Travail, énergie et puissance

L'énergie d'un système est sa capacité à produire un travail, c'est-à-dire à exercer des forces qui déplacent des objets. C'est une grandeur scalaire (un nombre, pas un vecteur), qui se mesure en joules ($\mathrm{J}$) et qui peut se transformer d'une forme à une autre (cinétique $\leftrightarrow$ potentielle) ou se transférer d'un corps à un autre, mais qui ne se crée ni ne se détruit.

Travail, énergie cinétique, énergie potentielle, énergie mécanique : toutes ces grandeurs s'expriment dans la même unité, le joule ($\mathrm{J}$). Ce n'est pas un hasard : ce sont toutes des quantités d'énergie. Par définition, $1\,\mathrm{J}=1\,\mathrm{N}\times1\,\mathrm{m} =\mathrm{kilogram}\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : c'est le travail fourni par une force de $1\,\mathrm{N}$ dont le point d'application se déplace de $1\,\mathrm{m}$ dans la direction de la force.

Le travail fourni à un solide pour le déplacer de la position $A$ vers la position $B$, sous l'action d'une force $\vec{F}$ constante en intensité, direction et sens le long d'une trajectoire rectiligne, est égal au produit scalaire de $\vec{F}$ par le vecteur déplacement $\vec{AB}$.

Cette écriture montre clairement que seule la composante de la force parallèle au déplacement travaille : la composante perpendiculaire, elle, ne transfère aucune énergie.

Si une force est perpendiculaire au vecteur déplacement, son travail est nul.

C'est typiquement le cas de la réaction normale $\vec{N}$ d'un support : elle est toujours $\perp$ au déplacement, donc $W_{AB}(\vec{N})=0\,\mathrm{J}$. C'est aussi le cas du poids lors d'un déplacement horizontal, et de la force centripète d'un mouvement circulaire.

Le travail des forces de frottement est souvent négatif. En effet, la force de frottement $\vec{F}_f$ est tangente à la trajectoire et de sens opposé au déplacement ($\alpha=180^{\circ}$) :

Le frottement dissipe de l'énergie mécanique (en chaleur) : c'est une force résistante.

Le travail est donc l'aire comprise entre la courbe $F(x)$ et l'axe des positions.

Un wagon de masse $m=100\,\mathrm{kilogram}$ parcourt une distance $d=10\,\mathrm{m}$ sur des rails horizontaux. Quel est le travail de son poids $\vec{G}$ ?

Analyse. Le poids $\vec{G}$ est vertical (dirigé vers le bas), tandis que le déplacement $\vec{d}$ est horizontal. Les deux vecteurs sont donc perpendiculaires : $\alpha=90^{\circ}$.

Calcul.

Conclusion. W(G)=$0\,\mathrm{J}$ : le poids ne travaille pas sur un trajet horizontal. Remarquez que la masse ($100\,\mathrm{kilogram}$) et la distance ($10\,\mathrm{m}$) ne servent à rien ici : tant que le déplacement reste horizontal, le résultat est nul quelles que soient ces valeurs. C'est une erreur fréquente de vouloir calculer $G\times d=1000\,\mathrm{N}\times10\,\mathrm{m}=10000\,\mathrm{J}$ en oubliant le facteur $\cos90^{\circ}=0$.

Le même wagon ($m=100\,\mathrm{kilogram}$) se déplace de $d=10\,\mathrm{m}$ sur les rails horizontaux, mais cette fois on s'intéresse à la force de frottement $\vec{F}_f$ qui s'oppose au glissement. Quel est le signe de son travail ?

Analyse. La force de frottement est tangente à la trajectoire et toujours opposée au sens du déplacement. L'angle entre $\vec{F}_f$ et $\vec{d}$ vaut donc $\alpha=180^{\circ}$.

Calcul.

Conclusion. Le travail du frottement est négatif ($W<0$), proportionnel à l'intensité $F_f$ et à la distance parcourue. Le frottement retire de l'énergie au wagon : il le freine. C'est pourquoi un objet lancé sur une surface réelle finit toujours par s'arrêter.

Un solide de masse $m=10\,\mathrm{kilogram}$ décrit un mouvement circulaire uniforme (MCU) de centre $O$ et de rayon $r=2\,\mathrm{m}$, à la vitesse tangentielle $v=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Que vaut le travail de la force centripète $\vec{F}_c$ ?

