Chimie · Synthèse · Fiche 7

Loi des gaz

Du gaz parfait aux pressions partielles — fiche de révision condensée.

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À maîtriser

les quatre variables d'état $p,V,n,T$ et leurs unités ;
les trois lois historiques : Boyle-Mariotte, Charles–Gay-Lussac, Avogadro ;
l'équation d'état $pV=nRT$ et le bon choix de $R$ ;
masse volumique, masse molaire, densité ;
le volume molaire $22{,}4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ aux CNTP ;
les mélanges gazeux : loi de Dalton, fraction molaire.

1L'état gazeux : les quatre variables

Définition1.1gaz parfait et variables d'état

Un gaz occupe tout le volume disponible. Il est décrit par quatre variables d'état : pression $p$ , volume $V$ , quantité de matière $n$ (avec $n=m/M$ ), température $T$ . Un gaz parfait est un gaz idéalisé (molécules ponctuelles, sans interaction, chocs élastiques) ; sauf mention contraire, tous les gaz de cette fiche sont supposés parfaits.

Unité de pression	Symbole	Équivalence
pascal	$\mathrm{Pa}$	unité SI
bar	$\mathrm{bar}$	$1\,\mathrm{bar}=10^{5}\,\mathrm{Pa}$
atmosphère	$\mathrm{atm}$	$1\,\mathrm{atm}=101325\,\mathrm{Pa}\approx1{,}013\,\mathrm{bar}$
mmHg	$\mathrm{mmHg}$	$1\,\mathrm{atm}=760\,\mathrm{mmHg}$

Formule1.1conversion Celsius $\leftrightarrow$ Kelvin

\boxed{\,T(\mathrm{K}) = \theta(\mathrm{degreeCelsius}) + 273{,}15\,}

Volume : $1\,\mathrm{L}=10^{-3}\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{mL}$ , $1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}$ .

Attention

Toujours convertir $T$ en kelvins avant tout calcul et tout rapport $T_2/T_1$ : $\theta=27\,\mathrm{degreeCelsius}\Rightarrow T=300\,\mathrm{K}$ (jamais $27$ ). Un rapport calculé en degrés Celsius est faux.

2Les trois lois historiques

Loi	Fixé	Varie	Relation
Boyle-Mariotte	$n,\ T$	$p,\ V$	$pV=\text{cste}$
Charles–Gay-Lussac	$n,\ p$	$V,\ T$	$V/T=\text{cste}$
Avogadro	$p,\ T$	$V,\ n$	$V/n=\text{cste}$

Propriété2.1Boyle-Mariotte — isotherme, $n,T$ constants

\boxed{\,p_1V_1 = p_2V_2\,}

Exemple

$p_1=1\,\mathrm{atm}$ , $V_1=24\,\mathrm{L}$ , $p_2=3\,\mathrm{atm}$ $\Rightarrow$ $V_2=p_1V_1/p_2=8\,\mathrm{L}$ .

Propriété2.2Charles–Gay-Lussac — isobare, $n,p$ constants

\boxed{\,\frac{V_1}{T_1}=\frac{V_2}{T_2}\,}

Remarquevariante isochore

$V$ constant $\Rightarrow p_1/T_1=p_2/T_2$ (déduit de $pV=nRT$ ) : c'est ce qui fait monter la pression d'un pneu qui chauffe.

Exemple

$V_1=2{,}0\,\mathrm{L}$ à $T_1=300\,\mathrm{K}$ , $T_2=360\,\mathrm{K}$ $\Rightarrow$ $V_2=V_1T_2/T_1=2{,}4\,\mathrm{L}$ .

Propriété2.3Avogadro — $p,T$ constants

\boxed{\,\frac{V_1}{n_1}=\frac{V_2}{n_2}\,}

Des volumes égaux de gaz, dans les mêmes conditions de $p$ et $T$ , contiennent le même nombre de molécules — quelle que soit la nature du gaz.

3Équation d'état des gaz parfaits $pV=nRT$ pV=nRT

Formule3.1loi des gaz parfaits

\boxed{\,p\times V = n\times R\times T\,}

où :

$p$ , $V$ : pression et volume, dans des unités cohérentes avec $R$ ;
$n$ : quantité de matière ( $\mathrm{mol}$ ) ; $T$ : température absolue, toujours en $\mathrm{K}$ .

