Puissances, racines et exposants

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Facile15 exercices

Exercice 1règles produit et quotient, même base

Écris chaque expression sous la forme d'une seule puissance $a^{k}$ (donne l'exposant $k$ ).

a)
$a^{4}\times a^{3}$
On additionne les exposants pour un produit, on les soustrait pour un quotient.
$a^{4+3}=a^{7}$
b)
$\displaystyle\frac{a^{7}}{a^{2}}$
$a^{7-2}=a^{5}$
c)
$a^{6}\times a^{-2}$
$a^{6-2}=a^{4}$
d)
$\displaystyle\frac{a^{3}}{a^{8}}$
$a^{3-8}=a^{-5}$
e)
$a^{2}\times a^{5}\times a$
$a^{2+5+1}=a^{8}.$

Exercice 2exposant nul et exposant négatif

Réécris sans exposant négatif (ou calcule la valeur exacte), avec $a\in\mathbb{R}_0$ :

a)
$5^{0}$
Un exposant négatif signifie « inverse » ; toute base non nulle à la puissance $0$ vaut $1$ .
$5^{0}=1$
b)
$a^{-3}$
$a^{-3}=\frac{1}{a^{3}}$
c)
$\displaystyle\frac{1}{a^{4}}$ (sous forme $a^{k}$ )
$\frac{1}{a^{4}}=a^{-4}$
d)
$2^{-3}$ (valeur exacte)
$2^{-3}=\frac{1}{2^{3}}=\frac18$
e)
$\displaystyle\Bigl(\frac{1}{3}\Bigr)^{-2}$ (valeur exacte)
$\Bigl(\tfrac13\Bigr)^{-2}=3^{2}=9.$

Exercice 3racines et exposants fractionnaires

Passe de la racine à l'exposant fractionnaire (ou l'inverse), avec $c>0$ :

a)
$\sqrt[5]{c}$
$\sqrt[n]{c^{p}}=c^{p/n}$ .
$c^{1/5}$
b)
$\sqrt[3]{c^{2}}$
$c^{2/3}$
c)
$c^{1/4}$ (en racine)
$c^{1/4}=\sqrt[4]{c}$
d)
$\sqrt[3]{c^{6}}$ (simplifie)
$c^{6/3}=c^{2}$
e)
$\sqrt{c^{10}}$ (simplifie)
$c^{10/2}=c^{5}.$

Exercice 4signe et parenthésage

Calcule la valeur exacte, en faisant très attention à la position du signe « $-$ » :

a)
$(-3)^{2}$
Le signe dans la base se neutralise pour un exposant pair ; devant, il ne participe pas à la puissance.
$(-3)^{2}=+9$
b)
$-3^{2}$
$-3^{2}=-(9)=-9$
c)
$(-2)^{3}$
$(-2)^{3}=-8$
d)
$-2^{4}$
$-2^{4}=-(16)=-16$
e)
$\sqrt{(-5)^{2}}$
$\sqrt{(-5)^{2}}=\sqrt{25}=|-5|=5.$

Exercice 5équation exponentielle à même base

Résous dans $\mathbb{R}$ (l'exponentielle est injective : on égale les exposants) :

a)
$2^{x}=2^{5}$
Même base $\Rightarrow$ on égale les exposants.
$x=5$
b)
$3^{2x}=3^{8}$
$2x=8\Rightarrow x=4$
c)
$5^{x+1}=5^{4}$
$x+1=4\Rightarrow x=3$
d)
$7^{3x}=7^{0}$
$3x=0\Rightarrow x=0$
e)
$10^{x-2}=10^{3}$
$x-2=3\Rightarrow x=5.$

Exercice 6évaluer de petites puissances

Calcule la valeur exacte de chaque puissance.

a)
$2^{3}$
$2^{3}=8$ .
b)
$3^{2}$
$3^{2}=9$ .
c)
$5^{2}$
$5^{2}=25$ .
d)
$2^{5}$
$2^{5}=32$ .
e)
$10^{3}$
$10^{3}=1000$ .

Exercice 7puissance d'un produit ou d'un quotient

Distribue l'exposant sur chaque facteur ( $a,b\in\mathbb{R}_0$ ).

a)
$(ab)^{4}$
On distribue : $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}$ et $\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}=\tfrac{a^{n}}{b^{n}}$ .
$(ab)^{4}=a^{4}b^{4}$ .
b)
$(2x)^{3}$
$(2x)^{3}=2^{3}x^{3}=8x^{3}$ .
c)
$\displaystyle\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^{5}$
$\displaystyle\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^{5}=\frac{a^{5}}{b^{5}}$ .
d)
$(3a)^{2}$
$(3a)^{2}=9a^{2}$ .
e)
$(xy)^{2}$
$(xy)^{2}=x^{2}y^{2}$ .

