pesanteur et altitude

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Facile15 exercices

Exercice 1la pesanteur au sol

Calcule l'intensité de pesanteur au niveau du sol $g_0=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}$ , avec $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ (SI), $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ et $R_T=6.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

g_0=\frac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.0\times 10^{24}}{(6.4\times 10^{6})^2} =\frac{4.0\times 10^{14}}{4.10\times 10^{13}}\approx9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

On retrouve la valeur familière de la pesanteur au sol.

Exercice 2distance au centre

Le rayon terrestre vaut $R_T=6400\,\mathrm{km}$ . Donne la distance $d=R_T+h$ entre l'objet et le centre de la Terre pour :

a)
une altitude $h=600\,\mathrm{km}$ ;
On ajoute simplement l'altitude au rayon terrestre.
$d=6400+600=7000\,\mathrm{km}=7.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .
b)
une altitude $h=1600\,\mathrm{km}$ ;
$d=6400+1600=8000\,\mathrm{km}=8.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .
c)
l'altitude géostationnaire $h=35800\,\mathrm{km}$ .
$d=6400+35800=42200\,\mathrm{km}=4.22\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .

Exercice 3pesanteur en altitude

Un satellite est à l'altitude $h=3600\,\mathrm{km}$ . On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ et $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ (SI). Calcule la pesanteur $g_h$ à cette altitude.

Distance au centre : $d=R_T+h=6400+3600=10000\,\mathrm{km}=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ . Puis

g_h=\frac{\mathcal{G}M_T}{d^2}=\frac{4.0\times 10^{14}}{(1.0\times 10^{7})^2} =\frac{4.0\times 10^{14}}{1.0\times 10^{14}}=4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Exercice 4poids sur la Terre et sur la Lune

Un astronaute a une masse $m=60\,\mathrm{kilogram}$ . On prend $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (Terre) et $g_{\text{Lune}}=1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule son poids sur la Terre.
Le poids est une force, $P=mg$ ; la masse ne change pas.
$P_T=m\,g_0=60\times 9{,}8=588\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule son poids sur la Lune.
$P_L=m\,g_{\text{Lune}}=60\times 1{,}6=96\,\mathrm{N}$ .
c)
Quelle est sa masse sur la Lune ?
Sa masse reste $60\,\mathrm{kilogram}$ (invariable, où qu'il soit).

Exercice 5du poids à la masse

Un objet pèse $P=500\,\mathrm{N}$ sur Terre, où l'on prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Quelle est sa masse ?
On inverse $P=mg$ en $m=P/g$ ; la masse est la même partout.
$m=\dfrac{P}{g}=\dfrac{500}{10}=50\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Combien pèse-t-il sur Mars, où $g_{\text{Mars}}=3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?
$P_{\text{Mars}}=m\,g_{\text{Mars}}=50\times 3{,}7=185\,\mathrm{N}$ .
c)
Quelle est sa masse sur Mars ?
Sa masse est toujours $50\,\mathrm{kilogram}$ .

Exercice 6

g

en N/kg ou en m/s²

Au niveau du sol, la pesanteur vaut $g_0=9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ .

a)
Quel est le poids d'un objet de masse $1\,\mathrm{kilogram}$ ?
$P=m\,g_0=1\times 9{,}8=9.8\,\mathrm{N}$ .
b)
Réécris la valeur de $g_0$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
$g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : c'est le même nombre.
c)
Vrai ou faux : « $\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ et $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ sont deux écritures d'une même unité » ?
Vrai. Comme $\mathrm{N}=\mathrm{kilogram}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , on a $\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}=\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $g$ se lit aussi bien comme un champ (N/kg) que comme une accélération (m/s²).

Exercice 7pesanteur d'un satellite lointain

Un satellite orbite à l'altitude $h=13600\,\mathrm{km}$ . On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ et $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ (SI).

a)
Calcule la distance au centre $d=R_T+h$ (en mètres).
$d=R_T+h=6400+13600=20000\,\mathrm{km}=2.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule la pesanteur $g_h$ à cette altitude.
$\displaystyle g_h=\frac{\mathcal{G}M_T}{d^2}=\frac{4.0\times 10^{14}}{(2.0\times 10^{7})^2} =\frac{4.0\times 10^{14}}{4.0\times 10^{14}}=1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . À cette altitude, $g$ n'est plus qu'environ un dixième de $g_0$ .

Exercice 8peser sur Jupiter

Un robot d'exploration a une masse $m=200\,\mathrm{kilogram}$ . On prend $g_{\text{Terre}}=9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ et $g_{\text{Jupiter}}=25\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ .

a)
Calcule son poids sur la Terre.
La masse est invariable ; seul le poids $P=mg$ change de lieu en lieu.
$P_T=m\,g_{\text{Terre}}=200\times 9{,}8=1960\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule son poids sur Jupiter.
$P_J=m\,g_{\text{Jupiter}}=200\times 25=5000\,\mathrm{N}$ .
c)
Quelle est sa masse sur Jupiter ?
Sa masse reste $200\,\mathrm{kilogram}$ (elle ne dépend pas de l'astre).

