PhysiqueFiche 6 · Ondes
Physique · Fiche 6

Ondes

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Ce que tu sauras faire

  • définir une onde mécanique progressive et distinguer ondes longitudinale et transversale ;
  • maîtriser les grandeurs caractéristiques d'une onde (période, fréquence, longueur d'onde, célérité) et leurs relations ;
  • écrire et exploiter l'équation d'une onde sinusoïdale (élongation, vitesse, accélération) et la notion de déphasage ;
  • décrire les ondes stationnaires, leurs nœuds et ventres, et calculer les harmoniques d'une corde ;
  • expliquer la diffraction et les interférences (franges, interfrange, conditions constructive/destructive).

1Propagation d'une onde

Notion d'onde mécanique progressive

Dans la vie courante, on observe sans cesse des « signaux » qui voyagent : une vague qui parcourt la surface de l'eau, le son d'une voix qui traverse une pièce, la secousse qui file le long d'une corde à sauter. Dans tous ces cas, quelque chose se déplace d'un point à un autre — mais ce « quelque chose » n'est ni de la matière, ni un objet : c'est une perturbation et l'énergie qu'elle transporte.

Définition1.1onde mécanique progressive

Une onde mécanique progressive est la propagation d'une perturbation locale dans un milieu élastique (corde, ressort, eau, air, sol…), sans transport de matière mais avec transport d'énergie. Chaque point du milieu, lorsqu'il est atteint, ne fait qu'osciller autour de sa position d'équilibre : il ne « suit » pas l'onde, il reproduit avec un certain retard le mouvement de la source.

Remarque

Le mot élastique est essentiel : le milieu doit pouvoir se déformer puis revenir à son état initial. C'est cette élasticité qui transmet la perturbation de proche en proche. Le mot progressive signifie que la perturbation avance (par opposition à l'onde stationnaire de la section 4, qui semble figée).

Ondes longitudinales et ondes transversales

Selon la direction de la perturbation par rapport à la direction de propagation, on distingue deux grandes familles d'ondes.

Définition1.2onde longitudinale

Une onde est longitudinale lorsque les points du milieu vibrent parallèlement à la direction de propagation. L'onde se présente alors comme une succession de zones de compression (points resserrés) et de raréfaction (points écartés). Exemple type : la compression d'un ressort (figure 1), ou le son dans l'air.

Figure 1 — L'onde se propage le long du ressort parallèlement à la direction de propagation (onde longitudinale). La zone de compression se déplace vers la droite à la vitesse v⃗\vec{v} ; le point P, lui, ne fait qu'osciller sur place.
Définition1.3onde transversale

Une onde est transversale lorsque les points du milieu vibrent perpendiculairement à la direction de propagation. Exemple type : l'ébranlement d'une corde tendue (figure 2), ou les ondes à la surface de l'eau.

Figure 2 — L'onde se propage le long de la corde élastique perpendiculairement à la direction de propagation (onde transversale). Entre les deux instants, la bosse a parcouru la distance jusqu'à P à la vitesse v=x/tv = x/t.
Propriété1.1indépendance de la célérité

La vitesse de propagation (ou célérité) d'une onde est indépendante du type de perturbation (longitudinale ou transversale) et du sens du déplacement. Elle ne dépend que des propriétés du milieu (sa rigidité, sa masse linéique, sa température…). Une perturbation deux fois plus grande ne va donc pas plus vite : seule son énergie change, pas sa célérité.

Exemplereconnaître le type d'onde
  • Le son dans l'air est une onde longitudinale : l'air se comprime et se détend dans la même direction que celle où le son voyage. C'est pour cela qu'on ne peut pas « polariser » le son.
  • La houle, la corde, la lumière (onde électromagnétique) sont transversales : la grandeur qui oscille (hauteur d'eau, position de la corde, champ électrique) est perpendiculaire à la direction de propagation.
  • Le bateau au mouillage qui monte et descend au passage d'une vague illustre parfaitement le « sans transport de matière » : le bateau revient à sa place, c'est seulement l'énergie de la vague qui a continué son chemin.

2Équation de propagation et grandeurs caractéristiques

Équation de propagation : le retard

Considérons une source située à l'extrémité du milieu (x=0x=0). Elle impose un mouvement y0(t)y_0(t). Un point P situé plus loin, à l'abscisse xx, va reproduire exactement ce mouvement, mais en retard : il faut que la perturbation parcoure la distance xx à la célérité vv, ce qui prend un temps τ=x/v\tau = x/v.

Formule2.1équation de propagation
 yP(t)=y0 ⁣(t−xv) \boxed{\,y_{\mathrm P}(t) = y_0\!\left(t - \dfrac{x}{v}\right)\,}

Le point P à l'abscisse xx refait, à l'instant tt, ce que faisait la source à l'instant antérieur t−x/vt - x/v.

où :
  • yP(t)y_{\mathrm P}(t) : élongation (déplacement) du point P à l'instant tt, en mètres (m\mathrm{m}) ;
  • y0y_0 : loi horaire imposée par la source (en m\mathrm{m}) ;
  • xx : abscisse (distance) du point P à la source, en mètres (m\mathrm{m}) ;
  • vv : célérité de l'onde dans le milieu, en m/s\mathrm{m}/\mathrm{s} ;
  • xv=τ\dfrac{x}{v} = \tau : retard de P sur la source, en secondes (s\mathrm{s}).

Lecture. Le terme t−x/vt - x/v est la signature même d'une onde qui se propage vers les xx croissants. Si l'onde se propageait dans l'autre sens, on écrirait t+x/vt + x/v. Tout point reçoit l'information « plus tard que la source », jamais avant : c'est le principe de causalité.

Grandeurs caractéristiques d'une onde périodique

Lorsque la source répète indéfiniment le même mouvement, l'onde devient périodique : elle se reproduit identique à elle-même à la fois dans le temps (période TT) et dans l'espace (longueur d'onde λ\lambda).

Définition2.1période, fréquence, longueur d'onde
  • La période TT est le temps nécessaire pour effectuer une vibration complète (en s\mathrm{s}).
  • La fréquence ff est le nombre de vibrations par unité de temps (en Hz\mathrm{Hz}, 1 Hz=1 1/s1\,\mathrm{Hz} = 1\,1/\mathrm{s}).
  • La longueur d'onde λ\lambda est la distance entre deux points consécutifs de l'onde qui vibrent à l'identique (deux crêtes successives par exemple), en m\mathrm{m}. C'est la « période spatiale ».
Formule2.2période et fréquence
 T=1f ⟺f=1T\boxed{\,T = \dfrac{1}{f}\,}\qquad\Longleftrightarrow\qquad f = \dfrac{1}{T}
où :
  • TT : période, en secondes (s\mathrm{s}) ;
  • ff : fréquence, en hertz (Hz\mathrm{Hz}) ou 1/s1/\mathrm{s}.

Période et fréquence sont inverses l'une de l'autre : plus une onde vibre vite (grande fréquence), plus sa période est courte.

Formule2.3longueur d'onde et célérité
 λ=v×T=vf et de fac¸on eˊquivalente v=λ×f \boxed{\,\lambda = v\times T = \dfrac{v}{f}\,} \qquad\text{et de façon équivalente}\qquad \boxed{\,v = \lambda\times f\,}
où :
  • λ\lambda : longueur d'onde, en mètres (m\mathrm{m}) ;
  • vv : célérité de l'onde, en m/s\mathrm{m}/\mathrm{s} ;
  • TT : période, en secondes (s\mathrm{s}) ; ff : fréquence, en Hz\mathrm{Hz}.

Interprétation. Pendant une période TT, la source fait une oscillation complète et, dans le même temps, l'onde avance d'exactement une longueur d'onde λ\lambda. La relation λ=vT\lambda = vT n'est donc que la définition « distance = vitesse ×\times temps » appliquée sur une période.

Attention

ff (la fréquence) est imposée par la source et ne change pas quand l'onde change de milieu. En revanche vv et λ\lambda dépendent du milieu. Quand une onde passe d'un milieu à un autre (l'air vers l'eau par ex.), sa fréquence reste la même mais sa longueur d'onde change, puisque λ=v/f\lambda = v/f.

Exemplecalcul des grandeurs d'une onde sonore

Un haut-parleur émet un son pur de fréquence f=100 Hzf = 100\,\mathrm{Hz} dans l'air, où la célérité du son vaut v=340 m/sv = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. Déterminons toutes les grandeurs.

Période. T=1f=1100 Hz=0.01 s=10 ms.\displaystyle T = \frac{1}{f} = \frac{1}{100\,\mathrm{Hz}} = 0.01\,\mathrm{s} = 10\,\mathrm{ms}. Chaque oscillation complète de l'air dure un centième de seconde.

Longueur d'onde. λ=vf=340 m/s100 Hz=3.4 m.\displaystyle \lambda = \frac{v}{f} = \frac{340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{100\,\mathrm{Hz}} = 3.4\,\mathrm{m}. Deux zones de compression successives sont distantes de 3.4 m3.4\,\mathrm{m} dans l'air.

Vérification. v=λf=3.4 m×100 Hz=340 m/sv = \lambda f = 3.4\,\mathrm{m}\times100\,\mathrm{Hz} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} : on retrouve bien la célérité de départ.
Et dans l'eau ? La célérité du son y vaut environ 1480 m/s1480\,\mathrm{m}/\mathrm{s}. La fréquence reste 100 Hz100\,\mathrm{Hz} (c'est la source qui la fixe), donc λeau=1480/100=14.8 m\lambda_{\text{eau}} = 1480/100 = 14.8\,\mathrm{m} : la longueur d'onde est plus de quatre fois plus grande, alors que le son « est le même » pour la source.

Exempleonde à la surface de l'eau

Sur un lac, on compte que les crêtes des vagues passent toutes les T=4 sT = 4\,\mathrm{s} sous un ponton, et l'on mesure une distance de λ=2 m\lambda = 2\,\mathrm{m} entre deux crêtes voisines. Alors :

v=λT=2 m4 s=0.5 m/s,f=1T=14 s=0.25 Hz.v = \frac{\lambda}{T} = \frac{2\,\mathrm{m}}{4\,\mathrm{s}} = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}, \qquad f = \frac{1}{T} = \frac{1}{4\,\mathrm{s}} = 0.25\,\mathrm{Hz}.

Les vagues avancent donc à un demi-mètre par seconde, en effectuant un quart d'oscillation par seconde. On note au passage qu'une grande longueur d'onde associée à une petite fréquence donne une onde lente : tout est cohérent avec v=λfv = \lambda f.

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  • 3. Caractéristiques d'une onde sinusoïdale
  • 4. Ondes stationnaires
  • 5. Diffraction et interférences
  • … et 1 de plus

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