à son poids $P=mg$ (avec $g=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ).

F=\mathcal{G}\,\frac{M_T\,m}{R_T^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}\times 60}{(6.4\times 10^{6})^2} =\frac{2.4\times 10^{16}}{4.096\times 10^{13}}\approx5.9\times 10^{2}\,\mathrm{N}.

On retrouve, à l'arrondi près, le poids $P=mg=60\times 9{,}8=588\,\mathrm{N}$ : le poids est la force de gravitation exercée par la Terre.

Exercice 10une force imperceptible

Deux livres identiques de masse $m=1.5\,\mathrm{kilogram}$ sont posés sur une table, leurs centres distants de $d=0.50\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule l'intensité de la force de gravitation entre les deux livres (résultat en notation scientifique).
$F=6.67\times 10^{-11}\times\frac{1{,}5\times 1{,}5}{(0{,}50)^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{2{,}25}{0{,}25} =6.67\times 10^{-11}\times 9\approx6.0\times 10^{-10}\,\mathrm{N}.$
b)
Cette force est-elle perceptible ? Justifie en un mot.
Imperceptible : de l'ordre du milliardième de newton.

Exercice 11retrouver la constante

\mathcal{G}

Au laboratoire, on mesure entre deux masses $m_A=m_B=1000\,\mathrm{kilogram}$ dont les centres sont distants de $d=1.0\,\mathrm{m}$ une force d'intensité $F=6.67\times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ . Détermine, à partir de ces mesures, la valeur de la constante de gravitation $\mathcal{G}$ (unité comprise).

On isole $\mathcal{G}$ dans $F=\mathcal{G}\,m_A m_B/d^2$ , soit $\mathcal{G}=\dfrac{F\,d^2}{m_A m_B}$ :

\mathcal{G}=\frac{6.67\times 10^{-5}\times(1{,}0)^2}{1000\times 1000} =\frac{6.67\times 10^{-5}}{1.0\times 10^{6}} =6.67\times 10^{-11}\,\mathrm{N}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kilogram}^{2}.

On retrouve bien la valeur tabulée de la constante de gravitation.

Exercice 12mise à l'échelle depuis une référence

On sait que deux masses $m_A=1\,\mathrm{kilogram}$ et $m_B=1\,\mathrm{kilogram}$ , distantes de $d=1\,\mathrm{m}$ , s'attirent avec une force $F_0=6.67\times 10^{-11}\,\mathrm{N}$ . Sans repartir de la constante $\mathcal{G}$ , déduis-en :

a)
la force entre $m_A=3\,\mathrm{kilogram}$ et $m_B=4\,\mathrm{kilogram}$ toujours à $d=1\,\mathrm{m}$ ;
$F$ est proportionnelle au produit $m_A m_B$ et à $1/d^2$ .
Le produit des masses passe de $1\times 1=1$ à $3\times 4=12$ : la force est multipliée par $12$ , $F=12\,F_0=12\times6.67\times 10^{-11}\approx8.0\times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ .
b)
la force entre les mêmes masses ( $3\,\mathrm{kilogram}$ et $4\,\mathrm{kilogram}$ ) mais à $d=2\,\mathrm{m}$ .
En passant de $d=1\,\mathrm{m}$ à $d=2\,\mathrm{m}$ , la force est divisée par $2^2=4$ : $F=\dfrac{8.0\times 10^{-10}\,\mathrm{N}}{4}=2.0\times 10^{-10}\,\mathrm{N}$ .

Exercice 13attraction entre deux astéroïdes

Deux astéroïdes de masses $m_A=3.0\times 10^{11}\,\mathrm{kilogram}$ et $m_B=5.0\times 10^{11}\,\mathrm{kilogram}$ ont leurs centres séparés de $d=2.0\times 10^{3}\,\mathrm{m}$ . Calcule l'intensité de la force de gravitation qu'ils exercent l'un sur l'autre en regroupant d'abord les puissances de dix.

F=\mathcal{G}\,\frac{m_A m_B}{d^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{3.0\times 10^{11}\times5.0\times 10^{11}}{(2.0\times 10^{3})^2}.

Numérateur : $6.67\times 10^{-11}\times1.5\times 10^{23}=1.0\times 10^{13}$ . Dénominateur : $(2.0\times 10^{3})^2=4.0\times 10^{6}$ .

F=\frac{1.0\times 10^{13}}{4.0\times 10^{6}}\approx2.5\times 10^{6}\,\mathrm{N}.

Exercice 14deux effets qui se cumulent

Deux corps s'attirent avec une force $F_0=5.0\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ . Exprime, en fonction de $F_0$ puis en newtons, la nouvelle intensité si :

a)
on double la masse $m_A$ (rien d'autre ne change) ;
$m_A\to 2m_A$ : la force double, $F=2F_0=1.0\times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .
b)
on double $m_A$ et on divise en même temps la distance $d$ par $2$ .
En plus, $d\to d/2$ multiplie la force par $(1/2)^{-2}=4$ . Facteur total $2\times 4=8$ : $F=8F_0=4.0\times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ .

Exercice 15si la Lune se rapprochait

La Terre attire actuellement la Lune avec une force d'intensité $F_0\approx2.0\times 10^{20}\,\mathrm{N}$ . En n'utilisant que la loi en $1/d^2$ , exprime la nouvelle intensité si :

a)
la Lune était $2$ fois plus proche de la Terre ;
$d\to d/2$ : $F\to F_0/(1/2)^2=4F_0\approx8.0\times 10^{20}\,\mathrm{N}$ .
b)
la Lune était $3$ fois plus loin.
$d\to 3d$ : $F\to F_0/3^2=F_0/9\approx2.2\times 10^{19}\,\mathrm{N}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1attraction Terre–Soleil

La Terre ( $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ) gravite autour du Soleil ( $M_S=2.0\times 10^{30}\,\mathrm{kilogram}$ ) à la distance moyenne $d=1.5\times 10^{11}\,\mathrm{m}$ . Calcule l'intensité de la force de gravitation exercée par le Soleil sur la Terre. Détaille numérateur puis dénominateur.

F=\mathcal{G}\,\frac{M_S M_T}{d^2}.

Numérateur : $6.67\times 10^{-11}\times2.0\times 10^{30}\times6.0\times 10^{24} =6.67\times 10^{-11}\times1.2\times 10^{55}\approx8.0\times 10^{44}$ .
Dénominateur : $d^2=(1.5\times 10^{11})^2=2.25\times 10^{22}$ .
Quotient :

F=\frac{8.0\times 10^{44}}{2.25\times 10^{22}}\approx3.6\times 10^{22}\,\mathrm{N}.

Exercice 2deux satellites de même masse

Deux satellites $A$ et $B$ ont la même masse. Leurs centres sont à $d_A=9.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ et $d_B=6.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ du centre de la Terre.

a)
Écris le rapport $\dfrac{F_A}{F_B}$ des forces subies, en fonction de $d_A$ et $d_B$ .
Les masses étant égales, $\mathcal{G}$ et $m$ se simplifient dans le rapport.
$\displaystyle \frac{F_A}{F_B}=\frac{\mathcal{G}m^2/d_A^2}{\mathcal{G}m^2/d_B^2} =\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ .
b)
Calcule sa valeur numérique.
$\displaystyle \left(\frac{6.0\times 10^{6}}{9.0\times 10^{6}}\right)^2=\left(\frac23\right)^2 =\frac49\approx 0{,}44$ .
c)
Lequel des deux satellites subit la force la plus intense ?
Comme $F_A/F_B<1$ , on a $F_A<F_B$ : c'est $B$ , le plus proche du centre, qui subit la force la plus intense.

Exercice 3retrouver la distance

Deux masses identiques $m_A=m_B=1000\,\mathrm{kilogram}$ s'attirent avec une force d'intensité $F=6.67\times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ . Détermine la distance $d$ entre leurs centres.

On isole $d$ dans $F=\mathcal{G}\,m_A m_B/d^2$ , soit $d=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\,m_A m_B}{F}}$ :

d=\sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times 1000\times 1000}{6.67\times 10^{-3}}} =\sqrt{\frac{6.67\times 10^{-5}}{6.67\times 10^{-3}}} =\sqrt{1.0\times 10^{-2}}=0.10\,\mathrm{m}.

Exercice 4masses et distance modifiées

Deux corps s'attirent avec une force $F_0=8.0\times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ . On multiplie la masse $m_A$ par $4$ et, en même temps, la distance $d$ par $2$ .

a)
Par quel facteur la force est-elle multipliée à cause des masses seules ?
On sépare l'effet des masses (numérateur) et de la distance (dénominateur, au carré).
$m_A\to 4m_A$ : facteur $\times 4$ .
b)
Par quel facteur est-elle divisée à cause de la distance seule ?
$d\to 2d$ : facteur $\div\,2^2=\div\,4$ .
c)
Quelle est la nouvelle intensité de la force ?
Facteur total $=\dfrac{4}{4}=1$ : la force est inchangée, $F=F_0=8.0\times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ . Un piège classique : quadrupler une masse et doubler la distance se compensent exactement.

Exercice 5retrouver une masse

Une masse $m_A=100\,\mathrm{kilogram}$ et une masse inconnue $m_B$ , distantes de $d=1.0\,\mathrm{m}$ , s'attirent avec une force $F=6.67\times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ . Détermine la masse $m_B$ .

On isole $m_B$ dans $F=\mathcal{G}\,m_A m_B/d^2$ , soit $m_B=\dfrac{F\,d^2}{\mathcal{G}\,m_A}$ :

m_B=\frac{6.67\times 10^{-7}\times(1{,}0)^2}{6.67\times 10^{-11}\times 100} =\frac{6.67\times 10^{-7}}{6.67\times 10^{-9}}=100\,\mathrm{kilogram}.

Exercice 6trois masses alignées : forces opposées

Trois corps sont alignés. Une petite bille $C$ de masse $m_C=2.0\,\mathrm{kilogram}$ est placée entre deux boules $A$ et $B$ de masses $m_A=m_B=100\,\mathrm{kilogram}$ . Les distances valent $AC=1.0\,\mathrm{m}$ et $CB=2.0\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule l'intensité de la force exercée par $A$ sur $C$ .
Les deux forces sur $C$ pointent chacune vers la boule qui l'exerce : $\vec{F}_{A/C}$ vers $A$ (à gauche), $\vec{F}_{B/C}$ vers $B$ (à droite). Elles sont donc opposées : on soustrait leurs intensités.
$\displaystyle F_{A/C}=\mathcal{G}\,\frac{m_A m_C}{AC^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{100\times 2{,}0}{(1{,}0)^2}\approx1.33\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ (vers $A$ ).
b)
Calcule l'intensité de la force exercée par $B$ sur $C$ .
$\displaystyle F_{B/C}=\mathcal{G}\,\frac{m_B m_C}{CB^2} =6.67\times 10^{-11}\times\frac{100\times 2{,}0}{(2{,}0)^2} =\frac{1.33\times 10^{-8}}{4}\approx3.3\times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ (vers $B$ ).
c)
Déduis-en l'intensité et le sens de la force de gravitation résultante subie par $C$ .
Résultante : $F=F_{A/C}-F_{B/C}\approx1.33\times 10^{-8}-0.33\times 10^{-8} \approx1.0\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ , dirigée vers $A$ (la masse la plus proche l'emporte).