Valeur de $R$	$p$ en	$V$ en	$T$ en
$8{,}314\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}\mathrm{K}$	$\mathrm{Pa}$	$\mathrm{m}^{3}$	$\mathrm{K}$
$8{,}314\,\mathrm{kPa}\mathrm{L}/\mathrm{mol}\mathrm{K}$	$\mathrm{kPa}$	$\mathrm{L}$	$\mathrm{K}$
$0{,}082\,\mathrm{atm}\mathrm{L}/\mathrm{mol}\mathrm{K}$	$\mathrm{atm}$	$\mathrm{L}$	$\mathrm{K}$

Attention

Ne jamais panacher $R=0{,}082$ ( $\mathrm{atm}$ , $\mathrm{L}$ ) avec une pression en pascals : choisir une ligne du tableau et s'y tenir.

Réarrangements utiles :

n=\frac{pV}{RT}, \qquad p=\frac{nRT}{V}, \qquad V=\frac{nRT}{p}, \qquad T=\frac{pV}{nR}.

Définition3.1CNTP

Conditions normales de température et de pression : $p=1\,\mathrm{atm}$ , $T=273\,\mathrm{K}$ ( $\theta=0\,\mathrm{degreeCelsius}$ ).

Formule3.2volume molaire aux CNTP

\boxed{\,V_{\mathrm{m}} = \frac{RT}{p} = 22{,}4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}\,} \qquad\Longrightarrow\qquad n=\frac{V}{V_{\mathrm{m}}}.

Exemple

$V=44{,}8\,\mathrm{L}$ de $\ce{N2}$ aux CNTP $\Rightarrow n=V/V_{\mathrm{m}}=44{,}8/22{,}4=2{,}0\,\mathrm{mol}$ .

4Masse volumique, masse molaire, densité

Formule4.1masse volumique et masse molaire d'un gaz parfait

\boxed{\,\rho = \dfrac{p\,M}{R\,T}\,} \qquad\qquad \boxed{\,M = \dfrac{m\,R\,T}{p\,V}\,}

où :

$\rho$ : masse volumique ( $\mathrm{g}/\mathrm{L}$ ) ; $M$ : masse molaire ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ) ; $m$ : masse ( $\mathrm{g}$ ).

Remarque

Aux CNTP : $M=\rho\times V_{\mathrm{m}}$ . À $p,T$ donnés, $\rho\propto M$ : un gaz « lourd » (grand $M$ ) est plus dense qu'un gaz « léger ».

Définition4.1densité par rapport à l'air

$d=\rho_{\text{gaz}}/\rho_{\text{air}}=M_{\text{gaz}}/M_{\text{air}}$ , avec $M_{\text{air}}=28{,}8\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ (air $\approx80\,\%$ $\ce{N2}$ $+$ $20\,\%$ $\ce{O2}$ en volume), $\rho_{\text{air}}\approx1{,}29\,\mathrm{g}/\mathrm{L}$ aux CNTP.

Formule4.2masse molaire à partir de la densité

\boxed{\,M_{\text{gaz}} = 28{,}8\times d_{\text{gaz}}\,}\qquad(\text{aux CNTP}).

Gaz	$M$ ( $\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ )	$d$	Comportement
$\ce{He}$	4	0,14	monte (plus léger que l'air)
$\ce{N2}$	28	0,97	$\approx$ air
$\ce{CO2}$	44	1,53	descend (plus lourd que l'air)

5Mélanges gazeux : loi de Dalton

Définition5.1pression partielle

$p_i$ : pression qu'exercerait le gaz $i$ s'il occupait seul tout le volume, à la même température.

Propriété5.1loi de Dalton

\boxed{\,p_{\text{tot}} = \sum_i p_i = p_A+p_B+p_C+\dots\,}

Définition5.2fraction molaire

$\chi_A = n_A/n_{\text{total}}$ (sans unité, $\sum_i\chi_i=1$ ).

Formule5.1pression partielle et fraction molaire

\boxed{\,p_A = \chi_A \times p_{\text{totale}}\,}

Remarque

Pour des gaz parfaits, fraction molaire $=$ fraction volumique (conséquence d'Avogadro) : « $20\,\%$ de $\ce{O2}$ en volume » signifie $\chi(\ce{O2})=0{,}20$ .

Exemple

$n(\ce{N2})=0{,}30\,\mathrm{mol}$ , $n(\ce{O2})=0{,}20\,\mathrm{mol}$ , $V=10{,}0\,\mathrm{L}$ , $T=300\,\mathrm{K}$ : $n_{\text{tot}}=0{,}50\,\mathrm{mol}$ , $p_{\text{tot}}=n_{\text{tot}}RT/V=1{,}23\,\mathrm{atm}$ , $\chi(\ce{N2})=0{,}60\Rightarrow p(\ce{N2})=0{,}74\,\mathrm{atm}$ , $p(\ce{O2})=0{,}49\,\mathrm{atm}$ (somme $=1{,}23\,\mathrm{atm}$ $\checkmark$ ).