Exercice 8même exposant, bases différentes

Regroupe sous la forme $(ab)^{n}$ ou $\bigl(\tfrac{a}{b}\bigr)^{n}$ , puis donne la valeur exacte.

a)
$2^{3}\times 5^{3}$
Même exposant $\Rightarrow$ on regroupe les bases.
$2^{3}\times5^{3}=(2\cdot5)^{3}=10^{3}=1000$ .
b)
$\displaystyle\frac{6^{2}}{3^{2}}$
$\displaystyle\frac{6^{2}}{3^{2}}=\Bigl(\frac{6}{3}\Bigr)^{2}=2^{2}=4$ .
c)
$2^{4}\times 5^{4}$
$2^{4}\times5^{4}=10^{4}=10000$ .
d)
$\displaystyle\frac{15^{2}}{5^{2}}$
$\displaystyle\frac{15^{2}}{5^{2}}=3^{2}=9$ .
e)
$\displaystyle\frac{10^{3}}{2^{3}}$
$\displaystyle\frac{10^{3}}{2^{3}}=\Bigl(\frac{10}{2}\Bigr)^{3}=5^{3}=125$ .

Exercice 9racines de puissances parfaites

Donne la valeur exacte (passe par l'exposant fractionnaire).

a)
$9^{1/2}$
On lit $c^{p/n}=\sqrt[n]{c^{p}}$ .
$9^{1/2}=\sqrt{9}=3$ .
b)
$8^{1/3}$
$8^{1/3}=\sqrt[3]{8}=2$ .
c)
$27^{1/3}$
$27^{1/3}=\sqrt[3]{27}=3$ .
d)
$16^{1/4}$
$16^{1/4}=\sqrt[4]{16}=2$ .
e)
$4^{3/2}$
$4^{3/2}=(4^{1/2})^{3}=2^{3}=8$ .

Exercice 10racine d'un carré : valeur absolue

Simplifie en te rappelant que $\sqrt{A^{2}}=|A|$ ( $x,a$ réels).

a)
$\sqrt{7^{2}}$
On applique $\sqrt{A^{2}}=|A|$ (le résultat est toujours $\geq 0$ ).
$\sqrt{7^{2}}=|7|=7$ .
b)
$\sqrt{(-4)^{2}}$
$\sqrt{(-4)^{2}}=|-4|=4$ .
c)
$\sqrt{x^{2}}$
$\sqrt{x^{2}}=|x|$ .
d)
$\sqrt{(-a)^{2}}$
$\sqrt{(-a)^{2}}=|-a|=|a|$ .
e)
$\sqrt{9x^{2}}$
$\sqrt{9x^{2}}=\sqrt{9}\,\sqrt{x^{2}}=3|x|$ .

Exercice 11écrire un nombre comme une puissance

Écris chaque nombre comme une puissance de la base indiquée.

a)
$8$ en base $2$
$8=2^{3}$ .
b)
$81$ en base $3$
$81=3^{4}$ .
c)
$\displaystyle\frac{1}{16}$ en base $2$
$\displaystyle\frac{1}{16}=\frac{1}{2^{4}}=2^{-4}$ .
d)
$1000$ en base $10$
$1000=10^{3}$ .
e)
$\displaystyle\frac{1}{9}$ en base $3$
$\displaystyle\frac{1}{9}=\frac{1}{3^{2}}=3^{-2}$ .

Exercice 12reconnaître la puissance pour résoudre

Résous dans $\mathbb{R}$ en écrivant d'abord le second membre comme une puissance de la même base.

a)
$2^{x}=8$
On écrit le second membre comme une puissance de la base, puis on égale les exposants.
$2^{x}=2^{3}\Rightarrow x=3$ .
b)
$3^{x}=81$
$3^{x}=3^{4}\Rightarrow x=4$ .
c)
$5^{x}=\displaystyle\frac{1}{25}$
$5^{x}=5^{-2}\Rightarrow x=-2$ .
d)
$2^{x}=1$
$2^{x}=2^{0}\Rightarrow x=0$ .
e)
$10^{x}=1000$
$10^{x}=10^{3}\Rightarrow x=3$ .

Exercice 13simplifier une racine carrée

Écris sous la forme $a\sqrt{b}$ avec $b$ le plus petit entier possible.

a)
$\sqrt{12}$
On isole le plus grand carré parfait, puis $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\,\sqrt{b}$ .
$\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}$ .
b)
$\sqrt{50}$
$\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot2}=5\sqrt{2}$ .
c)
$\sqrt{8}$
$\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot2}=2\sqrt{2}$ .
d)
$\sqrt{18}$
$\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot2}=3\sqrt{2}$ .
e)
$\sqrt{75}$
$\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}$ .

Exercice 14comparer deux puissances de même base

Compare avec $<$ , $>$ ou $=$ , sans calculatrice, en utilisant la monotonie.

a)
$2^{3}\ \square\ 2^{5}$
Base $>1$ : la fonction croît (l'ordre des exposants se conserve) ; base $<1$ : elle décroît (l'ordre s'inverse).
$2^{3}<2^{5}$ (base $2>1$ et $3<5$ ).
b)
$3^{4}\ \square\ 3^{2}$
$3^{4}>3^{2}$ .
c)
$\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}\ \square\ \bigl(\tfrac12\bigr)^{5}$
$\bigl(\tfrac12\bigr)^{2}>\bigl(\tfrac12\bigr)^{5}$ (base $<1$ : l'ordre s'inverse).
d)
$5^{0}\ \square\ 5^{-1}$
$5^{0}>5^{-1}$ (car $1>\tfrac15$ ).
e)
$10^{2}\ \square\ 10^{2}$
$10^{2}=10^{2}$ .