Exercice 9deux balances sur la Lune

Sur Terre (où l'on prend $g=10\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ ), une balance à ressort graduée en newtons indique $6\,\mathrm{N}$ pour une pomme.

a)
Quelle est la masse de la pomme ?
$m=\dfrac{P}{g}=\dfrac{6}{10}=0.6\,\mathrm{kilogram}=600\,\mathrm{g}$ .
b)
Que lira cette balance à ressort sur la Lune, où $g_{\text{Lune}}=1.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ ?
Une balance à ressort mesure le poids : elle lira $P_L=m\,g_{\text{Lune}}=0{,}6\times 1{,}6=0.96\,\mathrm{N}$ .
c)
Une balance à plateaux (qui compare la pomme à des masses étalons) : qu'indiquera-t-elle sur la Lune ? Justifie.
Une balance à plateaux compare des masses : elle indiquera toujours $600\,\mathrm{g}$ , sur la Lune comme sur Terre. En effet, la pomme et les masses étalons voient leur poids multiplié par le même $g$ : l'équilibre des plateaux ne dépend pas de $g$ .

Exercice 10pesanteur d'une planète inconnue

Sur une planète, on connaît $\mathcal{G}M=2.0\times 10^{14}$ (SI) et un rayon $R=5.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Calcule la pesanteur $g=\dfrac{\mathcal{G}M}{R^2}$ à sa surface.

g=\frac{\mathcal{G}M}{R^2}=\frac{2.0\times 10^{14}}{(5.0\times 10^{6})^2} =\frac{2.0\times 10^{14}}{2.5\times 10^{13}}=8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Exercice 11

g

et l'altitude : vrai ou faux

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.

a)
$g$ diminue quand l'altitude augmente.
Vrai. $g_h=\mathcal{G}M_T/(R_T+h)^2$ décroît quand $h$ croît.
b)
À très haute altitude, $g$ finit par devenir exactement nulle.
Faux. $g$ décroît sans jamais s'annuler (loi en $1/(R_T+h)^2$ ).
c)
À la même altitude, une bille lourde et une bille légère subissent la même valeur de $g$ .
Vrai. $g$ ne dépend pas de la masse de l'objet : tous les corps subissent la même valeur en un lieu donné.
d)
$g$ dépend de la distance au centre $d=R_T+h$ , et non de la seule altitude $h$ .
Vrai. C'est la distance au centre $d=R_T+h$ qui compte, pas $h$ seul.

Exercice 12quel pourcentage de

g_0

À l'altitude d'un satellite, on mesure $g_h=2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . On prend $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule le rapport $g_h/g_0$ .
$\displaystyle \frac{g_h}{g_0}=\frac{2{,}45}{9{,}8}=0{,}25$ .
b)
Exprime-le en pourcentage.
Soit $25\,\%$ de $g_0$ .
c)
À quelle fraction simple de $g_0$ cela correspond-il ?
C'est exactement le quart de $g_0$ : $g_h=g_0/4$ .

Exercice 13classer des pesanteurs

On donne les pesanteurs de surface : Lune $1.6$ , Mars $3.7$ , Terre $9.8$ , Jupiter $24.8$ (en $\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ ).

a)
Classe ces astres par pesanteur croissante.
Lune $(1{,}6)<$ Mars $(3{,}7)<$ Terre $(9{,}8)<$ Jupiter $(24{,}8)$ .
b)
Sur lequel un même objet pèse-t-il le plus ?
Sur Jupiter (plus grand $g$ , donc plus grand poids).
c)
Un sac de masse $10\,\mathrm{kilogram}$ : sur quel astre pèse-t-il le moins, et combien ?
Sur la Lune : $P=10\times 1{,}6=16\,\mathrm{N}$ (le plus faible).

Exercice 14le poids diminue en montant

Un capteur a une masse $m=50\,\mathrm{kilogram}$ . Au sol $g_0=9.8\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ ; à une certaine altitude, $g=8.0\,\mathrm{N}/\mathrm{kilogram}$ .

a)
Calcule son poids au sol.
$P_0=m\,g_0=50\times 9{,}8=490\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule son poids à cette altitude.
$P=m\,g=50\times 8{,}0=400\,\mathrm{N}$ .
c)
De combien (en $\mathrm{N}$ ) le poids a-t-il diminué ?
Le poids a diminué de $490-400=90\,\mathrm{N}$ (la masse, elle, n'a pas bougé).

Exercice 15lire un schéma

Sur le schéma ci-dessous, $R_T=6400\,\mathrm{km}$ et $h=1600\,\mathrm{km}$ .

a)
Que représente la distance $d$ ?
$d$ est la distance de l'objet au centre de la Terre : $d=R_T+h$ .
b)
Calcule $d$ .
$d=6400+1600=8000\,\mathrm{km}$ .
c)
Laquelle de ces deux formules donne $g$ à l'altitude $h$ : $\dfrac{\mathcal{G}M_T}{h^2}$ ou $\dfrac{\mathcal{G}M_T}{d^2}$ ?
C'est $\dfrac{\mathcal{G}M_T}{d^2}$ : la pesanteur dépend de la distance au centre $d$ , jamais de la seule altitude $h$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1pesanteur à

1600\,\mathrm{km}

Calcule la pesanteur $g_h$ à l'altitude $h=1600\,\mathrm{km}$ . On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ et $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ (SI). Compare à $g_0\approx9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

$d=R_T+h=6400+1600=8000\,\mathrm{km}=8.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , donc

g_h=\frac{4.0\times 10^{14}}{(8.0\times 10^{6})^2}=\frac{4.0\times 10^{14}}{6.4\times 10^{13}} \approx6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

Soit environ $64\,\%$ de $g_0$ : la pesanteur a nettement diminué, sans s'annuler.

Exercice 2à quelle altitude

g

est-elle divisée par 4 ?