Exercice 7trois masses alignées : forces de même sens

On aligne maintenant les corps dans l'ordre $A$ , $B$ , $C$ . La bille $C$ ( $m_C=5.0\,\mathrm{kilogram}$ ) est à l'extérieur du segment, au-delà de $B$ . Les masses valent $m_A=m_B=200\,\mathrm{kilogram}$ ; les distances au point $C$ sont $AC=2.0\,\mathrm{m}$ et $BC=1.0\,\mathrm{m}$ .

a)
Explique pourquoi les forces exercées par $A$ et par $B$ sur $C$ ont ici le même sens.
$C$ est à l'extérieur du segment : $A$ et $B$ sont du même côté de $C$ . Chacune attire $C$ vers la gauche : les deux forces ont le même sens, on additionne leurs intensités.
b)
Calcule chacune de ces deux forces.
$\displaystyle F_{B/C}=6.67\times 10^{-11}\times\frac{200\times 5{,}0}{(1{,}0)^2} \approx6.7\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ ; $\displaystyle F_{A/C}=6.67\times 10^{-11}\times\frac{200\times 5{,}0}{(2{,}0)^2} =\frac{6.67\times 10^{-8}}{4}\approx1.7\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ .
c)
Déduis-en l'intensité de la force résultante subie par $C$ .
Résultante : $F=F_{A/C}+F_{B/C}\approx1.7\times 10^{-8}+6.7\times 10^{-8} \approx8.3\times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ , vers $A$ et $B$ .

Exercice 8rapport de deux satellites : penser au rayon terrestre

Deux satellites de même masse tournent autour de la Terre ( $R_T=6400\,\mathrm{km}$ ) : $A$ à l'altitude $h_A=1520\,\mathrm{km}$ et $B$ à l'altitude $h_B=800\,\mathrm{km}$ .

a)
Calcule la distance de chaque satellite au centre de la Terre.
$d_A=R_T+h_A=6400+1520=7920\,\mathrm{km}$ ; $d_B=R_T+h_B=6400+800=7200\,\mathrm{km}$ .
b)
Écris le rapport $\dfrac{F_A}{F_B}$ des forces subies, puis calcule sa valeur.
Mêmes masses : $\displaystyle \frac{F_A}{F_B}=\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2 =\left(\frac{7200}{7920}\right)^2=\left(\frac{10}{11}\right)^2 =\frac{100}{121}\approx 0{,}83$ .
c)
Lequel des deux satellites subit la force la plus intense ?
$F_A/F_B<1$ donc $F_A<F_B$ : c'est $B$ , le plus proche du centre, qui subit la force la plus intense.

Exercice 9retrouver l'altitude d'un satellite

La Terre ( $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ , $R_T=6.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) attire un satellite de masse $m=640\,\mathrm{kilogram}$ avec une force d'intensité $F=4.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .

a)
Détermine la distance $d$ du satellite au centre de la Terre.
On isole $d$ dans $F=\mathcal{G}\,M_T m/d^2$ , soit $d=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}\,M_T m}{F}}$ :
$d=\sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}\times 640}{4.0\times 10^{3}}} =\sqrt{\frac{2.56\times 10^{17}}{4.0\times 10^{3}}}=\sqrt{6.4\times 10^{13}}=8.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}.$
b)
Déduis-en l'altitude $h$ du satellite au-dessus du sol.
$h=d-R_T=8.0\times 10^{6}-6.4\times 10^{6}=1.6\times 10^{6}\,\mathrm{m}=1600\,\mathrm{km}$ .

Exercice 10deux planètes tirent une sonde

Une sonde subit l'attraction de deux planètes. La planète $P_1$ a une masse $M_1=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ et se trouve à $d_1=4.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ de la sonde ; la planète $P_2$ a une masse $M_2=6.0\times 10^{23}\,\mathrm{kilogram}$ et se trouve à $d_2=2.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ de la sonde.

a)
Écris le rapport $\dfrac{F_1}{F_2}$ des deux forces en fonction des masses et des distances (la masse de la sonde et $\mathcal{G}$ se simplifient).
En formant le rapport, $\mathcal{G}$ et la masse $m$ de la sonde se simplifient :
$\frac{F_1}{F_2}=\frac{\mathcal{G}M_1 m/d_1^2}{\mathcal{G}M_2 m/d_2^2} =\frac{M_1}{M_2}\times\left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2 .$
b)
Calcule sa valeur numérique.
$\displaystyle \frac{F_1}{F_2}=\frac{6.0\times 10^{24}}{6.0\times 10^{23}}\times \left(\frac{2.0\times 10^{8}}{4.0\times 10^{8}}\right)^2=10\times\left(\frac12\right)^2 =10\times\frac14=2{,}5$ .
c)
Quelle planète attire le plus fortement la sonde ?
$F_1/F_2=2{,}5>1$ : c'est $P_1$ qui attire le plus fortement la sonde (sa masse dix fois plus grande l'emporte sur sa distance deux fois plus grande).