Exercice 15puissance de puissance

Écris sous la forme d'une seule puissance (ou donne la valeur exacte).

a)
$(a^{3})^{2}$
On multiplie les exposants emboîtés : $(a^{m})^{n}=a^{mn}$ .
$(a^{3})^{2}=a^{6}$ .
b)
$(x^{2})^{5}$
$(x^{2})^{5}=x^{10}$ .
c)
$(a^{-1})^{4}$
$(a^{-1})^{4}=a^{-4}$ .
d)
$(2^{3})^{2}$
$(2^{3})^{2}=2^{6}=64$ .
e)
$\bigl((a^{2})^{2}\bigr)^{2}$
$\bigl((a^{2})^{2}\bigr)^{2}=a^{8}$ .

Moyen15 exercices

Exercice 1combiner plusieurs règles

Réduis chaque expression à une seule puissance $a^{k}$ (avec $a\in\mathbb{R}_0$ ) :

a)
$\displaystyle\frac{a^{5}\times a^{-3}}{a^{2}}$
$\frac{a^{5}a^{-3}}{a^{2}}=a^{5-3-2}=a^{0}=1$
b)
$\bigl(a^{2}\bigr)^{3}\times a^{-4}$
$(a^{2})^{3}a^{-4}=a^{6}a^{-4}=a^{2}$
c)
$\displaystyle\frac{\bigl(a^{3}\bigr)^{2}}{a^{-1}}$
$\frac{(a^{3})^{2}}{a^{-1}}=\frac{a^{6}}{a^{-1}}=a^{6-(-1)}=a^{7}$
d)
$\displaystyle\Bigl(\frac{a^{-2}}{a^{3}}\Bigr)^{-1}$
$\Bigl(\frac{a^{-2}}{a^{3}}\Bigr)^{-1}=\bigl(a^{-5}\bigr)^{-1}=a^{5}.$

Exercice 2racines et exposants fractionnaires

Simplifie au maximum (donne le résultat sous forme $c^{k}$ , $c>0$ , $n\in\mathbb{N}_0$ ) :

a)
$\displaystyle\frac{\sqrt{c^{3}}}{\sqrt[4]{c}}$
$\frac{c^{3/2}}{c^{1/4}}=c^{3/2-1/4}=c^{5/4}$
b)
$\sqrt[3]{c}\times\sqrt[6]{c}$
$c^{1/3}c^{1/6}=c^{2/6+1/6}=c^{1/2}=\sqrt{c}$
c)
$\displaystyle\sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{\,2n^{2}}}}$
$\Bigl((c^{2n^{2}})^{1/n}\Bigr)^{1/n}=c^{2n^{2}/n^{2}}=c^{2}$
d)
$\displaystyle\Bigl(\sqrt{c}\Bigr)^{6}\times c^{-2}$
$(c^{1/2})^{6}c^{-2}=c^{3}c^{-2}=c^{1}=c.$

Exercice 3bases opposées et quotients d'exposants

Récris sous la forme d'un quotient $\bigl(\tfrac{b}{a}\bigr)^{m}$ ou d'une puissance unique ( $a,b\in\mathbb{R}_0$ ) :

a)
$a^{-m}\times b^{m}$
$a^{-m}b^{m}=\frac{b^{m}}{a^{m}}=\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^{m}$
b)
$\displaystyle\frac{b^{3}}{a^{3}}$
$\Bigl(\frac{b}{a}\Bigr)^{3}$
c)
$2^{-x}\times 3^{x}$
$2^{-x}3^{x}=\Bigl(\frac{3}{2}\Bigr)^{x}$
d)
$\displaystyle\frac{a^{4}b^{-4}}{1}$
$a^{4}b^{-4}=\Bigl(\frac{a}{b}\Bigr)^{4}.$

Exercice 4ramener à une base commune avant de résoudre

Résous dans $\mathbb{R}$ en écrivant d'abord les deux membres avec la même base :

a)
$4^{x}=2^{6}$
$4^{x}=2^{2x}=2^{6}\Rightarrow 2x=6\Rightarrow x=3$
b)
$8^{x}=2^{x+4}$
$2^{3x}=2^{x+4}\Rightarrow 3x=x+4\Rightarrow x=2$
c)
$9^{x}=\displaystyle\frac{1}{27}$
$3^{2x}=3^{-3}\Rightarrow 2x=-3\Rightarrow x=-\tfrac32$
d)
$\displaystyle\Bigl(\frac{2^{2x+1}}{2^{x}}\Bigr)^{2}=8$
$2^{2x+2}=2^{3}\Rightarrow 2x+2=3\Rightarrow x=\tfrac12.$

Exercice 5monotonie : comparer et résoudre une inéquation

On rappelle : $a>1\Rightarrow x\mapsto a^{x}$ croissante ; $0<a<1\Rightarrow$ décroissante.

a)
Résous $2^{x}<2^{5}$ .
a) base $2>1$ (croissante) : $2^{x}<2^{5}\Leftrightarrow x<5$ , soit $S=\,]-\infty,5[$ .
b)
Résous $\displaystyle\Bigl(\frac12\Bigr)^{x}>\Bigl(\frac12\Bigr)^{3}$ (attention au sens !).
b) base $\tfrac12<1$ (décroissante) : le sens s'inverse, $x<3$ , soit $S=\,]-\infty,3[$ .
c)
Range dans l'ordre croissant $2^{3}$ , $2^{0}$ , $2^{-1}$ , $2^{1}$ sans les calculer.
c) $2^{-1}<2^{0}<2^{1}<2^{3}$ (l'exposant croît, la fonction est croissante).
d)
Résous $\displaystyle\Bigl(\frac13\Bigr)^{2x}\leq \Bigl(\frac13\Bigr)^{6}$ .
d) base $\tfrac13<1$ : $\bigl(\tfrac13\bigr)^{2x}\leq\bigl(\tfrac13\bigr)^{6}\Leftrightarrow 2x\geq 6\Leftrightarrow x\geq 3$ , soit $S=[3,+\infty[$ .