On cherche l'altitude $h$ pour laquelle $g_h=\dfrac{g_0}{4}$ .

a)
À partir de $g_h=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{(R_T+h)^2}$ et $g_0=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}$ , montre que $g_h=g_0/4$ impose $(R_T+h)=2R_T$ .
$\displaystyle \frac{g_h}{g_0}=\frac{\mathcal{G}M_T/(R_T+h)^2}{\mathcal{G}M_T/R_T^2} =\frac{R_T^2}{(R_T+h)^2}$ . Imposer $g_h=g_0/4$ donne $\dfrac{R_T^2}{(R_T+h)^2}=\dfrac14$ , soit $(R_T+h)^2=4R_T^2$ , d'où $R_T+h=2R_T$ .
b)
En déduis l'altitude $h$ (avec $R_T=6400\,\mathrm{km}$ ).
$h=2R_T-R_T=R_T=6400\,\mathrm{km}$ . À une altitude égale au rayon terrestre, $g$ n'est déjà plus que le quart de sa valeur au sol.

Exercice 3la pesanteur sur Mars

Mars a une masse $M=6.4\times 10^{23}\,\mathrm{kilogram}$ et un rayon $R=3.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Calcule la pesanteur à sa surface, $g=\dfrac{\mathcal{G}M}{R^2}$ , avec $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ (SI).

g=\frac{\mathcal{G}M}{R^2} =\frac{6.67\times 10^{-11}\times6.4\times 10^{23}}{(3.4\times 10^{6})^2} =\frac{4.27\times 10^{13}}{1.16\times 10^{13}}\approx3.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.

On y pèse donc environ $2{,}6$ fois moins que sur Terre.

Exercice 4« peser » la Terre

On mesure au sol $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et l'on connaît $R_T=6.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . En partant de $g_0=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}$ , isole puis calcule la masse $M_T$ de la Terre ( $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ SI).

On isole $M_T=\dfrac{g_0\,R_T^2}{\mathcal{G}}$ :

M_T=\frac{9{,}8\times(6.4\times 10^{6})^2}{6.67\times 10^{-11}} =\frac{9{,}8\times4.1\times 10^{13}}{6.67\times 10^{-11}} =\frac{4.0\times 10^{14}}{6.67\times 10^{-11}}\approx6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}.

On retrouve bien la masse de la Terre : une simple mesure de $g_0$ et de $R_T$ suffit.

Exercice 5le poids en altitude

Un satellite pèse $P_0=8000\,\mathrm{N}$ au sol (juste avant le lancement). On le place en orbite à l'altitude $h=6400\,\mathrm{km}$ , égale au rayon terrestre $R_T$ .

a)
Exprime le rapport $\dfrac{P_h}{P_0}$ en fonction de $R_T$ et $h$ .
Le poids est $P=mg$ ; à masse constante, $P_h/P_0=g_h/g_0$ .
$\displaystyle \frac{P_h}{P_0}=\frac{g_h}{g_0}=\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ .
b)
Calcule ce rapport pour $h=R_T$ .
Pour $h=R_T$ : $\displaystyle \left(\frac{R_T}{2R_T}\right)^2=\left(\frac12\right)^2=\frac14$ .
c)
En déduis le poids $P_h$ du satellite sur son orbite.
$P_h=\dfrac{P_0}{4}=\dfrac{8000}{4}=2000\,\mathrm{N}$ .

Exercice 6le rapport

g_h/g_0

a)
À partir de $g_h=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{(R_T+h)^2}$ et $g_0=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}$ , montre que $\dfrac{g_h}{g_0}=\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ .
$\displaystyle \frac{g_h}{g_0}=\frac{\mathcal{G}M_T/(R_T+h)^2}{\mathcal{G}M_T/R_T^2} =\frac{R_T^2}{(R_T+h)^2}=\left(\frac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ .
b)
Calcule ce rapport pour $h=3200\,\mathrm{km}$ (on prend $R_T=6400\,\mathrm{km}$ ).
$R_T+h=6400+3200=9600\,\mathrm{km}$ , donc $\displaystyle \frac{g_h}{g_0}=\left(\frac{6400}{9600}\right)^2=\left(\frac23\right)^2 =\frac49\approx 0{,}44$ .
c)
En déduis $g_h$ , sachant $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
$g_h=\dfrac49\,g_0=\dfrac49\times 9{,}8\approx4.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 7à quelle altitude

g

vaut-elle

g_0/9

a)
En utilisant $\dfrac{g_h}{g_0}=\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ , montre que $g_h=g_0/9$ impose $R_T+h=3R_T$ .
$\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2=\dfrac19 \iff (R_T+h)^2=9R_T^2 \iff R_T+h=3R_T$ .
b)
En déduis l'altitude $h$ (avec $R_T=6400\,\mathrm{km}$ ).
$h=3R_T-R_T=2R_T=12800\,\mathrm{km}$ .
c)
Généralise : à quelle altitude $g$ vaut-elle $g_0/n^2$ (avec $n$ entier) ?
$g_h=g_0/n^2$ donne $(R_T+h)^2=n^2R_T^2$ , soit $R_T+h=nR_T$ , d'où $\boxed{h=(n-1)R_T}$ . (On retrouve $n=2\Rightarrow h=R_T$ , $n=3\Rightarrow h=2R_T$ .)