Exercice 11peser une planète

Un satellite de masse $m=1000\,\mathrm{kilogram}$ , situé à $d=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ du centre d'une planète, subit de sa part une force de gravitation d'intensité $F=4.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Détermine la masse $M$ de cette planète. À quel astre connu correspond-elle ?

On isole $M$ dans $F=\mathcal{G}\,M m/d^2$ , soit $M=\dfrac{F\,d^2}{\mathcal{G}\,m}$ :

M=\frac{4.0\times 10^{3}\times(1.0\times 10^{7})^2}{6.67\times 10^{-11}\times 1000} =\frac{4.0\times 10^{17}}{6.67\times 10^{-8}}\approx6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}.

C'est la masse de la Terre.

Exercice 12trois changements en même temps

Deux corps s'attirent avec une force $F_0=6.0\times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ . On multiplie la masse $m_A$ par $3$ , la masse $m_B$ par $2$ , et on multiplie aussi la distance $d$ par $3$ .

a)
Par quel facteur la force est-elle multipliée à cause des masses ?
On sépare l'effet des masses (numérateur) et de la distance (dénominateur, au carré).
Masses : $m_A\times 3$ et $m_B\times 2$ $\Rightarrow$ produit $\times 6$ .
b)
Par quel facteur est-elle divisée à cause de la distance ?
Distance : $d\times 3\Rightarrow$ force $\div\,3^2=\div\,9$ .
c)
Quelle est la nouvelle intensité de la force ?
Facteur total $=\dfrac{6}{9}=\dfrac23$ : $F=\dfrac23\,F_0=\dfrac23\times6.0\times 10^{-9}=4.0\times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ .

Exercice 13la Lune au périgée et à l'apogée

La distance moyenne Terre–Lune est $d=3.84\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; la Terre attire alors la Lune avec une force $F_0=2.0\times 10^{20}\,\mathrm{N}$ . L'orbite étant légèrement elliptique, la distance varie entre $d_p=3.60\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ (périgée) et $d_a=4.05\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ (apogée).

a)
Par la méthode des rapports, calcule l'intensité de la force au périgée.
Seule la distance change : $\displaystyle F=F_0\left(\frac{d}{d'}\right)^2$ .
Périgée : $\displaystyle F_p=F_0\left(\frac{3.84\times 10^{8}}{3.60\times 10^{8}}\right)^2 =2.0\times 10^{20}\times(1{,}067)^2\approx2.3\times 10^{20}\,\mathrm{N}$ (plus proche $\Rightarrow$ force plus grande).
b)
Calcule l'intensité de la force à l'apogée.
Apogée : $\displaystyle F_a=F_0\left(\frac{3.84\times 10^{8}}{4.05\times 10^{8}}\right)^2 =2.0\times 10^{20}\times(0{,}948)^2\approx1.8\times 10^{20}\,\mathrm{N}$ .

Exercice 14force à une altitude donnée

Un satellite de masse $m=200\,\mathrm{kilogram}$ orbite à l'altitude $h=3600\,\mathrm{km}$ au-dessus de la Terre ( $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ , $R_T=6400\,\mathrm{km}$ ).

a)
Calcule la distance $d=R_T+h$ du satellite au centre de la Terre (en mètres).
$d=R_T+h=6400+3600=10000\,\mathrm{km}=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule l'intensité de la force de gravitation exercée par la Terre sur le satellite.
$F=\mathcal{G}\,\frac{M_T m}{d^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}\times 200}{(1.0\times 10^{7})^2} =\frac{8.0\times 10^{16}}{1.0\times 10^{14}}\approx8.0\times 10^{2}\,\mathrm{N}.$

Exercice 15dimensionner un satellite

On veut placer un satellite à l'altitude $h=1600\,\mathrm{km}$ ( $d=R_T+h=8.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ) de sorte qu'il subisse de la part de la Terre ( $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ) une force d'intensité exactement $F=2.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ . Quelle doit être la masse $m$ du satellite ?

On isole $m$ dans $F=\mathcal{G}\,M_T m/d^2$ , soit $m=\dfrac{F\,d^2}{\mathcal{G}\,M_T}$ :

m=\frac{2.0\times 10^{3}\times(8.0\times 10^{6})^2}{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}} =\frac{2.0\times 10^{3}\times6.4\times 10^{13}}{4.0\times 10^{14}} =\frac{1.28\times 10^{17}}{4.0\times 10^{14}}=320\,\mathrm{kilogram}.

Difficile14 exercices

Exercice 1la pomme et la Terre — vrai ou faux ?