Première idée (fausse piste). On pourrait calculer l'intensité de la force centripète : $F_c=\dfrac{m v^2}{r}=\dfrac{10\times 10^2}{2}=500\,\mathrm{N}.$ C'est une force importante ! On est tenté de répondre « $500\,\mathrm{J}$ » ou « $250\,\mathrm{J}$ »… mais c'est une erreur.

Le bon raisonnement. Dans un MCU, la force centripète pointe en permanence vers le centre $O$, donc le long du rayon. Or, à chaque instant, le déplacement est tangent au cercle, donc perpendiculaire au rayon. Ainsi $\vec{F}_c\perp\vec{AB}$ à tout instant : $\alpha=90^{\circ}$ et $\cos90^{\circ}=0$.

Conclusion. W(F_c)=$0\,\mathrm{J}$. Bien que la force centripète soit grande ($500\,\mathrm{N}$), elle ne travaille jamais : elle infléchit la trajectoire sans modifier la vitesse (la norme de $\vec{v}$ reste constante en MCU). Une force qui ne fait que « tourner » un mouvement ne lui transfère aucune énergie.

La puissance fournie par une force $\vec{F}$ est le travail qu'elle fournit par unité de temps. Elle mesure la capacité d'un système à fournir un travail pendant un temps donné.

Pour un même travail $W$, plus la durée $\Delta t$ est courte, plus la puissance $P$ est grande (les deux sont inversement proportionnelles). À travail égal, le système le plus puissant est le plus rapide.

Cette forme est commode quand la vitesse est connue (véhicule à vitesse constante, par exemple).

De même que le travail est l'intégrale de la force par rapport à la position, le travail est aussi l'intégrale de la puissance par rapport au temps : $\displaystyle\int_{t_A}^{t_B} P\,\mathrm{d} t=W_{AB}.$ Le travail est l'aire sous la courbe $P(t)$.

Une personne monte tous les escaliers d'un bâtiment en fournissant la même quantité de travail $W$, mais selon deux scénarios de durée différente. Comparons la puissance développée.

Cas 1 — rapide : la montée dure $\Delta t_1=30\,\mathrm{s}$.

Cas 2 — lent : la même montée dure $\Delta t_2=3\,\mathrm{min}=180\,\mathrm{s}$.

Conclusion. P_1=6× P_2. Pour le même travail $W$, la puissance du cas rapide est 6 fois plus grande. C'est exactement la sensation physiologique : on est bien plus essoufflé en montant l'escalier en $30\,\mathrm{s}$ qu'en $3\,\mathrm{min}$, car notre corps doit délivrer la même énergie six fois plus vite. Le travail (l'énergie dépensée) est identique ; c'est la puissance qui change.

Un véhicule de masse $m=6\,\mathrm{t}$ roule en mouvement rectiligne uniforme (MRU, vitesse constante) à $v=72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. La résultante des forces de frottement est constante, $F_f=600\,\mathrm{N}$. Quelle puissance le moteur doit-il développer pour compenser ces frottements ?

Étape 1 — convertir la vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

(Rappel : pour passer des $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ aux $\mathrm{m}/\mathrm{s}$, on divise par $3{,}6$.)

Étape 2 — comprendre la situation. En MRU à vitesse constante, l'accélération est nulle, donc la force motrice du moteur équilibre exactement les frottements : la force utile a pour intensité $F=F_f=600\,\mathrm{N}$, et elle est dirigée dans le sens du mouvement ($\alpha=0^{\circ}$).

Étape 3 — calculer la puissance avec $P=F\times v\times\cos0^{\circ}$ :

Conclusion. P=$12\,\mathrm{kW}$. Le moteur doit fournir $12\,\mathrm{kW}$ en permanence rien que pour annuler les frottements et maintenir la vitesse — bien que le véhicule n'accélère pas. La masse de $6\,\mathrm{t}$ n'intervient pas dans ce calcul, puisqu'on ne fait que maintenir la vitesse (pas d'accélération, pas de montée).

On part du travail de la force motrice, $W_{AB}=F_x\times d$, et on y injecte deux résultats connus du MRUA :

1. la deuxième loi de Newton : $F_x=m\times a$ ;
2. la distance parcourue depuis le repos : $d=\tfrac12\,a\,t^2$.

On remplace :

Or, pour un MRUA partant du repos, la vitesse atteinte est $v=a\,t$. En remplaçant $a\,t$ par $v$ :

Cette quantité, qui mesure l'énergie acquise par le corps du fait de sa mise en mouvement, est son énergie cinétique.