Exercice 8la pesanteur à partir de la masse volumique

Une planète sphérique a un rayon $R=6.0\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ et une masse volumique moyenne $\rho=5000\,\mathrm{kilogram}/\mathrm{m}^{3}$ . On prend $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ (SI).

a)
Exprime la masse $M$ de la planète en fonction de $\rho$ et $R$ (volume d'une sphère : $V=\tfrac{4}{3}\pi R^3$ ), puis calcule-la.
$M=\rho V=\rho\cdot\tfrac{4}{3}\pi R^3 =5000\times\tfrac{4}{3}\pi\,(6.0\times 10^{6})^3\approx4.5\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Montre que la pesanteur de surface vaut $g=\tfrac{4}{3}\pi\,\mathcal{G}\,\rho\,R$ .
$\displaystyle g=\frac{\mathcal{G}M}{R^2} =\frac{\mathcal{G}\cdot\rho\,\tfrac{4}{3}\pi R^3}{R^2} =\tfrac{4}{3}\pi\,\mathcal{G}\,\rho\,R$ (le $R^2$ se simplifie).
c)
Calcule $g$ .
$g=\tfrac{4}{3}\pi\times6.67\times 10^{-11}\times 5000\times6.0\times 10^{6} \approx8.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 9trouver le rayon d'une planète

Une planète a une masse $M=3.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$ et une pesanteur de surface $g=6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . On donne $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ (SI).

a)
À partir de $g=\dfrac{\mathcal{G}M}{R^2}$ , isole le rayon $R$ .
$g=\dfrac{\mathcal{G}M}{R^2}\ \Rightarrow\ R^2=\dfrac{\mathcal{G}M}{g}\ \Rightarrow\ R=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}M}{g}}$ .
b)
Calcule $R$ .
$\displaystyle R=\sqrt{\frac{6.67\times 10^{-11}\times3.0\times 10^{24}}{6{,}0}} =\sqrt{\frac{2.0\times 10^{14}}{6}}=\sqrt{3.34\times 10^{13}}\approx5.8\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ .

Exercice 10comparer deux planètes par les rapports

On compare des planètes à la Terre ( $g_T=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ), en utilisant $g=\dfrac{\mathcal{G}M}{R^2}$ .

a)
Planète X de masse $2M_T$ et de rayon $2R_T$ : exprime $g_X/g_T$ , puis calcule $g_X$ .
On utilise $\displaystyle \frac{g}{g_T}=\frac{M/M_T}{(R/R_T)^2}$ .
$\displaystyle \frac{g_X}{g_T}=\frac{2}{2^2}=\frac24=\frac12$ , donc $g_X=\dfrac{9{,}8}{2}=4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (deux fois plus massive mais deux fois plus grande $\Rightarrow$ $g$ deux fois plus faible).
b)
Planète Y de masse $4M_T$ et de rayon $2R_T$ : calcule $g_Y$ .
$\displaystyle \frac{g_Y}{g_T}=\frac{4}{2^2}=\frac44=1$ , donc $g_Y=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (identique à la Terre).

Exercice 11retrouver l'altitude à partir de

g

Un altimètre gravitationnel embarqué mesure $g=4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . On donne $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ (SI) et $R_T=6400\,\mathrm{km}$ .

a)
À partir de $g=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{d^2}$ , calcule la distance au centre $d$ .
$g=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{d^2}\ \Rightarrow\ d=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}M_T}{g}} =\sqrt{\dfrac{4.0\times 10^{14}}{4{,}0}}=\sqrt{1.0\times 10^{14}}=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .
b)
En déduis l'altitude $h$ de l'appareil.
$h=d-R_T=1.0\times 10^{7}-6.4\times 10^{6}=3.6\times 10^{6}\,\mathrm{m}=3600\,\mathrm{km}$ .

Exercice 12le poids d'un satellite à plusieurs altitudes

Un satellite a une masse $m=500\,\mathrm{kilogram}$ . On prend $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $R_T=6400\,\mathrm{km}$ , et l'on rappelle $P_h=P_0\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ .

a)
Calcule son poids $P_0$ au sol.
$P_0=m\,g_0=500\times 9{,}8=4900\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule son poids à l'altitude $h=R_T=6400\,\mathrm{km}$ .
À $h=R_T$ : $R_T+h=2R_T$ , donc $P_h=P_0\left(\tfrac12\right)^2=\dfrac{4900}{4} =1225\,\mathrm{N}$ .
c)
Calcule son poids à l'altitude $h=2R_T=12800\,\mathrm{km}$ .
À $h=2R_T$ : $R_T+h=3R_T$ , donc $P_h=P_0\left(\tfrac13\right)^2=\dfrac{4900}{9} \approx544\,\mathrm{N}$ .

Exercice 13« peser » la Lune

On connaît la pesanteur à la surface de la Lune, $g=1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , et son rayon $R=1.74\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . On donne $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ (SI). En partant de $g=\dfrac{\mathcal{G}M}{R^2}$ , isole puis calcule la masse $M$ de la Lune.

On isole $M=\dfrac{g\,R^2}{\mathcal{G}}$ :

M=\frac{1{,}6\times(1.74\times 10^{6})^2}{6.67\times 10^{-11}} =\frac{1{,}6\times3.03\times 10^{12}}{6.67\times 10^{-11}} =\frac{4.84\times 10^{12}}{6.67\times 10^{-11}}\approx7.3\times 10^{22}\,\mathrm{kilogram}.

On retrouve bien la masse de la Lune (environ $80$ fois plus petite que celle de la Terre).