Une pomme de masse $m$ est posée au sol. On s'intéresse aux forces de gravitation entre la pomme et la Terre. Indique pour chaque proposition si elle est vraie ou fausse, en justifiant.

a)
La Terre attire la pomme et la pomme attire la Terre avec deux forces de même intensité.
Vrai. La loi $F=\mathcal{G}\,m_A m_B/d^2$ est symétrique : elle donne la même intensité pour la force Terre $\to$ pomme et pomme $\to$ Terre.
b)
Comme la Terre est bien plus massive, elle attire la pomme beaucoup plus fort que la pomme n'attire la Terre.
Faux. Les deux intensités sont rigoureusement égales. Ce qui diffère, c'est l'effet : la même force donne à la pomme une grande accélération, mais à la Terre (énorme) une accélération imperceptible.
c)
Ces deux forces s'appliquent sur le même corps, donc elles se compensent et leur somme est nulle.
Faux. Ces deux forces s'appliquent sur deux corps différents (l'une sur la pomme, l'autre sur la Terre) : elles ne se compensent jamais. On n'additionne que des forces agissant sur un même corps.
d)
La réaction (au sens de la 3e loi de Newton) de la force gravitationnelle exercée par la Terre sur la pomme est la force gravitationnelle exercée par la pomme sur la Terre.
Vrai. C'est exactement la paire action–réaction gravitationnelle (3e loi de Newton).
Bilan : deux propositions correctes (a et d).

Exercice 2deux satellites — la racine du rapport

Deux satellites de même masse sont en orbite : $A$ a son centre à $d_A=8000\,\mathrm{km}$ du centre de la Terre, $B$ à $d_B=6000\,\mathrm{km}$ .

a)
Établis l'expression du rapport $\dfrac{F_A}{F_B}$ des forces subies.
Mêmes masses : $\displaystyle \frac{F_A}{F_B}=\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ .
b)
Calcule la racine carrée de ce rapport, $\sqrt{F_A/F_B}$ .
$\displaystyle \sqrt{\frac{F_A}{F_B}}=\frac{d_B}{d_A}=\frac{6000}{8000}=\frac34=0{,}75$ .
c)
Déduis-en lequel des deux satellites subit la force la plus intense.
$0{,}75<1$ donc $F_A<F_B$ : c'est $B$ , le plus proche du centre, qui subit la force la plus intense.

Exercice 3le Soleil nous attire-t-il plus que la Terre ?

On compare, sur une personne de masse $m$ , la force de gravitation exercée par la Terre (personne au sol) et celle exercée par le Soleil. Données : $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ , $R_T=6.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , $M_S=2.0\times 10^{30}\,\mathrm{kilogram}$ , distance Terre–Soleil $D=1.5\times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .

a)
Exprime le rapport $\dfrac{F_S}{F_T}$ en fonction de $M_S$ , $M_T$ , $R_T$ et $D$ (la masse $m$ et $\mathcal{G}$ doivent se simplifier).
En formant le rapport, $\mathcal{G}$ et $m$ se simplifient :
$\frac{F_S}{F_T}=\frac{\mathcal{G}M_S m/D^2}{\mathcal{G}M_T m/R_T^2} =\frac{M_S}{M_T}\times\left(\frac{R_T}{D}\right)^2.$
b)
Calcule sa valeur numérique.
$\displaystyle \frac{M_S}{M_T}=\frac{2.0\times 10^{30}}{6.0\times 10^{24}}=3.3\times 10^{5}$ ; $\displaystyle \left(\frac{R_T}{D}\right)^2=\left(\frac{6.4\times 10^{6}}{1.5\times 10^{11}}\right)^2 =(4.3\times 10^{-5})^2=1.8\times 10^{-9}$ . D'où
$\frac{F_S}{F_T}\approx3.3\times 10^{5}\times1.8\times 10^{-9}\approx6.1\times 10^{-4}.$
c)
Qui, du Soleil ou de la Terre, attire le plus fortement la personne ?
$F_S/F_T\approx6\times 10^{-4}\ll 1$ : la Terre attire la personne environ $1600$ fois plus fort que le Soleil. Le Soleil est pourtant bien plus massif, mais il est très loin, et la loi en $1/d^2$ l'emporte.

Exercice 4combien de propositions correctes ?

Deux corps s'attirent avec une force $F$ . Parmi les affirmations suivantes, indique celles qui sont correctes.

a)
Si l'on double chacune des deux masses, la force est multipliée par $4$ .
On sépare l'effet des masses (produit, au numérateur) et de la distance (au carré, au dénominateur).
Correcte. Chaque masse $\times 2$ : produit $\times 4$ , donc $F\times 4$ .
b)
Si l'on triple la distance, la force est divisée par $3$ .
Fausse. $d\times 3\Rightarrow F\div 3^2=\div\,9$ (et non $\div 3$ ).
c)
Si l'on double une masse et que l'on double aussi la distance, la force est divisée par $2$ .
Correcte. Une masse $\times 2$ et $d\times 2$ : $F\to\dfrac{2}{2^2}F =\dfrac{F}{2}$ , donc divisée par $2$ .
d)
Si l'on divise la distance par $3$ , la force est multipliée par $9$ .
Combien de ces propositions sont correctes ?
Correcte. $d\div 3\Rightarrow F\times 3^2=\times\,9$ .
Trois propositions sont correctes (a, c, d).