L'énergie cinétique est toujours positive (carré de la vitesse) et nulle au repos ($v=0$).

Dans un référentiel galiléen (inertiel), la somme algébrique des travaux de toutes les forces appliquées à un corps, entre deux points $A$ et $B$, est égale à la variation de son énergie cinétique entre ces deux points :

C'est l'un des outils les plus puissants de la mécanique : il relie directement les forces (via leur travail) à la variation de vitesse, sans passer par l'accélération ni par le détail de la trajectoire. Si le travail total est positif, le corps accélère ($v_B>v_A$) ; s'il est négatif, il ralentit ; s'il est nul, la vitesse est conservée.

Comme la vitesse intervient au carré, l'énergie cinétique est très sensible à la vitesse. Si la vitesse est multipliée par $n$, l'énergie cinétique est multipliée par $n^2$ :

Par exemple, si la vitesse est triplée ($n=3$), l'énergie cinétique devient 9 fois plus grande ($n^2=9$). C'est la raison physique pour laquelle la distance de freinage d'un véhicule augmente si vite avec la vitesse : rouler deux fois plus vite, c'est avoir quatre fois plus d'énergie cinétique à dissiper.

Un objet de masse $m=10\,\mathrm{kilogram}$ part du repos en haut ($A$) d'un plan incliné lisse (sans frottement) faisant un angle $\beta=30^{\circ}$ avec l'horizontale. Il glisse jusqu'en bas ($B$). La longueur du plan est $AB=100\,\mathrm{m}$. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Cherchons (a) le travail du poids, et (b) la vitesse atteinte en $B$.

Agrandir le schéma

(a) Travail du poids. Le poids vaut $G=m g=10\times10=100\,\mathrm{N}$. Sa composante le long du plan est $G_x=G\sin\beta$. Le travail du poids sur le déplacement $AB$ est :

On peut le retrouver autrement avec la hauteur de descente $h=AB\sin30^{\circ}=100\times0{,}5=50\,\mathrm{m}$, ce qui donne $W=mgh=10\times10\times50=5000\,\mathrm{J}$ : les deux méthodes concordent.

(b) Vitesse en $B$ (théorème de l'énergie cinétique). Le plan est lisse et la réaction normale ne travaille pas. La seule force motrice est le poids, donc :

On isole $v_B$ :

Remarque importante. On peut aussi écrire $v_B^2=2gh$ : la vitesse finale ne dépend ni de la masse, ni de l'angle, mais seulement de la hauteur de descente $h$. Deux objets de masses différentes lâchés de la même hauteur arrivent en bas à la même vitesse (en l'absence de frottement).

Reprenons l'objet précédent ($m=10\,\mathrm{kilogram}$, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, plan de $AB=100\,\mathrm{m}$ incliné à $30^{\circ}$, $v_B=10\sqrt{10}\ \mathrm{m}/\mathrm{s}$). Quelle est la puissance moyenne fournie par le poids pendant la descente ?

Étape 1 — durée de la descente. L'accélération le long du plan est $a=g\sin30^{\circ}=10\times0{,}5=5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Partant du repos, $v_B=a\,t$, d'où :

Étape 2 — puissance moyenne. On connaît déjà $W_{AB}(\vec{G})=5000\,\mathrm{J}$, donc :

Conclusion. P=25010 $\mathrm{W}$≈$0{,}79\,\mathrm{kW}$. La même énergie ($5\,\mathrm{kJ}$) délivrée en un temps plus court correspondrait à une puissance plus grande : on retrouve le lien étroit entre puissance et rapidité.

L'énergie potentielle de pesanteur (ou gravifique) est l'énergie qu'un corps possède du fait de sa position en hauteur dans un champ de pesanteur. Un objet soulevé de la hauteur $h$ stocke une énergie potentielle égale au travail qu'il a fallu fournir pour le soulever contre la force d'attraction terrestre.

$E_p$ dépend du niveau de référence choisi pour $h$ (le « zéro » d'altitude est arbitraire). Seule la variation $\Delta E_p=mg(h_B-h_A)$ a un sens physique absolu : c'est elle qui compte dans les bilans d'énergie. On choisit en général $E_p=0$ au point le plus bas du mouvement.