Exercice 6réduire à la forme

a^{p}b^{q}

Réduis chaque expression à la forme $a^{p}b^{q}$ ( $a,b\in\mathbb{R}_0$ ).

a)
$(a^{2}b^{-3})^{2}\times a^{-1}b^{4}$
On traite séparément les exposants de $a$ et ceux de $b$ .
$(a^{2}b^{-3})^{2}a^{-1}b^{4}=a^{4}b^{-6}\cdot a^{-1}b^{4}=a^{3}b^{-2}$ .
b)
$\displaystyle\frac{a^{5}b^{2}}{a^{2}b^{5}}$
$\displaystyle\frac{a^{5}b^{2}}{a^{2}b^{5}}=a^{5-2}b^{2-5}=a^{3}b^{-3}$ .
c)
$\displaystyle\frac{(a^{-1}b^{2})^{3}}{a^{-2}b}$
$\displaystyle\frac{(a^{-1}b^{2})^{3}}{a^{-2}b}=\frac{a^{-3}b^{6}}{a^{-2}b}=a^{-3-(-2)}b^{6-1}=a^{-1}b^{5}$ .
d)
$\displaystyle\Bigl(\frac{a^{2}}{b^{-1}}\Bigr)^{2}\times (ab)^{-1}$
$\Bigl(\tfrac{a^{2}}{b^{-1}}\Bigr)^{2}(ab)^{-1}=(a^{2}b)^{2}\,a^{-1}b^{-1}=a^{4}b^{2}\,a^{-1}b^{-1}=a^{3}b$ .

Exercice 7racines d'indices différents

Simplifie sous la forme $c^{k}$ ( $c>0$ ).

a)
$\displaystyle\frac{\sqrt[3]{c}\times\sqrt{c}}{\sqrt[6]{c}}$
On convertit chaque racine en exposant fractionnaire.
$c^{\frac13+\frac12-\frac16}=c^{\frac26+\frac36-\frac16}=c^{\frac46}=c^{2/3}$ .
b)
$\sqrt[4]{c^{2}}\times\sqrt{c}$
$c^{2/4}\,c^{1/2}=c^{\frac12+\frac12}=c$ .
c)
$\bigl(c^{2/3}\bigr)^{3/2}$
$\bigl(c^{2/3}\bigr)^{3/2}=c^{\frac23\cdot\frac32}=c$ .
d)
$\displaystyle\frac{\sqrt{c^{5}}}{\sqrt[3]{c^{2}}}$
$\displaystyle\frac{c^{5/2}}{c^{2/3}}=c^{\frac52-\frac23}=c^{\frac{15}{6}-\frac{4}{6}}=c^{11/6}$ .

Exercice 8réductions numériques multi-bases

Simplifie, puis donne la valeur exacte.

a)
$\displaystyle\frac{2^{5}\times 2^{-2}}{2^{0}}$
$2^{5-2-0}=2^{3}=8$ .
b)
$\displaystyle\frac{3^{4}\times 3^{-2}}{9}$
$\displaystyle\frac{3^{4-2}}{3^{2}}=\frac{3^{2}}{3^{2}}=1$ .
c)
$\displaystyle\frac{2^{3}\times 5^{3}}{10^{2}}$
$\displaystyle\frac{(2\cdot5)^{3}}{10^{2}}=\frac{10^{3}}{10^{2}}=10$ .
d)
$\displaystyle\frac{12^{2}}{2^{2}\times 3^{2}}$
$\displaystyle\frac{12^{2}}{(2\cdot3)^{2}}=\frac{12^{2}}{6^{2}}=\Bigl(\tfrac{12}{6}\Bigr)^{2}=2^{2}=4$ .

Exercice 9équations : ramener à une base commune

Résous dans $\mathbb{R}$ en écrivant les deux membres avec la même base.

a)
$27^{x}=9^{x+1}$
$3^{3x}=3^{2x+2}\Rightarrow 3x=2x+2\Rightarrow x=2$ .
b)
$\displaystyle\Bigl(\frac18\Bigr)^{x}=4$
$2^{-3x}=2^{2}\Rightarrow -3x=2\Rightarrow x=-\tfrac23$ .
c)
$25^{x-1}=125$
$5^{2x-2}=5^{3}\Rightarrow 2x-2=3\Rightarrow x=\tfrac52$ .
d)
$16^{x}=8^{x+1}$
$2^{4x}=2^{3x+3}\Rightarrow 4x=3x+3\Rightarrow x=3$ .