Exercice 5deux attractions perpendiculaires

Une sonde $S$ de masse $m=2.0\times 10^{3}\,\mathrm{kilogram}$ est soumise à l'attraction de deux planètes placées dans deux directions perpendiculaires : la planète $A$ ( $M_A=3.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ) à la distance $r_A=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , et la planète $B$ ( $M_B=2.25\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ) à la distance $r_B=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule l'intensité $F_A$ de la force exercée par $A$ sur la sonde.
$\displaystyle F_A=\mathcal{G}\,\frac{M_A m}{r_A^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times3.0\times 10^{24}\times2.0\times 10^{3}}{(1.0\times 10^{7})^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{27}}{1.0\times 10^{14}}\approx4.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule l'intensité $F_B$ de la force exercée par $B$ sur la sonde.
$\displaystyle F_B=\mathcal{G}\,\frac{M_B m}{r_B^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times2.25\times 10^{24}\times2.0\times 10^{3}}{(1.0\times 10^{7})^2} \approx3.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}$ .
c)
Les deux forces étant perpendiculaires, calcule l'intensité de la force résultante $F$ subie par la sonde.
Forces perpendiculaires $\Rightarrow$ on compose par le théorème de Pythagore :
$F=\sqrt{F_A^2+F_B^2}=\sqrt{(4.0\times 10^{3})^2+(3.0\times 10^{3})^2} =\sqrt{2.5\times 10^{7}}=5.0\times 10^{3}\,\mathrm{N}.$
d)
Donne la direction de $\vec{F}$ par l'angle $\theta$ qu'elle fait avec $\vec{F}_A$ .
$\displaystyle \tan\theta=\frac{F_B}{F_A}=\frac{3000}{4000}=0{,}75 \ \Rightarrow\ \theta\approx36.9^{\circ}$ (mesuré depuis $\vec{F}_A$ ).

Exercice 6le point où l'on ne pèse plus rien

Deux astres $A$ (masse $M_1=8.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ) et $B$ (masse $M_2=2.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ ) ont leurs centres séparés d'une distance $D=3.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . On cherche, sur le segment $[AB]$ , le point $P$ où une sonde ne subirait aucune force de gravitation résultante. On note $x=\overline{AP}$ .

a)
Écris la condition d'équilibre en égalant les intensités des deux forces subies par la sonde (montre que $\mathcal{G}$ et la masse de la sonde se simplifient).
En $P$ , la sonde (masse $m$ ) est attirée vers $A$ et vers $B$ ; l'équilibre impose des intensités égales :
$\mathcal{G}\,\frac{M_1 m}{x^2}=\mathcal{G}\,\frac{M_2 m}{(D-x)^2} \ \Longrightarrow\ \frac{M_1}{x^2}=\frac{M_2}{(D-x)^2}.$
b)
Déduis-en la relation $\dfrac{D-x}{x}=\sqrt{\dfrac{M_2}{M_1}}$ .
En isolant : $\displaystyle \frac{(D-x)^2}{x^2}=\frac{M_2}{M_1}$ , d'où $\displaystyle \frac{D-x}{x}=\sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$ .
c)
Calcule la position $x$ du point $P$ (distance au centre de $A$ ).
$\displaystyle \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}=\sqrt{\frac{2.0\times 10^{24}}{8.0\times 10^{24}}} =\sqrt{\tfrac14}=\tfrac12$ , donc $D-x=\tfrac12 x$ , soit $D=\tfrac32 x$ et
$x=\frac{2D}{3}=\frac{2\times3.0\times 10^{8}}{3}=2.0\times 10^{8}\,\mathrm{m} \quad(\text{et } D-x=1.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}).$
Le point neutre est deux fois plus loin de $A$ que de $B$ : il est nettement plus près du corps le moins massif.

Exercice 7résultante sur la médiatrice

Deux astres identiques $A$ et $B$ , de masse $M=5.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ chacun, sont séparés d'une distance $6.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ . Une sonde $S$ de masse $m=1.0\times 10^{3}\,\mathrm{kilogram}$ est placée sur la médiatrice du segment $[AB]$ , à la distance $y=4.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ du milieu $O$ (donc $AO=BO=3.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ).

a)
Calcule la distance $SA$ (= $SB$ ) séparant la sonde de chaque astre.
$\displaystyle SA=\sqrt{AO^2+y^2}=\sqrt{(3.0\times 10^{8})^2+(4.0\times 10^{8})^2} =\sqrt{25\times 10^{16}}=5.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ (triangle $3$ – $4$ – $5$ ).
b)
Calcule l'intensité de la force exercée par un seul astre sur la sonde.
$\displaystyle F=\mathcal{G}\,\frac{M m}{SA^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times5.0\times 10^{24}\times1.0\times 10^{3}}{(5.0\times 10^{8})^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times5.0\times 10^{27}}{2.5\times 10^{17}}\approx1.3\,\mathrm{N}$ .
c)
Explique pourquoi les composantes horizontales des deux forces se compensent.
Par symétrie, $A$ et $B$ sont à égale distance de $S$ de part et d'autre de la médiatrice : les deux forces ont la même intensité et des composantes horizontales opposées, qui se compensent exactement.
d)
Déduis-en l'intensité et la direction de la force résultante subie par la sonde.
Seules subsistent les composantes verticales, dirigées vers $O$ . Chacune vaut $F\times\dfrac{y}{SA}=1{,}3\times\dfrac{4.0\times 10^{8}}{5.0\times 10^{8}}=1{,}3\times0{,}8$ . Résultante :
$F_{\text{rés}}=2\,F\,\frac{y}{SA}\approx 2\times 1{,}3\times 0{,}8 \approx2.1\,\mathrm{N},$
dirigée de $S$ vers $O$ (le long de la médiatrice, vers le segment $[AB]$ ).

Exercice 8du rapport des forces au rapport des distances

Deux satellites de même masse tournent autour de la Terre. On mesure que le satellite $A$ subit une force $4$ fois plus intense que le satellite $B$ : $\dfrac{F_A}{F_B}=4$ .

a)
Écris la relation liant $F_A/F_B$ aux distances $d_A$ et $d_B$ des satellites au centre de la Terre.
Mêmes masses : $\displaystyle \frac{F_A}{F_B}=\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ .
b)
Déduis-en le rapport $\dfrac{d_B}{d_A}$ .
$\displaystyle \left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2=4\ \Rightarrow\ \frac{d_B}{d_A}=2$ .
c)
Sachant que $d_A=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , calcule $d_B$ . Lequel est le plus proche de la Terre ?
$d_B=2\,d_A=2\times1.0\times 10^{7}=2.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ . C'est $A$ le plus proche du centre ( $d_A<d_B$ ), ce qui est cohérent : le plus proche subit la force la plus forte.

Exercice 9une sonde entre la Terre et la Lune

Une sonde de masse $m=1.0\times 10^{3}\,\mathrm{kilogram}$ est placée sur la droite Terre–Lune, à $x=3.0\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ du centre de la Terre. Données : $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ , $M_L=7.3\times 10^{22}\,\mathrm{kilogram}$ , distance Terre–Lune $D=3.84\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ .

a)
Calcule l'intensité de la force exercée par la Terre sur la sonde.
Les deux forces sont opposées : la Terre attire la sonde d'un côté, la Lune de l'autre.
$\displaystyle F_T=\mathcal{G}\,\frac{M_T m}{x^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}\times1.0\times 10^{3}}{(3.0\times 10^{8})^2} =\frac{4.0\times 10^{17}}{9.0\times 10^{16}}\approx4.4\,\mathrm{N}$ (vers la Terre).
b)
Calcule l'intensité de la force exercée par la Lune sur la sonde (attention à la distance sonde–Lune).
Distance sonde–Lune : $D-x=3.84\times 10^{8}-3.0\times 10^{8}=8.4\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .
$F_L=\mathcal{G}\,\frac{M_L m}{(D-x)^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times7.3\times 10^{22}\times1.0\times 10^{3}}{(8.4\times 10^{7})^2} \approx\frac{4.87\times 10^{15}}{7.06\times 10^{15}}\approx0.69\,\mathrm{N} \ (\text{vers la Lune}).$
c)
Déduis-en l'intensité et le sens de la force de gravitation résultante.
Résultante : $F=F_T-F_L\approx 4{,}4-0{,}69\approx3.8\,\mathrm{N}$ , dirigée vers la Terre (la sonde, encore proche de la Terre, est surtout attirée par elle).

Exercice 10combien de propositions correctes ?

Deux corps s'attirent avec une force $F$ . Parmi les affirmations suivantes, indique celles qui sont correctes.

a)
On double $m_A$ et on triple $m_B$ (distance inchangée) : $F$ est multipliée par $6$ .
On sépare l'effet des masses (produit, au numérateur) et de la distance (au carré, au dénominateur).
Correcte. $m_A\times 2$ et $m_B\times 3$ : produit $\times 6$ , donc $F\times 6$ .
b)
On double chacune des deux masses et on double la distance : $F$ est inchangée.
Correcte. Masses $\times(2\times 2)=\times 4$ ; distance $\times 2\Rightarrow\div 4$ . Bilan $\dfrac{4}{4}=1$ : force inchangée.
c)
On triple la distance (masses inchangées) : $F$ est divisée par $6$ .
Fausse. $d\times 3\Rightarrow F\div 3^2=\div\,9$ (et non $\div 6$ ).
d)
On double $m_A$ et on divise la distance par $3$ : $F$ est multipliée par $18$ .
Correcte. $m_A\times 2$ donne $\times 2$ ; $d\div 3$ donne $\times 3^2=\times 9$ . Bilan $\times 18$ .
e)
On divise chacune des deux masses par $2$ et on divise la distance par $2$ : $F$ est multipliée par $2$ .
Combien de ces propositions sont correctes ?
Fausse. Masses $\times\left(\tfrac12\times\tfrac12\right)=\div 4$ ; $d\div 2\Rightarrow\times 4$ . Bilan $\dfrac{1/4\times 4}{1}=1$ : force inchangée, pas $\times 2$ .
Trois propositions sont correctes (a, b, d).

Exercice 11satellite : masse et altitude combinées

Un satellite de masse $m$ posé au sol ( $h=0$ , donc $d=R_T$ ) subit de la Terre une force $F_0$ . On envisage plusieurs modifications ; pour chacune, dis si l'affirmation est vraie ou fausse en justifiant (on note $R_T$ le rayon terrestre).

a)
On double la masse du satellite et on le place à l'altitude $h=R_T$ (donc $d=2R_T$ ) : la force devient $F_0/2$ .
On compare tout à $F_0=\mathcal{G}\,M_T m/R_T^2$ .
Vraie. $\displaystyle F=\mathcal{G}\,\frac{M_T(2m)}{(2R_T)^2} =\frac{2}{4}\,\mathcal{G}\,\frac{M_T m}{R_T^2}=\frac{F_0}{2}$ .
b)
On garde la même masse mais on le place à l'altitude $h=R_T$ ( $d=2R_T$ ) : la force est divisée par $2$ .
Fausse. $\displaystyle F=\mathcal{G}\,\frac{M_T m}{(2R_T)^2}=\frac{F_0}{4}$ : la force est divisée par $4$ (la distance est au carré), pas par $2$ .
c)
On multiplie la masse par $9$ et on le place à l'altitude $h=2R_T$ ( $d=3R_T$ ) : la force reste égale à $F_0$ .
Vraie. $\displaystyle F=\mathcal{G}\,\frac{M_T(9m)}{(3R_T)^2} =\frac{9}{9}\,F_0=F_0$ : le facteur $9$ des masses compense exactement le $3^2=9$ de la distance.