Le travail de la force de pesanteur entre $A$ et $B$ est égal à l'opposé de la variation de l'énergie potentielle :

Autrement dit : quand le corps descend, son énergie potentielle diminue ($\Delta E_p<0$) et le poids fournit un travail moteur ($W>0$) ; quand il monte, son énergie potentielle augmente et le poids fournit un travail résistant ($W<0$).

On soulève un sac de masse $m=50\,\mathrm{kilogram}$ du rez-de-chaussée jusqu'au premier étage, soit une hauteur $h=6\,\mathrm{m}$. On prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Quel travail faut-il fournir, et quelle énergie potentielle le sac a-t-il alors stockée ?

Calcul. Le travail requis est égal à la variation d'énergie potentielle :

Attention au piège des unités. On pourrait être tenté d'annoncer « $3\,\mathrm{J}$ » par simple distraction (en lisant le « 3 » du résultat sans le préfixe kilo). Le bon résultat est $3000\,\mathrm{J}$=$3\,\mathrm{kJ}$, soit mille fois plus. Cette énergie de $3\,\mathrm{kJ}$ est maintenant stockée dans le sac : s'il retombait, le poids fournirait à nouveau $3\,\mathrm{kJ}$, qui se transformeraient intégralement en énergie cinétique (en l'absence de frottement).

L'énergie mécanique $E_m$ d'un système est la somme de son énergie cinétique $E_c$ et de son énergie potentielle $E_p$ :

Elle représente le « capital » d'énergie mécanique total du corps, à la fois sous forme de mouvement ($E_c$) et sous forme de position ($E_p$).

Pour un système isolé (soumis aux seules forces conservatives, c'est-à-dire sans frottement), l'énergie mécanique reste constante en tout point de la trajectoire :

Il y a alors transformation continuelle d'énergie cinétique en énergie potentielle et vice versa, mais leur somme ne change pas.

Une bille glisse sans frottement sur un plan horizontal à la vitesse $v_0$, puis aborde une pente et remonte jusqu'à un point $B$ où sa vitesse s'annule ($v_B=0$). Jusqu'à quelle hauteur $h$ monte-t-elle, et cette hauteur dépend-elle de l'inclinaison de la pente ?

Conservation de l'énergie. Sans frottement, $E_m$ se conserve. En prenant $E_p=0$ sur le plan horizontal :

On en tire :

Interprétation. La hauteur atteinte $h=\dfrac{v_0^2}{2g}$ ne dépend ni de la masse $m$ (elle se simplifie), ni de l'angle de la pente : elle n'est fixée que par la vitesse initiale $v_0$ et par $g$. Si l'on rend la pente plus raide, la bille monte sur une distance plus courte le long de la pente, mais atteint exactement la même hauteur. À l'inverse, sur une pente nulle ($\beta=0^{\circ}$), la bille ne s'arrête jamais (principe d'inertie) : aucune montée, donc aucune conversion d'énergie cinétique en potentielle.

On lance verticalement vers le haut un objet de masse $m=50\,\mathrm{g}=0{,}05\,\mathrm{kilogram}$ avec une vitesse initiale $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. On néglige la résistance de l'air et on prend $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Quelle hauteur maximale $h_{\max}$ atteint-il ?

Conservation de l'énergie. Au point le plus haut, la vitesse est nulle ($v=0$), donc toute l'énergie cinétique de départ s'est transformée en énergie potentielle :

Conclusion. h_=$5\,\mathrm{m}$. Comme pour la bille, la masse n'intervient pas : un objet de $50\,\mathrm{g}$ et un objet de $5\,\mathrm{kilogram}$ lancés à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ montent à la même hauteur (sans frottement). Vérifions la cohérence des énergies : $E_c$ initiale $=\tfrac12\times0{,}05\times10^2=2{,}5\,\mathrm{J}$, et $E_p$ finale $=0{,}05\times10\times5=2{,}5\,\mathrm{J}$ : l'énergie mécanique $E_m=2{,}5\,\mathrm{J}$ est bien conservée.

L'énergie potentielle élastique est l'énergie stockée dans un système élastique (un ressort, par exemple) lorsqu'on l'écarte de sa position d'équilibre. Comprimé ou étiré, le ressort « emmagasine » de l'énergie qu'il restitue en revenant à sa position initiale.

Plus le ressort est raide ($k$ grand), plus il oscille vite ($T$ petit, $f$ grande) ; plus la masse est lourde ($m$ grand), plus il oscille lentement.