Exercice 14lire la courbe

g(h)

La courbe ci-dessous donne la pesanteur $g_h$ en fonction de l'altitude $h$ (avec $R_T=6400\,\mathrm{km}$ et $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ SI).

a)
Lis sur la courbe la valeur de $g$ à l'altitude $h=3600\,\mathrm{km}$ .
À $h=3600\,\mathrm{km}$ , la courbe donne $g\approx4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
À quelle altitude environ $g$ vaut-elle $2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?
$g=2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ est atteint vers $h\approx6400\,\mathrm{km}$ (c'est-à-dire $h=R_T$ , où $g=g_0/4$ ).
c)
Retrouve par le calcul la valeur de $g$ à $h=3600\,\mathrm{km}$ .
$d=R_T+h=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ , donc $g=\dfrac{4.0\times 10^{14}}{(1.0\times 10^{7})^2}=4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : conforme à la lecture.

Exercice 15deux satellites à comparer

Deux satellites $A$ et $B$ , de même masse, tournent autour de la Terre : $A$ à l'altitude $h_A=1520\,\mathrm{km}$ , $B$ à $h_B=800\,\mathrm{km}$ . On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ .

a)
Exprime le rapport $\dfrac{g_A}{g_B}$ des pesanteurs subies en fonction des distances au centre $d_A$ et $d_B$ .
La pesanteur subie est $g=\mathcal{G}M_T/d^2$ (en $1/d^2$ ).
$\displaystyle \frac{g_A}{g_B}=\frac{\mathcal{G}M_T/d_A^2}{\mathcal{G}M_T/d_B^2} =\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2$ .
b)
Calcule ce rapport.
$d_A=6400+1520=7920\,\mathrm{km}$ , $d_B=6400+800=7200\,\mathrm{km}$ , donc $\displaystyle \frac{g_A}{g_B}=\left(\frac{7200}{7920}\right)^2=\left(\frac{10}{11}\right)^2 =\frac{100}{121}\approx 0{,}83$ .
c)
Lequel des deux satellites subit la plus grande force de gravitation ?
$g_A<g_B$ : c'est le satellite $B$ (le plus bas) qui subit la plus grande force de gravitation.

Difficile14 exercices

Exercice 1masse ou poids ? — vrai ou faux

On emporte un même objet du niveau de la mer au sommet d'une montagne, puis sur la Lune. Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse.

a)
Sa masse est la même au sommet de la montagne qu'au niveau de la mer.
Vrai. La masse (quantité de matière) est invariable.
b)
Son poids est légèrement plus faible au sommet (car $g$ y est un peu plus petit).
Vrai. Au sommet, l'altitude est un peu plus grande, donc $g$ un peu plus petit, donc $P=mg$ légèrement plus faible.
c)
Sur la Lune, sa masse est divisée par environ $6$ .
Faux. La masse ne change jamais : elle est identique sur la Lune.
d)
Sur la Lune, son poids est divisé par environ $6$ .
Vrai. $g_{\text{Lune}}\approx g_{\text{Terre}}/6$ , donc le poids $P=mg$ est lui aussi divisé par $\approx 6$ .
Correctes : a, b, d. (Seule la masse reste constante ; le poids, lui, suit $g$ .)

Exercice 2deux masses en chute libre

On lâche simultanément, de la même hauteur et sans résistance de l'air, deux objets de masses $m_1=2\,\mathrm{kilogram}$ et $m_2=6\,\mathrm{kilogram}$ .

a)
Écris la 2e loi de Newton pour un objet soumis à son seul poids, et montre que son accélération vaut $a=g$ (indépendante de la masse).
L'objet n'est soumis qu'à son poids $P=mg$ (vers le bas). La 2e loi s'écrit $mg=ma$ ; la masse se simplifie : $\boxed{a=g}$ , indépendante de $m$ .
b)
Les deux objets touchent-ils le sol en même temps ? Justifie.
Oui. Les deux objets ont la même accélération $a=g$ et partent ensemble de la même hauteur : ils ont exactement le même mouvement et touchent le sol en même temps (leur masse différente ne joue aucun rôle).
c)
Sur la Lune ( $g$ plus faible), la chute serait-elle plus rapide ou plus lente ?
Sur la Lune, $g$ est plus faible, donc l'accélération $a=g$ est plus faible : la chute serait plus lente (mais toujours identique pour les deux masses).

Exercice 3l'astronaute sur la Lune

Un astronaute a une masse $m=90\,\mathrm{kilogram}$ . On prend $g_{\text{Terre}}=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $g_{\text{Lune}}=1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule son poids sur la Terre.
$P_{\text{Terre}}=m\,g_{\text{Terre}}=90\times 9{,}8=882\,\mathrm{N}$ .
b)
Calcule son poids sur la Lune.
$P_{\text{Lune}}=m\,g_{\text{Lune}}=90\times 1{,}6=144\,\mathrm{N}$ .
c)
Vérifie que le poids lunaire vaut environ le sixième du poids terrestre.
$\displaystyle \frac{P_{\text{Terre}}}{P_{\text{Lune}}}=\frac{882}{144}\approx 6{,}1\approx 6$ (c'est aussi $g_{\text{Terre}}/g_{\text{Lune}}=9{,}8/1{,}6$ ).
d)
Quelle est sa masse sur la Lune ?
Sa masse vaut toujours $90\,\mathrm{kilogram}$ .