6Synthèse

MémoMémo — les formules à connaître

Situation	Formule	Conditions
Cas général	$pV=nRT$	toujours (gaz parfait)
$T$ constante	$p_1V_1=p_2V_2$	Boyle-Mariotte
$p$ constante	$V_1/T_1=V_2/T_2$	Charles–Gay-Lussac
$p,T$ constantes	$V_1/n_1=V_2/n_2$	Avogadro
Nombre de moles	$n=pV/RT$	toujours
Aux CNTP	$n=V/22{,}4$	$p=1\,\mathrm{atm}$ , $T=273\,\mathrm{K}$
Masse volumique	$\rho=pM/(RT)$	toujours
Masse molaire	$M=mRT/(pV)$	toujours
Densité / air	$M_{\text{gaz}}=28{,}8\,d$	aux CNTP
Pression partielle	$p_A=\chi_A\,p_{\text{tot}}$	mélange (Dalton)
Pression totale	$p_{\text{tot}}=\sum p_i$	mélange (Dalton)

MémoMémo — valeurs et constantes de référence

Constante des gaz : $R=8{,}314\,\mathrm{J}/\mathrm{mol}\mathrm{K}=8{,}314\,\mathrm{kPa}\mathrm{L}/\mathrm{mol}\mathrm{K}=0{,}082\,\mathrm{atm}\mathrm{L}/\mathrm{mol}\mathrm{K}$ .
CNTP (= TPN = PTN) : $p=1\,\mathrm{atm}$ , $T=273\,\mathrm{K}$ ( $\theta=0\,\mathrm{degreeCelsius}$ ).
Volume molaire aux CNTP : $V_{\mathrm{m}}=22{,}4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ .
Air : $\approx 80\,\%$ $\ce{N2}$ $+$ $20\,\%$ $\ce{O2}$ (en volume) ; $M_{\text{air}}=28{,}8\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $\rho_{\text{air}}\approx1{,}29\,\mathrm{g}/\mathrm{L}$ (CNTP).
Conversions : $1\,\mathrm{atm}=101325\,\mathrm{Pa}=760\,\mathrm{mmHg}$ ; $1\,\mathrm{m}^{3}=1000\,\mathrm{L}$ ; $T(\mathrm{K})=\theta+273{,}15$ .

MémoMémo — les pièges classiques à éviter

Température : toujours en kelvins dans $pV=nRT$ et dans les rapports $V/T$ , $p/T$ . Convertir avant tout calcul.
Cohérence $R$ / unités : associer $R=0{,}082$ à ( $\mathrm{atm}$ , $\mathrm{L}$ ), ou $R=8{,}314$ à ( $\mathrm{Pa}$ , $\mathrm{m}^{3}$ ). Ne jamais panacher.
Le volume $22{,}4\,\mathrm{L}/\mathrm{mol}$ n'est valable qu'aux CNTP. Hors CNTP, repasser par $pV=nRT$ .
Fraction molaire $=$ fraction volumique pour les gaz parfaits seulement (grâce à Avogadro).
Pression partielle $p_A=\chi_A\,p_{\text{tot}}$ : c'est la fraction molaire, pas la fraction massique.

MémoMéthode générale — résoudre un problème de gaz

Lister les grandeurs connues et l'inconnue ; repérer ce qui est constant.
Convertir les unités : température en $\mathrm{K}$ , pression et volume cohérents avec le $R$ choisi.
Choisir la loi : une variable constante $\to$ loi historique ; sinon $\to$ $pV=nRT$ ; mélange $\to$ Dalton.
Isoler littéralement l'inconnue avant l'application numérique.
Calculer, puis vérifier l'ordre de grandeur et l'homogénéité (les unités doivent se simplifier correctement).

Fin de la fiche de révision 7 — Loi des gaz.

Loi des gaz

1L'état gazeux : les quatre variables

2Les trois lois historiques

3Équation d'état des gaz parfaits pV=nRTpV=nRTpV=nRTpV=nRT

4Masse volumique, masse molaire, densité

5Mélanges gazeux : loi de Dalton

6Synthèse

3Équation d'état des gaz parfaits $pV=nRT$ pV=nRT