Mathématiques · Synthèse · Fiche 3

Trigonométrie

Cercle trigonométrique, nombres trigonométriques et résolution des triangles — fiche de révision condensée.

5 min de révisionPack · aperçu gratuit8 sections Télécharger en PDF

À maîtriser

construire et lire le cercle trigonométrique ; convertir un angle degrés $\leftrightarrow$ radians ;
connaître $\cos$ , $\sin$ , $\tg$ , $\cotg$ : signe par quadrant, valeurs remarquables ;
utiliser la relation fondamentale $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ ;
exploiter les angles associés pour ramener tout angle à un angle connu ;
appliquer les formules d'addition et de duplication ;
résoudre des équations trigonométriques en $\sin$ , $\cos$ , $\tg$ ;
résoudre un triangle quelconque (loi des sinus / loi des cosinus).

1Mesurer un angle : degrés et radians

Définition1.1degré et radian

Le degré ( ${}^{\circ}$ ) découpe un tour complet en 360 parts égales. Le radian ( $\mathrm{radian}$ ) mesure l'angle par la longueur de l'arc qu'il découpe sur un cercle de rayon $1$ : un tour complet vaut $2\pi$ radians.

Formule1.1conversion degrés $\leftrightarrow$ radians

\boxed{\;\alpha_{\text{rad}} = \alpha_{\text{deg}}\times \dfrac{\pi}{180}\;} \qquad\text{et}\qquad \boxed{\;\alpha_{\text{deg}} = \alpha_{\text{rad}}\times \dfrac{180}{\pi}\;}

Degrés	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$	$120^{\circ}$	$180^{\circ}$	$270^{\circ}$	$360^{\circ}$
Radians	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$	$\dfrac{2\pi}{3}$	$\pi$	$\dfrac{3\pi}{2}$	$2\pi$

Attentionnotation de la tangente

On note ici la tangente $\tg$ et la cotangente $\cotg$ (notation du livre). Sur calculatrice : $\tan$ et $\cot$ — ce sont les mêmes objets.

2Cercle trigonométrique : cosinus, sinus, tangente, cotangente

Définition2.1cercle trigonométrique

Cercle de centre $O$ et de rayon $1$ . Tout point $P$ du cercle correspond à un angle orienté $\alpha$ mesuré depuis l'axe horizontal positif, dans le sens trigonométrique (inverse des aiguilles d'une montre) : quadrant I ( $0$ à $\tfrac\pi2$ ), II ( $\tfrac\pi2$ à $\pi$ ), III ( $\pi$ à $\tfrac{3\pi}2$ ), IV ( $\tfrac{3\pi}2$ à $2\pi$ ).

Formule2.1les quatre nombres trigonométriques

\boxed{\,P=(\cos\alpha\,;\,\sin\alpha)\,}\qquad \boxed{\;\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\;}\qquad \boxed{\;\cotg\alpha=\dfrac{1}{\tg\alpha}=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\;}

où :

$\tg\alpha$ définie si $\cos\alpha\neq0$ , c'est-à-dire $\alpha\neq\tfrac{\pi}{2}+k\pi$ ;
$\cotg\alpha$ définie si $\sin\alpha\neq0$ , c'est-à-dire $\alpha\neq k\pi$ .

*Figure 1 : Lecture des quatre nombres trigonométriques pour un angle $\alpha$ du premier quadrant. Le cosinus se lit sur l'axe horizontal, le sinus sur l'axe vertical, la tangente sur la droite verticale tangente, et la cotangente sur la droite horizontale tangente.

Attentionbornes

$\cos\alpha,\ \sin\alpha\in[-1;1]$ toujours (nombres purs). $\tg\alpha$ et $\cotg\alpha$ ne sont pas bornées : elles « explosent » là où, respectivement, $\cos\alpha=0$ et $\sin\alpha=0$ .

Figure 2 : Signe de chaque nombre trigonométrique dans les quatre quadrants (I en haut à droite, sens trigonométrique).

$\alpha$	$0$	$\dfrac{\pi}{6}$	$\dfrac{\pi}{4}$	$\dfrac{\pi}{3}$	$\dfrac{\pi}{2}$
(degrés)	$0^{\circ}$	$30^{\circ}$	$45^{\circ}$	$60^{\circ}$	$90^{\circ}$
$\sin\alpha$	$0$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\alpha$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{2}$	$\dfrac{\sqrt2}{2}$	$\dfrac{1}{2}$	$0$
$\tg\alpha$	$0$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	$\nexists$
$\cotg\alpha$	$\nexists$	$\sqrt3$	$1$	$\dfrac{\sqrt3}{3}$	$0$

Remarqueastuce de mémorisation

$\sin: \dfrac{\sqrt0}{2},\dfrac{\sqrt1}{2},\dfrac{\sqrt2}{2},\dfrac{\sqrt3}{2},\dfrac{\sqrt4}{2}$ ; le $\cos$ est la même liste à l'envers ; puis $\tg=\dfrac{\sin}{\cos}$ .