Exercice 4abaisser un satellite : le piège de l'altitude

Un satellite est à l'altitude $h=6400\,\mathrm{km}$ . On l'abaisse à $h'=3200\,\mathrm{km}$ (altitude divisée par $2$ ). On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ .

a)
Calcule les distances au centre $d=R_T+h$ et $d'=R_T+h'$ . La distance au centre est-elle divisée par $2$ ?
$d=R_T+h=6400+6400=12800\,\mathrm{km}$ et $d'=R_T+h'=6400+3200=9600\,\mathrm{km}$ . $d'/d=9600/12800=0{,}75$ : la distance au centre n'est pas divisée par $2$ , elle n'est réduite que d'un quart.
b)
Par quel facteur la force gravitationnelle (donc $g$ ) est-elle multipliée ?
La force est en $1/d^2$ , donc elle est multipliée par $\displaystyle \left(\frac{d}{d'}\right)^2=\left(\frac{12800}{9600}\right)^2 =\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9}\approx 1{,}8$ .
c)
La force est-elle multipliée par $4$ , comme on pourrait le croire en « divisant l'altitude par 2 » ? Conclus.
Non : $\times 1{,}8$ , et non $\times 4$ . Diviser l'altitude par $2$ ne divise pas la distance au centre par $2$ (le gros terme $R_T$ domine). Il faut toujours raisonner sur $d=R_T+h$ , jamais sur $h$ seul.

Exercice 5pesanteur, masse volumique et taille

On admet qu'une planète sphérique de masse volumique moyenne $\rho$ et de rayon $R$ a une masse $M=\rho\cdot\tfrac{4}{3}\pi R^3$ .

a)
Montre que la pesanteur de surface s'écrit $g=\tfrac{4}{3}\pi\,\mathcal{G}\,\rho\,R$ .
$\displaystyle g=\frac{\mathcal{G}M}{R^2} =\frac{\mathcal{G}\cdot\rho\,\tfrac{4}{3}\pi R^3}{R^2} =\tfrac{4}{3}\pi\,\mathcal{G}\,\rho\,R$ .
b)
À masse volumique $\rho$ identique, comment $g$ varie-t-il avec le rayon $R$ ?
À $\rho$ fixé, $g\propto R$ : la pesanteur est proportionnelle au rayon.
c)
Une planète $2$ a un rayon $2$ fois plus grand qu'une planète $1$ et une masse volumique $1{,}5$ fois plus grande. Exprime le rapport $g_2/g_1$ .
$\displaystyle \frac{g_2}{g_1}=\frac{\rho_2}{\rho_1}\cdot\frac{R_2}{R_1} =1{,}5\times 2=3$ .
d)
Si $g_1=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , calcule $g_2$ .
$g_2=3\,g_1=3\times 9{,}8=29.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

Exercice 6à quelle altitude réduire le poids à une fraction

p

On note $p=\dfrac{P_h}{P_0}$ le rapport du poids à l'altitude $h$ au poids au sol. On prend $R_T=6400\,\mathrm{km}$ .

a)
À partir de $\dfrac{P_h}{P_0}=\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ , montre que $h=R_T\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}}-1\right)$ .
$\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2=p \iff \dfrac{R_T}{R_T+h}=\sqrt{p} \iff R_T+h=\dfrac{R_T}{\sqrt{p}}$ , d'où $h=\dfrac{R_T}{\sqrt{p}}-R_T=R_T\!\left(\dfrac{1}{\sqrt{p}}-1\right)$ .
b)
Calcule $h$ pour $p=\tfrac14$ .
$p=\tfrac14 \Rightarrow \sqrt{p}=\tfrac12 \Rightarrow h=R_T(2-1)=R_T=6400\,\mathrm{km}$ .
c)
Calcule $h$ pour $p=\tfrac{1}{100}$ .
$p=\tfrac{1}{100} \Rightarrow \sqrt{p}=\tfrac{1}{10} \Rightarrow h=R_T(10-1)=9R_T=57600\,\mathrm{km}$ .
d)
Commente : est-il « facile » de réduire son poids à $1\,\%$ en montant ?
Non : réduire son poids à $1\,\%$ exige de monter à $9R_T$ ( $\approx57600\,\mathrm{km}$ ), bien au-delà des satellites habituels. La gravité « lâche » très lentement.

Exercice 7remonter à l'altitude par une double mesure

Un vaisseau mesure la pesanteur $g$ à une altitude inconnue $h$ . On connaît la pesanteur au sol $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $R_T=6400\,\mathrm{km}$ .

a)
À partir de $\dfrac{g}{g_0}=\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2$ , montre que $h=R_T\!\left(\sqrt{\dfrac{g_0}{g}}-1\right)$ .
$\dfrac{g}{g_0}=\left(\dfrac{R_T}{R_T+h}\right)^2 \Rightarrow \dfrac{R_T+h}{R_T}=\sqrt{\dfrac{g_0}{g}} \Rightarrow h=R_T\!\left(\sqrt{\dfrac{g_0}{g}}-1\right)$ .
b)
Calcule $h$ pour une mesure $g=8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
$\displaystyle h=6400\left(\sqrt{\frac{9{,}8}{8{,}0}}-1\right) =6400\,(\sqrt{1{,}225}-1)=6400\times 0{,}107\approx680\,\mathrm{km}$ .
c)
Exprime cette valeur de $g$ en pourcentage de $g_0$ et commente l'altitude trouvée.
$\dfrac{g}{g_0}=\dfrac{8{,}0}{9{,}8}\approx 0{,}82$ , soit $\approx 82\,\%$ de $g_0$ : perdre $\approx 18\,\%$ de pesanteur ne demande qu'une altitude modérée ( $\approx680\,\mathrm{km}$ , une orbite basse).