Exercice 12Soleil ou Lune : qui attire le plus la Terre ?

On compare la force de gravitation exercée sur la Terre par le Soleil et par la Lune. Données : $M_S=2.0\times 10^{30}\,\mathrm{kilogram}$ , distance Terre–Soleil $D_S=1.5\times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ; $M_L=7.3\times 10^{22}\,\mathrm{kilogram}$ , distance Terre–Lune $D_L=3.84\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ .

a)
Exprime le rapport $\dfrac{F_S}{F_L}$ en fonction de $M_S,M_L,D_S,D_L$ (la masse de la Terre et $\mathcal{G}$ se simplifient).
Les deux forces s'exercent sur la Terre (masse $M_T$ ) ; en formant le rapport, $\mathcal{G}$ et $M_T$ se simplifient :
$\frac{F_S}{F_L}=\frac{M_S}{M_L}\times\left(\frac{D_L}{D_S}\right)^2 .$
b)
Calcule sa valeur numérique.
$\displaystyle \frac{M_S}{M_L}=\frac{2.0\times 10^{30}}{7.3\times 10^{22}}\approx2.7\times 10^{7}$ ; $\displaystyle \left(\frac{D_L}{D_S}\right)^2 =\left(\frac{3.84\times 10^{8}}{1.5\times 10^{11}}\right)^2=(2.56\times 10^{-3})^2\approx6.6\times 10^{-6}$ .
$\frac{F_S}{F_L}\approx2.7\times 10^{7}\times6.6\times 10^{-6}\approx1.8\times 10^{2}.$
c)
Qui, du Soleil ou de la Lune, attire le plus fortement la Terre ?
Le Soleil attire la Terre environ $180$ fois plus fort que la Lune : malgré sa distance, sa masse énorme l'emporte largement.

Exercice 13lire la loi sur un graphe

On mesure la force $F$ entre deux corps pour plusieurs valeurs de la distance $d$ et l'on reporte $F$ en fonction de $1/d^{2}$ . On obtient les points alignés suivants (force en nanonewtons, $1\,\mathrm{nN}=1\times 10^{-9}\,\mathrm{N}$ ) :

a)
Que traduit le fait que les points soient alignés sur une droite passant par l'origine ?
Une droite passant par l'origine signifie que $F$ est proportionnelle à $1/d^2$ : c'est exactement la loi en $1/d^2$ . Le coefficient de proportionnalité (la pente) est la constante $\mathcal{G}\,m_A m_B$ .
b)
Détermine la pente $k$ de cette droite (en $\mathrm{N}\mathrm{m}^{2}$ ).
Pente : $\displaystyle k=\frac{\Delta F}{\Delta(1/d^2)}=\frac{8\,\mathrm{nN}}{1\,1/\mathrm{m}^{2}} =8.0\times 10^{-9}\,\mathrm{N}\mathrm{m}^{2}$ (mêmes valeurs avec les autres points : $2/0{,}25=4/0{,}5=8$ ).
c)
Sachant que $k=\mathcal{G}\,m_A m_B$ , calcule le produit $m_A m_B$ .
$\displaystyle m_A m_B=\frac{k}{\mathcal{G}}=\frac{8.0\times 10^{-9}}{6.67\times 10^{-11}} \approx120\,\mathrm{kilogram}^{2}$ .
d)
Prévois l'intensité de la force lorsque $d=5\,\mathrm{m}$ .
Pour $d=5\,\mathrm{m}$ : $\displaystyle F=\frac{k}{d^2}=\frac{8.0\times 10^{-9}}{25} =3.2\times 10^{-10}\,\mathrm{N}=0.32\,\mathrm{nN}$ .

Exercice 14compenser un changement de masses

Deux corps s'attirent avec une force $F_0$ . On décide de doubler chacune des deux masses.

a)
Par quel facteur le produit $m_A\,m_B$ est-il alors multiplié ?
Chaque masse $\times 2$ : le produit $m_A m_B$ est multiplié par $2\times 2=4$ .
b)
Par quel facteur faut-il multiplier la distance $d$ pour que la force reste égale à $F_0$ malgré ce changement de masses ?
On impose $\displaystyle \mathcal{G}\,\frac{4\,m_A m_B}{d'^2}=\mathcal{G}\,\frac{m_A m_B}{d^2}$ , soit $\dfrac{4}{d'^2}=\dfrac{1}{d^2}$ , d'où $d'^2=4d^2$ et $d'=2d$ : il faut doubler la distance.
c)
Même question si l'on souhaite cette fois que la force finale soit égale à $F_0/2$ .
On impose maintenant $\displaystyle \mathcal{G}\,\frac{4\,m_A m_B}{d'^2} =\frac12\,\mathcal{G}\,\frac{m_A m_B}{d^2}$ , soit $\dfrac{4}{d'^2}=\dfrac{1}{2d^2}$ , d'où $d'^2=8d^2$ et $d'=2\sqrt2\,d\approx 2{,}8\,d$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique