Loi de la gravitation

Nous allons partir de la loi de Newton, puis en déduire successivement :

• la notion de poids et de pesanteur $g$, ainsi que sa variation avec l'altitude ;
• la subtile différence entre poids réel et poids apparent (l'expérience de l'ascenseur) ;
• le mouvement des satellites en orbite circulaire et la notion de satellite géostationnaire ;
• l'énergie d'un satellite sur son orbite.

Chaque formule est encadrée et chacun de ses symboles est expliqué avec son unité. De nombreux exemples chiffrés sont entièrement détaillés.

Deux corps $A$ et $B$ de masses $m_A$ et $m_B$ exercent l'un sur l'autre deux forces de gravitation $\vec{F}_{A/B}$ (force de $A$ sur $B$) et $\vec{F}_{B/A}$ (force de $B$ sur $A$). Ces deux forces possèdent quatre caractéristiques :

• elles sont attractives (chaque corps « tire » l'autre vers lui) ;
• elles sont de sens opposés ;
• elles sont dirigées suivant la droite $(AB)$ qui relie les centres de gravité des deux masses ;
• elles ont la même intensité : $F_{A/B}=F_{B/A}$.

Ne confondez pas $\vec{F}_{A/B}$ et $\vec{F}_{B/A}$ : ce sont deux forces distinctes, qui s'appliquent sur deux corps différents (l'une sur $B$, l'autre sur $A$). Elles ne s'annulent donc jamais entre elles : ce sont les deux forces d'un couple action–réaction (3^e loi de Newton). On ne peut additionner que des forces appliquées sur le même corps.

L'intensité commune des deux forces vaut :

L'unité de $\mathcal{G}$ n'est pas choisie au hasard : elle est imposée par l'équation elle-même. En isolant $\mathcal{G}=\dfrac{F\,d^2}{m_A m_B}$, on obtient pour unité $\dfrac{\mathrm{N}\times\mathrm{m}^{2}}{\mathrm{kilogram}\times\mathrm{kilogram}} =\mathrm{N}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kilogram}^{2}$. La valeur extrêmement petite de $\mathcal{G}$ (de l'ordre de $10^{-11}$) explique pourquoi la gravitation est imperceptible entre objets ordinaires et ne devient sensible que lorsqu'au moins une des masses est astronomique (planète, étoile…).

Deux amis de masses $m_A=70\,\mathrm{kilogram}$ et $m_B=80\,\mathrm{kilogram}$ se tiennent à $d=1\,\mathrm{m}$ l'un de l'autre. Calculons la force de gravitation qu'ils exercent l'un sur l'autre.

Application de la formule :

Interprétation. Cette force vaut moins d'un millionième de newton : elle est totalement imperceptible (à titre de comparaison, le poids d'un cheveu est des milliers de fois plus grand). Conclusion : entre objets de la vie courante, la gravitation existe bel et bien, mais elle est négligeable. Il faut une masse gigantesque, comme celle de la Terre, pour qu'elle devienne la force dominante.

Données : $M_T=6.0\times 10^{24}\,\mathrm{kilogram}$, masse de la Lune $M_L=7.3\times 10^{22}\,\mathrm{kilogram}$, distance moyenne Terre–Lune $d=3.84\times 10^{8}\,\mathrm{m}$ (soit $384000\,\mathrm{km}$).

Étape 1 — on écrit la formule : $\displaystyle F=\mathcal{G}\,\frac{M_T M_L}{d^2}$.

Étape 2 — on calcule le numérateur : $\mathcal{G}\,M_T M_L=6.67\times 10^{-11}\times 6.0\times 10^{24}\times7.3\times 10^{22} \approx 2.92\times 10^{37}$.

Étape 3 — on calcule le dénominateur : $d^2=(3.84\times 10^{8})^2\approx 1.47\times 10^{17}\,\mathrm{m}^{2}$.

Étape 4 — on divise :

Interprétation. La force vaut environ $2\times 10^{20}\,\mathrm{N}$, soit $200\,000\,000\,000\,000\,000\,000$ newtons ! C'est cette force colossale qui maintient la Lune sur son orbite autour de la Terre. La même formule, les mêmes constantes : seule la taille des masses change radicalement le résultat.