Comme pour l'énergie cinétique, la dépendance est en carré ($x^2$) : doubler l'élongation quadruple l'énergie élastique stockée.

La force de rappel d'un ressort vaut $F=k\,x$ (loi de Hooke) : elle croît linéairement avec l'élongation. Le travail fourni pour étirer le ressort de $0$ à $x$ est donc l'aire du triangle sous la droite $F(x)$ : $W=\tfrac12\times x\times(kx)=\tfrac12 k x^2=E_p.$ On retrouve bien l'expression de l'énergie élastique (figure 9). Sans frottement, l'énergie mécanique $E_m=E_c+E_p=\text{Cte}$ se conserve sur une période.

On étire un ressort à partir de sa position détendue ($x_0=0$). La mesure de la force $F$ en fonction de l'élongation $\Delta x$ donne une droite : $F=2{,}5\,\mathrm{N}$ lorsque $\Delta x=10\,\mathrm{cm}$ (figure 9). Quelle est l'énergie potentielle élastique emmagasinée à $x=10\,\mathrm{cm}$ ?

Étape 1 — constante de raideur. La pente de la droite $F=kx$ donne $k$. Avec $x=10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m}$ :

Étape 2 — énergie élastique.

Vérification par l'aire. L'aire du triangle sous la droite vaut $\tfrac12\times\text{base}\times\text{hauteur}=\tfrac12\times0{,}10\,\mathrm{m}\times2{,}5\,\mathrm{N}=0{,}125\,\mathrm{J}$ : on retrouve le même résultat.

Conclusion. E_p=$0{,}125\,\mathrm{J}$. Notons que si l'on doublait l'élongation ($20\,\mathrm{cm}$), l'énergie ne doublerait pas mais quadruplerait (car $E_p\propto x^2$), atteignant $0{,}5\,\mathrm{J}$. Lorsqu'on relâche le ressort, cette énergie est restituée et se convertit en énergie cinétique de la masse.

La quantité de mouvement d'un corps est le produit de sa masse par son vecteur vitesse. Dans un sens choisi du mouvement :

$\vec{p}$ a la même direction et le même sens que la vitesse $\vec{v}$. Plus un corps est massif et rapide, plus sa quantité de mouvement est grande, et plus il est « difficile à arrêter ».

Une voiture de masse $m_1=2000\,\mathrm{kilogram}$ et un camion de masse $m_2=4\,\mathrm{t}=4000\,\mathrm{kilogram}$ roulent à la même vitesse $v=80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Comparons leurs quantités de mouvement.

Étape 1 — vitesse en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

Étape 2 — quantités de mouvement.

Conclusion. Le camion possède une quantité de mouvement deux fois plus grande que celle de la voiture ($p_2=2\,p_1$), car il a la même vitesse mais une masse double. C'est donc le camion qui sera le plus difficile à arrêter : à vitesse égale, il faut une force plus grande (ou une distance de freinage plus longue) pour annuler une quantité de mouvement plus grande. De plus, si l'on augmente la vitesse d'un véhicule, sa quantité de mouvement augmente proportionnellement, et son freinage devient d'autant plus difficile.

1. Travail : $W=F\,AB\cos\alpha$. Le signe du travail (moteur, nul, résistant) est donné par $\cos\alpha$. Une force perpendiculaire au déplacement (normale, centripète, poids à l'horizontale) ne travaille pas ; le frottement travaille négativement.
2. Puissance : $P=W/\Delta t$. À travail égal, le système le plus puissant est le plus rapide. Pour une vitesse connue, $P=Fv\cos\alpha$.
3. Théorème de l'énergie cinétique : $\sum W=\Delta E_c=\tfrac12 m v_B^2-\tfrac12 m v_A^2$. Comme $E_c\propto v^2$, tripler la vitesse multiplie $E_c$ par $9$.
4. Énergie potentielle : de pesanteur $E_p=mgh$ ; élastique $E_p=\tfrac12 k x^2$. Le poids vérifie $W(\vec{G})=-\Delta E_p$.
5. Conservation de l'énergie mécanique : sans frottement, $E_m=E_c+E_p=$ Cte. Les hauteurs et vitesses se déduisent l'une de l'autre sans connaître la trajectoire, et indépendamment de la masse (ex. : $h=\tfrac{v^2}{2g}$).
6. Quantité de mouvement : $\vec{p}=m\vec{v}$ (vectorielle, en $\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Plus un corps est massif et rapide, plus il est difficile à arrêter.