Exercice 8la montagne contre l'orbite

On prend $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ (SI), $R_T=6.4\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ et l'on notera $g_0\approx9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ la pesanteur au sol.

a)
Calcule $g$ au sommet de l'Everest, à $h=8.8\,\mathrm{km}$ .
$d=6.4\times 10^{6}+8800=6.4088\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , donc $g=\dfrac{4.0\times 10^{14}}{(6.4088\times 10^{6})^2}\approx9.74\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
Calcule $g$ en orbite basse, à $h=800\,\mathrm{km}$ .
$d=6.4\times 10^{6}+8.0\times 10^{5}=7.2\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , donc $g=\dfrac{4.0\times 10^{14}}{(7.2\times 10^{6})^2}\approx7.72\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
c)
Pour chaque cas, donne la variation relative de $g$ par rapport à $g_0$ (en pourcentage).
Everest : $\dfrac{9{,}77-9{,}74}{9{,}77}\approx 0{,}3\,\%$ ; orbite basse : $\dfrac{9{,}77-7{,}72}{9{,}77}\approx 21\,\%$ .
d)
Explique pourquoi on prend $g\approx9.8$ partout au voisinage du sol, mais pas en orbite.
À l'échelle d'une montagne (quelques km sur $6400$ ), $d=R_T+h$ change de façon négligeable, donc $g$ aussi : on peut prendre $g\approx9.8$ . En orbite ( $h$ de centaines de km), $d$ change nettement et $g$ chute de $20\,\%$ ou plus : l'approximation ne tient plus.

Exercice 9deux sondes sur la même verticale

Deux sondes identiques de masse $m=300\,\mathrm{kilogram}$ sont larguées sur la même verticale (voir figure) : $A$ à l'altitude $h_A=600\,\mathrm{km}$ , $B$ à $h_B=6400\,\mathrm{km}$ . On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ et $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule les distances au centre $d_A$ et $d_B$ .
$d_A=6400+600=7000\,\mathrm{km}$ et $d_B=6400+6400=12800\,\mathrm{km}$ .
b)
Exprime puis calcule le rapport $g_A/g_B$ des pesanteurs subies.
$\displaystyle \frac{g_A}{g_B}=\left(\frac{d_B}{d_A}\right)^2 =\left(\frac{12800}{7000}\right)^2\approx(1{,}83)^2\approx 3{,}3$ : $A$ (plus basse) subit une pesanteur $\approx 3{,}3$ fois plus forte que $B$ .
c)
Calcule le poids de chaque sonde à sa position ( $P_h=P_0\left(R_T/(R_T+h)\right)^2$ ).
$g_A=9{,}8\left(\dfrac{6400}{7000}\right)^2\approx8.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , donc $P_A=300\times 8{,}2\approx2460\,\mathrm{N}$ .
$g_B=9{,}8\left(\dfrac{6400}{12800}\right)^2=9{,}8\times\tfrac14=2.45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , donc $P_B=300\times 2{,}45=735\,\mathrm{N}$ .

Exercice 10« peser » Titan et deviner sa composition

Titan, la plus grosse lune de Saturne, a une pesanteur de surface $g=1.35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et un rayon $R=2.58\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . On donne $\mathcal{G}=6.67\times 10^{-11}$ (SI).

a)
Calcule la masse $M$ de Titan.
$M=\dfrac{g\,R^2}{\mathcal{G}} =\dfrac{1{,}35\times(2.58\times 10^{6})^2}{6.67\times 10^{-11}} =\dfrac{8.99\times 10^{12}}{6.67\times 10^{-11}}\approx1.35\times 10^{23}\,\mathrm{kilogram}$ .
b)
Calcule sa masse volumique moyenne $\rho=\dfrac{M}{\tfrac{4}{3}\pi R^3}$ .
$\tfrac{4}{3}\pi R^3=\tfrac{4}{3}\pi(2.58\times 10^{6})^3\approx7.19\times 10^{19}\,\mathrm{m}^{3}$ , donc $\rho=\dfrac{1.35\times 10^{23}}{7.19\times 10^{19}}\approx1900\,\mathrm{kilogram}/\mathrm{m}^{3}$ .
c)
Compare $\rho$ à celle de la glace ( $\approx900\,\mathrm{kilogram}/\mathrm{m}^{3}$ ) et de la roche ( $\approx3000\,\mathrm{kilogram}/\mathrm{m}^{3}$ ). Que peut-on deviner de la composition de Titan ?
$\rho\approx1900$ est entre la glace ( $900$ ) et la roche ( $3000$ ) : Titan est vraisemblablement un mélange de glace et de roche (ce que confirment les observations).