3Relation fondamentale et triangle rectangle

Formule3.1« SOH-CAH-TOA » dans le triangle rectangle

\boxed{\;\cos\alpha=\dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\;}\quad \boxed{\;\sin\alpha=\dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\;}\quad \boxed{\;\tg\alpha=\dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\;}

(hypoténuse = côté opposé à l'angle droit ; adjacent/opposé se rapportent à l'angle $\alpha$ étudié)

Formule3.2relation fondamentale de la trigonométrie

\boxed{\;\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1\;}

où :

$\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}$ , $\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}$ (signe donné par le quadrant) ;
$1+\tg^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}$ , $\qquad 1+\cotg^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}$ .

Méthodepasser d'un nombre trigonométrique à un autre

Relation fondamentale $\to$ isoler l'inconnue $\to$ choisir le signe d'après le quadrant (l'étape où l'on se trompe le plus) $\to$ au besoin, $\tg\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ .

Exemplequadrant IV, $\sin\alpha=-\tfrac15$

$\cos\alpha=+\sqrt{1-\tfrac{1}{25}}=\dfrac{2\sqrt6}{5}$ (positif au quadrant IV) ; $\tg\alpha=\dfrac{-1/5}{2\sqrt6/5}=-\dfrac{\sqrt6}{12}$ .

4Angles associés

Deux angles « associés » correspondent à deux points symétriques sur le cercle : la symétrie ne fait que changer le signe de certaines coordonnées.

Angle associé	$\sin$	$\cos$	$\tg$	$\cotg$
Opposé $-\alpha$	$-\sin\alpha$	$\cos\alpha$	$-\tg\alpha$	$-\cotg\alpha$
Complémentaire $\tfrac{\pi}{2}-\alpha$	$\cos\alpha$	$\sin\alpha$	$\cotg\alpha$	$\tg\alpha$
Anti-complémentaire $\tfrac{\pi}{2}+\alpha$	$\cos\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cotg\alpha$	$-\tg\alpha$
Supplémentaire $\pi-\alpha$	$\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$-\tg\alpha$	$-\cotg\alpha$
Anti-supplémentaire $\pi+\alpha$	$-\sin\alpha$	$-\cos\alpha$	$\tg\alpha$	$\cotg\alpha$

Attentionpiège fréquent

Le cosinus est une fonction paire ( $\cos(-\alpha)=\cos\alpha$ ) ; sinus, tangente et cotangente sont impaires. Deux angles supplémentaires ont le même sinus ; deux angles opposés ou anti-supplémentaires ont la même tangente.

Méthoderamener n'importe quel angle au premier quadrant

Se ramener à $[0^{\circ};360^{\circ}[$ (ajouter/retrancher des tours complets) ;
repérer le quadrant $\Rightarrow$ le signe final ;
angle de référence $\alpha_{\text{réf}}$ : I $\to\alpha$ ; II $\to180^{\circ}-\alpha$ ; III $\to\alpha-180^{\circ}$ ; IV $\to360^{\circ}-\alpha$ ;
lire $\alpha_{\text{réf}}$ dans le tableau des valeurs remarquables, puis appliquer le signe.

Exemple $\sin(240^{\circ})$

$240^{\circ}\in[180^{\circ};270^{\circ}[$ : quadrant III ( $\sin<0$ ). Référence : $240^{\circ}-180^{\circ}=60^{\circ}$ . Donc $\sin(240^{\circ})=-\sin(60^{\circ})=-\dfrac{\sqrt3}{2}$ .

La moitié offerte, sans compte

L'autre moitié tient sur la même page.

Ton email, le paiement, et tout s'ouvre — cette synthèse et les 30 autres, plus les carnets et les QCM, jusqu'au concours du 27 août.

J-0Le concours est le 27 août 2026 — chaque jour compte.

5. Formules d'addition et de duplication
6. Résolution d'équations trigonométriques
7. Relations dans un triangle quelconque
… et 1 de plus

Aujourd'hui : tout s'ouvreSynthèses, carnets, QCM — tout de suite, sur cette page.
Jusqu'au 27 août : accès completUn seul paiement. Pas d'abonnement, rien à résilier.
Paiement sécurisé Stripe.Bancontact, carte, Apple Pay ou Google Pay — on ne voit jamais tes données bancaires.

GratuitPack

Les 61 cours complets

31 synthèses (en ligne + PDF)

153 mécaniques corrigées

4000 QCM corrigés et justifiés

67 fiches de révision

Tout ce qui sort d'ici au concours (bio incluse)

39 € une fois ≈ 39,00€/jour d'ici au concours — moins qu'un café.

Paiement unique · Bancontact, carte, Apple Pay ou Google Pay · Accès immédiat, sans abonnement.

Pas prêt ? Les cours restent 100 % gratuits — · Déjà le Pack ?