Exercice 10inéquations : base commune et sens

Résous dans $\mathbb{R}$ (ramène à une base commune, puis surveille le sens selon la base).

a)
$4^{x}\geq 2^{x+3}$
$2^{2x}\geq 2^{x+3}$ , base $2>1$ : $2x\geq x+3\Rightarrow x\geq3$ , soit $S=[3,+\infty[$ .
b)
$\displaystyle\Bigl(\frac19\Bigr)^{x}<27$
$3^{-2x}<3^{3}$ , base $3>1$ : $-2x<3\Rightarrow x>-\tfrac32$ , soit $S=\,]-\tfrac32,+\infty[$ .
c)
$8^{x}\leq \displaystyle\Bigl(\frac12\Bigr)^{x-6}$
$2^{3x}\leq 2^{-(x-6)}=2^{-x+6}$ : $3x\leq -x+6\Rightarrow 4x\leq6\Rightarrow x\leq\tfrac32$ , soit $S=\,]-\infty,\tfrac32]$ .
d)
$\displaystyle\Bigl(\frac13\Bigr)^{2x}>\frac19$
$\bigl(\tfrac13\bigr)^{2x}>\bigl(\tfrac13\bigr)^{2}$ , base $<1$ (sens inversé) : $2x<2\Rightarrow x<1$ , soit $S=\,]-\infty,1[$ .

Exercice 11racine d'un carré avec expressions

Écris sans radical, à l'aide de la valeur absolue ( $x,a,b$ réels).

a)
$\sqrt{(x-3)^{2}}$
On applique $\sqrt{A^{2}}=|A|$ .
$\sqrt{(x-3)^{2}}=|x-3|$ .
b)
$\sqrt{4x^{2}}$
$\sqrt{4x^{2}}=\sqrt{4}\,\sqrt{x^{2}}=2|x|$ .
c)
$\sqrt{(2x+1)^{2}}$
$\sqrt{(2x+1)^{2}}=|2x+1|$ .
d)
$\sqrt{a^{2}b^{2}}$
$\sqrt{a^{2}b^{2}}=\sqrt{a^{2}}\,\sqrt{b^{2}}=|a|\,|b|=|ab|$ .

Exercice 12rationaliser un dénominateur

Rends le dénominateur rationnel, puis simplifie.

a)
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}$
On multiplie haut et bas par la racine du dénominateur.
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$ .
b)
$\displaystyle\frac{6}{\sqrt3}$
$\displaystyle\frac{6}{\sqrt3}=\frac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3$ .
c)
$\displaystyle\frac{\sqrt2}{\sqrt8}$
$\displaystyle\frac{\sqrt2}{\sqrt8}=\sqrt{\tfrac{2}{8}}=\sqrt{\tfrac14}=\tfrac12$ .
d)
$\displaystyle\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}$
$\displaystyle\frac{\sqrt{12}}{\sqrt3}=\sqrt{\tfrac{12}{3}}=\sqrt4=2$ .

Exercice 13l'inconnue est dans la base

Résous pour $x>0$ (isole $x$ en élevant à la bonne puissance).

a)
$x^{1/2}=7$
On élève chaque membre à la puissance qui rend l'exposant de $x$ égal à $1$ .
$x=(x^{1/2})^{2}=7^{2}=49$ .
b)
$x^{1/3}=2$
$x=2^{3}=8$ .
c)
$x^{2/3}=9$
$x=(x^{2/3})^{3/2}=9^{3/2}=(9^{1/2})^{3}=3^{3}=27$ .
d)
$x^{-2}=\displaystyle\frac{1}{16}$
$x^{-2}=\tfrac{1}{16}\Rightarrow x^{2}=16\Rightarrow x=4$ (car $x>0$ ).

Exercice 14ordonner via une base commune

On considère les nombres $2^{10}$ , $4^{4}$ , $8^{3}$ et $16^{2}$ .

a)
Écris chacun d'eux comme une puissance de $2$ .
$2^{10}=2^{10}$ ; $4^{4}=2^{8}$ ; $8^{3}=2^{9}$ ; $16^{2}=2^{8}$ .
b)
Range-les dans l'ordre croissant.
La fonction $x\mapsto 2^{x}$ étant croissante : $4^{4}=16^{2}=2^{8}<8^{3}=2^{9}<2^{10}$ .

Exercice 15mise en situation : croissance géométrique

Une population de micro-organismes est multipliée par $3$ chaque heure. On note $N_0$ l'effectif initial et $N(t)=N_0\times 3^{t}$ l'effectif après $t$ heures ( $t\in\mathbb{N}$ ).

a)
Exprime $N(2)$ en fonction de $N_0$ .
$N(2)=N_0\cdot3^{2}=9\,N_0$ .
b)
Au bout de combien d'heures l'effectif vaut-il exactement $81\,N_0$ ? (équation à même base)
$N_0\,3^{t}=81\,N_0\Rightarrow 3^{t}=81=3^{4}\Rightarrow t=4$ : 4 heures.
c)
À partir de combien d'heures a-t-on $N(t)\geq 243\,N_0$ ? (justifie par la monotonie)
$3^{t}\geq243=3^{5}$ ; base $3>1$ (croissante) $\Rightarrow t\geq5$ : à partir de la $5^{\text{e}}$ heure.

