Travail, énergie et puissance

Le travail d'une force $\vec{F}$, constante en intensité, direction et sens, qui déplace un solide de $A$ vers $B$ en ligne droite, est le produit scalaire $\vec{F}\cdot\vec{AB}$.

Une force perpendiculaire au déplacement ne travaille jamais, même si elle est grande : c'est le cas de la force centripète en mouvement circulaire uniforme ($F_c=mv^2/r$ peut être énorme, mais $W(\vec{F}_c)=0$ car $\vec{F}_c\perp\vec{AB}$ à chaque instant). Ne pas confondre « force grande » et « travail non nul ».

C'est l'aire algébrique sous la courbe $F(x)$ entre $x_A$ et $x_B$.

La puissance est le travail fourni par unité de temps : elle mesure la rapidité avec laquelle un système délivre de l'énergie.

À travail égal, le système le plus puissant est le plus rapide ($P$ et $\Delta t$ inversement proportionnels).

Véhicule à $v=72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}=20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (MRU) ; frottements $F_f=600\,\mathrm{N}$. À vitesse constante, force motrice $F=F_f$, $\alpha=0^{\circ}$ :

(La masse du véhicule n'intervient pas : pas d'accélération.)

Toujours positive (carré de $v$), nulle au repos.

Dans un référentiel galiléen, la somme des travaux de toutes les forces entre $A$ et $B$ égale la variation d'énergie cinétique :

$\sum W>0\Rightarrow$ le corps accélère ; $\sum W<0\Rightarrow$ il ralentit ; $\sum W=0\Rightarrow$ vitesse conservée.

Multiplier la vitesse par $n$ multiplie $E_c$ par $n^2$ : tripler $v$ donne 9 fois plus d'énergie cinétique à dissiper (distance de freinage).

$m=10\,\mathrm{kilogram}$, part du repos, plan lisse ($AB=100\,\mathrm{m}$, $\beta=30^{\circ}$), $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. La normale ne travaille pas ; seul le poids agit :

$v_B$ ne dépend ni de $m$, ni de l'angle : seulement de la hauteur $h$.

Énergie qu'un corps possède du fait de sa position en hauteur $h$ dans le champ de pesanteur.

avec $g=9{,}81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (souvent $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

$E_p$ dépend du niveau de référence choisi ; seule la variation $\Delta E_p=mg(h_B-h_A)$ a un sens physique. On prend en général $E_p=0$ au point le plus bas.

Le corps descend $\Rightarrow$ $\Delta E_p<0$, poids moteur ($W>0$) ; il monte $\Rightarrow$ poids résistant ($W<0$).

Pour un système sans frottement (forces conservatives) :

Transformation continuelle $E_c\leftrightarrow E_p$, somme constante.

Lancer vertical, $v_0=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $g=10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Au sommet $v=0$ : $\tfrac12 m v_0^2=mg\,h_{\max}$, la masse se simplifie :

Résultat général $h=v_0^2/(2g)$ : valable pour une bille sur une pente ou un lancer vertical, quelle que soit la masse ou l'angle.

Énergie stockée dans un ressort écarté de sa position d'équilibre (élongation $x$).

$k$ grand $\Rightarrow$ oscillations rapides ; $m$ grande $\Rightarrow$ oscillations lentes. Doubler $x$ quadruple $E_p$ (dépendance en $x^2$, comme $E_c$ en $v^2$).

$F=2{,}5\,\mathrm{N}$ pour $x=10\,\mathrm{cm}=0{,}10\,\mathrm{m}$ :

Produit de la masse par le vecteur vitesse ; grandeur vectorielle (contrairement à l'énergie).

en $\mathrm{kilogram}\mathrm{m}/\mathrm{s}$, même direction et sens que $\vec{v}$.

$m_1=2000\,\mathrm{kilogram}$, $m_2=4000\,\mathrm{kilogram}$, même $v$ : $p_2=2p_1$. Le camion, deux fois plus massif, est deux fois plus difficile à arrêter à vitesse égale.

• Une force $\perp$ au déplacement ne travaille jamais : normale, poids sur trajet horizontal, force centripète — même si elle est intense.
• Le frottement travaille toujours négativement ($\alpha=180^{\circ}$).
• $E_c\propto v^2$ et $E_p^{\text{élast}}\propto x^2$ : tripler $v$ (ou doubler $x$) multiplie l'énergie par $9$ (ou $4$), pas par $3$ (ou $2$).
• $E_p$ dépend de l'origine choisie ; seule $\Delta E_p$ compte.
• Sans frottement, $h$ et $v$ se déduisent l'une de l'autre indépendamment de la masse (ex. $h=v^2/2g$).
• Conversion $\mathrm{km}/\mathrm{h}$$\to$$\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : diviser par 3,6.
• $W$, $E_c$, $E_p$, $E_m$ partagent tous la même unité : le joule.