Travail, énergie et puissance

Signe donné par $\cos\alpha$ : moteur ($\alpha<90^{\circ}$, $W>0$) ; nul ($\alpha=90^{\circ}$) ; résistant ($\alpha>90^{\circ}$, $W<0$). Force variable : $W=\displaystyle\int_{x_A}^{x_B} F\,\mathrm{d}x$ = aire sous $F(x)$.

la réaction normale $\vec N$ d'un support ; le poids sur un déplacement horizontal ; la force centripète en mouvement circulaire (elle est $\perp\vec v$ à tout instant, même si $F_c$ est énorme). Le frottement, lui, travaille toujours négativement ($\alpha=180^{\circ}$).

Sur un trajet fermé (retour au point de départ), le travail du poids est nul, quelle que soit la trajectoire : sur une grande roue, $W=0$ (pas $mg\times2\pi R$). Le travail contre la pesanteur ne dépend que de la hauteur $h$, jamais de la longueur du trajet : sur une rampe 3-4-5 ($h=4\,\mathrm{m}$), $W=mgh$, pas $mg\times5\,\mathrm{m}$ (piège du triangle rectangle).

Conversion vitesse : $\mathrm{km}/\mathrm{h}\to\mathrm{m}/\mathrm{s}$, diviser par $3,6$.

À vitesse constante (MRU), $\sum W=0$. Sur route horizontale, poids et normale ne travaillent pas, donc $W_{\text{motrice}}=-W_{\text{frottement}}$. Attention : ce n'est vrai que si la route est horizontale — sur une pente, le poids entre aussi dans le bilan.

Sur une phase d'accélération, la puissance moyenne vaut $P_{moy}=\dfrac{\Delta E_c}{\Delta t}$, PAS $F\times v_{final}$ (puissance instantanée finale, souvent 2× trop grande). Ex. : voiture $1\,\mathrm{t}$, $0\to72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $10\,\mathrm{s}$ : $P_{moy}=20\,\mathrm{kW}$ (et non $F v_f=40\,\mathrm{kW}$).

Théorème de l'énergie cinétique (référentiel galiléen) :

Travail nécessaire à un changement de vitesse :

Ex. chariot $m=10\,\mathrm{kilogram}$, $v:1\to3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : bon calcul $\tfrac12\times10\times(9-1)=40\,\mathrm{J}$ ; piège n°1 : $\tfrac12\times10\times9=45\,\mathrm{J}$ (oubli de $v_i$) ; piège n°2 : $\tfrac12\times10\times2^2=20\,\mathrm{J}$ (carré de la différence, faux).

Objet lancé à $v_0$, arrêté par frottement après une distance $d$ :

La masse se simplifie : inutile de la connaître pour trouver $\mu$ !

• pesanteur : $E_p=mgh$ [$\mathrm{J}$] — origine de $h$ arbitraire, seule $\Delta E_p$ compte ; $W_{AB}(\vec G)=-\Delta E_p$
• élastique : $E_p=\tfrac12\,k\,x^2$ [$\mathrm{J}$] — $x$ = élongation
• ressort : $T=2\pi\sqrt{m/k}$, $f=1/T$

Sur la Lune, un objet a la même $E_c$ que sur Terre à vitesse égale (masse et $v$ inchangés) ; seuls son poids et son $E_p$ changent avec $g$.

Bloc $m=10\,\mathrm{kilogram}$ à $v=36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ percute un ressort ($k=1000\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$). À la compression maximale, $v=0$ : toute l'énergie cinétique devient élastique.

Piège : convertir $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (diviser par $3,6$), pas garder $36$ dans le calcul.

Système sans frottement (forces conservatives) :

1. Choisir l'origine de $h$ (souvent $E_p=0$ au point le plus bas).
2. Écrire $E_c^{(1)}+E_p^{(1)}=E_c^{(2)}+E_p^{(2)}$.
3. Annuler les termes nuls (départ du repos $\Rightarrow E_c=0$ ; niveau choisi $\Rightarrow E_p=0$).
4. Isoler l'inconnue : souvent $h=\dfrac{v^2}{2g}$ ou $v=\sqrt{2gh}$.

Avec frottement ($E_m$ non conservée — 2025, Q3) : $E_{\text{dissipée}}=mgh-\tfrac12 mv^2$. Ex. pierre $m=5\,\mathrm{kilogram}$, $h=10\,\mathrm{m}$, $v=12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $500\,\mathrm{J}-360\,\mathrm{J}=140\,\mathrm{J}$ (ni $500$, ni $360$ J seuls).

• $h_{max}=\dfrac{v_0^2}{2g}$ et $a=g\sin\beta$ ne dépendent jamais de la masse ni (pour $h_{max}$) de l'angle de la pente : deux masses lancées à la même vitesse $\Rightarrow$ même hauteur, même instant d'arrivée. La question la plus répétée aux annales.
• La hauteur atteinte = altitude de départ $+\ v_0^2/2g$ : ne pas oublier d'ajouter la base (rebond sur une plateforme, sac lâché d'un ballon en ascension).

Grandeur vectorielle, même direction et sens que $\vec v$. Plus un corps est massif et rapide, plus il est difficile à arrêter (freinage $\propto p$).