Difficile13 exercices

Exercice 1exposants fractionnaires : simplifier puis évaluer

Soit $c$ un réel strictement positif et $n\in\mathbb{N}_0$ .

a)
Montre que $\displaystyle\sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{\,2n^{2}}}}=c^{2}$ , et explique pourquoi le résultat ne dépend pas de $n$ .
On convertit chaque racine en exposant fractionnaire, puis on multiplie les exposants emboîtés :
$\sqrt[n]{\sqrt[n]{c^{2n^{2}}}}=\Bigl(\bigl(c^{2n^{2}}\bigr)^{1/n}\Bigr)^{1/n} =\bigl(c^{2n^{2}}\bigr)^{1/n^{2}}=c^{\,2n^{2}\cdot\frac{1}{n^{2}}}=c^{2}.$
Le résultat ne dépend pas de $n$ car l'exposant $\dfrac{2n^{2}}{n^{2}}=2$ se simplifie entièrement.
b)
Simplifie $\displaystyle E=\frac{\sqrt[3]{c}\times\sqrt[6]{c^{5}}}{\sqrt{c}}$ et donne le résultat sous la forme $c^{k}$ .
$\displaystyle E=\frac{c^{1/3}\,c^{5/6}}{c^{1/2}}=c^{\frac13+\frac56-\frac12} =c^{\frac{2}{6}+\frac{5}{6}-\frac{3}{6}}=c^{\frac46}=c^{2/3}.$
c)
Déduis-en la valeur exacte de $E$ lorsque $c=64$ (sans calculatrice).
Pour $c=64$ : $E=64^{2/3}=\bigl(64^{1/3}\bigr)^{2}=4^{2}=16$ (car $64^{1/3}=\sqrt[3]{64}=4$ ).

Exercice 2équations exponentielles : ramener à une base unique

Résous dans $\mathbb{R}$ . À chaque fois, commence par écrire les deux membres avec la même base.

a)
$2^{2x+1}=2^{-x}$ .
$2x+1=-x\Rightarrow 3x=-1\Rightarrow x=-\tfrac13, \quad S=\bigl\{-\tfrac13\bigr\}$
b)
$4^{x+1}=8^{x}$ .
$4^{x+1}=2^{2x+2},\ 8^{x}=2^{3x}\Rightarrow 2x+2=3x\Rightarrow x=2, \quad S=\{2\}$
c)
$\displaystyle\frac{2^{x}\times 2^{x+1}}{2^{3}}=1$ .
$\frac{2^{x}2^{x+1}}{2^{3}}=2^{2x+1-3}=2^{2x-2}=2^{0}\Rightarrow 2x-2=0\Rightarrow x=1, \quad S=\{1\}$
d)
$\displaystyle\Bigl(\frac{9^{x}}{3}\Bigr)^{2}=3^{\,6x-4}$ .
$\Bigl(\tfrac{9^{x}}{3}\Bigr)^{2}=\bigl(3^{2x-1}\bigr)^{2}=3^{4x-2}=3^{6x-4}\Rightarrow 4x-2=6x-4\Rightarrow x=1, \quad S=\{1\}.$

Exercice 3mise en situation : dilutions successives

Lors d'une série de dilutions, la concentration d'une solution est divisée par $2$ à chaque étape. On note $C_0$ la concentration initiale et $C(x)$ la concentration après $x$ étapes ( $x\in\mathbb{N}$ ) : $\displaystyle C(x)=C_0\times\Bigl(\frac12\Bigr)^{x}$ .

a)
Exprime $C(3)$ en fonction de $C_0$ , puis simplifie.
$\displaystyle C(3)=C_0\Bigl(\frac12\Bigr)^{3}=\frac{C_0}{8}.$
b)
Après combien d'étapes la concentration vaut-elle exactement $\displaystyle\frac{C_0}{32}$ ? Traduis par une équation exponentielle à même base, puis résous.
On résout $\displaystyle C_0\Bigl(\frac12\Bigr)^{x}=\frac{C_0}{32}$ , soit (en divisant par $C_0>0$ ) $\displaystyle\Bigl(\frac12\Bigr)^{x}=\frac{1}{32}=\Bigl(\frac12\Bigr)^{5}\Rightarrow x=5.$ Il faut 5 étapes.
c)
À partir de combien d'étapes a-t-on $\displaystyle C(x)\leq\frac{C_0}{64}$ ? (Justifie le sens de l'inégalité à l'aide de la monotonie de $x\mapsto\bigl(\tfrac12\bigr)^{x}$ .)
$\displaystyle C(x)\leq\frac{C_0}{64}\Leftrightarrow\Bigl(\frac12\Bigr)^{x}\leq\Bigl(\frac12\Bigr)^{6}$ . La base $\tfrac12<1$ rend $x\mapsto\bigl(\tfrac12\bigr)^{x}$ décroissante : l'inégalité sur les valeurs s'inverse sur les exposants, donc $x\geq 6$ . La condition est atteinte à partir de la $6^{\text{e}}$ étape.

Exercice 4racines emboîtées

Soit $x>0$ .

a)
Simplifie $A=\sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x}}}$ sous la forme $x^{k}$ .
De l'intérieur vers l'extérieur : $\sqrt{x}=x^{1/2}$ , puis $x\cdot x^{1/2}=x^{3/2}$ et $\sqrt{x^{3/2}}=x^{3/4}$ , enfin $x\cdot x^{3/4}=x^{7/4}$ et $\sqrt{x^{7/4}}=x^{7/8}$ . Donc $A=x^{7/8}$ .
b)
Simplifie $B=\displaystyle\frac{\sqrt[3]{x^{2}}\times\sqrt{x}}{x^{5/6}}$ sous la forme $x^{k}$ .
$B=\displaystyle\frac{x^{2/3}\,x^{1/2}}{x^{5/6}}=x^{\frac23+\frac12-\frac56}=x^{\frac46+\frac36-\frac56}=x^{\frac26}=x^{1/3}$ .
c)
Calcule la valeur exacte de $A$ pour $x=2^{8}$ , puis celle de $B$ pour $x=2^{9}$ .
$A(2^{8})=(2^{8})^{7/8}=2^{7}=128$ ; $B(2^{9})=(2^{9})^{1/3}=2^{3}=8$ .