Exercice 11une planète « super-Terre »

Une planète a une masse $M=5M_T$ et un rayon $R=2R_T$ . On note $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ la pesanteur terrestre au sol et $R_T=6400\,\mathrm{km}$ .

a)
Exprime le rapport $g/g_0$ de sa pesanteur de surface à celle de la Terre, puis calcule $g$ .
$\displaystyle \frac{g}{g_0}=\frac{M/M_T}{(R/R_T)^2}=\frac{5}{2^2}=\frac54=1{,}25$ , donc $g=1{,}25\times 9{,}8=12.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
b)
Un astronaute de masse $80\,\mathrm{kilogram}$ : quel est son poids à la surface de cette planète ? Quelle est sa masse ?
$P=m\,g=80\times 12{,}25=980\,\mathrm{N}$ ; sa masse reste $80\,\mathrm{kilogram}$ .
c)
À quelle altitude $h$ au-dessus de cette planète la pesanteur redescend-elle exactement à la valeur terrestre $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?
On cherche $h$ tel que $\dfrac{\mathcal{G}\,5M_T}{(2R_T+h)^2}=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{R_T^2}$ , soit $(2R_T+h)^2=5R_T^2$ , d'où $2R_T+h=\sqrt5\,R_T$ et $h=(\sqrt5-2)R_T\approx 0{,}236\times 6400\approx1510\,\mathrm{km}$ .

Exercice 12chute libre : Lune contre Terre

On rappelle que $g$ est l'accélération de pesanteur (celle de la chute libre). On lâche sans vitesse initiale une bille d'une hauteur $H=5.0\,\mathrm{m}$ . On prend $g_{\text{Lune}}=1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $g_{\text{Terre}}=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , sans résistance de l'air.

a)
L'accélération de la bille dépend-elle de sa masse ? Justifie par la 2e loi de Newton.
Non. Soumise à son seul poids, la bille vérifie $mg=ma$ ; la masse se simplifie : $a=g$ , indépendante de $m$ .
b)
Calcule la durée de chute sur la Lune (on utilise $H=\tfrac12 g t^2$ ).
$H=\tfrac12 g t^2 \Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{2H}{g}} =\sqrt{\dfrac{2\times 5{,}0}{1{,}6}}=\sqrt{6{,}25}=2.5\,\mathrm{s}$ .
c)
Calcule la durée de chute sur la Terre.
$t=\sqrt{\dfrac{2\times 5{,}0}{9{,}8}}=\sqrt{1{,}02}\approx1.0\,\mathrm{s}$ .
d)
Donne le rapport des durées et relie-le au rapport des pesanteurs.
$\dfrac{t_{\text{Lune}}}{t_{\text{Terre}}}=\dfrac{2{,}5}{1{,}0}\approx 2{,}5 =\sqrt{\dfrac{g_{\text{Terre}}}{g_{\text{Lune}}}}=\sqrt{\dfrac{9{,}8}{1{,}6}} \approx 2{,}5$ : la chute est $\approx 2{,}5$ fois plus lente sur la Lune.

Exercice 13vrai ou faux, avec justification

Pour chaque affirmation, réponds vrai ou faux et justifie en une phrase.

a)
« Doubler l'altitude d'un satellite double toujours sa distance au centre. »
Faux. $d=R_T+h$ ; doubler $h$ ne double $d$ que si $h\gg R_T$ . À basse altitude, le terme $R_T$ domine et $d$ change peu.
b)
« À une altitude égale au rayon terrestre, $g$ vaut la moitié de $g_0$ . »
Faux. À $h=R_T$ , $d=2R_T$ et $g=g_0/4$ (le quart), pas la moitié.
c)
« Sur la Lune (sans atmosphère), une plume et un marteau lâchés ensemble touchent le sol en même temps. »
Vrai. Sans air, tous les corps ont la même accélération $a=g$ : plume et marteau touchent le sol ensemble (expérience réalisée sur la Lune, Apollo 15).
d)
« Un objet deux fois plus lourd subit un poids deux fois plus grand, mais tombe avec la même accélération. »
Vrai. Le poids $P=mg$ double avec la masse, mais l'accélération de chute $a=g$ ne dépend pas de $m$ : elle reste identique.

Exercice 14satellite d'observation : synthèse

Un satellite d'observation de masse $m=1200\,\mathrm{kilogram}$ orbite à l'altitude $h=3600\,\mathrm{km}$ (voir figure). On donne $R_T=6400\,\mathrm{km}$ , $\mathcal{G}M_T=4.0\times 10^{14}$ (SI) et $g_0=9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .

a)
Calcule la distance au centre $d$ .
$d=R_T+h=6400+3600=10000\,\mathrm{km}=1.0\times 10^{7}\,\mathrm{m}$ .
b)
Calcule la pesanteur $g_h$ à cette altitude.
$g_h=\dfrac{\mathcal{G}M_T}{d^2}=\dfrac{4.0\times 10^{14}}{(1.0\times 10^{7})^2} =4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ .
c)
Calcule le poids du satellite sur son orbite.
$P_h=m\,g_h=1200\times 4{,}0=4800\,\mathrm{N}$ .
d)
Calcule le rapport $P_h/P_0$ entre ce poids et son poids au sol.
$\dfrac{P_h}{P_0}=\dfrac{g_h}{g_0}=\dfrac{4{,}0}{9{,}8}\approx 0{,}41$ (soit aussi $\left(R_T/d\right)^2=(6400/10000)^2\approx 0{,}41$ ).
e)
Les ingénieurs veulent doubler la pesanteur subie ( $g'=2g_h$ ). À quelle altitude $h'$ doivent-ils descendre le satellite ?
On veut $g'=2\times 4{,}0=8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , donc $d'=\sqrt{\dfrac{\mathcal{G}M_T}{g'}}=\sqrt{\dfrac{4.0\times 10^{14}}{8{,}0}} =\sqrt{5.0\times 10^{13}}\approx7.07\times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , d'où $h'=d'-R_T\approx7.07\times 10^{6}-6.4\times 10^{6}\approx670\,\mathrm{km}$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique