Physique · Fiche 7

Lois de la réflexion et de la réfraction

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Ce que tu sauras faire

énoncer et appliquer les deux lois de la réflexion d'une onde sur une surface ;
définir l'indice de réfraction d'un milieu et le relier à la vitesse de la lumière ;
écrire et exploiter la loi de Snell–Descartes $n_1\sin\hat{\imath} = n_2\sin\hat{r}$ ;
prévoir le sens de la déviation (vers ou loin de la normale) selon la réfringence des milieux ;
déterminer un angle limite et reconnaître les conditions de réflexion totale (fibres optiques, prismes) ;
expliquer la dispersion de la lumière par un prisme et le phénomène de la latte « brisée ».

1Introduction : lumière, rayons et dioptres

La réflexion et la réfraction sont les deux phénomènes fondamentaux qui décrivent ce qu'il advient d'une onde — en particulier de la lumière — lorsqu'elle rencontre la surface de séparation entre deux milieux transparents. Avant d'énoncer leurs lois, fixons le vocabulaire et les outils géométriques qui reviendront dans toute la fiche.

La lumière comme onde et le modèle du rayon

La lumière est une onde électromagnétique. Comme toute onde, elle est caractérisée par sa fréquence $f$ , sa longueur d'onde $\lambda$ et sa vitesse de propagation (appelée ici célérité) $c_i$ dans le milieu considéré. Dans le vide, cette célérité prend une valeur universelle notée $c$ .

Formule1.1relation fondamentale d'une onde

Pour une onde se propageant dans un milieu, la vitesse, la longueur d'onde et la fréquence sont liées par :

\boxed{\,c_i = \lambda_i \, f\,} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \lambda_i = \dfrac{c_i}{f}

où :

$c_i$ : célérité (vitesse) de l'onde dans le milieu $i$ , en mètres par seconde ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) ;
$\lambda_i$ : longueur d'onde dans le milieu $i$ , en mètres ( $\mathrm{m}$ ) ;
$f$ : fréquence de l'onde, en hertz ( $\mathrm{Hz}$ ), c'est-à-dire en $1/\mathrm{s}$ .

Remarquela grandeur qui ne change jamais

Lorsqu'une onde passe d'un milieu à un autre, sa fréquence $f$ reste rigoureusement constante : elle est imposée par la source qui a émis l'onde. En revanche la célérité $c_i$ et la longueur d'onde $\lambda_i$ , elles, changent. Cette idée — « $f$ fixe, $c$ et $\lambda$ variables » — est la clé de presque tous les raisonnements de cette fiche.

En optique géométrique, on remplace l'onde par un modèle simple et commode : le rayon lumineux, une ligne orientée qui indique la direction de propagation de l'énergie. Dans un milieu homogène, la lumière se propage en ligne droite : c'est le principe de propagation rectiligne, que confirme par exemple la netteté des ombres.

Exemplepropagation rectiligne : la hauteur du Soleil d'après une ombre

La propagation rectiligne de la lumière permet de relier la longueur d'une ombre à la position du Soleil. Un bâtiment vertical de hauteur $H = 100\,\mathrm{m}$ projette sur le sol horizontal une ombre de longueur $L = 65\,\mathrm{m}$ . Quelle est l'inclinaison $\alpha$ des rayons du Soleil sur l'horizontale ?

Mise en équation. Le sommet du bâtiment, son pied et l'extrémité de l'ombre forment un triangle rectangle. L'angle $\alpha$ que font les rayons solaires avec l'horizontale est tel que le côté opposé est la hauteur $H$ et le côté adjacent est l'ombre $L$ :

\tan\alpha = \frac{H}{L} = \frac{100}{65} = 1{,}5385.

Application numérique.

\alpha = \arctan\!\left(\frac{100}{65}\right) = 56{,}976\ldots\,^\circ.

On convertit la partie décimale en minutes et secondes d'arc ( $1^\circ = 60'$ , $1' = 60''$ ) :

0{,}9761^\circ \times 60 = 58{,}57' \quad\Rightarrow\quad 0{,}57' \times 60 \approx 34''.

\boxed{\alpha \approx 56^\circ\,58'\,34''}

L'astuce de cet exemple est de bien identifier quel angle on cherche : ici l'angle avec l'horizontale, et non avec la verticale. C'est exactement la même vigilance qu'il faudra avoir plus loin avec l'angle d'incidence, mesuré par rapport à la normale.

Surface de séparation, normale et angles

Définition1.1dioptre

On appelle dioptre la surface de séparation entre deux milieux transparents d'indices de réfraction différents (par exemple la surface plane air/eau, ou une face d'un prisme en verre). Quand cette surface est plane, on parle de dioptre plan.

Définition1.2normale et angles

La normale au point d'incidence est la droite perpendiculaire au dioptre en ce point. Tous les angles de l'optique géométrique se mesurent par rapport à cette normale, jamais par rapport à la surface :

l'angle d'incidence $\hat{\imath}$ est l'angle entre le rayon incident et la normale ;
l'angle de réflexion $\hat{r}$ est l'angle entre le rayon réfléchi et la normale ;
l'angle de réfraction $\hat{r}'$ est l'angle entre le rayon réfracté (transmis) et la normale.

Attentionla faute classique : « par rapport au dioptre »

Un énoncé donne parfois l'angle d'un rayon par rapport à la surface (au dioptre). Il faut alors le convertir avant tout calcul : comme la normale est perpendiculaire au dioptre,

\hat{\imath} = 90^\circ - (\text{angle mesuré par rapport au dioptre}).

Un rayon « à $40^\circ$ du dioptre » a en réalité un angle d'incidence de $\hat{\imath} = 50^\circ$ . Oublier cette conversion est l'erreur la plus fréquente du chapitre (voir l'exemple 3 plus loin).

L'indice de réfraction d'un milieu

Définition1.3indice de réfraction

L'indice de réfraction $n_i$ d'un milieu transparent mesure à quel point ce milieu « ralentit » la lumière. On dit qu'un milieu est d'autant plus réfringent que son indice est grand.

Formule1.2indice de réfraction

\boxed{\,n_i = \dfrac{c}{c_i}\,}

où :

$n_i$ : indice de réfraction du milieu $i$ — nombre sans dimension (sans unité) ;
$c$ : célérité de la lumière dans le vide, $c \approx 3.00\times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ;
$c_i$ : célérité de la lumière dans le milieu $i$ , en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Comme la lumière ne peut jamais aller plus vite que dans le vide, on a toujours $c_i \le c$ , donc :

\boxed{\,n_i \ge 1\,} \qquad\text{(l'indice d'un milieu transparent est toujours supérieur ou égal à 1).}

Le vide a, par définition, un indice exactement égal à 1. Plus un milieu est dense optiquement (plus réfringent), plus la lumière y est lente, donc plus $n_i$ est grand.

Milieu	Indice $n$ (lumière visible)	Célérité $c_i \approx c/n$
Vide	$1$ (exact)	$3.00\times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Air	$\approx 1{,}0003 \approx 1$	$\approx 3.00\times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Eau	$1{,}33$	$\approx 2.26\times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Verre ordinaire	$1{,}50$	$\approx 2.00\times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$
Diamant	$2{,}42$	$\approx 1.24\times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$

Remarque

Dans toute la fiche on prendra, sauf mention contraire, les valeurs usuelles $n_{\text{air}} = 1$ , $\;n_{\text{eau}} = 1{,}33$ et $\;n_{\text{verre}} = 1{,}5$ .

2La réflexion

Définition2.1réflexion

La réflexion est le renvoi d'une onde par une surface, l'onde restant dans son milieu de départ. Sur un miroir (surface lisse), la réflexion est dite spéculaire : elle obéit à deux lois très simples.

Propriété2.1les deux lois de la réflexion

La réflexion d'une onde est régie par deux lois :

l'amplitude de l'angle d'incidence est égale à celle de l'angle de réflexion ;
le rayon incident, le rayon réfléchi et la normale sont dans un même plan (le plan d'incidence).

Formule2.1loi de la réflexion

\boxed{\,\hat{\imath} = \hat{r}\,}

où :

$\hat{\imath}$ : angle d'incidence (rayon incident $\leftrightarrow$ normale), en degrés ( ${}^{\circ}$ ) ;
$\hat{r}$ : angle de réflexion (rayon réfléchi $\leftrightarrow$ normale), en degrés ( ${}^{\circ}$ ).

Les deux angles étant mesurés par rapport à la normale, cette égalité signifie que le rayon « rebondit » symétriquement par rapport à la normale.

Application : le réflecteur en coin (deux miroirs perpendiculaires)

Une conséquence remarquable de la loi $\hat{\imath}=\hat{r}$ apparaît lorsqu'on place deux miroirs perpendiculaires. Un rayon qui se réfléchit successivement sur les deux miroirs repart exactement parallèle à sa direction d'arrivée (mais en sens opposé), quel que soit l'angle d'entrée. C'est le principe du réflecteur en coin (catadioptre), utilisé sur les vélos, les bornes routières et même sur la Lune (réflecteurs déposés par les missions Apollo).

Exemplepourquoi le rayon ressort parallèle

Plaçons les deux miroirs selon les axes $Ox$ (horizontal) et $Oy$ (vertical). Un rayon de direction $\vec{u} = (u_x,\,u_y)$ frappe d'abord le miroir vertical (miroir 1). La réflexion sur un miroir vertical inverse uniquement la composante horizontale : la direction devient $(-u_x,\,u_y)$ . Ce rayon frappe ensuite le miroir horizontal (miroir 2), qui inverse la composante verticale : la direction devient $(-u_x,\,-u_y) = -\vec{u}$ .

Le rayon ressortant a donc la direction $-\vec{u}$ : il est antiparallèle au rayon entrant, c'est-à-dire parallèle à sa direction initiale mais de sens opposé — et ce quel que soit l'angle d'arrivée. C'est exactement ce que l'on observera plus loin avec le rayon 2 dans un prisme à angle droit (exemple 4), où les deux réflexions internes jouent le rôle des deux miroirs.

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3. La réfraction : la loi de Snell–Descartes
4. Réflexion totale et angle limite
5. Conséquences de la réfraction dans la vie courante
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