Exercice 5substitution : se ramener au second degré

Résous dans $\mathbb{R}$ en posant une inconnue auxiliaire ( $t=a^{x}>0$ ), puis reviens à $x$ .

a)
$4^{x}-6\cdot 2^{x}+8=0$ .
$t=2^{x}$ , $4^{x}=t^{2}$ : $t^{2}-6t+8=0\Rightarrow t=2$ ou $t=4$ , d'où $2^{x}=2\Rightarrow x=1$ ou $2^{x}=4\Rightarrow x=2$ . $S=\{1\,;\,2\}$ .
b)
$3^{2x}-4\cdot 3^{x}+3=0$ .
$t=3^{x}$ : $t^{2}-4t+3=0\Rightarrow t=1$ ou $t=3$ , d'où $x=0$ ou $x=1$ . $S=\{0\,;\,1\}$ .
c)
$2^{2x+1}-5\cdot 2^{x}+2=0$ .
$t=2^{x}$ , $2^{2x+1}=2t^{2}$ : $2t^{2}-5t+2=0\Rightarrow t=2$ ou $t=\tfrac12$ , d'où $2^{x}=2\Rightarrow x=1$ ou $2^{x}=2^{-1}\Rightarrow x=-1$ . $S=\{-1\,;\,1\}$ .

Exercice 6inéquations se ramenant à un trinôme

Résous dans $\mathbb{R}$ (ramène à une même base, puis étudie le signe du trinôme obtenu).

a)
$\displaystyle\Bigl(\frac12\Bigr)^{x^{2}-1}\geq\Bigl(\frac12\Bigr)^{x+1}$ .
Base $\tfrac12<1$ (sens inversé) : $x^{2}-1\leq x+1\Rightarrow x^{2}-x-2\leq0\Rightarrow (x-2)(x+1)\leq0\Rightarrow -1\leq x\leq2$ . $S=[-1,2]$ .
b)
$2^{x^{2}}<2^{x+2}$ .
Base $2>1$ : $x^{2}<x+2\Rightarrow x^{2}-x-2<0\Rightarrow -1<x<2$ . $S=\,]-1,2[$ .
c)
$3^{x^{2}}\geq 27^{x}$ .
$3^{x^{2}}\geq 3^{3x}$ , base $3>1$ : $x^{2}\geq3x\Rightarrow x(x-3)\geq0\Rightarrow x\leq0$ ou $x\geq3$ . $S=\,]-\infty,0]\cup[3,+\infty[$ .

Exercice 7racine d'un carré et valeur absolue

On pose $f(x)=\sqrt{(x-1)^{2}}+\sqrt{(x+2)^{2}}$ .

a)
Écris $f(x)$ à l'aide de valeurs absolues.
$f(x)=|x-1|+|x+2|$ .
b)
Exprime $f(x)$ sans valeur absolue en distinguant les cas selon $x$ .
Points de rupture $x=-2$ et $x=1$ : pour $x<-2$ , $f(x)=(1-x)+(-x-2)=-2x-1$ ; pour $-2\leq x\leq1$ , $f(x)=(1-x)+(x+2)=3$ ; pour $x>1$ , $f(x)=(x-1)+(x+2)=2x+1$ .
c)
Résous l'équation $f(x)=7$ .
Sur $[-2,1]$ , $f=3\neq7$ (pas de solution). Pour $x<-2$ : $-2x-1=7\Rightarrow x=-4$ (convient). Pour $x>1$ : $2x+1=7\Rightarrow x=3$ (convient). $S=\{-4\,;\,3\}$ .

Exercice 8rationaliser avec un conjugué

a)
Rends rationnel le dénominateur de $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3-\sqrt2}$ .
On multiplie par le conjugué $\sqrt3+\sqrt2$ : $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3-\sqrt2}=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{(\sqrt3)^{2}-(\sqrt2)^{2}}=\frac{\sqrt3+\sqrt2}{3-2}=\sqrt3+\sqrt2$ .
b)
Rends rationnel le dénominateur de $\displaystyle\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}$ .
$\displaystyle\frac{\sqrt5+\sqrt3}{\sqrt5-\sqrt3}=\frac{(\sqrt5+\sqrt3)^{2}}{5-3}=\frac{5+2\sqrt{15}+3}{2}=\frac{8+2\sqrt{15}}{2}=4+\sqrt{15}$ .
c)
En déduire la valeur exacte de $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3-\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}$ .
$\displaystyle\frac{1}{\sqrt3-\sqrt2}=\sqrt3+\sqrt2$ et $\displaystyle\frac{1}{\sqrt3+\sqrt2}=\sqrt3-\sqrt2$ ; la somme vaut $2\sqrt3$ .

