PhysiqueFiche 6 · Ondes
Physique · Synthèse · Fiche 6

Ondes

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À maîtriser

  • onde progressive, longitudinale/transversale, grandeurs T,f,λ,vT,f,\lambda,v ;
  • équation de l'onde sinusoïdale, déphasage, concordance/opposition ;
  • ondes stationnaires (nœuds, ventres) et harmoniques d'une corde ;
  • diffraction et interférences (conditions, interfrange).

1Propagation d'une onde

Définition1.1onde mécanique progressive

Propagation d'une perturbation locale dans un milieu élastique, sans transport de matière mais avec transport d'énergie : chaque point du milieu oscille autour de sa position d'équilibre, avec retard sur la source.

TypeVibration / propagationExemples
Longitudinalevibration parallèle à la propagation (compressions/raréfactions)son dans l'air
Transversalevibration perpendiculaire à la propagationcorde tendue, houle, lumière
Propriété1.1indépendance de la célérité

La célérité vv ne dépend que des propriétés du milieu (rigidité, masse linéique...), jamais de l'amplitude ni du sens de propagation.

2Équation de propagation et grandeurs caractéristiques

Formule2.1équation de propagation
 yP(t)=y0 ⁣(t−xv) \boxed{\,y_{\mathrm P}(t) = y_0\!\left(t - \dfrac{x}{v}\right)\,}
où :
  • y0y_0 : loi horaire de la source ; xx : distance source–P (m\mathrm{m}) ;
  • vv : célérité (m/s\mathrm{m}/\mathrm{s}) ; τ=x/v\tau=x/v : retard de P (s\mathrm{s}).
Formule2.2période, fréquence, longueur d'onde
 T=1f  λ=v T=vf ⟺ v=λf \boxed{\,T = \dfrac{1}{f}\,}\qquad\qquad \boxed{\,\lambda = v\,T = \dfrac{v}{f}\,}\qquad\Longleftrightarrow\qquad \boxed{\,v=\lambda f\,}
où :
  • TT : période (s\mathrm{s}) ; ff : fréquence (Hz\mathrm{Hz}) ;
  • λ\lambda : longueur d'onde, distance entre deux points consécutifs vibrant à l'identique (m\mathrm{m}).
Attention

ff est imposée par la source et ne change jamais de milieu. vv et λ\lambda, elles, dépendent du milieu (λ=v/f\lambda=v/f) : même son, λ\lambda différente dans l'air et dans l'eau.

Exempleson dans l'air

f=100 Hzf=100\,\mathrm{Hz}, v=340 m/sv=340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} ⇒\Rightarrow T=1/f=10 msT=1/f=10\,\mathrm{ms}, λ=v/f=3.4 m\lambda=v/f=3.4\,\mathrm{m}.

3Onde sinusoïdale

Formule3.1élongation d'une onde sinusoïdale progressive
 yP(t)=A sin⁡ ⁣[ω ⁣(t−xv)]=A sin⁡ ⁣(ωt−kx+φ) \boxed{\,y_{\mathrm P}(t) = A\,\sin\!\left[\omega\!\left(t-\frac{x}{v}\right)\right] = A\,\sin\!\left(\omega t - k x + \varphi\right)\,}
où :
  • AA : amplitude (m\mathrm{m}) ; ω=2πf=2π/T\omega=2\pi f=2\pi/T : pulsation (radian/s\mathrm{radian}/\mathrm{s}) ;
  • k=2π/λk=2\pi/\lambda : nombre d'onde (radian/m\mathrm{radian}/\mathrm{m}), avec ωk=v\dfrac{\omega}{k}=v ;
  • φ\varphi : phase à l'origine (radian\mathrm{radian}).
Figure 1 — A et C (d=λd=\lambda) : concordance de phase. A et B (d=λ/2d=\lambda/2) : opposition de phase.
Formule3.2vitesse et accélération d'un point du milieu
 vP(t)=yP′(t)=Aωcos⁡[ω(t−x/v)]  aP(t)=vP′(t)=−ω2yP(t) \boxed{\,v_{\mathrm P}(t)=y_{\mathrm P}'(t)=A\omega\cos[\omega(t-x/v)]\,}\qquad \boxed{\,a_{\mathrm P}(t)=v_{\mathrm P}'(t)=-\omega^{2}y_{\mathrm P}(t)\,}

Vitesse max =Aω=A\omega, accélération max =Aω2=A\omega^{2}. Ne pas confondre vPv_{\mathrm P} (vitesse transversale du point) et vv (célérité de propagation).

Définition3.1concordance et opposition de phase

Deux points distants de dd : concordance si d=nλd=n\lambda (n∈Zn\in\mathbb{Z}, vibrent identiquement) ; opposition si d=(2n+1)λ/2d=(2n+1)\lambda/2 (vibrent en sens inverse).

Méthodecalculer un déphasage à partir d'un retard Δt\Delta t

Proportionnalité : T→2πT\to 2\pi, donc ∣Δφ∣=2π ΔtT|\Delta\varphi| = \dfrac{2\pi\,\Delta t}{T}. Signe négatif si l'onde étudiée est en retard, positif si en avance.

Exempledéphasage

T=1 sT=1\,\mathrm{s}, onde 2 en retard de Δt=0.25 s\Delta t=0.25\,\mathrm{s} sur l'onde 1 : Δφ=−2π×0,251=−π2\Delta\varphi=-\dfrac{2\pi\times 0{,}25}{1}=-\dfrac{\pi}{2}, soit y2=0,2sin⁡(2πt−π/2)y_2=0{,}2\sin(2\pi t-\pi/2).

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