Lentilles et instruments d'optique simples

Une lentille est un milieu transparent et homogène (verre, plexiglas…) limité par deux faces dont au moins une est courbe (en pratique, des portions de sphère). En traversant les deux dioptres, un rayon lumineux subit deux réfractions successives qui le dévient.

Le centre optique $O$ est le point de l'axe optique tel que tout rayon le traversant ressort sans déviation. Pour une lentille mince dont les deux faces ont le même rayon de courbure, $O$ est le milieu du segment $[CC']$.

• Une lentille convergente a des bords minces (plus épaisse au centre qu'aux bords). Elle fait converger un faisceau de rayons parallèles en un point.
• Une lentille divergente a des bords épais (plus mince au centre). Elle fait diverger les rayons, comme s'ils provenaient d'un point situé avant la lentille.

Le seul critère visuel qui distingue les deux familles est l'épaisseur des bords : bords minces $\Rightarrow$ convergente ; bords épais $\Rightarrow$ divergente. Le nom (biconvexe, ménisque…) importe moins que cette simple observation. Sur les schémas, on représente les convergentes par un segment à flèches vers l'extérieur et les divergentes par un segment à flèches vers l'intérieur.

Vous tenez trois verres :

1. un verre biconvexe (bombé des deux côtés) ;
2. un verre plan-concave (une face plate, l'autre creusée) ;
3. un ménisque dont le bord est plus épais que le centre.

Verre 1 (biconvexe). Plus épais au centre qu'aux bords : bords minces $\Rightarrow$ convergente.

Verre 2 (plan-concave). Une face est plate, l'autre est creusée : le centre est plus fin que le bord $\Rightarrow$ bords épais $\Rightarrow$ divergente.

Verre 3 (ménisque à bord épais). Malgré ses deux faces courbes de même sens, son bord est plus épais que son centre $\Rightarrow$ divergente. Cet exemple montre qu'on ne peut pas se fier au nom « ménisque » (qui peut être convergent ou divergent) : seul compte le rapport bord/centre.

• Le foyer image $F'$ est le point où convergent (réellement ou en apparence) les rayons qui arrivaient parallèlement à l'axe optique.
• Le foyer objet $F$ est le point symétrique : tout rayon passant par $F$ ressort parallèlement à l'axe.

Pour une lentille mince, $F$ et $F'$ sont symétriques par rapport au centre optique $O$.

La distance focale $f=\overline{OF'}$ est la distance algébrique du centre optique au foyer image. On adopte la convention :

La vergence $C$ est l'inverse de la distance focale (voir section 3).

Une lentille convergente fait converger un faisceau de lumière solaire (rayons quasi parallèles) en une tache lumineuse située à $12\,\mathrm{cm}$ derrière elle. Cette tache est le foyer image $F'$ : on a donc directement

Comme la lentille est convergente, $f>0$. C'est l'expérience la plus simple pour mesurer une distance focale : éclairer la lentille avec une source lointaine (le Soleil = « objet à l'infini ») et repérer où se forme l'image. (La tache est assez chaude pour enflamer un papier : c'est le principe du « briquet solaire ».)

Soit un objet (en général une petite flèche verticale $AB$, $A$ sur l'axe). Pour construire son image $A'B'$ par une lentille mince de centre $O$ et de foyers $F$, $F'$, on utilise :

1. le rayon qui passe par le centre optique $O$ n'est pas dévié ;
2. le rayon incident parallèle à l'axe optique émerge en passant par le foyer image $F'$ ;
3. le rayon incident passant par le foyer objet $F$ émerge parallèlement à l'axe.

Le point de convergence (réelle ou virtuelle) des rayons émergents donne le point image $B'$ ; le pied $A'$ se déduit en projetant sur l'axe.

1. Tracer l'axe optique, placer $O$, $F$, $F'$, $2F$, $2F'$ et l'objet $AB$ (flèche vers le haut, $A$ sur l'axe).
2. Choisir deux rayons particuliers parmi les trois (souvent (i) et (ii)).
3. Leur intersection après la lentille donne $B'$ ; $A'$ est la projection de $B'$ sur l'axe.
4. Caractériser l'image : réelle (à droite, $\neq$ côté objet) ou virtuelle (à gauche, prolongements) ; droite (même sens que $AB$) ou renversée ; agrandie, réduite ou de même taille.

Énoncé. Une lentille convergente a $f=2\,\mathrm{cm}$. Un objet $AB$ de hauteur $o=1\,\mathrm{cm}$ est placé à $u=\overline{OA}=6\,\mathrm{cm}=3f$ devant la lentille. Construire et calculer l'image.

Étape 1 — placer les éléments. À l'échelle, on gradue l'axe en unités de $f$ : $O$ au centre, $F$ à $-2$ cm, $F'$ à $+2$ cm, $2F'$ à $+4$ cm, l'objet en $-6$ cm.

Étape 2 — deux rayons suffisent. On trace (i) le rayon par $O$ (non dévié) et (ii) le rayon parallèle à l'axe qui émerge par $F'$. Ils se croisent en $B'$ en dessous de l'axe et entre $F'$ et $2F'$.

Étape 3 — calcul par la relation de conjugaison (voir section 4) :

Donc $v=+3$ cm : image réelle ($v>0$), située à $3\,\mathrm{cm}$ après la lentille, soit à $1{,}5\,f$.

Étape 4 — grandissement.

Bilan : image réelle ($v>0$), renversée ($i<0$) et réduite de moitié ($|\gamma|=0{,}5<1$). C'est exactement le rôle de l'objectif d'un appareil photo : réduire un objet lointain sur le capteur.