Exercice 9mise en situation : capitalisation

Un capital est multiplié par $8$ tous les $3$ ans. On suppose qu'il est multiplié par un même facteur $q>0$ chaque année, de sorte que le capital après $t$ années s'écrit $C(t)=C_0\,q^{t}$ .

a)
Sachant que $q^{3}=8$ , détermine $q$ .
$q^{3}=8=2^{3}\Rightarrow q=2$ (le facteur annuel est positif).
b)
Après combien d'années le capital a-t-il été multiplié par $64$ ? (équation à même base)
$C(t)=C_0\,2^{t}$ ; $2^{t}=64=2^{6}\Rightarrow t=6$ : 6 ans.
c)
À partir de combien d'années le capital dépasse-t-il $1000\,C_0$ ? On donne $2^{10}=1024$ .
$2^{t}\geq1000$ ; comme $2^{9}=512<1000<1024=2^{10}$ et que $t\mapsto2^{t}$ est croissante, le plus petit entier convenant est $t=10$ : à partir de la $10^{\text{e}}$ année.

Exercice 10évaluation exacte à exposants fractionnaires

Calcule la valeur exacte, sans calculatrice.

a)
$16^{3/4}$ .
$16^{3/4}=(16^{1/4})^{3}=2^{3}=8$ .
b)
$27^{-2/3}$ .
$27^{-2/3}=(27^{1/3})^{-2}=3^{-2}=\tfrac19$ .
c)
$\displaystyle\frac{8^{2/3}\times 9^{1/2}}{4^{-1/2}}$ .
$\displaystyle\frac{8^{2/3}\cdot9^{1/2}}{4^{-1/2}}=\frac{4\cdot3}{1/2}=12\cdot2=24$ (car $8^{2/3}=4$ , $9^{1/2}=3$ , $4^{-1/2}=\tfrac12$ ).
d)
$\displaystyle\Bigl(\frac{32}{243}\Bigr)^{-2/5}$ .
$\displaystyle\frac{32}{243}=\frac{2^{5}}{3^{5}}=\Bigl(\frac23\Bigr)^{5}$ , donc $\Bigl(\tfrac{32}{243}\Bigr)^{-2/5}=\Bigl(\tfrac23\Bigr)^{-2}=\Bigl(\tfrac32\Bigr)^{2}=\tfrac94$ .

Exercice 11comparer des racines par un exposant commun

Sans calculatrice, en élevant à une puissance bien choisie :

a)
Compare $\sqrt{2}$ et $\sqrt[3]{3}$ .
Puissance $6$ : $(\sqrt2)^{6}=2^{3}=8$ et $(\sqrt[3]{3})^{6}=3^{2}=9$ ; comme $8<9$ (nombres positifs), $\sqrt2<\sqrt[3]{3}$ .
b)
Compare $\sqrt[3]{2}$ et $\sqrt[4]{3}$ .
Puissance $12$ : $(\sqrt[3]{2})^{12}=2^{4}=16$ et $(\sqrt[4]{3})^{12}=3^{3}=27$ ; donc $\sqrt[3]{2}<\sqrt[4]{3}$ .
c)
Range dans l'ordre croissant $\sqrt{2}$ , $\sqrt[3]{3}$ et $\sqrt[6]{20}$ .
Exposant commun $6$ : $(\sqrt2)^{6}=8$ , $(\sqrt[3]{3})^{6}=9$ , $(\sqrt[6]{20})^{6}=20$ ; d'où $\sqrt2<\sqrt[3]{3}<\sqrt[6]{20}$ .

Exercice 12factoriser une puissance commune

Résous dans $\mathbb{R}$ en mettant une puissance en facteur commun.

a)
$2^{x+1}+2^{x}=96$ .
$2^{x}(2+1)=96\Rightarrow 3\cdot2^{x}=96\Rightarrow 2^{x}=32=2^{5}\Rightarrow x=5$ .
b)
$3^{x+2}-3^{x}=72$ .
$3^{x}(9-1)=72\Rightarrow 8\cdot3^{x}=72\Rightarrow 3^{x}=9=3^{2}\Rightarrow x=2$ .
c)
$5^{x+1}+5^{x-1}=130$ .
$5^{x-1}(5^{2}+1)=130\Rightarrow 26\cdot5^{x-1}=130\Rightarrow 5^{x-1}=5\Rightarrow x=2$ .
d)
$2^{x}+2^{x+1}+2^{x+2}=28$ .
$2^{x}(1+2+4)=28\Rightarrow 7\cdot2^{x}=28\Rightarrow 2^{x}=4=2^{2}\Rightarrow x=2$ .

Exercice 13système d'équations exponentielles

Résous dans $\mathbb{R}^{2}$ le système d'inconnues $(x,y)$ :

\begin{cases} 4^{x}\cdot 2^{y}=32,\\[2pt] \displaystyle\frac{9^{x}}{3^{y}}=3. \end{cases}

a)
Transforme chaque équation en une relation linéaire entre $x$ et $y$ .
$4^{x}2^{y}=2^{2x+y}=32=2^{5}\Rightarrow 2x+y=5$ ; $\displaystyle\frac{9^{x}}{3^{y}}=3^{2x-y}=3^{1}\Rightarrow 2x-y=1$ .
b)
Résous le système et donne le couple $(x,y)$ .
En additionnant : $4x=6\Rightarrow x=\tfrac32$ , puis $y=5-2x=2$ . Le couple est $\bigl(\tfrac32\,;\,2\bigr)$ .

Revoir le tutoriel de cette mécanique